冪級數(shù)與函數(shù)

1、中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設組中南大學開放式精品示范課堂高等數(shù)學建設組高等數(shù)學高等數(shù)學A A4.4.3 3.3 .3 冪級數(shù)的運算性質(zhì)冪級數(shù)的運算性質(zhì)4.4.3 3.4 .4 冪級數(shù)冪級數(shù)和和函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)4.4.3 3 冪級數(shù)冪級數(shù)4.3.3 冪級數(shù)的運算性質(zhì)冪級數(shù)的運算性質(zhì)習例習例1-44.3.4 冪級數(shù)冪級數(shù)的和的和函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)加減法加減法乘法乘法除法除法連續(xù)性連續(xù)性可導性可導性可積性可積性內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 冪級數(shù)及和函數(shù)的運算冪級數(shù)及和函數(shù)的運算習題課習題課 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 常見題型常見題型典型習例典型習例一、冪級數(shù)的運算性質(zhì)一、冪級數(shù)的運算性質(zhì) 21,min

2、RRR ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設設 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.)(0 nnnnxba RRx, 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)連續(xù)性連續(xù)性冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)連續(xù).二、冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)二、冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)且冪級數(shù)在區(qū)間端點收斂時

3、，和函數(shù)在該區(qū)間端點且冪級數(shù)在區(qū)間端點收斂時，和函數(shù)在該區(qū)間端點連續(xù)連續(xù). 即冪級數(shù)的收斂區(qū)間為閉區(qū)間時，和函數(shù)的連續(xù)區(qū)即冪級數(shù)的收斂區(qū)間為閉區(qū)間時，和函數(shù)的連續(xù)區(qū)間也是該閉區(qū)間間也是該閉區(qū)間.可導性可導性冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間 ),(RR 內(nèi)可導內(nèi)可導, 并可逐項求導任意次并可逐項求導任意次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)可積性可積性冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間 ),(RR 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對且對),(RRx 可逐項積分可逐項積分. xn

4、nnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)冪級數(shù)的和函數(shù)習例冪級數(shù)的和函數(shù)習例例例1.33332313322的和函數(shù)的和函數(shù)求求 nnnxxxx例例2 .2,1111 nnnnnnx并求并求的收斂域與和函數(shù)的收斂域與和函數(shù)求求例例3 .212,2122122 nnnnnnxn并求并求的收斂域與和函數(shù)的收斂域與和函數(shù)求求方法方法: 通過恒等變形或遂項求導或遂項求積把原級通過恒等變形或遂項求導或遂項求積把原級 數(shù)化為可求和的級數(shù)數(shù)化為可求和的級數(shù)(等比級數(shù)等比級數(shù)).例例 1.33332313322的和函數(shù)的和函數(shù)求求 nnnx

5、xxx解解,313)1(3limlim11 nnnnnnnnaa . 3 R;,1,31發(fā)散發(fā)散原冪級數(shù)成為原冪級數(shù)成為時時當當 nnx.,)1(,31收斂收斂原冪級數(shù)成為原冪級數(shù)成為時時當當 nnnx).3 , 3 收斂域為收斂域為,3)(1 nnnnxxs設設. 0)0( s且且 113)(nnnxxs則則 11)3(31nnx.3131131xx xxdxxdxxs0031)( )0()(sxs3ln)3ln( x, 3ln)3ln()( xxs).3 , 3 x 3,3).x 例例 2 .2,1111 nnnnnnx并求并求的收斂域與和函數(shù)的收斂域與和函數(shù)求求解解, 11limlim)

6、1(1 nnaannnn . 1 R;,11發(fā)散發(fā)散原冪級數(shù)成為原冪級數(shù)成為時時當當 nnx.,)1(,11發(fā)散發(fā)散原冪級數(shù)成為原冪級數(shù)成為時時當當 nnnx).1 , 1( 收斂域為收斂域為,)()2(11 nnnxxs設設. 1)0( s且且 xnnxdxnxdxxs0110)()(則則 1nnxxx 1.)1(1)1()(2xxxxs 1111)21(2)3(nnnnnn)21( s . 4)211(12 例例 3 .212,2122122 nnnnnnxn并求并求的收斂域與和函數(shù)的收斂域與和函數(shù)求求解解,21)12(22)12(limlim)1(222121xxnxnuunnnnnnn

7、n ;,2122原級數(shù)絕對收斂原級數(shù)絕對收斂時時即即當當 xx;,2122原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散時時即即當當 xx.,212,21212發(fā)散發(fā)散原級數(shù)為原級數(shù)為時時即即當當 nnxx).2, 2( 收斂域為收斂域為,212)()2(122 nnnxnxs設設 11202)(nnnxxdxxs2122)2(1xxxxnn 2222)2(2)2()(xxxxxs 21212212)3(12 nnnnnn.2521321)1( s解解1,)1(1nnxnn 考慮級數(shù)考慮級數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(-1,1), 1)1()(nnxnnxs則則 11)1(nnxnnx 11)1()(nnxnnxg設設 xnnx

8、dxxnndxxg0110)1()( 1)1(nnxn 1)1()(nnxnxh設設 xnnxdxxndxxh010)1()( 11nnxxx 12)1()(2 xxxh22)1(2xxx )()(xhxg )1(222 xxx3)1(2x )()(xxgxs 3)1(2xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 解解2 ,)1(1nnxnn 考慮級數(shù)考慮級數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(-1,1), 1)1()(nnxnnxs則則 11)(nnxx)(11 nnxx)1(2 xxx)1(222 xxxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)冪級數(shù)的性質(zhì)1)

9、兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與乘法運算. 2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3) 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導和求積分.思考題思考題 冪級數(shù)逐項求導后，收斂半徑不變，那冪級數(shù)逐項求導后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？么它的收斂域是否也不變？內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù) 正項級數(shù)正項級數(shù) 交錯級數(shù)交錯級數(shù) 任意項級數(shù)任意項級數(shù) 2. 冪級數(shù)冪級數(shù) 冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域 冪級數(shù)的和函數(shù)與數(shù)項級數(shù)的和冪級數(shù)的和函數(shù)與數(shù)項級數(shù)的和 常見題型常見題型 1. 判別數(shù)項級數(shù)的斂散性判別數(shù)項級數(shù)的斂散性 2. 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域求冪級數(shù)的收

10、斂半徑與收斂域 3. 求冪級數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)的和函數(shù) 4. 求數(shù)項級數(shù)的和求數(shù)項級數(shù)的和 ;)1(: 111 nnnnnnn判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性例例 1).0()1()2ln(: 2nnanan判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性例例斂？斂？是條件收斂還是絕對收是條件收斂還是絕對收斂？如果收斂，斂？如果收斂，是否收是否收判斷級數(shù)判斷級數(shù)例例 ln)1( 31 nnnn. .61514131211 4收斂還是絕對收斂收斂還是絕對收斂如果收斂，說明是條件如果收斂，說明是條件的斂散性的斂散性討論級數(shù)討論級數(shù)例例 .)1)(1( 50斂域及和函數(shù)斂域及和函數(shù)收收求級數(shù)求級數(shù)例例 nnxn;)1(:

11、111 nnnnnnn判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性例例解解nnnnnnnnnnu)1(limlim1 nnnnn)11(lim21 nnnnnn12)11(lim2 01e , 01 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散 1).0()1()2ln(: 2nnanan判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性例例解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時時又又,)2ln(1 nnnn 從而有從而有, 1)2ln(lim nnn則則.1limaunnn 1101,aa當即時原級數(shù)收斂；原級數(shù)收斂；,1110時時即即當當 a

12、a原級數(shù)發(fā)散；原級數(shù)發(fā)散；,1時時當當 a,)11()2ln(1 nnnn原級數(shù)為原級數(shù)為,)11()2ln(lim nnnn所以原級數(shù)也發(fā)散所以原級數(shù)也發(fā)散斂？斂？是條件收斂還是絕對收是條件收斂還是絕對收斂？如果收斂，斂？如果收斂，是否收是否收判斷級數(shù)判斷級數(shù)例例 ln)1( 31 nnnn解解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,ln1ln)1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnnnn即原級數(shù)不是絕對收斂的即原級數(shù)不是絕對收斂的,ln)1(1級數(shù)級數(shù)是交錯是交錯 nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)(

13、 xxxf( )ln(1,),f xxx在上單增,ln1單減單減即即xx ,1ln1時單減時單減當當故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯級數(shù)收斂，所以此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂故原級數(shù)是條件收斂. .61514131211 4收斂還是絕對收斂收斂還是絕對收斂如果收斂，說明是條件如果收斂，說明是條件的斂散性的斂散性討論級數(shù)討論級數(shù)例例 解解.,1)1(,1)1(1它它為為條條件件收收斂斂原原級級數(shù)數(shù)為為時時當當 nnn ,)2(1,1,1)2(11收收斂斂收收斂斂時時當當 nnnn ,1211發(fā)發(fā)散散而而 nn.故故原原級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散:,1)3(考考察察加加括括號號的的級級數(shù)數(shù)時時當當 121)2(1)5141()3121(1nn 且且除除第第一一項項外外均均為為負負項項, 212)12()2()12(lim1121)2(1lim nnnnnnnn,1,11為為發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)時時因因為為 nn ,散散形形式式