第二章主方程(Masterequation)

1、第二章 主方程(Master equation) 這里我們研究概率分布隨時間的演化。 隨機過程：與時間有關的隨機變量(time-dependent random variable) 我們只考慮僅有短程記憶的過程 馬爾科夫過程(Markov process)，該過程的時間演化方程就是主方程。 主方程是統計物理里最重要的方程之一，它幾乎是普遍適用的，并廣泛地被應用于化學，生物學，人口動力學，布朗運動，流體，半導體，金融等問題。2.1 主方程的推導（I）一般情形對于隨機變量Y的概率密度，將采用以下的記號來表示：（隨機變量Y在 時刻取 值的概率）;（隨機變量Y在 時刻取 值，在 時刻取 值的聯合概率）

2、;（隨機變量Y在 時刻取 值，在 時刻取 值， 在 時刻取 值的聯合概率）。聯合概率密度是正的:它們可以被約化:并且是歸一化的:一般性質:不同時刻概率密度之間的關系（上式對 積分）：隨機變量與時間有關的矩(表征隨機變量在不同時刻的值之間的相關):平穩(wěn)過程：如果一個過程對一切n與都有：在平衡時，所有物理過程都是平穩(wěn)的。對一個平穩(wěn)過程，有：條件概率：而 只依賴于 - 時間差的絕對值。（在 時刻取 值的隨機變量Y，在 時刻取 值的概率）;它由如下恒等式來定義：（II）馬爾科夫過程(Markov process)=（固定 時，隨機變量Y具有值 的聯合概率密度） 聯合條件概率密度：對馬爾科夫過程我們有(

3、其中 )：即tn時刻取yn的條件概率完全由tn-1時刻yn-1的值確定。馬爾科夫過程完全由 和 轉移概率兩個函數確定。例如：對y2積分，容易得到（Chapman-Kolmogorov方程）：Chapman-Kolmogorov方程的重要性：告訴我們對馬爾科夫過程來說兩個相繼步驟的轉移概率是兩個單個步驟轉移概率的乘積乘積，而且相繼的步驟是統計獨立獨立的。(III) 主方程(Master equation)計算（*1）的時間導數我們必須考慮：這里我們定義 是系統在時間間隔 內，從態(tài)y1變到態(tài)y2的單位時間的轉變概率密度（轉移率）。因此 在時間 內，從態(tài)y1轉變到態(tài)y2的概率密度為 ；在時間內不轉變

4、的概率密度為 。所以有： （*3) 的時間導數為：在時刻t1+（ 是一個非常小的正數），由定義我們有（以連續(xù)變量為例）： （*1）當=0時，由（*1）得： （*2）由（*1-3）我們發(fā)現： （*4）這就是主方程。(IV) 細致平衡和Monte Carlo模擬為簡單記這里我們考慮離散的情形，這時主方程可寫為：這和我們以前學過的統計物理里的劉維爾定理很相似。對平穩(wěn)過程，我們有因此對不同的平衡態(tài)有（這里我們略去了時間）：這就是細致平衡（細致平衡（detailed balance）。對統計物理研究的很多系統而言，轉移概率一般是不含時的，即與系統是否處于平衡態(tài)無關，因此我們一般有： ?？梢宰C明（見下），

5、即使系統初始處于非平衡態(tài)時（這時概率密度函數與時間有關），經過足夠長的時間后系統將逐漸進入平衡態(tài)，這是我們對系統進行Monte Carlo模擬模擬的理論基礎。練習(對離散情形的證明見本章末尾)：考慮相對熵： 。這里 是系統處于非平衡態(tài)的概率密度函數， 則是系統處于平衡態(tài)的概率密度函數。證明 和 ，其中等號僅當系統處于平衡態(tài)時成立。由此有：(V) ?？?普朗克(Fokker-Planck)方程由于轉移概率 將隨的增大而迅速減小 ，我們把WP1按的冪次展開：當y是一個連續(xù)變量連續(xù)變量，而且y的改變以小跳躍小跳躍的方式發(fā)生時，我們可導出 的偏微分方程-?？?普朗克方程。先做變量代換: 類似地這里 是

6、跳躍的大小。于是主方程變?yōu)樯鲜接疫叺谝豁椇妥詈笠豁椏上?，因此得到?（+）這就是?？烁？?普朗克普朗克(Fokker-Planck)方程方程。其中 是第第n級躍變矩級躍變矩：2.2 馬爾科夫鏈(Markov chain)馬爾科夫鏈：是馬爾科夫過程的一個例子，是在離散時刻出現的離散隨機變量Y取值之間的轉移。設Y可取值 ，基本時間間隔為1，從t=0到t=1我們有：引入 我們可把上式改寫為矩陣方程： 在s時刻，我們有：P(s) 在s很大時的行為依賴于轉移矩陣的結構。 若Q的某個冪次的全部元素都是正的（正則矩陣），則P(s)趨向唯一的確定的與初態(tài)無關的定態(tài) ：且易證明：一個例子（雷克書P.173）：

7、考慮兩個罐子A和B，有三個紅球和兩個白球分配給它們，并總使得A中有兩個球。共有下面三種位形：位形間的轉移為：無規(guī)則地從A和B中各取一個球進行交換。轉移矩陣為 且易知 是正則的:令 表示定態(tài)，由方程： 可解出定態(tài)，結果為： ，與初態(tài)無關。2.3無規(guī)行走和擴散方程考慮一個粒子在x軸上運動，且各步行走是統計獨立的。設步長為l，步間時間為，n=0，1，2,為粒子的絕對位置，則有：若粒子向左向右運動的概率均為1/2，則原方程可簡化為：把上式寫為求導的形式，我們有：令 并在 為有限的條件下取極限 便可得到擴散方程:假定初始時刻 并引入P1(x,t)對x的傅里葉變換（特征函數），擴散方程可變?yōu)椋涸摲匠痰慕鉃?/p>

8、 ： ，再取逆變換，可得：這是粒子在t=0從x=0出發(fā)，到t時刻于x點找到它的概率。一階矩和二階矩：一階矩：把擴散方程兩邊乘以 并對位置積分后，我們發(fā)現：因此粒子的平均距離不隨時間改變；二階矩：把擴散方程兩邊乘以 并對位置積分后，我們發(fā)現：這正是擴散過程的特征。2.4 生滅過程，主方程的求解 生滅過程：在一個時刻只能進行一步轉移。 我們這里處理一個可用生成函數嚴格求解的情形。再假定生和滅的概率正比于現存細菌數（線性假設），則有 和 ，上式兩邊同乘以 并化簡，即得線性生滅過程的主方程： 考慮t時刻有m個細菌的一個群體：(i)在時間 內死亡一個細菌的概率為(ii)在時間 內出生一個細菌的概率為(i

9、ii) 在時間 內細菌數目不變的概率為(iv) 在時間 內出生或死亡數超過1的概率為零.于是有:對依賴于離散離散隨機變量的主方程的求解：生成函數法生成函數（characteristic function）可寫為：對z求導后令z-1,可得到隨機變量n的各階距：一般地，我們有：因此對一般的多項式函數r(n), 我們有：由此有：把以上表達式帶入到主方程中我們有： （*）因此方程(*)和主方程是等價的，我們只需解方程(*)。容易發(fā)現(*)可由方程組 及 得到。從dF=0我們發(fā)現F(z,t)=C2，由一般解為設t=0時，細菌數目為m，則故若 則結果我們求得2.5 離散平穩(wěn)馬爾科夫過程的普遍解對離散平穩(wěn)馬

10、爾科夫過程，Chapman-Kolmogorov方程變?yōu)椋?這里 和由概率和條件概率的定義我們還有: 即 和 考慮離散隨機變量 和離散時間 ，其中n和是整數。這時我們得到了一個馬爾科夫鏈，我們有：這里 是系統處于k態(tài)時下一步跳到n態(tài)的條件概率，它包含了系統轉移機制的一切必要信息。 組成了矩陣Q的分量： 由（2.2）節(jié)我們并有：轉移矩陣Qlxl轉移矩陣Q一般不是對稱陣，因而其左，右本征矢量不同。其左本征矢量問題可寫為：右本征矢量問題可寫為：其中是方程 det|Q-I|=0的解。由以上兩式可以證明：正交歸一性：即Q可以用其左，右本征矢展開： 因此我們有Q至少有一本征值為1，且 若所有 由上可知 則

11、對足夠大的s方程 不成立，這不可能。 再由P=PQ及iXi=XiQ和iYi=QYi，易得 因Yi構成完備本征矢，若所有i1則對所有i均有PYi=0，這不可能。故存在i使得 (a) 左本征矢方程兩邊取絕對值： 對m求和并考慮Q的歸一 性即得： (b) 右本征矢方程兩邊取絕對值有： 設對所有m, 對 我們有： 對正則轉移矩陣，若Q只有一個本征值 則 2.6 近似方法- 展開（I）簡單例子：一維無規(guī)行走考慮一個有邊界條件的一維無規(guī)行走，其主方程為：這里-LnL而且L1，因而系統大小=2L+11。我們引入：x=n/L,并記(x,t)=P1(n,t),主方程可改寫為：由于1/L是小量，我們可以把 對1/

12、L展開：情形1：=: 這時上式右邊第一項1/L項消失。為簡單記我們令=1并記 這樣重新標度后我們有： 這是擴散方程(Fokker-Planck方程)。情形2：: 這時只用考慮主方程右邊第一項。令=t/L我們有： 這是一個有向無規(guī)行走且x()滿足：(II) 一般情形這里考慮連續(xù)時間和離散隨機變量的主方程并假定轉移率W與時間無關，這樣主方程可寫為：類似于連續(xù)隨機變量的情形我們可以定義躍變矩：躍變矩是隨機變量n的方程。我們一般感興趣的是隨機變量n及其各級矩的運動方程，這些已知的話系統的性質就基本清楚了。 的運動方程：在主方程兩邊乘以n并對n求和，在對右邊第一項作交換nm后我們獲得： 的運動方程：在主

13、方程兩邊乘以 并對n求和，在對右邊第一項作交換nm后我們獲得： 因此不用解主方程，通過轉移率W(n,m)我們就可以得到系統的大量信息。2n近似：W對系統參量的展開對大系統，我們可以把W對表征系統大小的參量做展開（因1/ 是一個小量），并將其帶入到主方程中，獲得一個近似的主方程，這個方程的解可能對系統的性質做出較好的描述。在轉移率中重要的參量是密度m/ 和步長n=n-m。因此我們把W(m,n)展開為：這里f()是的任意函數。對大我們略去上式中的高階項并帶入到主方程中，得：對大量獨立客體的行為，根據中心極限定理我們知道 ，寬度n正比于 于是我們可以把n在其平均值附近展開：其中 是n對其平均值 的偏

14、移。我們可以把主方程用x來表示，在n取值n-n+n內，我們定義（這樣(t)顯式地依賴于t）： 其中于是我們有： 和 主方程隨之變?yōu)椋喊焉鲜接疫叺谝豁椩?附近作泰勒展開并重新標定時間 f()t= 后，主方程最終變?yōu)椋浩渲?和 在主方程里保留到 ，可得： 要滿足上式，只須取 這里在主方程里保留到的零級項，可得關于概率密度 的Fokker-Planck方程： 由上式即可得擾動x的平均值和矩等的運動方程。對平穩(wěn)過程，上述方程右端的系數與時間無關。如在=0有 ，并定義 及 和 ，上述Fokker-Planck方程可變?yōu)橐粋€廣義擴散方程：主方程展開到的 級項時，W的泰勒展開的第二項1將開始有貢獻。2.7

15、非線性生滅過程-馬爾薩斯方程對線性線性生滅過程：對非線性非線性生滅過程：我們假設社會成員間的競爭使得死亡率加大，因此死亡率中還有一個正比于其它個體密度的項 貢獻，這里是系統的大小。這樣轉移率變?yōu)椋河捎谠跁r間內不轉變的概率為 ，我們發(fā)現主方程可寫為：考慮t時刻有m個人的一個社會，我們有：容易發(fā)現轉移率為：在t時刻個體平均數的方程為：這個方程中一級矩的演化依賴于二級矩。為此把n在其平均值附近展開：并保留到級的項，我們發(fā)現：此方程的解為特點：當 則 人口消亡；當 則 人口趨于一個穩(wěn)定值（ 時趨于無窮大）。即當轉移率改變時，存在一個從一個狀態(tài)到另一狀態(tài)的“相變”！2.8 馬爾科夫鏈的相對熵增加定理在這一節(jié)里我們要證明馬爾科夫鏈的相對熵的一個重要性質，即下面的定理：定理：設 和 分別為同同一個有限態(tài)馬爾科夫鏈一個有限態(tài)馬爾科夫鏈在時刻n的兩個概率密度函數，那么它們的相對熵 是時刻n的一個單調遞增函數。特別地，如果是唯一的一個平穩(wěn)(stationary)分布，我們有這里我們?yōu)榱撕蜅l件概率中的“|”區(qū)分，用了“|”來分開相對熵中的兩個概率密度函數。首先，對任兩個聯合概率密度函數p(x,y)和q(x,y)，相對熵有一個鏈式規(guī)則（條件概率仍沿用雷克書的寫法）： 這由條件概