橢圓的定義與性質(zhì)

1、第五節(jié)橢圓【知識(shí)梳理】【知識(shí)梳理】1.1.必會(huì)知識(shí)必會(huì)知識(shí) 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)橢圓的定義橢圓的定義: :條件條件結(jié)論結(jié)論1 1結(jié)論結(jié)論2 2平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M M與平面內(nèi)與平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)的兩個(gè)定點(diǎn)F F1 1,F,F2 2M M點(diǎn)的軌跡點(diǎn)的軌跡為橢圓為橢圓_為橢圓的焦點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)_為橢圓的焦距為橢圓的焦距|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a|=2a2a|F2a|F1 1F F2 2| |F F1 1,F,F2 2|F|F1 1F F2 2| |(2)(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì): :圖形圖形標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程_(ab0)

2、_(ab0)_(ab0)_(ab0)性性質(zhì)質(zhì)范圍范圍_x_x_y_y_x_x_y_y_對(duì)稱性對(duì)稱性對(duì)稱軸對(duì)稱軸:_:_對(duì)稱中心對(duì)稱中心:_:_2222xy1ab2222yx1ab-b-bb b-a-aa a坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸原點(diǎn)原點(diǎn)-a-aa a-b-bb b性性質(zhì)質(zhì)頂點(diǎn)頂點(diǎn)A A1 1_,A_,A2 2_B B1 1_,B_,B2 2_A A1 1_,A_,A2 2_B B1 1_,B_,B2 2_軸軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)軸A A1 1A A2 2的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為2a2a短軸短軸B B1 1B B2 2的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為2b2b焦距焦距|F|F1 1F F2 2|=2c|=2c離心率離心率e= _e= _a,b,ca,b

3、,c的關(guān)系的關(guān)系a a2 2=_=_(-a,0)(-a,0)(a,0)(a,0)(0,-b)(0,-b)(0,b)(0,b)(0,-a)(0,-a)(0,a)(0,a)(-b,0)(-b,0)(b,0)(b,0)(0,1)(0,1)b b2 2+c+c2 2ca2.2.必備結(jié)論必備結(jié)論 教材提煉記一記教材提煉記一記(1)(1)設(shè)橢圓設(shè)橢圓 =1(ab0)=1(ab0)上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)P(x,y),P(x,y),則當(dāng)則當(dāng)x=0 x=0時(shí)時(shí),|OP|,|OP|有有最小值最小值b,b,這時(shí)這時(shí),P,P在短軸端點(diǎn)處在短軸端點(diǎn)處; ;當(dāng)當(dāng)x=x=a a時(shí)時(shí),|OP|,|OP|有最大值有最大值a,a,

4、這時(shí)這時(shí),P,P在在長(zhǎng)軸端點(diǎn)處長(zhǎng)軸端點(diǎn)處. .(2)(2)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形, ,其中其中a a是斜邊長(zhǎng)是斜邊長(zhǎng),a,a2 2=b=b2 2+c+c2 2. .(3)(3)已知過(guò)焦點(diǎn)已知過(guò)焦點(diǎn)F F1 1的弦的弦AB,AB,則則ABFABF2 2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為4a.4a.(4)(4)若若P P為橢圓上任一點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn),F,F為其焦點(diǎn)為其焦點(diǎn), ,則則a-c|PF|a+c.a-c|PF|a+c.2222xyab3.3.必用技法必用技法 核心總結(jié)看一看核心總結(jié)看一看(1)(1)常用方法常用方法: :待定系數(shù)法求

5、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程, ,定義法解決焦點(diǎn)三角形定義法解決焦點(diǎn)三角形相關(guān)問(wèn)題相關(guān)問(wèn)題, ,點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題. .(2)(2)數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想: :數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想. .【小題快練】【小題快練】1.1.思考辨析思考辨析 靜心思考判一判靜心思考判一判(1)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F F1 1,F,F2 2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓. .( () )(2)(2)橢圓上一點(diǎn)橢圓上一點(diǎn)P P與兩焦點(diǎn)與兩焦點(diǎn)F F1 1,F,F2 2構(gòu)成構(gòu)成PFPF1 1F

6、 F2 2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為2a+2c(2a+2c(其中其中a a為為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng),c,c為橢圓的半焦距為橢圓的半焦距).).( () )(3)(3)橢圓的離心率橢圓的離心率e e越大越大, ,橢圓就越圓橢圓就越圓. .( () )(4)(4)橢圓既是軸對(duì)稱圖形橢圓既是軸對(duì)稱圖形, ,又是中心對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形. .( () )【解析】【解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .由橢圓的定義知由橢圓的定義知, ,當(dāng)該常數(shù)大于當(dāng)該常數(shù)大于|F|F1 1F F2 2| |時(shí)時(shí), ,其軌跡才其軌跡才是橢圓是橢圓, ,而常數(shù)等于而常數(shù)等于|F|F1 1F F2 2| |時(shí)時(shí), ,其軌跡為線段

7、其軌跡為線段F F1 1F F2 2, ,常數(shù)小于常數(shù)小于|F|F1 1F F2 2| |時(shí)時(shí), ,不不存在圖形存在圖形. .(2)(2)正確正確. .由橢圓的定義得由橢圓的定義得,|PF,|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a,又又|F|F1 1F F2 2|=2c,|=2c,所以所以|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|+|F|+|F1 1F F2 2|=2a+2c.|=2a+2c.(3)(3)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以e e越大越大, ,則則 越小，橢圓越小，橢圓就越扁就越扁. .(4)(4)正確正確. .由橢圓的對(duì)稱性知由橢圓的對(duì)稱性知, ,其關(guān)于原點(diǎn)中

8、心對(duì)稱其關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱, ,也關(guān)于兩坐標(biāo)軸也關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱對(duì)稱. .答案：答案：(1)(1) (2) (3) (2) (3) (4) (4)222cabbe1 ( ) ,aaaba2.2.教材改編教材改編 鏈接教材鏈接教材 練一練練一練(1)(1)(選修選修1-1P291-1P29練習(xí)練習(xí)2T32T3改編改編) )過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(0, )P(0, )與橢圓與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為_(kāi)._.【解析】【解析】依題意知橢圓焦點(diǎn)為依題意知橢圓焦點(diǎn)為( (4,0),4,0),所以所以所以所以a=6,a=6,所以所以b b2 2=36-16=20,=36-16=20,所求橢圓方程為

9、所求橢圓方程為答案：答案：2 522xy125922222a4(2 5)( 4)(2 5)12,22xy1.362022xy13620(2)(2)(選修選修1-1P331-1P33習(xí)題習(xí)題2-1A2-1A組組T6T6改編改編) )方程方程x x2 2+4y+4y2 2=4=4表示的橢圓的長(zhǎng)表示的橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、離心率分別是軸、短軸、離心率分別是_._.【解析】【解析】化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式則則a a2 2=4,a=2,b=1,c= ,=4,a=2,b=1,c= ,所以長(zhǎng)軸所以長(zhǎng)軸=4,=4,短軸短軸=2,=2,離心率離心率e= .e= .答案：答案：4,2, 4,2, 22xy1,

10、4332323.3.真題小試真題小試 感悟考題感悟考題 試一試試一試(1)(2014(1)(2014大綱版全國(guó)卷大綱版全國(guó)卷) )已知橢圓已知橢圓C C： (a(ab b0)0)的左、右的左、右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)為F F1 1,F,F2 2，離心率為，離心率為 過(guò)過(guò)F F2 2的直線的直線l交交C C于于A,BA,B兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)，若AFAF1 1B B的的周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 則則C C的方程為的方程為( )( )2222xy1ab33，4 3，22222222xyxA.1B.y1323xyxyC.1D.1128124 【解析】【解析】選選A.A.由橢圓的定義可知，由橢圓的定義可知，|AF|AF1 1|+|A

11、F|+|AF2 2|=2a|=2a，|BF|BF1 1|+|BF|+|BF2 2|=2a,|=2a,又因?yàn)橛忠驗(yàn)閨AF|AF1 1|+|AF|+|AF2 2|+|BF|+|BF1 1|+|BF|+|BF2 2|=|=即即4a= 4a= 解得解得又又 則則c=1c=1，b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=2=2，所以橢圓的方程為所以橢圓的方程為4 3,4 3，a3.c3a3，22xy1.32(2)(2015(2)(2015西安模擬西安模擬) )如果方程如果方程x x2 2+ky+ky2 2=2=2表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y y軸上的橢圓，軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)那么實(shí)數(shù)k k的取值范圍是的取值范圍

12、是. .【解析】【解析】將橢圓方程化為將橢圓方程化為 =1=1，因?yàn)榻裹c(diǎn)在因?yàn)榻裹c(diǎn)在y y軸上，所以軸上，所以 22，即，即k1k0k0，所以，所以0k1.0kb0)C: (ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)的兩個(gè)焦點(diǎn),P,P為橢圓為橢圓C C上的上的一點(diǎn)一點(diǎn), ,且且 若若PFPF1 1F F2 2的面積為的面積為9,9,則則b=b=. .22xy125162222xy1ab12PFPF . 【解題提示】【解題提示】(1)(1)由橢圓的定義可知由橢圓的定義可知, ,ABFABF2 2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為4a=20,4a=20,然后利用然后利用面積相等即面積相等即 (a+b+c)r= |F(a+b+c)r= |F

13、1 1F F2 2|y|y1 1-y-y2 2|,(|,(其中其中r r為內(nèi)切圓半徑為內(nèi)切圓半徑) )解決解決. .(2)(2)注意到點(diǎn)注意到點(diǎn)P P為橢圓上的一點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn), ,則有則有|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a,再利用再利用 求出求出|PF|PF1 1|PF|PF2 2|,|,進(jìn)而可求得進(jìn)而可求得b b值值. .121212PFPF 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)ABFABF2 2的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為,所以所以ABFABF2 2的內(nèi)切圓的半的內(nèi)切圓的半徑為徑為 , ,又又ABFABF2 2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為4a=20,4a=20,所以所以

14、ABFABF2 2的面積為的面積為 20=5,20=5,另另一方面一方面ABFABF2 2的面積為的面積為 |F|F1 1F F2 2|y|y1 1-y-y2 2|,|,則則|y|y1 1-y-y2 2|= |= 答案答案: : 121212122 55.2 3353(2)(2)由題意知由題意知|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a, |=2a, 所以所以|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2=|F=|F1 1F F2 2| |2 2=4c=4c2 2, ,所以所以(|PF(|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|)|)2 2-2|PF-2|PF1 1|

15、PF|PF2 2|=4c|=4c2 2, ,所以所以2|PF2|PF1 1|PF|PF2 2|=4a|=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2. .所以所以|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=2b|=2b2 2, ,所以所以 = |PF= |PF1 1|PF|PF2 2|= |= 2b2b2 2=b=b2 2=9.=9.所以所以b=3.b=3.答案答案: :3 312PFPF , 1 2PFFS1212【互動(dòng)探究】【互動(dòng)探究】將本例將本例(2)(2)中條件中條件“ ”“ ”“PFPF1 1F F2 2的面積為的面積為9”9”分別改為分別改為“FF1 1PFPF2 2=60=60”“

16、 ”,”“ ”,則結(jié)果如何則結(jié)果如何? ?12PFPF 1 2PFFS3 3【解析】【解析】由題意得由題意得|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a,又又FF1 1PFPF2 2=60=60, ,所以所以|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|cos60|cos60=|F=|F1 1F F2 2| |2 2, ,所以所以(|PF(|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|)|)2 2-3|PF-3|PF1 1|PF|PF2 2|=4c|=4c2 2, ,所以所以3|PF3|PF1 1|PF|PF2 2|=

17、4a|=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2, ,所以所以|PF|PF1 1|PF|PF2 2|= b|= b2 2, ,所以所以 所以所以b=3.b=3.431 222PFF1211433SPF PF sin 60bb3 3,22323【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】1.1.橢圓定義的應(yīng)用范圍橢圓定義的應(yīng)用范圍(1)(1)確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓. .(2)(2)解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問(wèn)題解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問(wèn)題. .2.2.焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用橢圓上一點(diǎn)橢圓上一點(diǎn)P P與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角

18、形通常稱為“焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形”, ,利用定義可求其周長(zhǎng)利用定義可求其周長(zhǎng); ;利用定義和余弦定理可求利用定義和余弦定理可求|PF|PF1 1|PF|PF2 2|;|;通過(guò)整體通過(guò)整體代入可求其面積等代入可求其面積等. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(2015(2015南昌模擬南昌模擬) )已知已知P P是橢圓是橢圓 =1=1上一點(diǎn)上一點(diǎn), ,F F1 1,F,F2 2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn), ,若若FF1 1PFPF2 2=60=60, ,則則PFPF1 1F F2 2的面積的面積為為_(kāi)._.22xy10036【解析】【解析】根據(jù)橢圓的定義根據(jù)橢圓的定義, ,得得|PF|

19、PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=20,|=20,在在PFPF1 1F F2 2中中, ,由余弦定理由余弦定理, ,得得|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|cos60|cos60=256.=256.2 2- -得得|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=48,|=48,所以所以答案答案: :12 12 1 2PFF121S|PF | |PF |sin 6012 3.2 3【加固訓(xùn)練】【加固訓(xùn)練】1.1.已知橢圓已知橢圓 +y+y2 2=1,F=1,F1 1,F,F2 2為其兩焦點(diǎn)為其兩焦點(diǎn),P,P為橢圓上任一為橢圓

20、上任一點(diǎn)點(diǎn), ,則則|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |的最大值為的最大值為( () )A.6 B.4 C.2 D.8A.6 B.4 C.2 D.8【解析】【解析】選選B.B.設(shè)設(shè)|PF|PF1 1|=m,|PF|=m,|PF2 2|=n,|=n,則則m+n=2a=4,|PFm+n=2a=4,|PF1 1|PF|PF2 2|=mn|=mn =4( =4(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2m=n=2時(shí)時(shí), ,等號(hào)成立等號(hào)成立).).2x42mn()22.2.橢圓橢圓 +y+y2 2=1=1的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右焦點(diǎn)分別為F F1 1,F,F2 2, ,過(guò)過(guò)F F1 1作垂直于作垂直于x x軸的

21、直線軸的直線與橢圓相交與橢圓相交, ,一個(gè)交點(diǎn)為一個(gè)交點(diǎn)為P,P,則則|PF|PF2 2|=(|=() )2x473A. B. C. 3 D.422【解析】【解析】選選A.aA.a2 2=4=4，b b2 2=1=1，所以，所以a=2a=2，b=1b=1， 不妨設(shè)不妨設(shè)P P在在x x軸上軸上方，則方，則F F1 1(- (- ，0)0)，設(shè)，設(shè)P(- P(- ，m)(mm)(m0)0)，則，則解得解得m= m= ，所以，所以|PF|PF1 1|= |= ，根據(jù)橢圓定義：，根據(jù)橢圓定義：|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a|=2a，所以，所以|PF|PF2 2|=2a-|PF|

22、=2a-|PF1 1|=|=c3，3322(3)m14 ，1212172 2.22考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)【典例【典例2 2】(1)(1)已知點(diǎn)已知點(diǎn)P P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上, ,點(diǎn)點(diǎn)P P到兩焦點(diǎn)的到兩焦點(diǎn)的距離分別為距離分別為 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P作長(zhǎng)軸的垂線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦作長(zhǎng)軸的垂線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)點(diǎn), ,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. .4 52 533和，(2)(2014(2)(2014安徽高考安徽高考) )設(shè)設(shè)F F1 1,F,F2 2分別是橢圓分別是橢圓E: (ab0)E: (ab0)的的左、

23、右焦點(diǎn)左、右焦點(diǎn), ,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)F F1 1的直線交橢圓的直線交橢圓E E于于A,BA,B兩點(diǎn)兩點(diǎn),|AF,|AF1 1|=3|F|=3|F1 1B|.B|.若若|AB|=4,|AB|=4,ABFABF2 2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為16,16,求求|AF|AF2 2|.|.若若cosAFcosAF2 2B= ,B= ,求橢圓求橢圓E E的離心率的離心率. .2222xy1ab35【解題提示】【解題提示】(1)(1)考慮設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程考慮設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, ,然后求參數(shù)然后求參數(shù), ,注意由已知注意由已知條件不能確定焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸條件不能確定焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸, ,因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式因此橢圓的

24、標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式. .(2)(2)根據(jù)橢圓的定義及三角形的周長(zhǎng)求解根據(jù)橢圓的定義及三角形的周長(zhǎng)求解; ;由已知條件及橢圓定義由已知條件及橢圓定義結(jié)合余弦定理、離心率的定義求解結(jié)合余弦定理、離心率的定義求解. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (ab0)(ab0)或或 (ab0)(ab0)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F F1 1，F(xiàn) F2 2，則由題意，知，則由題意，知2a=|PF2a=|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2 ,|=2 ,所以所以a= .a= .2222xy1ab2222yx1ab55答案：答案：222222222222222

25、2xyb1xc,y.abayxb1yc,x.abab2 510b,a33x3yy3x11.510510 在方程中，令得在方程中，令得依題意知，所以即橢圓的方程為或2222x3yy3x11510510或【一題多解】【一題多解】解答本例解答本例(1)(1)還有如下方法還有如下方法: :設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F F1 1,F,F2 2, ,不妨令不妨令|PF|PF1 1|= ,|PF|= ,|PF2 2|= .|= .由橢圓的定義由橢圓的定義, ,知知2a=|PF2a=|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2 ,|=2 ,即即a= .a= .由由|PF|PF1 1|PF|P

26、F2 2| |知知,PF,PF2 2垂直于長(zhǎng)軸垂直于長(zhǎng)軸. .故在故在RtRtPFPF2 2F F1 1中中,4c,4c2 2=|PF=|PF1 1| |2 2-|PF-|PF2 2| |2 2= =4 532 535560,9所以所以c c2 2= ,= ,于是于是b b2 2=a=a2 2-c-c2 2= .= .又所求橢圓的焦點(diǎn)可以在又所求橢圓的焦點(diǎn)可以在x x軸上軸上, ,也可以在也可以在y y軸上軸上, ,故所求橢圓的方程故所求橢圓的方程為為答案答案: :531032222x3y3xy11.510105或2222x3y3xy11510105或(2)(2)由由|AF|AF1 1|=3|

27、BF|=3|BF1 1|,|AB|=4,|,|AB|=4,得得|AF|AF1 1|=3,|BF|=3,|BF1 1|=1,|=1,因?yàn)橐驗(yàn)锳BFABF2 2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為16,16,所以由橢圓定義可得所以由橢圓定義可得4a=16,4a=16,|AF|AF1 1|+|AF|+|AF2 2|=2a=8,|=2a=8,故故|AF|AF2 2|=2a-|AF|=2a-|AF1 1|=8-3=5.|=8-3=5.設(shè)設(shè)|BF|BF1 1|=k,|=k,則則k0,k0,且且|AF|AF1 1|=3k,|AB|=4k,|=3k,|AB|=4k,由橢圓定義可得由橢圓定義可得|AF|AF2 2|=2a-3k,|

28、BF|=2a-3k,|BF2 2|=2a-k,|=2a-k,在在ABFABF2 2中中, ,由余弦定理可得由余弦定理可得|AB|AB|2 2=|AF=|AF2 2| |2 2+|BF+|BF2 2| |2 2-2|AF-2|AF2 2|BF|BF2 2|cosAF|cosAF2 2B,B,即即(4k)(4k)2 2=(2a-3k)=(2a-3k)2 2+(2a-k)+(2a-k)2 2- (2a-3k)(2a-k),- (2a-3k)(2a-k),化簡(jiǎn)可得化簡(jiǎn)可得(a+k)(a-3k)=0,(a+k)(a-3k)=0,而而a+k0,a+k0,故故a=3k,a=3k,于是有于是有|AF|AF2

29、2|=3k=|AF|=3k=|AF1 1|,|BF|,|BF2 2|=5k,|=5k,因此因此|BF|BF2 2| |2 2=|AF=|AF2 2| |2 2+|AB|+|AB|2 2F F1 1AFAF2 2A,A,故故AFAF1 1F F2 2為等腰直角三角形為等腰直角三角形, ,從而從而 652c2cae.2a2【易錯(cuò)警示】【易錯(cuò)警示】本例本例(1)(1)中易得出中易得出 的錯(cuò)誤結(jié)論的錯(cuò)誤結(jié)論. .其原因是沒(méi)有注意到題目中沒(méi)有指明橢圓焦點(diǎn)的位置其原因是沒(méi)有注意到題目中沒(méi)有指明橢圓焦點(diǎn)的位置, ,誤認(rèn)為焦點(diǎn)在誤認(rèn)為焦點(diǎn)在x x軸上軸上, ,在解決與橢圓方程有關(guān)問(wèn)題時(shí)在解決與橢圓方程有關(guān)問(wèn)題

30、時(shí), ,如果題目中沒(méi)有明確焦點(diǎn)位置如果題目中沒(méi)有明確焦點(diǎn)位置, ,要注意分析題意或分類討論要注意分析題意或分類討論. .22x3y1510【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】1.1.用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的四個(gè)步驟用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的四個(gè)步驟(1)(1)作判斷作判斷: :根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x x軸上軸上, ,還是在還是在y y軸上軸上, ,還是兩個(gè)還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能坐標(biāo)軸都有可能. .(2)(2)設(shè)方程設(shè)方程: :根據(jù)上述判斷設(shè)出方程根據(jù)上述判斷設(shè)出方程. .(3)(3)找關(guān)系找關(guān)系: :根據(jù)已知條件根據(jù)已知條件, ,建立關(guān)于建立關(guān)于a,b,ca,b,c的方程

31、組的方程組. .(4)(4)得方程得方程: :解方程組解方程組, ,將解代入所設(shè)方程將解代入所設(shè)方程, ,即為所求即為所求. .2.2.求橢圓離心率的方法求橢圓離心率的方法(1)(1)直接求出直接求出a,ca,c的值的值, ,利用離心率公式直接求解利用離心率公式直接求解. .(2)(2)列出含有列出含有a,b,ca,b,c的齊次方程的齊次方程( (或不等式或不等式),),借助于借助于b b2 2=a=a2 2-c-c2 2消去消去b,b,轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為含有為含有e e的方程的方程( (或不等式或不等式) )求解求解. .提醒提醒: :當(dāng)橢圓焦點(diǎn)位置不明確時(shí)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)位置不明確時(shí), ,可設(shè)為可設(shè)為

32、(m0,n0,mn),(m0,n0,mn),也也可設(shè)為可設(shè)為AxAx2 2+By+By2 2=1(A0,B0,=1(A0,B0,且且AB).AB).22xy1mn【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】如圖如圖, ,橢圓橢圓C: (ab0)C: (ab0)的左焦點(diǎn)為的左焦點(diǎn)為F F1 1, ,上頂點(diǎn)上頂點(diǎn)為為B B2 2, ,右頂點(diǎn)為右頂點(diǎn)為A A2 2, ,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A A2 2作作x x軸的垂線交直線軸的垂線交直線F F1 1B B2 2于點(diǎn)于點(diǎn)P,P,若若|PA|PA2 2|=3b,|=3b,則則橢圓橢圓C C的離心率為的離心率為. .2222xy1ab【解析】【解析】由題意知由題意知答案答案: :212

33、12B OFOPAFA，12bc11,e.3bac32所以所以【加固訓(xùn)練】【加固訓(xùn)練】已知橢圓已知橢圓 (ab0)(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右焦點(diǎn)分別為F F1 1(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0),(c,0),若橢圓上存在點(diǎn)若橢圓上存在點(diǎn)P P使使 則則該橢圓的離心率的取值范圍為該橢圓的離心率的取值范圍為. .2222xy1ab1 22 1acsin PFFsin PF F，【解析】【解析】依題意及正弦定理依題意及正弦定理, ,得得 ( (注意到注意到P P不與不與F F1 1F F2 2共線共線),),答案：答案：( -1,1)( -1,1)21|PF |a|PF |

34、c22222PFa,2aPFc2ac2ac2a1,1,PFaPFaac2e1,e12.0e121e1.1e 即所以所以即所以又，因此2考點(diǎn)考點(diǎn)3 3 直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系知知考情考情直線與橢圓的綜合問(wèn)題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題直線與橢圓的綜合問(wèn)題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題, ,主要以解答主要以解答題的形式出現(xiàn)題的形式出現(xiàn), ,考查橢圓的定義、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系考查橢圓的定義、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系, ,考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. .明明角度角度命題角度命題角度1:1:由直線與橢圓的位置關(guān)系研究橢圓的性質(zhì)由直線與橢圓的

35、位置關(guān)系研究橢圓的性質(zhì)【典例【典例3 3】(2014(2014新課標(biāo)全國(guó)卷新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)設(shè)F F1 1,F,F2 2分別是橢圓分別是橢圓C: C: (ab0(ab0）的左）的左, ,右焦點(diǎn)右焦點(diǎn),M,M是是C C上一點(diǎn)且上一點(diǎn)且MFMF2 2與與x x軸垂直軸垂直, ,直線直線MFMF1 1與與C C的另的另一個(gè)交點(diǎn)為一個(gè)交點(diǎn)為N.N.(1)(1)若直線若直線MNMN的斜率為的斜率為 , ,求求C C的離心率的離心率. .(2)(2)若直線若直線MNMN在在y y軸上的截距為軸上的截距為2,2,且且|MN|=5|F|MN|=5|F1 1N|,N|,求求a,b.a,b.2222xy1ab34【

36、解題提示】【解題提示】(1)(1)將將M,FM,F1 1的坐標(biāo)都用橢圓的基本量的坐標(biāo)都用橢圓的基本量a,b,ca,b,c表示表示, ,由斜率由斜率條件可得到條件可得到a,b,ca,b,c的關(guān)系式的關(guān)系式, ,然后由然后由b b2 2=a=a2 2-c-c2 2消去消去b b2 2, ,再再“兩邊同除以兩邊同除以a a2 2”,”,即得到離心率即得到離心率e e的二次方程的二次方程, ,由此解出離心率由此解出離心率. .(2)(2)利用利用“MFMF2 2yy軸軸”及及“截距為截距為2”,2”,可得可得y yM M= =4,= =4,然后利用然后利用|MN|=5|F|MN|=5|F1 1N|N|

37、及焦半徑公式即可求出及焦半徑公式即可求出a,ba,b的值的值. .2ba【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)因?yàn)橛深}知，因?yàn)橛深}知，又又a a2 2=b=b2 2+c+c2 2. .聯(lián)立整理得：聯(lián)立整理得：2e2e2 2+3e-2=0+3e-2=0，解得解得e= .e= .所以所以C C的離心率為的離心率為 . .221 2|MF |3b13,|FF |4a 2c4，所以1212(2)(2)由三角形中位線知識(shí)可知，由三角形中位線知識(shí)可知，|MF|MF2 2|=2|=22 2，即，即 =4.=4.設(shè)設(shè)|F|F1 1N|=m,N|=m,由題可知由題可知|MF|MF1 1|=4m.|=4m.由兩直角

38、三角形相似，可得由兩直角三角形相似，可得M,NM,N兩點(diǎn)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為橫坐標(biāo)分別為c,- c.c,- c.由焦半徑公式可得由焦半徑公式可得: :|MF|MF1 1|=a+ec,|NF|=a+ec,|NF1 1|=a+e(- c)|=a+e(- c)，且，且|MF|MF1 1|NF|NF1 1|=41,|=41,2ba32322222cbe,abc ,4.a7,b2 7.aa聯(lián)立解得命題角度命題角度2:2:由直線與橢圓的位置關(guān)系研究直線的性質(zhì)由直線與橢圓的位置關(guān)系研究直線的性質(zhì)【典例【典例4 4】(2014(2014天津高考天津高考) )設(shè)橢圓設(shè)橢圓 =1(ab0)=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)的

39、左、右焦點(diǎn)為為F F1 1,F,F2 2, ,右頂點(diǎn)為右頂點(diǎn)為A,A,上頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為B.B.已知已知|AB|= |F|AB|= |F1 1F F2 2|.|.(1)(1)求橢圓的離心率求橢圓的離心率. .(2)(2)設(shè)設(shè)P P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn), ,以線段以線段PBPB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F F1 1, ,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O O的直線的直線l與該圓相切與該圓相切, ,求直線求直線l的斜率的斜率. .2222xyab32【解題提示】【解題提示】(1)(1)根據(jù)根據(jù)|AB|= |F|AB|= |F1 1F F2 2| |及及a a2 2=b=b2 2+c

40、+c2 2求離心率求離心率. .(2)(2)以以PBPB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F F1 1等價(jià)于等價(jià)于【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F F2 2的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(c,0).(c,0).由由|AB|= |F|AB|= |F1 1F F2 2| |，可得，可得a a2 2+b+b2 2=3c=3c2 2，又又b b2 2=a=a2 2c c2 2，則，則所以，橢圓的離心率所以，橢圓的離心率3211PFBF. 3222c1.a22e.2(2)(2)由由(1)(1)知知a a2 2=2c=2c2 2，b b2 2=c=c2 2. .故橢圓方程為故橢圓方程為設(shè)

41、設(shè)P(xP(x0 0,y,y0 0).).由由F F1 1( (c,0)c,0)，B(0,c)B(0,c)，有，有 =(x=(x0 0+c,y+c,y0 0) )， =(c,c).=(c,c).由已知，有由已知，有即即(x(x0 0+c)c+y+c)c+y0 0c=0.c=0.又又c0c0，故有，故有x x0 0+y+y0 0+c=0.+c=0. 又因?yàn)辄c(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)P P在橢圓上，故在橢圓上，故 2222xy1.2cc1FP 1FB 11FP FB0 ，220022xy1.2cc由由和和可得可得3x3x0 02 2+4cx+4cx0 0=0.=0.而點(diǎn)而點(diǎn)P P不是橢圓的頂點(diǎn)，故不是橢圓的頂點(diǎn)，

42、故代入代入得得y y0 0= = 即點(diǎn)即點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為設(shè)圓的圓心為設(shè)圓的圓心為T(mén)(xT(x1 1,y,y1 1) )，則，則進(jìn)而圓的半徑進(jìn)而圓的半徑設(shè)直線設(shè)直線l的斜率為的斜率為k k，依題意，直線，依題意，直線l的方程為的方程為y=kx.y=kx.04cx3 ，c3，4c c, ).3 3(114cc0c2233xcyc2323，22115r(x0)(yc)c.3由由l與圓相切，可得與圓相切，可得即即整理得整理得k k2 28k+1=08k+1=0，解得，解得k=4k=4 . .所以，直線所以，直線l的斜率為的斜率為4+ 4+ 或或4 4 . .112|kxy |rk1，22c2c

43、|k()|533c3k1，151515悟悟技法技法1.1.直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟(1)(1)聯(lián)立直線方程與橢圓方程聯(lián)立直線方程與橢圓方程. .(2)(2)消元得出關(guān)于消元得出關(guān)于x(x(或或y)y)的一元二次方程的一元二次方程. .(3)(3)當(dāng)當(dāng)00時(shí)時(shí), ,直線與橢圓相交直線與橢圓相交; ;當(dāng)當(dāng)=0=0時(shí)時(shí), ,直線與橢圓相切直線與橢圓相切; ;當(dāng)當(dāng)0b0)(ab0)的離心率為的離心率為e= e= ，直線直線l:y=x+2:y=x+2和圓和圓O O：x x2 2+y+y2 2=b=b2 2相切相切. .(1)(1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程. .(2)

44、(2)過(guò)橢圓過(guò)橢圓C C的左頂點(diǎn)作直線的左頂點(diǎn)作直線m,m,與與O O相交于兩點(diǎn)相交于兩點(diǎn)R R，S S，已知，已知ORSORS的面積的面積為為 ，求直線，求直線m m的方程的方程. .2222xy1ab3332【解析】【解析】(1)(1)由直線由直線l:y=x+2:y=x+2和圓和圓O O：x x2 2+y+y2 2=b=b2 2相切得相切得解得解得b= .b= .又又 即即 得得a a2 2=3=3，故橢圓，故橢圓C C的方程為：的方程為：002b2 ，2c3ea3，22a21a3，22xy1.32(2)(2)方法一：由方法一：由(1)(1)知：左頂點(diǎn)知：左頂點(diǎn)A(- ,0)A(- ,0)

45、，依題意知，直線，依題意知，直線m m的斜率存的斜率存在且不為在且不為0 0，設(shè)直線，設(shè)直線m m的方程為：的方程為：y=k(x+ )(k0)y=k(x+ )(k0)，所以圓心，所以圓心O(0O(0，0)0)到直線到直線m m的距離的距離 因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€m m與圓與圓O O相交，所以相交，所以ddr= r= ，即，即 解得解得k k2 222且且k0k0，直線，直線m m與圓與圓O O相交所得的弦長(zhǎng)相交所得的弦長(zhǎng)3322003k3kdk1k1，223k2k1，2222223k2 2kRS2 rd2 2k1k1，所以所以 解得解得k k2 2=1=1或或k k2 2= = ，均適合均適合k k2 220,y0,y0 00).0).則切線斜率為則切線斜率為- ,- ,切線方程為切線方程為y-yy-y0 0=- (x-x