第8節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

1、高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室如氣溫如氣溫變化很小時變化很小時,單擺擺長變化也很小，時間變化單擺擺長變化也很小，時間變化很小時很小時,生物生長的也很少生物生長的也很少.從直觀上不妨從直觀上不妨這樣說這樣說, 連續(xù)函數(shù)的特征就是它的圖形是連連續(xù)函數(shù)的特征就是它的圖形是連續(xù)的續(xù)的,也就是說也就是說,可以一筆畫成可以一筆畫成.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室注：注：u是一個記號，是一個不可分割的整體。是一個記號，是一個不可分割的整體。u可正、可負(fù)、可為零?？烧?、可負(fù)、可為零。自變量有增量自變量有增量 x 函數(shù)的增量函數(shù)的增

2、量 00 , , xxx. )()(00 xfxxfy xx 0 xyxy0 x)(0 xf yfx對函數(shù)來說，1、函數(shù)的增量（改變量）、函數(shù)的增量（改變量） 122121(),u, uuuuutuuu設(shè)變量 從初值 改變到終值，則稱為變量的增量 改變量記做即21uuu)(xfy 一、函數(shù)的連續(xù)性高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室定義定義1連續(xù)的意思是連續(xù)的意思是)(xf也很小。也很小。很小時，很小時， yx 0 0 yx時，時，即：當(dāng)即：當(dāng)2 2、函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的連續(xù)性 000000()lim0lim()()0()xxyf xxyf xxf xf xx

3、 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點點的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，如如果果 或或 則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在點點處處連連續(xù)續(xù)。 函數(shù)的連續(xù)性是一個局部性的概念, 是逐點定義的.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室)()(lim00 xfxfxx . )( 0連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱函函數(shù)數(shù)xxfy 的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) )( 0 xxfy 如果如果定義定義2).()(lim 0lim 000 xfxfyxxxx 因此因此, 0 xxx 若令若令)()(00 xfxfy,0 0 xxx 那么那么高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院

4、數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又),0()(lim0fxfx 由定義由定義2知知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf .)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfb

5、xxf 定理定理.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室 處連續(xù)。處連續(xù)。在在當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)，使，使求常數(shù)

6、求常數(shù) 2 2 2 sin xxxaxxxfa例例解解1sinlim022 xfx 2lim022 axafx根據(jù)連續(xù)的充要條件，有根據(jù)連續(xù)的充要條件，有22 af而而 20202fff.21 , 12 aa即即高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. ( ) ( , ) ( ) ( , ) .f xa bf xa b如果在內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù) ( ) ( , ) ( ) , .f xa babf xa b如果在內(nèi)連續(xù)，且在點右連續(xù)，在點左

7、連續(xù)，則稱在上連續(xù)高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室函數(shù) f (x ) 在點 x0 處連續(xù), 應(yīng)該滿足以下三點：(1) f (x) 在 U(x0) 內(nèi)有定義; (包括在點 x0 處有定義) (極限值等于函數(shù)在點 x0 處的函數(shù)值)0(2) lim( ) ; xxf x存在) )( , ( 0有極限時xfxx 00(3) lim( )() ; xxf xf x二、二、 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室(1) f (x) 在 x0 處無定義.0(2) lim( ) .xxf x不存在1.1.函數(shù)間斷點

8、的定義函數(shù)間斷點的定義滿足下述三個條件中的任何一個, 則稱函數(shù) f (x)若函數(shù) f (x) 在0U()ox內(nèi)有定義, 且在點 x0 處在點 x0 處間斷, 點 x0 稱為函數(shù) f (x) 的一個間斷點：00(3) lim( ) ).()xxf xaf xa(存在但高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室(1) f (x)在 x0 處無定義, 但 f (x) 在0U()ox內(nèi)有定義.(2)中至少有一個不存在.)(lim )(lim00 xfxfxxxx與(3)存在, 但不相等.)(lim )(lim00 xfxfxxxx與(4)但 a f (x0 ).,)(lim

9、)(lim00axfxfxxxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室 ,1lim ,211 , 1lim11fxffxfxx 但但這這里里 , 1的間斷點的間斷點是是xfx 1 ,211 , xxxxfy11oxy21例例,1112處處沒沒有有定定義義在在 xxxy.1是是間間斷斷點點則則 x。121oxy例例高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室 . 0, 0, 0 , 1, 0, 1 xxxxxxf , 11limlim00 xxfxx , 11limlim00 xxfxx .lim0不存在不存在xfx ,0的間斷點的間斷點

10、是是則則xfx 例例。111 xy1 xyxyo 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室2 2、間斷點的分類、間斷點的分類: :第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若稱稱0 x, )()(00 xfxf若若稱稱0 x第二類間斷點第二類間斷點:)(0 xf及及)(0 xf中至少有一個不存在中至少有一個不存在 ,，稱，稱0 x若其中有一個為若其中有一個為 為為可去間斷點可去間斷點 .為為跳躍間斷點跳躍間斷點 .為為無窮間斷點無窮間斷點 .高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室

11、例例5 5.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點為函數(shù)的跳躍間斷點 xoxy高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室討論. 1 11)(2處的連續(xù)性在xxxxf函數(shù)在 x =1 無定義,2) 1(lim11lim 121xxxxx而故 x =1 為函數(shù)的第一類間斷點. x =1 為函數(shù)的間斷點.yxO11P(1,2)y x + 1 進(jìn)一步分析該間斷點的特點.例解高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室補充定

12、義211lim|211xxyxx則函數(shù) f (x) 在 x =1 連續(xù).f (x) =1 112xxx2 x = 1 即定義分析211lim 21xxx由于高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為為函函數(shù)數(shù)的的可可去去間間斷斷點點 x注意注意 可去間斷點只要修改或者補充間斷處函可去間斷點只要修改或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其

13、變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室如例如例6中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy112高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室例例7 7.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間oxy高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室例例8 8.01sin

14、)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間xy1sin 注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室判斷下列間斷點類型判斷下列間斷點類型:o1x2x3xyx xfy 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室1、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性處處連連續(xù)續(xù)

15、。在在時時當(dāng)當(dāng)和和、則則處處連連續(xù)續(xù)在在、若若函函數(shù)數(shù)000)0)()()()()()()(,)()(xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 注：該定理結(jié)論可推廣到有限個連續(xù)函數(shù)的情形注：該定理結(jié)論可推廣到有限個連續(xù)函數(shù)的情形高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室Oxy y = f 1(x) 的圖形只是 y = f (x) 的圖形繞直線 y = x 翻轉(zhuǎn) 180 而成, 故單調(diào)性、連續(xù)性仍保持.從幾何上看:x = f 1(y) 與 y = f (x)的圖形相同,連續(xù)性保持. 從而, 單調(diào)性、)(1yfx)(xfy )(1xfy2、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的連續(xù)性、復(fù)合

16、函數(shù)與反函數(shù)的連續(xù)性高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室, 2,2 sin 上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間 xy, 1 , 1 arccos , 上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù)在在同理同理 xy .,arctan內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間 xy . ,cotarc內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間 xy例例即：單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)連續(xù)的即：單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)連續(xù)的. 內(nèi)內(nèi)都都是是連連續(xù)續(xù)的的反反三三角角函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域綜綜上上：.1 , 1 arcsin上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連

17、續(xù)在對應(yīng)區(qū)間在對應(yīng)區(qū)間 xy定理定理2 2）內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、連連續(xù)續(xù)。（或或在在區(qū)區(qū)間間則則其其反反函函數(shù)數(shù)，內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、連連續(xù)續(xù)，且且在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)()(,)(,)(1 xfybfafbaxfy 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室設(shè)函數(shù) u = (x) 在點 x0 處連續(xù), 且u0 = (x0) ,函數(shù) y = f (u) 在 u0 處連續(xù).若復(fù)合函數(shù) y = f ( (x) 在 U(x0) 內(nèi)則 y = f ( (x) 在 x0 點處連續(xù).有定義,(復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理)高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室i

18、)注注極限符號和連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號可以交換順序。極限符號和連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號可以交換順序。由由 得，要求得，要求 ，可轉(zhuǎn)化，可轉(zhuǎn)化 ufxfuuxx00limlim .lim0ufuu lim 0 xfxx 為求為求ii)000lim ( )lim( ) ().xxxxfxfxfx即在定理的條件下高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研城市學(xué)院數(shù)學(xué)教研室室3、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論結(jié)論1 1： 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，或稱基本初等函，或稱基本初等函數(shù)是數(shù)是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)。 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論結(jié)論2 2： 由于連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商、復(fù)合以及反函數(shù)仍是由于連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商、復(fù)合以及反函數(shù)仍是連