理論力學第三章

1、Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 返回總目錄制作與設計制作與設計 山東大學山東大學 工程力學系工程力學系 第三章第三章 點的復合運動點的復合運動(Composite motion of a particle) Theoretical Mechanics 第三章第三章 點的合成運動點的合成運動 3.1 3.1 絕對運動、相對運動和牽連運動絕對運動、相對運動和牽連運動（Absolute motion, Relative motion and Transport motionAbsolute motion, Relative motion and

2、 Transport motion） 返回首頁Theoretical Mechanics3.1 絕對運動、相對運動和牽連運動絕對運動、相對運動和牽連運動 問題的提出：問題的提出：1. 求相對運動求相對運動2. 求合成運動求合成運動 運動的相對性運動的相對性 合成運動：合成運動：相對于某一參考體的運動可由相對于其他參考體相對于某一參考體的運動可由相對于其他參考體的幾個運動組合而成的運動。的幾個運動組合而成的運動。 沿直線軌道滾動的圓輪，輪沿直線軌道滾動的圓輪，輪緣上緣上A點的運動，對于地面上點的運動，對于地面上的觀察者，是旋輪線軌跡，對的觀察者，是旋輪線軌跡，對站在輪心上的觀察者是圓。站在輪心上

3、的觀察者是圓。A點的運動可看成隨輪心的平動與繞輪心轉動的合成。點的運動可看成隨輪心的平動與繞輪心轉動的合成。 返回首頁Theoretical Mechanics 兩套參考坐標系：兩套參考坐標系：動坐標系：動坐標系：固定在相對于地球運動的參考體上的固定在相對于地球運動的參考體上的 坐標系；以坐標系；以Oxyz 表示表示。靜坐標系：固結在地球上的坐標系，以靜坐標系：固結在地球上的坐標系，以Oxyz表示。表示。 一個動點：一個動點：不考慮質量而運動的幾何點。不考慮質量而運動的幾何點。 返回首頁3.1 絕對運動、相對運動和牽連運動絕對運動、相對運動和牽連運動靜坐標系靜坐標系動坐標系動坐標系動點動點 T

4、heoretical Mechanics 返回首頁3.1 絕對運動、相對運動和牽連運動絕對運動、相對運動和牽連運動Theoretical Mechanics靜坐標系靜坐標系動坐標系動坐標系動點動點 返回首頁3.1 絕對運動、相對運動和牽連運動絕對運動、相對運動和牽連運動Theoretical Mechanics 返回首頁3.1 絕對運動、相對運動和牽連運動絕對運動、相對運動和牽連運動 Theoretical Mechanics 第三章第三章 點的合成運動點的合成運動 返回首頁 3.2 3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理(Composition Theory of Velocities)(

5、Composition Theory of Velocities)Theoretical Mechanics3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理3.2.1 絕對速度、相對速度和牽連速度絕對速度、相對速度和牽連速度 3.2.2 速度合成定理速度合成定理 返回首頁Theoretical Mechanics3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理3.2.1 絕對速度、相對速度和牽連速度絕對速度、相對速度和牽連速度 絕對速度絕對速度va：動點相對于靜坐標系運動的速度相對速度相對速度vr：動點相對于動坐標系運動的速度牽連速度牽連速度ve：某瞬時，與動點相重合的動坐標 系上的點（牽連點）相對于靜坐 標

6、系運動的速度。 返回首頁Theoretical Mechanics 牽連點：牽連點：在任意瞬時，與動點相重合的動坐標系上的點。 動坐標系是一個包含與之固連的剛體在內的運動動坐標系是一個包含與之固連的剛體在內的運動空間，除動坐標系空間，除動坐標系作平移外作平移外，動坐標系上各點的運，動坐標系上各點的運動狀態(tài)是動狀態(tài)是不相同不相同的。在任意瞬時，只有牽連點的運的。在任意瞬時，只有牽連點的運動能夠給動點以動能夠給動點以直接的影響直接的影響。為此，定義某瞬時，。為此，定義某瞬時，與動點相重合的動坐標系上的點（牽連點）相對于與動點相重合的動坐標系上的點（牽連點）相對于靜坐標系運動的速度稱為動點的靜坐標系

7、運動的速度稱為動點的牽連速度牽連速度 。討討 論論3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理3.2.1 絕對速度、相對速度和牽連速度絕對速度、相對速度和牽連速度 返回首頁Theoretical Mechanics11eOMv22eOMv3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理3.2.1 絕對速度、相對速度和牽連速度絕對速度、相對速度和牽連速度 返回首頁 例如，直管例如，直管OB以勻角速度以勻角速度 繞定軸繞定軸O轉動，小球轉動，小球M以速度以速度u在直管在直管OB中作相對的勻速直線運動，如圖示。中作相對的勻速直線運動，如圖示。將動坐標系固將動坐標系固結在結在OB管上，管上，以小球以小球M為動點。

8、為動點。隨著動點隨著動點M的運動，牽連點的運動，牽連點在動坐標系中的位置在相應改變。在動坐標系中的位置在相應改變。設小球在設小球在t1、t2瞬時分別到瞬時分別到達達M1、M2位置，位置，則動點的牽連速度分別為則動點的牽連速度分別為 Theoretical Mechanics 動點與牽連點動點與牽連點 動點和牽連點是一對相伴點，在運動的同一瞬時，動點和牽連點是一對相伴點，在運動的同一瞬時，它們是重合在一起的。它們是重合在一起的。 動點是與動系有相對運動的點動點是與動系有相對運動的點 。 牽連點是動系上的幾何點牽連點是動系上的幾何點 。 在運動的不同瞬時，動點與動坐標系上不同的點重在運動的不同瞬時

9、，動點與動坐標系上不同的點重合，而這些點在不同瞬時的運動狀態(tài)往往不同合，而這些點在不同瞬時的運動狀態(tài)往往不同 。3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理3.2.1 絕對速度、相對速度和牽連速度絕對速度、相對速度和牽連速度 返回首頁Theoretical Mechanics3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理3.2.2 速度合成定理速度合成定理 動點在一個任意運動的剛體動點在一個任意運動的剛體K上沿弧上沿弧AB相對于剛體相對于剛體K運動。運動。 動坐標系固結在剛體K上，靜坐標系固結在地面上。 瞬時t，動點位于M處 t后，動點運動到 處 1M絕對運動軌跡 1MMM1是瞬時t的牽連點， 是此牽連

10、點的軌跡。1MM1111000limlimlimtttMMMMM Mttt 1111MMMMMM 返回首頁Theoretical Mechanics速速度度合合成成定定理理 矢量方程中包含絕對速度、牽連速度和相對速度的大小、矢量方程中包含絕對速度、牽連速度和相對速度的大小、方向六個量，已知其中四個量可求出其余兩個量。方向六個量，已知其中四個量可求出其余兩個量。tMMt10alimvtMMt10elimvtMMt110rlimvreavvv 動點的絕對速度動點的絕對速度等于它的牽連速度與等于它的牽連速度與相對速度的矢量和。相對速度的矢量和。 3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理3.2.2 速

11、度合成定理速度合成定理 返回首頁Theoretical Mechanics3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理例例 題題 返回首頁解:由于頂桿AB沿垂直方向作平動,因此只需求頂桿端點A的速度。 由于端點A對凸輪有相對運動,因此選取頂桿的端點A為動點,動系 固結在凸輪上,定系Oxy固連在機架上。于是3種運動分別為:例例 凸輪機構中的凸輪外形為半圓形,頂桿AB沿垂直槽滑動,設凸輪以勻速度v沿水平面向左移動,當在如圖所示位置， 時,求頂桿B端的速度30BvvvvvvTheoretical Mechanics3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理例例 題題 返回首頁絕對運動絕對運動: :直線運動

12、。直線運動。相對運動相對運動: :沿凸輪輪廓的圓沿凸輪輪廓的圓 周運動。周運動。 牽連運動牽連運動: :凸輪的平動。凸輪的平動。 3種速度分析如下表:方向鉛直水平向左沿凸輪在A點的切線大小未知未知vvvvTheoretical Mechanics3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理例例 題題 返回首頁由合成定理有式中三個矢量具有六個要素,已知四個,可作速度平行四邊形,如圖所示,則求得其方向鉛直向上。aecot cot303AvvvvvvvvvTheoretical Mechanics例 急回機構中，曲柄OA的一端與滑塊A用鉸鏈連接。當曲柄OA以勻角速度 繞定軸O轉動時，滑塊在搖桿上滑動，并

13、帶動搖桿繞固定軸O1來回擺動。設曲柄長OA=r，兩軸間距離 ，求曲柄在水平位置瞬時，搖桿O1B繞O1軸的角速度1及滑塊A相對搖桿O1B的相對速度。 lOO 13.2 點的速度合成定理點的速度合成定理例例 題題 返回首頁Theoretical Mechanics解：該機構在運動過程中，滑塊解：該機構在運動過程中，滑塊A相相對于搖桿對于搖桿O1B的相對運動軌跡為已知。的相對運動軌跡為已知。 動點：滑塊動點：滑塊 A動系：與搖桿動系：與搖桿O1B固連固連絕對運動：圓周運動絕對運動：圓周運動牽連運動：搖桿繞牽連運動：搖桿繞O1軸的轉動軸的轉動 相對運動：滑塊沿滑槽的直線運動相對運動：滑塊沿滑槽的直線運

14、動vavrveA A將速度合成定理的矢量方程分別向將速度合成定理的矢量方程分別向 軸上投影軸上投影 yx,3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理例例 題題 返回首頁vavrveTheoretical Mechanicsaearsin0,cos0vvvv rvrllAOOOrlrAOOAa2211221,cos,sin22r222e,rlrlvrlrv12211erlAOv又因為 搖桿此瞬時的角速度為2221rlr其轉向為逆時針3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理例例 題題 返回首頁Theoretical Mechanicsv1例 火車車廂以速度v1沿直線軌道行駛。雨滴M鉛垂落下，其速度為

15、v2。求雨滴相對于車廂的速度。 vavrve絕對運動：雨滴相對地面鉛垂落下絕對運動：雨滴相對地面鉛垂落下相對運動相對運動 ：雨滴相對于車廂的運動：雨滴相對于車廂的運動牽連運動：車廂的運動（平動）牽連運動：車廂的運動（平動）解：解：動點動點:雨滴雨滴M，動系：動系：Ox y 與與車廂固結，車廂固結，靜系：靜系：Oxy3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理例例 題題 返回首頁Theoretical Mechanics絕對速度為va= v2 v1vavrve22212a2ervvvvvvr的方向可由vr與鉛垂線的夾角決定 21tanvv 雨滴在車廂壁板擦過的痕跡與鉛垂線的夾角為雨滴在車廂壁板擦過的

16、痕跡與鉛垂線的夾角為 ，車廂的，車廂的速度愈大，速度愈大， 角愈大。角愈大。 3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理例例 題題車廂作移動，雨滴車廂作移動，雨滴M的牽連點的速度為的牽連點的速度為v1， ve = v1 返回首頁Theoretical Mechanics3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理例例 題題 返回首頁例例 如圖(a)所示礦砂從傳送A帶落到另一個傳送帶B上。站在地面上觀察礦砂下落的速度為 方向與鉛直線成 角。已知傳送帶B水平傳動速度 ，求礦砂相對于傳送帶B的速度。解：以礦砂M為動點，動參考系固定在傳送帶B上。礦砂相對地面的速度 為絕對速度；vv30 牽連速度應為動參考系

17、上與動點相重合點的速度?？稍O想動參考系為無限大，由于它作平動，各點速度都等于 。于是動點M的牽連速度等于。Theoretical Mechanics3.2 點的速度合成定理點的速度合成定理例例 題題 返回首頁 由速度合成定理知，三種速度形成平行四邊形，絕對速度必須是對角線，因此作出的速度平行四邊形，如圖(b)所示。根據(jù)幾何關系求得vvv與間的夾角為avrvsinsin60ervv由正弦定理 Theoretical Mechanics 第三章第三章 點的合成運動點的合成運動 返回首頁 3.3 牽連運動為平動時牽連運動為平動時 點的加速度合成定理點的加速度合成定理Theoretical Mecha

18、nics3.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理絕對加速度aa：動點相對于靜坐標系運動的加速度相對加速度ar：動點相對于動坐標系運動的加速度設：動點M在動坐標系中的坐標為xyz 牽連運動為平移，單位矢量牽連運動為平移，單位矢量i 、j 、k 大小、方向不變大小、方向不變 kjir zyxkjivtztytxddddddrkjia222222rddddddtztytx 返回首頁Theoretical Mechanics牽連加速度牽連加速度ae ：指某瞬時動坐標系上與動點相重合之點（牽連點）相對于靜坐標系運動的加速度 動坐標系作平移時，動點的牽連速度和牽連加速度

19、等于動坐標系原點O的速度和加速度，即 OOaavvee,3.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理 返回首頁Theoretical Mechanics 設動點在動坐標系Oxyz上沿相對軌跡曲線AB運動,而動坐標相對靜坐標系Oxyz作平行移動 當牽連運動為平移時當牽連運動為平移時，動點的絕對加速度等于牽連加速動點的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和度與相對加速度的矢量和。這是牽連運動為平移時，點的加。這是牽連運動為平移時，點的加速度合成定理。速度合成定理。reavvvkjivvtztytxOddddddakjivva222222addddddddddt

20、ztytxttOaOOt avddreaaaa3.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理 返回首頁Theoretical Mechanics3.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理例例 題題 返回首頁例例 如圖(a)所示的曲柄滑道機構中,曲柄長OA=10cm,繞O軸轉動。當時,其角速度，角加速度,求導桿BC的加速度和滑塊A在滑道中的相對加速度。方向如圖(b)所示。解:取滑塊A為動點,動參考系固連于導桿上,定參考系固連于地面。這樣,動點A的絕對運動是圓周運動,絕對加速度分為切向加速度和法向加速度其大小為taanaat2a10c

21、m/saOAn22a10cm/saOATheoretical Mechanics3.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理例例 題題 相對運動為沿滑道的往復直線運動,牽連運動為導桿的直線平動。由加速度合成定理,有aaaa選相互垂直的投影軸，將上式各矢量分別投影在上得Theoretical Mechanics3.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理例例 題題 返回首頁解得解得兩者為正值兩者為正值, ,說明假設方向是正確的說明假設方向是正確的。2r10cos3010sin303.66cm/sa 2e10sin3010cos301

22、3.66cm/sa 即為導桿在此瞬時的平動加速度。即為導桿在此瞬時的平動加速度。eaTheoretical Mechanics3.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理例例 題題 動點：動點：小環(huán)小環(huán)M解：解：靜系：靜系：固連在地面上固連在地面上 動系：動系：固連在連桿固連在連桿BC上上 返回首頁例例 平行四連桿機構的上連桿BC與一固定鉛直桿EF相接觸，在兩者接觸處套上一小環(huán)M，當BC桿運動時，小環(huán)M同時在BC、EF桿上滑動。曲柄AB=CD=r，連桿BC=AD=l，若曲柄轉至圖示角位置時的角速度為，角加速度為 ，試求小環(huán)M的加速度。 Theoretical M

23、echanicsneaearaaa 絕對運動沿EF的直線運動，aa方向沿EF。 動點動點M將加速度合成定理的矢量方程向y軸投影 0cossineeaaaanraennraABe2ee,aa與AB平行 牽連運動是連桿牽連運動是連桿BC的平移的平移 相對運動沿BC的直線運動，ar方向沿BC。3.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理例例 題題 返回首頁2acossinarr方向如圖方向如圖 所以Theoretical Mechanics例例 題題 返回首頁例例 如圖（a）所示，凸輪在水平面上向右作減速運動。設凸輪半徑為R,圖示瞬時的速度和加速度分別為v和a，。求桿

24、AB在圖示位置時的加速度。解：以桿AB上的點A為動點，動系固連于凸輪上，則點A的絕對軌跡為直線，相對軌跡為凸輪輪廓曲線，由于牽連運動為平動，點的加速度合成定理為3.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理vaaaaavaTheoretical Mechanics例例 題題 點A的牽連加速度為凸輪上與動點相重合的那一點的加速度，即3.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理eaa點A的相對軌跡為曲線，于是相對加速度分為兩個分量：切線分量 ，法向分量 的方向如圖所示，大小為tranra的方向如圖所示，大小為vvvTheoretical

25、 Mechanics則有aaaavan例例 題題 3.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理加速度合成定理可寫成如下形式將上式投影到法線上，得解得Theoretical Mechanics例例 題題 返回首頁當時， ，說明假設的的指向與真實指向相同。 3.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理 Theoretical Mechanics 第三章第三章 點的合成運動點的合成運動 3.4 牽連運動為轉動時牽連運動為轉動時 點的加速度合成定理點的加速度合成定理 返回首頁Theoretical Mechanics3.4 牽連運動為轉動

26、時，點的加速度合成定理牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理 動點動點M沿動坐標系沿動坐標系Oxyz中中的相對軌跡曲線的相對軌跡曲線AB運動運動,而動坐而動坐標以角速度矢標以角速度矢 和角加速度矢和角加速度矢 繞靜坐標系繞靜坐標系Oz軸轉動。軸轉動。 動系作定軸轉動時，由轉動剛體內各點的速度和加速度 eevreeee()arr 速度合成定理為速度合成定理為reavvv 返回首頁eaTheoretical Mechanicsreavvveraddddttvva3.4 牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理 返回首頁eeeeeeaeeeerddddddddtttt

27、vrrr +r +vr +vv 222r222ddddddddddddddddddddxyzxyztttttttttt vijki +j +kraer v 泊松公式泊松公式aerr2aaavTheoretical MechanicsCreaaaaarC2va 當牽連運動為轉動時，由于轉動的牽連運動與相當牽連運動為轉動時，由于轉動的牽連運動與相對運動相互影響的結果而產生一種附加的加速度，稱對運動相互影響的結果而產生一種附加的加速度，稱為科里奧利加速度，簡稱科氏加速度。為科里奧利加速度，簡稱科氏加速度。 動點的絕對加速度 當牽連運動為轉動時，動點的絕對加速度等于牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的

28、矢量和 。結論結論3.4 牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理 返回首頁Theoretical Mechanics3.4 牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理方向垂直于方向垂直于 與與vr所決定的平面，所決定的平面，它的指向按右手定則決定。它的指向按右手定則決定。將vr順著 的轉向轉過90，即得aC的方向 科氏加速度的大小為科氏加速度的大小為 sin2rCva若vr ，則有 0Ca若vr ，則有rC2 va : 與與vr間的夾角間的夾角sinrrvv rC2 va 返回首頁Theoretical Mechanics3.4

29、牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理例例 如圖所示的刨床的急回機構中，曲柄如圖所示的刨床的急回機構中，曲柄OA的端點的端點A與與滑塊用鉸鏈連接。當曲柄滑塊用鉸鏈連接。當曲柄OA以勻角速度以勻角速度 繞固定軸繞固定軸O轉動時，滑塊在搖桿轉動時，滑塊在搖桿O1B上滑動，并帶動搖桿上滑動，并帶動搖桿O1B 繞固繞固定軸定軸O1 擺動，設曲柄長擺動，設曲柄長OAr，兩軸間距離，兩軸間距離O1Ol，求，求遙桿遙桿O1B在圖所示位置時的角加速度。在圖所示位置時的角加速度。解：加速度合成定理為解：加速度合成定理為 現(xiàn)在分別分析上式中現(xiàn)在分別分析上式中的各項：的各項：aaa

30、aaTheoretical Mechanics3.4 牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理 返回首頁方向如圖所示。已求得（例3.2中）故有：搖桿擺動，其上與點A重合的點的切向加速度垂直于 ，假設方向如圖所示；法向加速度大小為n2e11aO AaaaaaTheoretical Mechanics3.4 牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理 返回首頁：因相對軌跡為直線，故 沿 ，大小未知。AO1ra：由知已求得于是有方向如圖所示為了求得，應將加速度合成定理向軸投影，即解得aaaaaTheoretical Mechanics3.

31、4 牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理 返回首頁式中，故為負值。負號表示真實方向與圖中假設的方向相反。搖桿的角加速度式中，負號表示與圖示方向相反，的真實轉向應為逆時針轉向。aaaaaTheoretical Mechanics3.4 牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理牽連運動為轉動時，點的加速度合成定理例例 題題 例例 圖中，偏心圓凸輪的偏心距圖中，偏心圓凸輪的偏心距 ，半，半徑徑 ，設凸輪以勻角速度，設凸輪以勻角速度O繞軸繞軸O轉動，試求轉動，試求OC與與CA垂直的瞬時，桿垂直的瞬時，桿AB的的加加速度。速度。 eOC er3 返回首頁Theoretical MechanicsA為動點，動坐標系固結在凸輪上 絕對運動：沿AB方向的直線運動 相對運動：以C為圓心的圓周運動牽連運動：動坐標系以O為定軸轉動 nraraaa方向已知，沿AB Aaaa垂直于垂直于AC方向方向 331622rrOnerva22e2OOneOAa0ea動坐標系為轉動動坐標系為轉動 rC2vaO238OeCanea3.4 牽連運動為