雙曲線及其標準方程

1、2.2.1 雙曲線雙曲線及其及其標準方程標準方程1. 橢圓的定義橢圓的定義和和 等于常數(shù)等于常數(shù)2a ( 2a|F1F2|0)的點的軌跡的點的軌跡.平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的的距離的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入問題：引入問題：差差等于常數(shù)等于常數(shù)2a的點的軌跡是什么呢？的點的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的的距離的模擬試驗模擬試驗觀察思考：觀察思考：如圖如圖(B)當當|F M | |F M|時時; |F M | |F M|2a差差平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的的距離的 等于常數(shù)等于常數(shù)2a的點的軌跡是什么

2、呢？的點的軌跡是什么呢？上述的兩條曲線放在一起我們叫它雙曲線每一條叫雙曲線的一支 由可得：由可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的絕對值）（差的絕對值）雙曲線定義：雙曲線定義：平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的的距離的差距離的差的絕對的絕對值等于常數(shù)值等于常數(shù)2a（a0且且2a|F1F2|）的點的軌）的點的軌跡叫做跡叫做雙曲線雙曲線。兩個定點兩個定點F1、F2叫做叫做雙曲線雙曲線的焦點的焦點， |F1F2|叫做叫做雙曲線的焦距雙曲線的焦距。設設|F1M|-|F2M|=2a, |F1F2|=2c,動點為動點為M，則，則:不表示任何圖形；因為不表示任何圖形；因為| |F

3、1M|-|F2M| | |F1F2|(1)當當o2a2c時，動點時，動點M的軌跡是什么的軌跡是什么?(2)當當o2a=2c時，動點時，動點M的軌跡是什么的軌跡是什么?(4)當當2a2c0時，動點時，動點M的軌跡是什么的軌跡是什么?(3)當當2a=0時，動點時，動點M的軌跡是什么的軌跡是什么?雙曲線兩條射線線段F1F2的垂直平分線 F1F2MF1F2xoy雙曲線標準方程推導雙曲線標準方程推導：（1）建）建系系M（x，y）以過點以過點F1、F2的直線為的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的中的中垂線為垂線為y軸，建立直角坐標系軸，建立直角坐標系；（2）設坐標設坐標設設M（x，y）是雙曲線上任意一點，

4、且）是雙曲線上任意一點，且F1F2=2c，則，則F1（-c，0）、）、F2（c，0）。）。（3）寫出點寫出點M的限制條件構成的集合的限制條件構成的集合 P=M - = 2a2F M1FM（5）整理化簡；整理化簡；(c2-a2)x2-b2y2=a2(c2-a2)令令 c2-a2=b2雙曲線標準方程：雙曲線標準方程：其中 c2-a2=b2（4）將點的坐標代入限制條件，列出方程）將點的坐標代入限制條件，列出方程222212(),()FMxcyF Mxcy2222()()2xcyxcya F1F2oxyF1F2oxy（1）焦點在）焦點在x軸上軸上（2）焦點在）焦點在y軸上軸上F1（-c, 0）、）、F

5、2（ c , 0）F1（0, -c）、）、F2（ 0, c ）特特征征（1）方程的右邊是）方程的右邊是1，方程的左邊是平方差的形式；，方程的左邊是平方差的形式；（2）雙曲線的焦點所在的坐標軸與方程左邊正項的分）雙曲線的焦點所在的坐標軸與方程左邊正項的分 子相對應。子相對應。c2a2=b2例例1 已知雙曲線兩個焦點的坐標為已知雙曲線兩個焦點的坐標為F1(-5,0)F2(5,0)，雙曲，雙曲線上一點線上一點P到到F1 、F2的距離的差的絕對值等于的距離的差的絕對值等于6，求雙，求雙曲線的標準方程。曲線的標準方程。解：解：因為雙曲線焦點在因為雙曲線焦點在x軸上，所以設它的標準方程為軸上，所以設它的標

6、準方程為22xa22yb=1（a0，b0）2a=6，2c=10， a=3，c=5。b2=52-32=16。29x216y所以所求雙曲線的標準方程為所以所求雙曲線的標準方程為=1。例2 已知A，B兩地相距800m，在A處聽到炮彈爆炸比在B處晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程.分析：首先根據(jù)題意，判斷軌跡的形狀，由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時間差，可知道A、B兩處與爆炸點的距離的差為定值。這樣，爆炸點在以A、B為焦點的雙曲線上。因為爆炸 點離A處比離B處遠，所以爆炸點應在靠近B處的雙曲線的一支上。例例3 求滿足下列條件的雙曲線標準方程：求滿足下列條件的雙曲線標準方程： （1）若

7、）若a=6，b=3，焦點在，焦點在x軸上；軸上； （2）若）若a= ，過點，過點A（2，-5），）， 焦點在焦點在y軸上；軸上； （3）若）若a=6，c=10，焦點在坐標軸上。，焦點在坐標軸上。2 5答案:(1) (2) (3)x236y29=1x236y264=1x220y216=1x236y264=1或練習：練習：1、分別求、分別求橢圓橢圓 的焦點的焦點與與雙曲線雙曲線 的焦點。的焦點。221259xy221515xy橢圓中橢圓中c2=a2-b2, 得得:c2=25-9=16,c= 4.故故F1(-4,0),F2(4,0)雙曲線雙曲線為為 ,又又c2=a2+b2得得:c2=15+1=16,c= 4.故故F1(-4,0),F2(4,0)111522 yx 同為同為F( 4,0) m|m-1或或m0，2、已知方程、已知方程 表示雙曲線，表示雙曲線， 則則m的取值范圍是的取值范圍是_；22121xymm22121xymm2m1m 或 定義圖象方程焦點a.