材料力學(xué)B第6章彎曲變形

1、第六章 彎曲變形第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)齒輪軸的變形齒輪軸的變形第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)梁式起重機(jī)的變形梁式起重機(jī)的變形第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)卡車彈簧片的變形可以較大?？ㄜ噺椈善淖冃慰梢暂^大。第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)由于橫向力作用在對(duì)稱由于橫向力作用在對(duì)稱面內(nèi)，因此彎曲變形也面內(nèi)，因此彎曲變形也發(fā)生在此平面內(nèi)。發(fā)生在此平面內(nèi)。任意橫截面都將繞中性軸產(chǎn)生一轉(zhuǎn)角，變形后梁的軸線變?yōu)槠饺我鈾M截面都將繞中性軸產(chǎn)生一轉(zhuǎn)角，變形后梁的軸線變?yōu)槠矫媲€面曲線. 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)平面彎曲情況

2、，梁的軸線平面彎曲情況，梁的軸線變形為平面曲線變形為平面曲線稱作稱作撓曲線撓曲線.撓曲線的曲率與彎矩之撓曲線的曲率與彎矩之間的關(guān)系與純彎曲時(shí)相間的關(guān)系與純彎曲時(shí)相同，即同，即EIM1 撓曲線y第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)變形后橫截面位置的改變形后橫截面位置的改變稱作位移變稱作位移.有三種位移：有三種位移：橫截面形心的垂直位移，記作橫截面形心的垂直位移，記作 w；截面繞中性軸的旋轉(zhuǎn)角，記作截面繞中性軸的旋轉(zhuǎn)角，記作 ；橫截面形心的水平位移，通常很小，可忽略不計(jì)橫截面形心的水平位移，通常很小，可忽略不計(jì). 撓曲線y第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)撓度撓度w : 軸上任一點(diǎn)（橫截面形

3、心）在軸上任一點(diǎn)（橫截面形心）在y方向上的位方向上的位移，記作移，記作 w (有的書上也記作有的書上也記作y, v). 沿沿y正方向?yàn)檎较驗(yàn)檎?，反之為?fù)反之為負(fù).轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 : 變形后橫截面的位置與變形前位置之間的夾變形后橫截面的位置與變形前位置之間的夾角，逆時(shí)針方向?yàn)檎粗疄樨?fù)，也稱作角，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，反之為?fù)，也稱作傾角或傾傾角或傾斜角斜角.因此，軸上任一點(diǎn)的位移可用因此，軸上任一點(diǎn)的位移可用撓度撓度w和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角表示表示. 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)轉(zhuǎn)角也是轉(zhuǎn)角也是x軸和撓曲線軸和撓曲線切線之間的夾角，因切線之間的夾角，因此在此在Oxw坐標(biāo)系中有如坐標(biāo)系中有如下關(guān)系下

4、關(guān)系:tanddxw 撓曲線y第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)tanddxw考慮小變形假設(shè)，實(shí)際考慮小變形假設(shè)，實(shí)際上變形很小以至于撓曲上變形很小以至于撓曲線近乎水平，在此條件線近乎水平，在此條件下下:tanddwx顯然，顯然， 是撓曲線的斜率是撓曲線的斜率. 撓曲線y第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué) 這表明撓曲線在某一點(diǎn)的斜率可用該點(diǎn)橫截面的轉(zhuǎn)這表明撓曲線在某一點(diǎn)的斜率可用該點(diǎn)橫截面的轉(zhuǎn)角角 表示表示.撓曲線方程撓曲線方程: 橫截面的撓度橫截面的撓度w是位置是位置x的函數(shù)的函數(shù). 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程: 在小變形假設(shè)的條件下，轉(zhuǎn)角在小變形假設(shè)的條件下，轉(zhuǎn)角 很小，可很小，可近似為近似

5、為 :w w（x) xwwtan第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)zEIM1223/2211d wdxdwdx對(duì)于橫力彎曲狀態(tài)對(duì)于橫力彎曲狀態(tài) (忽略剪力忽略剪力 FQ ), 曲率方程為曲率方程為: 1ZM xxEI經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得如下公式：經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得如下公式：對(duì)于純彎曲狀態(tài)，曲率方程為：對(duì)于純彎曲狀態(tài)，曲率方程為：第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)223/2211d wdxdwdx22( )zd wM xdxEI 稱為稱為撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程. .這里正負(fù)號(hào)根據(jù)撓度這里正負(fù)號(hào)根據(jù)撓度w的方向而定的方向而定. 211dwdx 221d wxdx 22ZM xd w

6、dxEI 于是：于是：根據(jù)小變形假設(shè)根據(jù)小變形假設(shè), ,因此因此:12dxdw第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)22( )zd wM xdxEI00dd22Mxw,00dd22Mxw,22( )zd wM xdxEI 在我們選定的坐標(biāo)系中，撓曲軸微分方程的最終形式為)(22xMdxwdEI第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)對(duì)方程積分一次可得對(duì)方程積分一次可得 這里這里C和和D 是積分常數(shù)是積分常數(shù). 它們可由梁的邊界條件（位移限制）它們可由梁的邊界條件（位移限制）和連續(xù)性條件確定和連續(xù)性條件確定.撓曲線方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程對(duì)于等截面梁對(duì)于等截面梁, 微分方程可寫為微分方程可寫

7、為:兩次積分可得兩次積分可得)(22xMdxwdEICdxxMEIdxdwEI)(DCxdxdxxMEIw )(第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA0 A 邊界條件邊界條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件ARAL -彈簧變形彈簧變形 在確定了常數(shù)在確定了常數(shù)C和和D之后，可以很容易地得到梁的轉(zhuǎn)角方之后，可以很容易地得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，也就能夠計(jì)算任意橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。程和撓曲線方程，也就能夠計(jì)算任意橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。F第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué) wwmax可從相應(yīng)的設(shè)計(jì)規(guī)范或手冊(cè)中查得。可從相應(yīng)的設(shè)計(jì)規(guī)范或手冊(cè)中查得。

8、 max w許用撓度許用撓度許用轉(zhuǎn)角許用轉(zhuǎn)角 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)例例 6-1 寫出撓度和轉(zhuǎn)角方程，并計(jì)算最大撓度寫出撓度和轉(zhuǎn)角方程，并計(jì)算最大撓度wmax.解解: 1. 建立建立 Oxy 坐標(biāo)系坐標(biāo)系.2. 寫出梁的彎矩方程寫出梁的彎矩方程: 21( )02M xq lxxl x第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)21( )02M xq lxxl 3. 寫出撓曲線微分方程并對(duì)其進(jìn)行積分寫出撓曲線微分方程并對(duì)其進(jìn)行積分.對(duì)方程進(jìn)行兩次積分可得對(duì)方程進(jìn)行兩次積分可得a) 撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為:c) 撓曲線方程撓曲線方程b) 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程222)(2

9、1)(xlqxMdxwdEICxlqEIdxdwEI3)(61DCxxlqEIw4)(241第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)4. 計(jì)算積分常數(shù)計(jì)算積分常數(shù)00 xw，d00dwxx， =固定端的位移限制固定端的位移限制:5. 撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程為撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程為 :CxlqEIdxdwEI3)(61DCxxlqEIw4)(241361qlC4241qlD 4)(24434lxlxlEIqw)(633lxlEIq第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)由撓曲線方程可知，由撓曲線方程可知，wmax 位于梁的自由端位于梁的自由端. 當(dāng) x = l時(shí)，6. 計(jì)算最大撓度計(jì)算最大撓度 wma

10、x.(向下)(順時(shí)針方向)4)(24434lxlxlEIqw)(633lxlEIqEIqlwB84EIqlwwB84maxEIqlB63maxEIqlB63y第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)積分方法計(jì)算梁的位移的主要步驟積分方法計(jì)算梁的位移的主要步驟:1) 選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;2) 寫出彎矩方程寫出彎矩方程 M(x) ;4) 對(duì)方程進(jìn)行積分，根據(jù)梁的邊界條件和連續(xù)性條件確定對(duì)方程進(jìn)行積分，根據(jù)梁的邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù)，寫出撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程積分常數(shù)，寫出撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程;3) 建立撓曲線近似微分方程建立撓曲線近似微分方程:5) 計(jì)算梁的位移的最大值計(jì)算梁的

11、位移的最大值.)(22xMdxwdEI第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)FaaaFEICABxy FxxMax 0例例6-2: 懸臂梁如圖所示，用積分法計(jì)算A點(diǎn)的撓度wA和轉(zhuǎn)角A.解解: 坐標(biāo)系如圖所示, 應(yīng)該指出的是，當(dāng)梁受非連續(xù)性載荷作用時(shí)，梁的彎矩方程應(yīng)該指出的是，當(dāng)梁受非連續(xù)性載荷作用時(shí)，梁的彎矩方程應(yīng)分段給出應(yīng)分段給出. . 對(duì)于AC段有:xx第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)近似微分方程為積分兩次可得 FaFxxMaxa2對(duì)于CB段有FxxMdxwdEI)(12212121CFxdxdwEI113161DxCFxEIwxFaaaFEICABxxy第六章第六章 彎曲變形彎曲變

12、形材料力學(xué) 近似微分方程積分常數(shù)C1、 D1和C2、D2根據(jù)梁的邊界條件和連續(xù)性條件確定.積分兩次可得FaFxxMdxwdEI)(22222221CFaxFxdxdwEI222322161DxCFaxFxEIw第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)位移邊界條件: 當(dāng) x=2a時(shí)022 ww2121wwww；連續(xù)性條件 : 當(dāng)x=a時(shí)于是有xFaaaFEICABxxy02C3232FaD22122121FaFaCFa33311332216161FaFaFaDaCFa第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)因此最后(向下)(逆時(shí)針方向)21FaC 3167FaDEIFaEIFxdxdw22112EI

13、FaEIxFaEIFxw6763231EIFawwxA67301EIFaxA20102C3232FaDEIFaxEIFxdxdw2222EIFaEIFaxEIFxw32263232ax 0AC段:axa2CB段：第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)(2) 各段之間的連續(xù)性條件對(duì)于確定積分常數(shù)是必須的；(3) 需注意梁上各段變量x的范圍。(1) 如果梁被分成兩段，將有4個(gè)積分常數(shù)，積分常數(shù)的數(shù)量是分段數(shù)的兩倍；注意注意第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué) 在一些工程手冊(cè)中，將梁在某些簡(jiǎn)單載荷作用下的變形在一些工程手冊(cè)中，將梁在某些簡(jiǎn)單載荷作用下的變形列表表示，此表稱為列表表示，此表稱為變形表

14、變形表。 疊加法：疊加法：當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，可分別求出每個(gè)當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，可分別求出每個(gè)載荷單獨(dú)引起的變形，把所得變形疊加即為這些載荷共同作載荷單獨(dú)引起的變形，把所得變形疊加即為這些載荷共同作用引起的變形。用引起的變形。i 表示任意單獨(dú)載荷. w=wi =i第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)例例6-3 對(duì)于如下簡(jiǎn)支梁，請(qǐng)計(jì)算撓度對(duì)于如下簡(jiǎn)支梁，請(qǐng)計(jì)算撓度wC 和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角B ， q、l和EI為已知。為已知。第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)321CCCCwwww123BBBB解解: 1. 有三個(gè)載荷作用有三個(gè)載荷作用的梁可以被看作是各載的梁可以被看作是各載荷單獨(dú)作用時(shí)

15、的三個(gè)梁荷單獨(dú)作用時(shí)的三個(gè)梁的疊加。的疊加。因此www第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)2.查變形表可得查變形表可得EIqlB2431EIqlwC384541wwwEIqlwC4842EIqlwC1643EIqlB1632EIqlB333第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)3. 將以上結(jié)果疊加，可以得到將以上結(jié)果疊加，可以得到截面截面C的撓度和截面的撓度和截面B的轉(zhuǎn)角。的轉(zhuǎn)角。EIqlwwCiC384114EIqlBiB48113第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)ABlaBCFABCFABC例例6-4 外伸梁受載荷如圖所示，試用疊加法計(jì)算外伸端外伸梁受載荷如圖所示，試用疊加法計(jì)算外伸

16、端C截面截面的撓度。的撓度。解解: 將梁按支座形式分成兩段，將梁按支座形式分成兩段，研究每一段的變形時(shí)將另一段研究每一段的變形時(shí)將另一段視作剛體。視作剛體。AB段：段：B BC段段視作剛體。視作剛體。w2 BFaEIFalB3EIlFaawB321B BC 段：段： AB段段視作剛體。視作剛體。EIFaw332)(3221alEIFawwwBw1F第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)逐段分析求和法：逐段分析求和法：ABlaBCF 對(duì)于變形表中沒有的形式（如外伸梁等），將其分解成對(duì)于變形表中沒有的形式（如外伸梁等），將其分解成已有的形式（如簡(jiǎn)支梁、懸臂梁）。分段進(jìn)行分析。已有的形式（如簡(jiǎn)支梁、

17、懸臂梁）。分段進(jìn)行分析。 當(dāng)以某一段為研究對(duì)象時(shí)，其余各段均視為剛體。當(dāng)以某一段為研究對(duì)象時(shí)，其余各段均視為剛體。第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)求解靜不定問題的一般內(nèi)容求解靜不定問題的一般內(nèi)容建立并解建立并解平衡方程平衡方程第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)3-3=04-3=1lMA ABFAyFAxq超靜定梁超靜定梁 ABFBMAFAyFAxq第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(xué)已知：梁的已知：梁的EI ,q 和和 l. 請(qǐng)計(jì)算約束反力請(qǐng)計(jì)算約束反力.例例 6-5l ABMAFAyFAxFBwB=wB(q)+wB(FB)=0解：解：1. 1. 外力分析，確定靜不定度外力分析，確定靜不定度. .2. 建立平衡方程建立平衡方程 00 xAxFF00yAyBFFFql2002AABqlMMF lq4-3=1 第六章第六章 彎