材料力學B第6章彎曲變形

1、第六章 彎曲變形第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學齒輪軸的變形齒輪軸的變形第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學梁式起重機的變形梁式起重機的變形第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學卡車彈簧片的變形可以較大?？ㄜ噺椈善淖冃慰梢暂^大。第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學由于橫向力作用在對稱由于橫向力作用在對稱面內(nèi)，因此彎曲變形也面內(nèi)，因此彎曲變形也發(fā)生在此平面內(nèi)。發(fā)生在此平面內(nèi)。任意橫截面都將繞中性軸產(chǎn)生一轉(zhuǎn)角，變形后梁的軸線變?yōu)槠饺我鈾M截面都將繞中性軸產(chǎn)生一轉(zhuǎn)角，變形后梁的軸線變?yōu)槠矫媲€面曲線. 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學平面彎曲情況

2、，梁的軸線平面彎曲情況，梁的軸線變形為平面曲線變形為平面曲線稱作稱作撓曲線撓曲線.撓曲線的曲率與彎矩之撓曲線的曲率與彎矩之間的關系與純彎曲時相間的關系與純彎曲時相同，即同，即EIM1 撓曲線y第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學變形后橫截面位置的改變形后橫截面位置的改變稱作位移變稱作位移.有三種位移：有三種位移：橫截面形心的垂直位移，記作橫截面形心的垂直位移，記作 w；截面繞中性軸的旋轉(zhuǎn)角，記作截面繞中性軸的旋轉(zhuǎn)角，記作 ；橫截面形心的水平位移，通常很小，可忽略不計橫截面形心的水平位移，通常很小，可忽略不計. 撓曲線y第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學撓度撓度w : 軸上任一點（橫截面形

3、心）在軸上任一點（橫截面形心）在y方向上的位方向上的位移，記作移，記作 w (有的書上也記作有的書上也記作y, v). 沿沿y正方向為正，正方向為正，反之為負反之為負.轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 : 變形后橫截面的位置與變形前位置之間的夾變形后橫截面的位置與變形前位置之間的夾角，逆時針方向為正，反之為負，也稱作角，逆時針方向為正，反之為負，也稱作傾角或傾傾角或傾斜角斜角.因此，軸上任一點的位移可用因此，軸上任一點的位移可用撓度撓度w和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角表示表示. 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學轉(zhuǎn)角也是轉(zhuǎn)角也是x軸和撓曲線軸和撓曲線切線之間的夾角，因切線之間的夾角，因此在此在Oxw坐標系中有如坐標系中有如下關系下

4、關系:tanddxw 撓曲線y第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學tanddxw考慮小變形假設，實際考慮小變形假設，實際上變形很小以至于撓曲上變形很小以至于撓曲線近乎水平，在此條件線近乎水平，在此條件下下:tanddwx顯然，顯然， 是撓曲線的斜率是撓曲線的斜率. 撓曲線y第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學 這表明撓曲線在某一點的斜率可用該點橫截面的轉(zhuǎn)這表明撓曲線在某一點的斜率可用該點橫截面的轉(zhuǎn)角角 表示表示.撓曲線方程撓曲線方程: 橫截面的撓度橫截面的撓度w是位置是位置x的函數(shù)的函數(shù). 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程: 在小變形假設的條件下，轉(zhuǎn)角在小變形假設的條件下，轉(zhuǎn)角 很小，可很小，可近似為近似

5、為 :w w（x) xwwtan第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學zEIM1223/2211d wdxdwdx對于橫力彎曲狀態(tài)對于橫力彎曲狀態(tài) (忽略剪力忽略剪力 FQ ), 曲率方程為曲率方程為: 1ZM xxEI經(jīng)數(shù)學推導，可得如下公式：經(jīng)數(shù)學推導，可得如下公式：對于純彎曲狀態(tài)，曲率方程為：對于純彎曲狀態(tài)，曲率方程為：第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學223/2211d wdxdwdx22( )zd wM xdxEI 稱為稱為撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程. .這里正負號根據(jù)撓度這里正負號根據(jù)撓度w的方向而定的方向而定. 211dwdx 221d wxdx 22ZM xd w

6、dxEI 于是：于是：根據(jù)小變形假設根據(jù)小變形假設, ,因此因此:12dxdw第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學22( )zd wM xdxEI00dd22Mxw,00dd22Mxw,22( )zd wM xdxEI 在我們選定的坐標系中，撓曲軸微分方程的最終形式為)(22xMdxwdEI第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學對方程積分一次可得對方程積分一次可得 這里這里C和和D 是積分常數(shù)是積分常數(shù). 它們可由梁的邊界條件（位移限制）它們可由梁的邊界條件（位移限制）和連續(xù)性條件確定和連續(xù)性條件確定.撓曲線方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程對于等截面梁對于等截面梁, 微分方程可寫為微分方程可寫

7、為:兩次積分可得兩次積分可得)(22xMdxwdEICdxxMEIdxdwEI)(DCxdxdxxMEIw )(第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA0 A 邊界條件邊界條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件ARAL -彈簧變形彈簧變形 在確定了常數(shù)在確定了常數(shù)C和和D之后，可以很容易地得到梁的轉(zhuǎn)角方之后，可以很容易地得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，也就能夠計算任意橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。程和撓曲線方程，也就能夠計算任意橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。F第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學 wwmax可從相應的設計規(guī)范或手冊中查得?？蓮南鄳脑O計規(guī)范或手冊中查得。

8、 max w許用撓度許用撓度許用轉(zhuǎn)角許用轉(zhuǎn)角 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學例例 6-1 寫出撓度和轉(zhuǎn)角方程，并計算最大撓度寫出撓度和轉(zhuǎn)角方程，并計算最大撓度wmax.解解: 1. 建立建立 Oxy 坐標系坐標系.2. 寫出梁的彎矩方程寫出梁的彎矩方程: 21( )02M xq lxxl x第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學21( )02M xq lxxl 3. 寫出撓曲線微分方程并對其進行積分寫出撓曲線微分方程并對其進行積分.對方程進行兩次積分可得對方程進行兩次積分可得a) 撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為:c) 撓曲線方程撓曲線方程b) 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程222)(2

9、1)(xlqxMdxwdEICxlqEIdxdwEI3)(61DCxxlqEIw4)(241第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學4. 計算積分常數(shù)計算積分常數(shù)00 xw，d00dwxx， =固定端的位移限制固定端的位移限制:5. 撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程為撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程為 :CxlqEIdxdwEI3)(61DCxxlqEIw4)(241361qlC4241qlD 4)(24434lxlxlEIqw)(633lxlEIq第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學由撓曲線方程可知，由撓曲線方程可知，wmax 位于梁的自由端位于梁的自由端. 當 x = l時，6. 計算最大撓度計算最大撓度 wma

10、x.(向下)(順時針方向)4)(24434lxlxlEIqw)(633lxlEIqEIqlwB84EIqlwwB84maxEIqlB63maxEIqlB63y第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學積分方法計算梁的位移的主要步驟積分方法計算梁的位移的主要步驟:1) 選擇適當?shù)淖鴺讼颠x擇適當?shù)淖鴺讼?2) 寫出彎矩方程寫出彎矩方程 M(x) ;4) 對方程進行積分，根據(jù)梁的邊界條件和連續(xù)性條件確定對方程進行積分，根據(jù)梁的邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù)，寫出撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程積分常數(shù)，寫出撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程;3) 建立撓曲線近似微分方程建立撓曲線近似微分方程:5) 計算梁的位移的最大值計算梁的

11、位移的最大值.)(22xMdxwdEI第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學FaaaFEICABxy FxxMax 0例例6-2: 懸臂梁如圖所示，用積分法計算A點的撓度wA和轉(zhuǎn)角A.解解: 坐標系如圖所示, 應該指出的是，當梁受非連續(xù)性載荷作用時，梁的彎矩方程應該指出的是，當梁受非連續(xù)性載荷作用時，梁的彎矩方程應分段給出應分段給出. . 對于AC段有:xx第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學近似微分方程為積分兩次可得 FaFxxMaxa2對于CB段有FxxMdxwdEI)(12212121CFxdxdwEI113161DxCFxEIwxFaaaFEICABxxy第六章第六章 彎曲變形彎曲變

12、形材料力學 近似微分方程積分常數(shù)C1、 D1和C2、D2根據(jù)梁的邊界條件和連續(xù)性條件確定.積分兩次可得FaFxxMdxwdEI)(22222221CFaxFxdxdwEI222322161DxCFaxFxEIw第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學位移邊界條件: 當 x=2a時022 ww2121wwww；連續(xù)性條件 : 當x=a時于是有xFaaaFEICABxxy02C3232FaD22122121FaFaCFa33311332216161FaFaFaDaCFa第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學因此最后(向下)(逆時針方向)21FaC 3167FaDEIFaEIFxdxdw22112EI

13、FaEIxFaEIFxw6763231EIFawwxA67301EIFaxA20102C3232FaDEIFaxEIFxdxdw2222EIFaEIFaxEIFxw32263232ax 0AC段:axa2CB段：第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學(2) 各段之間的連續(xù)性條件對于確定積分常數(shù)是必須的；(3) 需注意梁上各段變量x的范圍。(1) 如果梁被分成兩段，將有4個積分常數(shù)，積分常數(shù)的數(shù)量是分段數(shù)的兩倍；注意注意第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學 在一些工程手冊中，將梁在某些簡單載荷作用下的變形在一些工程手冊中，將梁在某些簡單載荷作用下的變形列表表示，此表稱為列表表示，此表稱為變形表

14、變形表。 疊加法：疊加法：當梁上同時作用幾個載荷時，可分別求出每個當梁上同時作用幾個載荷時，可分別求出每個載荷單獨引起的變形，把所得變形疊加即為這些載荷共同作載荷單獨引起的變形，把所得變形疊加即為這些載荷共同作用引起的變形。用引起的變形。i 表示任意單獨載荷. w=wi =i第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學例例6-3 對于如下簡支梁，請計算撓度對于如下簡支梁，請計算撓度wC 和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角B ， q、l和EI為已知。為已知。第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學321CCCCwwww123BBBB解解: 1. 有三個載荷作用有三個載荷作用的梁可以被看作是各載的梁可以被看作是各載荷單獨作用時

15、的三個梁荷單獨作用時的三個梁的疊加。的疊加。因此www第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學2.查變形表可得查變形表可得EIqlB2431EIqlwC384541wwwEIqlwC4842EIqlwC1643EIqlB1632EIqlB333第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學3. 將以上結(jié)果疊加，可以得到將以上結(jié)果疊加，可以得到截面截面C的撓度和截面的撓度和截面B的轉(zhuǎn)角。的轉(zhuǎn)角。EIqlwwCiC384114EIqlBiB48113第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學ABlaBCFABCFABC例例6-4 外伸梁受載荷如圖所示，試用疊加法計算外伸端外伸梁受載荷如圖所示，試用疊加法計算外伸

16、端C截面截面的撓度。的撓度。解解: 將梁按支座形式分成兩段，將梁按支座形式分成兩段，研究每一段的變形時將另一段研究每一段的變形時將另一段視作剛體。視作剛體。AB段：段：B BC段段視作剛體。視作剛體。w2 BFaEIFalB3EIlFaawB321B BC 段：段： AB段段視作剛體。視作剛體。EIFaw332)(3221alEIFawwwBw1F第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學逐段分析求和法：逐段分析求和法：ABlaBCF 對于變形表中沒有的形式（如外伸梁等），將其分解成對于變形表中沒有的形式（如外伸梁等），將其分解成已有的形式（如簡支梁、懸臂梁）。分段進行分析。已有的形式（如簡支梁、

17、懸臂梁）。分段進行分析。 當以某一段為研究對象時，其余各段均視為剛體。當以某一段為研究對象時，其余各段均視為剛體。第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學求解靜不定問題的一般內(nèi)容求解靜不定問題的一般內(nèi)容建立并解建立并解平衡方程平衡方程第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學3-3=04-3=1lMA ABFAyFAxq超靜定梁超靜定梁 ABFBMAFAyFAxq第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學已知：梁的已知：梁的EI ,q 和和 l. 請計算約束反力請計算約束反力.例例 6-5l ABMAFAyFAxFBwB=wB(q)+wB(FB)=0解：解：1. 1. 外力分析，確定靜不定度外力分析，確定靜不定度. .2. 建立平衡方程建立平衡方程 00 xAxFF00yAyBFFFql2002AABqlMMF lq4-3=1 第六章第六章 彎