第4章信道編碼技術(shù)

1、第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)4.1 離散信道模型離散信道模型4.2 差錯(cuò)控制編碼的基本概念差錯(cuò)控制編碼的基本概念4.3 分組碼分組碼4.4 卷積碼卷積碼第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)4.1 離散信道模型離散信道模型4.1.1 離散無記憶信道通常通信系統(tǒng)可以分為發(fā)信機(jī)、 物理信道或傳輸介質(zhì)、 接收機(jī)三大部分,如圖4-1所示。發(fā)信機(jī)由信道編碼器和調(diào)制器組成,接收機(jī)由解調(diào)器和信道譯碼器組成,在圖4-1中,c和g之間是編碼信道,屬于離散信道； d和f之間是調(diào)制信道,屬于模擬信道。對(duì)于加性噪聲信道,噪聲和干擾會(huì)使傳輸?shù)臄?shù)據(jù)發(fā)生錯(cuò)誤,因而對(duì)數(shù)據(jù)傳輸?shù)目煽啃?/p>

2、產(chǎn)生影響。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)圖4-1 通信系統(tǒng)模型信道編碼b信源調(diào)制c傳輸介質(zhì)de噪聲解調(diào)f信道譯碼ga信宿發(fā)信機(jī)物理信道接收機(jī)調(diào)制信道編碼信道數(shù)據(jù)通信信道第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)對(duì)于輸入和輸出均為離散符號(hào)的離散信道,當(dāng)信道中不存在干擾時(shí),離散輸入符號(hào)X與輸出符號(hào)Y有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。但若信道中存在干擾,則輸入符號(hào)與輸出符號(hào)之間就不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系了,而是具有一定的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性。這個(gè)統(tǒng)計(jì)特性取決于輸入符號(hào)xi和輸出符號(hào)yj之間的轉(zhuǎn)移概率P(yj/xi)或P(xj/yi)。假設(shè)發(fā)送的符號(hào)集為X=xi， i=1, 2, , L,有L種符號(hào)； 接收符號(hào)集為Y=yj，j

3、=1, 2, , M,有M種符號(hào)。這時(shí)離散無記憶信道(DMC, Discrete Memoryless Channel)如圖4-2所示。DMC的轉(zhuǎn)移概率可以用以下矩陣表示： 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)x1x2xLy1y2yiyMXY圖4-2 離散L輸入m輸出信道第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù))/()/()/()/()/()/()/()/()/()/(21212211121111LMLLMMxyPxyPxyPxyPxyPxyPxyPxyPxyPxyP(4-1) 所謂無記憶信道,是指每個(gè)輸出符號(hào)值取決于當(dāng)前的輸入符號(hào),而與其他輸入符號(hào)無關(guān)。若DMC的輸入選自X符號(hào)集的n個(gè)符號(hào)u1

4、, u2, , un的序列,相應(yīng)的輸出選自Y符號(hào)集的n個(gè)符號(hào)v1 , v2, , vn的序列,則聯(lián)合條件概率為P(Y1=v1,Y2=v2 , , Yn=vn/X1=u1,X2=u2, , Xn=un)= nkkkXYP1)/(4-2) 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)這個(gè)表達(dá)式正是無記憶條件的數(shù)學(xué)表述。上述DMC的一個(gè)特例就是所謂的無記憶二進(jìn)制對(duì)稱信道(BSC, Binary Symmetric Channel),其結(jié)構(gòu)如圖4-3所示。對(duì)于BSC可能的符號(hào)輸入值的集合X=0,1,可能的符號(hào)輸出值的集合Y=0,1,對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率可以表示為這里， P(1/0)=P(0/1)=p， P(1/1)

5、=P(0/0)=1-p。 ppppxyPii11)/(4-3) 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)圖4-3 二進(jìn)制對(duì)稱信道01 p0輸入111 ppp第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)4.1.4 信道容量設(shè)離散信道模型如圖4-2所示， 發(fā)送符號(hào)xi的概率為P(xi)， 這里i=1， 2， ，L； 接收符號(hào)yj的概率為P(yj)，這里j =1，2，M； P(yj/ xi)或P(xj/ yj)表示轉(zhuǎn)移概率。在DMC信道中，輸入與輸出不再是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是一種隨機(jī)對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，這種統(tǒng)計(jì)關(guān)系可以用信道上的轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行描述，因此，我們可以利用信道的轉(zhuǎn)移概率來合理地描述信道受到的干擾和信道的統(tǒng)計(jì)特

6、性。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) 信道容量定義為： )1 (SNRlbBC(b/s)以上為著名的香農(nóng)(Shannon)定理表達(dá)式， 它表明當(dāng)信號(hào)和作用在信道上的起伏噪聲的平均功率給定時(shí)， 在一定頻帶寬度B的信道上，理論上單位時(shí)間內(nèi)可能傳輸信息量的極限值。 這樣我們可以看出，信道受B、 n0和S三要素的影響， 只要這三要素確定， 信道也隨之確定。第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)從式(4-24)可以容易地看到，當(dāng)n0 =0或S=時(shí)，信道容量C=。 這是因?yàn)閚0 =0意味著信道無噪聲， 而S=意味著發(fā)送功率達(dá)到無窮大， 顯然這在任何實(shí)際系統(tǒng)中都是很難實(shí)現(xiàn)的。 不過， 這個(gè)關(guān)系也告訴我們

7、： 若要使信道容量增大， 理論上可以通過減小n0或增大S來實(shí)現(xiàn)。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)那么，增大帶寬B是否可行? 下面就此問題進(jìn)行分析。 首先將式(4-24)改寫為當(dāng)B時(shí)， 上式變?yōu)?1 (000nBSlbSnBnSC(4-25) 0000044. 1)1 (limlimnSlbenSnBSlbSnBnSCBB(4-26) 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)式(4-26)中的近似利用了關(guān)系式： 。 通過上述論述表明：保持S/n0一定， 即使信道帶寬B，信道容量也是有限的，這是因?yàn)樾诺缼払時(shí)， 噪聲功率B n0也趨于無窮大。 通常，把實(shí)現(xiàn)了上述極限信息速率的通信系統(tǒng)稱為理想通

8、信系統(tǒng)。 但是香農(nóng)定理只證明了理想系統(tǒng)的“存在性”，卻沒有指出這種通信系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法。 因此， 理想系統(tǒng)只能作為實(shí)際系統(tǒng)的理論極限。 另外， 上述討論都是在信道噪聲為高斯白噪聲前提下進(jìn)行的， 對(duì)于其他類型的的噪聲， 香農(nóng)公式需要改進(jìn)。 44. 1 )1 (1lim0elbxlbxx第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) 4.2 差錯(cuò)控制編碼的基本概念差錯(cuò)控制編碼的基本概念4.2.1 差錯(cuò)控制方式常用的差錯(cuò)控制方式主要有三種：前向糾錯(cuò)（簡稱FEC）、檢錯(cuò)重發(fā)（簡稱ARQ）和混合糾錯(cuò)（簡稱HEC），它們的結(jié)構(gòu)如圖4-4所示。圖中帶陰影的方框圖表示在該端檢測(cè)錯(cuò)誤。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)

9、圖4-4 差錯(cuò)控制方式(a) 前向糾錯(cuò)（FEC）；(b) 檢錯(cuò)重發(fā)（ARQ）；(c) 混合糾錯(cuò)（HEC） 發(fā)可 以 糾 正 錯(cuò) 誤 的 碼收(a)發(fā)能 夠 發(fā) 現(xiàn) 錯(cuò) 誤 的 碼收(b)應(yīng) 答 信 號(hào)發(fā)可 以 發(fā) 現(xiàn) 和 糾 正 錯(cuò) 誤 的 碼收(c)應(yīng) 答 信 號(hào)第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)前向糾錯(cuò)系統(tǒng)中， 發(fā)送端經(jīng)信道編碼后可以發(fā)出具有糾錯(cuò)能力的碼組； 接收端譯碼后不僅可以發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤碼， 而且可以判斷錯(cuò)誤碼的位置并予以自動(dòng)糾正。 因此， 前向糾錯(cuò)編碼需要附加較多的冗余碼元， 影響數(shù)據(jù)傳輸效率， 同時(shí)其編譯碼設(shè)備比較復(fù)雜。 但是由于不需要反饋信道， 實(shí)時(shí)性較好， 因此這種技術(shù)在單工信道

10、中普遍采用， 例如無線電尋呼中采用的POGSAG編碼。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) 檢錯(cuò)重發(fā)方式中， 發(fā)送端經(jīng)信道編碼后可以發(fā)出具有檢錯(cuò)能力的碼組； 接收端收到后經(jīng)檢測(cè)如果發(fā)現(xiàn)傳輸中有錯(cuò)誤， 則通過反饋信道把這一判斷結(jié)果反饋給發(fā)送端。 然后， 發(fā)送端把前面發(fā)出的信息重新傳送一次， 直到接收端認(rèn)為已經(jīng)正確為止。 典型系統(tǒng)原理方框圖如圖4-5所示。 常用的檢錯(cuò)重發(fā)系統(tǒng)有三種， 即停發(fā)等候重發(fā)、 返回重發(fā)和選擇重發(fā)。第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)圖4-5 ARQ系統(tǒng)組成方框圖編 碼 器 和緩 沖 存 儲(chǔ) 器信源重 發(fā) 控 制雙向信道指 令 產(chǎn) 生 器解 碼 器正 確 時(shí) 輸 出錯(cuò) 誤

11、 時(shí) 刪 除輸 出 緩 沖存 儲(chǔ) 器收信者第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)停發(fā)等候重發(fā)系統(tǒng)的發(fā)送端在某一時(shí)刻向接收端發(fā)送一個(gè)碼組， 接收端收到后經(jīng)檢測(cè)若未發(fā)現(xiàn)傳輸錯(cuò)誤， 則發(fā)送一個(gè)認(rèn)可信號(hào)(ACK)給發(fā)送端， 發(fā)送端收到ACK信號(hào)后再發(fā)下一個(gè)碼組； 如果接收端檢測(cè)出錯(cuò)誤， 則發(fā)送一個(gè)否認(rèn)信號(hào)(NAK)， 發(fā)送端收到NAK信號(hào)后重發(fā)前一個(gè)碼組， 并再次等待ACK和NAK信號(hào)。 這種方式效率不高， 但工作方式簡單， 在計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)通信中仍在使用。 在返回重發(fā)系統(tǒng)中， 發(fā)送端無停頓地送出一個(gè)又一個(gè)碼組， 不再等待ACK信號(hào)，一旦接收端發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并發(fā)回NAK信號(hào)，則發(fā)送端從下一個(gè)碼組開始重發(fā)前一段N組

12、信號(hào)， N的大小取決于信號(hào)傳遞及處理所帶來的延遲， 這種系統(tǒng)比停發(fā)等候重發(fā)系統(tǒng)有很大的改進(jìn)， 在許多數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)中得到應(yīng)用。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)在選擇重發(fā)系統(tǒng)中，發(fā)送端也是連續(xù)不斷地發(fā)送碼組， 接收端發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤發(fā)回NAK信號(hào)。 與返回重發(fā)系統(tǒng)不同的是，發(fā)送端不是重發(fā)前面的所有碼組， 而是只重發(fā)有錯(cuò)誤的那一組。顯然，這種選擇重發(fā)系統(tǒng)傳輸效率最高，但控制最為復(fù)雜。此外，返回重發(fā)系統(tǒng)和選擇重發(fā)系統(tǒng)都需要全雙工的鏈路，而停發(fā)等候重發(fā)系統(tǒng)只需要半雙工的鏈路。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)由上述分析可知， ARQ的優(yōu)點(diǎn)主要表現(xiàn)在： （1）只需要少量的冗余碼， 就可以得到極低的輸出誤

13、碼率； （2）使用的檢錯(cuò)碼基本上與信道的統(tǒng)計(jì)特性無關(guān)， 有一定的自適應(yīng)能力； （3）與FEC相比， 信道編譯碼器的復(fù)雜性要低得多。 同時(shí)ARQ也存在某些不足， 主要表現(xiàn)在： （1）需要反向信道， 故不能用于單向傳輸系統(tǒng)，并且實(shí)現(xiàn)重發(fā)控制比較復(fù)雜； （2）當(dāng)信道干擾增大時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)有可能處在重發(fā)循環(huán)當(dāng)中， 因而通信效率低； （3）不大適合于嚴(yán)格實(shí)時(shí)傳輸系統(tǒng)。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) 混合糾錯(cuò)方式是前向糾錯(cuò)方式和檢錯(cuò)重發(fā)方式的結(jié)合。在這種系統(tǒng)中接收端不但具有糾正錯(cuò)誤的能力， 而且對(duì)超出糾錯(cuò)能力的錯(cuò)誤有檢測(cè)能力。 遇到后一種情況時(shí)， 系統(tǒng)可以通過反饋信道要求發(fā)送端重發(fā)一遍。 混和糾錯(cuò)方

14、式在實(shí)時(shí)性和譯碼復(fù)雜性方面是前向糾錯(cuò)和檢錯(cuò)重發(fā)方式的折衷。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)4.2.2 差錯(cuò)控制編碼分類在差錯(cuò)控制系統(tǒng)中， 信道編碼存在著多種形式， 同時(shí)信道編碼也有多種分類方法。 （1） 按照信道編碼的不同功能， 可以將它分為檢錯(cuò)碼和糾錯(cuò)碼。 檢錯(cuò)碼僅能檢測(cè)誤碼， 例如， 在計(jì)算機(jī)串口通信中常用到的奇偶校驗(yàn)碼等； 糾錯(cuò)碼可以糾正誤碼， 當(dāng)然同時(shí)具有檢錯(cuò)的能力， 當(dāng)發(fā)現(xiàn)不可糾正的錯(cuò)誤時(shí)可以發(fā)出出錯(cuò)指示。 （2） 按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的檢驗(yàn)關(guān)系， 可以將它分為線性和非線性碼。 若信息碼元與監(jiān)督碼元之間的關(guān)系為線性關(guān)系， 即滿足一組線性方程式， 則稱為線性碼； 否則， 就

15、稱為非線性碼。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)（3）按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的約束方式不同， 可以將它分為分組碼和卷積碼。 在分組碼中， 編碼后的碼元序列每n位分為一組， 其中k位信息碼元， r個(gè)監(jiān)督位，r=n-k。監(jiān)督碼元僅與本碼組的信息碼元有關(guān)。 卷積碼則不同， 雖然編碼后序列也可以分為碼組， 但監(jiān)督碼元不但與本信息碼元有關(guān)， 而且與前面碼組的信息碼元也有約束關(guān)系。 （4）按照信息碼元在編碼后是否保持原來的形式，可以將它分為系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼。 在系統(tǒng)碼中， 編碼后的信息碼元保持原樣不變，而非系統(tǒng)碼中的信息碼元?jiǎng)t發(fā)生了變化。 除了個(gè)別情況，系統(tǒng)碼的性能大體上與非系統(tǒng)碼相同， 同時(shí)非系

16、統(tǒng)碼的譯碼較為復(fù)雜， 因此，系統(tǒng)碼得到了廣泛的應(yīng)用。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)（5）按照糾正錯(cuò)誤的類型不同， 可以將它分為糾正隨機(jī)錯(cuò)誤碼和糾正突發(fā)錯(cuò)誤碼。 前者主要用于發(fā)生零星獨(dú)立錯(cuò)誤的信道， 而后者用于對(duì)付以突發(fā)錯(cuò)誤為主的信道。 （6） 按照信道編碼所采用的數(shù)學(xué)方法不同， 可以將它分為代數(shù)碼、 幾何碼和算術(shù)碼。 其中代數(shù)碼是目前發(fā)展最為完善的編碼， 線性碼就是代數(shù)碼的一個(gè)重要的分支。 除上述信道編碼的分類方法以外， 我們還可以將它分為二進(jìn)制信道編碼和多進(jìn)制信道編碼等等。 同時(shí)， 隨著數(shù)字通信系統(tǒng)的發(fā)展， 可以將信道編碼器和調(diào)制器統(tǒng)一起來綜合設(shè)計(jì)， 這就是所謂的網(wǎng)格編碼調(diào)制(TCM

17、， Trellis Coded Modulation)。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)4.2.3 檢錯(cuò)與糾錯(cuò)的基本原理信道編碼的基本思想就是在被傳送的信息中附加一些監(jiān)督碼元， 在兩者之間建立某種校驗(yàn)關(guān)系， 當(dāng)這種校驗(yàn)關(guān)系因傳輸錯(cuò)誤而受到破壞時(shí)， 可以被發(fā)現(xiàn)， 甚至將錯(cuò)誤予以糾正， 這種檢錯(cuò)與糾錯(cuò)能力是用信息量的冗余度來換取的。下面我們將介紹幾個(gè)與信道編碼有關(guān)的基本概念。碼長： 碼組中碼元的數(shù)目； 碼重： 碼組中非0位的數(shù)目。對(duì)于二進(jìn)制碼來講， 碼重W就是碼元中1的數(shù)目， 例如碼組10100的碼長n=5， 碼重W=2。 碼距： 兩個(gè)等長碼組之間對(duì)應(yīng)位不同的數(shù)目， 有時(shí)也稱做這兩個(gè)碼組的漢

18、明距離， 例如碼組10100與11000它們之間的碼距d=2。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) 最小碼距： 在碼組集合中全體碼組之間距離的最小數(shù)值。 對(duì)于二進(jìn)制碼組而言， 兩個(gè)碼組之間的模2相加， 其不同的對(duì)應(yīng)位必為1， 相同的對(duì)應(yīng)位必為0， 因此， 兩個(gè)碼組之間模2相加得到的信碼組的重量就是這兩個(gè)碼組之間的距離。 碼組之間的最小距離是衡量該碼組檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力的重要依據(jù)， 因此， 最小碼距是信道編碼的一個(gè)重要的參數(shù)。 在一般情況下， 對(duì)于分組碼的最小漢明距離d0與檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力之間滿足下列關(guān)系： （1） 當(dāng)碼組用于檢測(cè)錯(cuò)誤時(shí)，如果要檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)誤， 那么d0e+1 (4-27) 第第4章章

19、 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)這個(gè)關(guān)系可以利用圖4-6(a)予以說明。 在圖中用A和B分別表示兩個(gè)碼距為d0的碼組，若A發(fā)生e個(gè)錯(cuò)誤， 則A就變成以A為球心，e為半徑的球面上的碼組，為了能將這些碼組分辨出來， 它們必須距離其最近的碼組B有一位的差別， 即A和B之間最小距離為d0e+1。(2) 當(dāng)碼組用于糾正錯(cuò)誤時(shí),如果要糾正t個(gè)錯(cuò)誤,那么d02t+1(4-28) 這個(gè)關(guān)系可以利用圖4-6(b)予以說明。 在圖中用A和B分別表示兩個(gè)碼距為d0的碼組,若A發(fā)生t個(gè)錯(cuò)誤,則A就變成以A為球心,t為半徑的球面上的碼組； 若B發(fā)生t個(gè)錯(cuò)誤,則B就變成以B為球心,t為半徑的球面上的碼組。 為了在出現(xiàn)t個(gè)錯(cuò)誤之

20、后,仍能夠分辨出A和B來,那么,A和B之間距離應(yīng)大于2t,最小距離也應(yīng)當(dāng)使兩球體表面相距為1,即滿足不等式(4-28)。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) （3）如果碼組用于糾t個(gè)錯(cuò),同時(shí)檢e個(gè)錯(cuò)時(shí),那么d0t+e+1(4-29) 這個(gè)關(guān)系可以利用圖4-6(c)予以說明。 在圖中用A和B分別表示兩個(gè)碼距為d0的碼組,當(dāng)碼組出現(xiàn)t個(gè)或小于t個(gè)錯(cuò)誤時(shí),系統(tǒng)按照糾錯(cuò)方式工作；當(dāng)碼組出現(xiàn)大于t個(gè)而小于e個(gè)錯(cuò)誤時(shí),系統(tǒng)按照檢錯(cuò)方式工作； 若A發(fā)生t個(gè)錯(cuò)誤,B發(fā)生e個(gè)錯(cuò)誤時(shí),既要糾A的錯(cuò)誤,又要檢B的錯(cuò)誤,則A和B之間距離應(yīng)大于t+e,也就是滿足式(4-29)。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)圖

21、4-6 糾（檢）錯(cuò)能力的幾何解釋ABed0(a)ABtd0t1(b)ABtd0e1(c)第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)通常,在信道編碼過程中,監(jiān)督位越多糾錯(cuò)能力就越強(qiáng),但編碼效率就越低。 若碼組中信息位數(shù)為k,監(jiān)督位數(shù)為r,碼長n=k+r,則編碼效率Rc可以用下式表示： Rc=k/n=(n-r)/n=1-r/n (4-30) 信道編碼的任務(wù)就是要根據(jù)不同的干擾特性,設(shè)計(jì)出編碼效率高,糾錯(cuò)能力強(qiáng)的編碼。 在實(shí)際設(shè)計(jì)過程中,需要根據(jù)具體指標(biāo)要求,盡量簡化編碼實(shí)際的復(fù)雜度,節(jié)省設(shè)計(jì)費(fèi)用。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) 4.3 4.3 分組碼分組碼4.3.1 線性分組碼當(dāng)分組碼的信息碼元

22、與監(jiān)督碼元之間的關(guān)系為線性關(guān)系時(shí),這種分組碼就被稱為線性分組碼。 線性分組碼是建立在代數(shù)群論基礎(chǔ)之上的,各許用碼的集合構(gòu)成了代數(shù)學(xué)中的群,它們的主要性質(zhì)如下： (1) 任意兩許用碼之和（對(duì)于二進(jìn)制碼這個(gè)和的含義是模2和）仍為一許用碼,也就是說,線性分組碼具有封閉性； (2) 碼組間的最小碼距等于非零碼的最小碼重。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) 下面通過一個(gè)例子說明線性分組碼是如何構(gòu)造的。 設(shè)分組碼(n, k)中k=4,為了能夠糾正一位錯(cuò)誤,要求r3,取r=3,則n=k+r=7。 因此,可以用a6a5a4a3a2a1a0表示這7個(gè)碼元,用S1、 S2、 S3表示由三個(gè)監(jiān)督方程計(jì)算得到的校

23、正子,并假設(shè)S1、 S2、 S3三位校正子碼組與誤碼位置的關(guān)系如表4-1所示。第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)表4-1 校正子與誤碼位置第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)根據(jù)表4-1的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可以得到下列邏輯關(guān)系式：S1=a6+a5+a4+a2S2=a6+a5+a3+a1 (4-31)S3=a6+a4+a3+a0在進(jìn)行編碼時(shí),設(shè)a6、 a5、 a4、 a3為信息碼元,從表4-1中可以看到,當(dāng)S3S2S1=000時(shí),就表明碼組在傳輸過程中沒有發(fā)生錯(cuò)誤,基于這一約束,利用式(4-31),可以得到下面兩種形式的線性方程組： a6+a5+a4+a2 =0 a6+a5+a3+a1 =0 a6+a

24、4+a3+a0 =0 (4-32)第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) a6+a5+a4 =a2 a6+a5+a3 =a1(4-33) a6+a4+a3 =a0根據(jù)上面兩個(gè)線性關(guān)系式,可以得到16個(gè)許用碼組,如表4-2所示。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)表4-2 許 用 碼 組第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) 在接收端收到碼組以后,就可以代入式(4-31)計(jì)算S1、 S2和S3,如果全為0,則表明傳輸時(shí)沒有發(fā)生錯(cuò)誤,否則根據(jù)表4-1糾正錯(cuò)誤。 當(dāng)然對(duì)于上述(7, 4)碼而言,最小碼距d0=3,因此,它可以糾正一個(gè)錯(cuò)誤或檢測(cè)兩個(gè)錯(cuò)誤,如果超出這個(gè)范圍,糾錯(cuò)功能就要失敗。 對(duì)于式(4-

25、32),可以用矩陣形式表示如下： 0001001111010101100101110123456Taaaaaaa(4-34) 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)上式可以記作： HAT=0T或AHT=0,其中, A=a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 (4-35b) 0=0 0 0 (4-35c)rIPH 100111101010110010111(4-35a) 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) 或者a2 a1 a0=a6 a5 a4 a3 =a6 a5 a4 a3Q比較式(4-34)和式(4-36)可以看到Q=PT,如果在Q矩陣的左邊再加上一個(gè)kk的單位矩陣,就形成了一個(gè)新矩陣G：

26、 1101010111111101000101010001100101110001 QIGk(4-37) 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)這里G被稱為生成矩陣,利用它可以產(chǎn)生整個(gè)碼組: A=MG=a6 a5a4 a3G (4-38)由式(4-37)表示的生成矩陣形式被稱為典型生成矩陣,利用式(4-38)產(chǎn)生的分組碼必為系統(tǒng)碼,也就是信息碼元保持不變,監(jiān)督碼元附加在其后。 在發(fā)送端,信息碼元M利用式(4-38)實(shí)現(xiàn)信道編碼,產(chǎn)生線性分組碼A； 在傳輸過程中有可能出現(xiàn)誤碼,設(shè)接收到的碼組為B,則收發(fā)碼組之差為 B-A=bn-1bn-2 b0-an-1 an-2 a0=E=en-1 en-2 e

27、0 (4-39)第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)這里 0 bi=ai 1 biai, ei=1表示i位有錯(cuò), ei=0表示i位無錯(cuò)。 基于這樣的原則,接收端利用接收到的碼組B計(jì)算校正子： S=BHT=(A+E)HT=AHT+EHT=EHT(4-40)因此,校正子僅與E有關(guān),即錯(cuò)誤圖樣與校正子之間有確定的關(guān)系。 ei=第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)在實(shí)踐中經(jīng)常會(huì)遇到的線性分組碼主要有以下兩種： 1. 漢明(Hamming)碼漢明碼既有二進(jìn)制的,也有非二進(jìn)制的,這里僅討論二進(jìn)制漢明碼的性質(zhì)。 二進(jìn)制漢明碼可以表示為 (n, k)=(2m-1, 2m-1-m) (4-41)這里m可取大于等

28、于2的任意整數(shù),因此,漢明碼的特點(diǎn)如下： 碼長n=2m-1,信息位k=2m-1-m，監(jiān)督位r=m,最小碼距d0=3,糾錯(cuò)能力t=1。 如果要產(chǎn)生一個(gè)系統(tǒng)漢明碼, 那么可以將矩陣H轉(zhuǎn)換成典型形式的監(jiān)督矩陣,進(jìn)一步利用Q=PT的關(guān)系,得到相應(yīng)的生成矩陣G。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)2. 哈達(dá)碼(Hadamard)碼哈達(dá)碼矩陣Mn是一個(gè)由“0”和“1”構(gòu)成的nn維矩陣（n是偶數(shù)）,矩陣中任意兩行相比較,都存在n/2個(gè)不同的元素,矩陣中有一行是全0行,其他行都包含n/2個(gè)“0”和n/2個(gè)“1”。 當(dāng)n=2時(shí),哈達(dá)碼矩陣可表示為 M2= (4-42) 進(jìn)一步可以按照下述規(guī)律由Mn產(chǎn)生哈達(dá)碼矩

29、陣M2n。1000第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) (4-43)式中, Mn為Mn的互補(bǔ)矩陣,按上述規(guī)律M4和 就可以分別表示為nnnnnMMMMM21001001101011111,0110110010100000422222MMMMMMn(4-44) 4M第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) 至此,可以利用M4和 的行構(gòu)成一個(gè)碼長n=4的二進(jìn)制線性分組碼,該碼由8個(gè)碼組構(gòu)成,最小碼距為d0=2。 基于這種方法構(gòu)成的碼稱為哈達(dá)碼。 因此,哈達(dá)碼的長度n=2m,k=lb2n =lb2m+1=m+1, d0 =n/2=2m-1,這里m為正整數(shù)。 4.3.2 循環(huán)碼 循環(huán)碼是線性碼的一個(gè)重要子

30、集,是目前研究得最成熟的一類碼。 它有許多特殊的代數(shù)性質(zhì),這些性質(zhì)有助于按所要求的糾錯(cuò)能力系統(tǒng)地構(gòu)造這類碼,且易于實(shí)現(xiàn)； 同時(shí)循環(huán)碼的性能也較好,具有較強(qiáng)的檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力。 4M第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)循環(huán)碼最大的特點(diǎn)就是循環(huán)性,所謂循環(huán)性,是指循環(huán)碼中任一許用碼組經(jīng)過循環(huán)移位后,所得到的碼組仍然是許用碼組。 若(an-1 an-2 a1 a0)為一循環(huán)碼組,則(an-2an-3 a0 an-1)、 (an-3an-4 an-1an-2)還是許用碼組。 也就是說,不論是左移或是右移,也不論移多少位,其所得的碼組仍然是許用的循環(huán)碼組。 為了利用代數(shù)理論研究循環(huán)碼,可以將碼組用代數(shù)多項(xiàng)

31、式來表示,這個(gè)多項(xiàng)式被稱為碼多項(xiàng)式,對(duì)于許用循環(huán)碼A=(an-1an-2 a1 a0),可以將它的碼多項(xiàng)式表示為A(x)=an-1xn-1+an-2xn-2+a1x+a0 (4-45) 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)對(duì)于二進(jìn)制碼組,多項(xiàng)式的每個(gè)系數(shù)不是0就是1,x僅是碼元位置的標(biāo)志,因此,我們這里并不關(guān)心x的取值設(shè)上述循環(huán)許用碼組A左循環(huán)一位得到的碼組記作 A（1）= (an-2an-3 a0 an-1),其碼多項(xiàng)式可以表示為 A (1) (x)=an-2xn-1+an-3xn-2+a0 x+an-1 (4-46) 同理,左移i位的碼組A（i）=(an-i-1 an-i-2 an-i+1

32、 an-i),其碼多項(xiàng)式為 A (i) (x)=an-i-1xn-1+an-i-2xn-2+an-i+1x+an-i (4-47)第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) 利用代數(shù)理論知識(shí),A（i） (x)也可以用下式求得： xiA(x)=Q(x)(xn+1)+ A（i） (x) (4-48)這里,Q(x)表示xiA(x)除以(xn+1)的商,而A（i） (x)表示所得余式。 由上述分析可以得到結(jié)論： 一個(gè)長為n的循環(huán)碼,它必為按模(xn+1)運(yùn)算的一個(gè)余式。 這個(gè)結(jié)論給出了構(gòu)造許用碼的一種方法,即利用循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式可以得到全部碼組。 在循環(huán)碼中,一個(gè)(n, k)碼有2k個(gè)不同的碼組,若用g(

33、x)表示其中前(k-1)位皆為“0”的碼組,則g(x)、xg(x)、 x2g(x)、 、 xk-1g(x)都是碼組,而且這k個(gè)碼組線性無關(guān),因此,可以利用它們構(gòu)成循環(huán)碼的生成矩陣,而g(x)被稱為生成多項(xiàng)式。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)可以證明,一個(gè)(n, k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x),必須是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)不為“0”的(n-k)次多項(xiàng)式,而且,這個(gè)g(x)還是(n, k)碼中次數(shù)為(n-k)的惟一的一個(gè)多項(xiàng)式。因?yàn)槿绻袃蓚€(gè),則由于碼的封閉性,把這兩個(gè)碼相加也應(yīng)該是一個(gè)碼組,且此碼組多項(xiàng)式的次數(shù)將小于(n-k),即出現(xiàn)連續(xù)“0”的個(gè)數(shù)將多于(k-1)的情況,這與(n, k)循環(huán)碼是線性

34、碼的特性相違背,故是不可能的。 為此,可以得到一個(gè)重要的結(jié)論： 一旦生成多項(xiàng)式g(x)確定以后,整個(gè)(n, k)循環(huán)碼就被確定了。 基于g(x), 可以進(jìn)一步寫出循環(huán)碼的生成矩陣如下： 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)顯然,上式不符合G=Ik Q形式,所以此生成矩陣不是典型形式,不過,可以通過簡單的代數(shù)變換將它變成典型矩陣。 )()()()()(21xgxgxxgxxgxxGkk(4-49)第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)根據(jù)g(x)定義可知,它是(n, k)循環(huán)碼中惟一的一個(gè)(n-k)次碼多項(xiàng)式,當(dāng)然也就是該循環(huán)碼的許用碼組。 對(duì)g(x)表述的許用碼組進(jìn)行k次左移,會(huì)得到同樣的碼組,

35、將這一過程用式(4-48)描述將得到xkg(x)=Q(x)(xn+1)+g(x) (4-50)上式左邊是一個(gè)n次多項(xiàng)式,因此,Q(x)=1,所以可以進(jìn)一步表示為(xn+1)=xkg(x)+g(x)=g(x)(xk+1) (4-51)式(4-51)表明,生成多項(xiàng)式g(x)是(xn+1)的一個(gè)因式,因此,為了確定生成多項(xiàng)式,必須首先對(duì)(xn+1)進(jìn)行因式分解,然后再用計(jì)算進(jìn)行篩選,計(jì)算過程通常使用計(jì)算機(jī)來完成。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)對(duì)于一個(gè)(n, k) 循環(huán)碼,其生成多項(xiàng)式應(yīng)該是(xn+1)的一個(gè)(n-k)次因子,任何(n, k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x),乘上(x+1)后得到生成

36、多項(xiàng)式,可以構(gòu)造(n, k-1)循環(huán)碼。 以(x7+1)因式分解為例： x7+1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) (4-52) 由式(4-52)可構(gòu)成如表4-3所示的(7,k)循環(huán)碼。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)表4-3 (x7+1)因式分解構(gòu)成的(7,k)循環(huán)碼第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)由表4-3可看出不管是(7, 4)循環(huán)碼還是(7, 3)循環(huán)碼,均包含兩個(gè)不同的生成多項(xiàng)式,因此,依據(jù)不同的生成多項(xiàng)式將產(chǎn)生不同的循環(huán)碼組。 上面我們討論了循環(huán)碼的基本原理,下面就系統(tǒng)循環(huán)碼的產(chǎn)生進(jìn)行分析。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)根據(jù)循環(huán)碼的編碼特點(diǎn),所有循環(huán)碼

37、多項(xiàng)式A(x)都可以被g(x)整除。 根據(jù)這一原理可以得到一個(gè)較簡單的系統(tǒng)循環(huán)碼編碼方法： 設(shè)要產(chǎn)生(n, k)循環(huán)碼,m(x)表示信息多項(xiàng)式,則其次數(shù)必小于k,而xn-km(x)的次數(shù)必小于n,用xn-km(x)除以g(x),可得余數(shù)r(x),r(x)的次數(shù)必小于(n-k),將r(x)加到信息位后作監(jiān)督位,就得到了系統(tǒng)循環(huán)碼,其數(shù)學(xué)描述如下： (4-53)則系統(tǒng)循環(huán)碼可以表示為 A(x)=xn-km(x)+r(x) (4-54) )()()()()(xgxrxqxgxmxkn第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)上述編碼過程,在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí),可以利用除法電路來實(shí)現(xiàn),這里的除法電路采用一些移位寄存

38、器和模2加法器來構(gòu)成,下面我們將以(7, 3)循環(huán)碼為例來說明其具體實(shí)現(xiàn) 過 程 。 設(shè) 該 ( 7 , 3 ) 循 環(huán) 碼 的 生 成 多 項(xiàng) 式 為g(x)=x4+x2+x+1,則構(gòu)成的系統(tǒng)循環(huán)碼編碼器如圖4-7所示,圖中有4個(gè)移位寄存器,一個(gè)雙刀雙擲開關(guān)。 當(dāng)信息位輸入時(shí),開關(guān)位置接“1”,輸入的信息碼一方面送到除法器進(jìn)行運(yùn)算,一方面直接輸出； 當(dāng)信息位全部輸出后,開關(guān)位置接“2”,這時(shí)輸出端接到移位寄存器的輸出,除法的余項(xiàng),也就是監(jiān)督位依次輸出。 當(dāng)信息碼為110時(shí),編碼器的工作過程如表4-4所示。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)圖4-7 (7, 3)循環(huán)碼編碼器abcd211m

39、輸入f輸出e2第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)表4-4 編碼器的工作過程第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)對(duì)于接收端譯碼的要求通常有兩個(gè)： 檢錯(cuò)與糾錯(cuò)。 達(dá)到檢錯(cuò)目的的譯碼十分簡單,可以依據(jù)式(4-54),通過判斷接收到的碼組多項(xiàng)式B(x)是否能被生成多項(xiàng)式g(x)整除來完成。 當(dāng)傳輸中未發(fā)生錯(cuò)誤時(shí),接收的碼組與發(fā)送的碼組相同,即A(x)=B(x),接收的碼組B(x)必能被g(x)整除； 若傳輸中發(fā)生了錯(cuò)誤,則A(x) B(x), B(x)不能被g(x)整除。 因此,我們就可以根據(jù)余項(xiàng)是否為零來判斷碼組中有無錯(cuò)碼。 需要指出的是,有錯(cuò)碼的接收碼組也有可能被g(x)整除,這時(shí)的錯(cuò)碼就不能檢

40、出了。 這種錯(cuò)誤被稱為不可檢錯(cuò)誤,不可檢錯(cuò)誤的錯(cuò)碼數(shù)必將超過這種編碼的檢錯(cuò)能力。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)在接收端為糾錯(cuò)而采用的譯碼方法自然比檢錯(cuò)要復(fù)雜許多,因此,對(duì)糾錯(cuò)碼的研究大都集中在譯碼算法上。 我們知道,校正子與錯(cuò)誤圖樣之間存在某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。 如同其他線性分組碼,循環(huán)碼的譯碼可以分三步進(jìn)行：（1）由接收到的碼多項(xiàng)式B(x)計(jì)算校正子(伴隨式)多項(xiàng)式S(x)； （2） 由校正子多項(xiàng)式S(x)確定錯(cuò)誤圖樣E(x)； （3） 將錯(cuò)誤圖樣E(x)與B(x)相加,糾正錯(cuò)誤。 上述第（1）步運(yùn)算和檢錯(cuò)譯碼類似,也就是求解B(x)整除g(x)的余式,第（3）步也很簡單。 因此,糾錯(cuò)碼譯碼

41、器的復(fù)雜性主要取決于譯碼過程的第（2）步。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)4.3.3 BCH碼BCH碼是循環(huán)碼中的一個(gè)重要子類,它是以三個(gè)研究 和 發(fā) 明 這 種 碼 的 人 名 B o s e 、 C h a u d h u r i 和Hocguenghem命名的。 BCH碼不僅具有糾正多個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤的能力,而且具有嚴(yán)密的代數(shù)結(jié)構(gòu),是目前研究得最為透徹的一類碼。 它的生成多項(xiàng)式g(x)與最小碼距之間有密切的關(guān)系,人們可以根據(jù)所要求的糾錯(cuò)能力t,很容易地構(gòu)造出BCH碼。 BCH碼的譯碼也比較容易實(shí)現(xiàn),是線性分組碼中應(yīng)用最為普遍的一類碼。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù) 4.4 卷積碼

42、卷積碼 4.4.1 卷積碼的表述方式卷積碼編碼器的一般形式如圖4-9所示,它包括：一個(gè)由N段組成的輸入移位寄存器,每段有k級(jí),共Nk位寄存器；一組n個(gè)模2相加器；一個(gè)由n級(jí)組成的輸出移位寄存器。 對(duì)應(yīng)于每段1個(gè)比特的輸入序列,輸出n個(gè)比特。 由圖可知,n個(gè)比特編碼輸出不僅與當(dāng)前的k個(gè)比特信息輸入有關(guān),而且與以前的(N-1)k個(gè)比特信息輸入有關(guān)。 整個(gè)編碼過程可以看成是輸入信息序列與信道編碼器的卷積,卷積碼即由此得名。 通常把N稱為約束長度(注意： 約束長度的定義并無統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn),在有的書和文獻(xiàn)中把nN或(N-1)稱為約束長度),因此,卷積碼通常可以表示為(n,k,N),它的編碼效率為Rck/n。

43、 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)圖4-9 卷積碼編碼器的一般形式k21輸入序列kk21k21Nk 級(jí)n213輸出序列第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)為了介紹幾種簡單的卷積碼表述方法,我們將以圖4-10所示的(2,1,3)卷積碼為例進(jìn)行分析。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)圖4-10 （2,1,3）卷積碼編碼器mj輸入序列m1m2mjmj1mj2輸出序列x1 , jx2 , j第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)1. 樹狀圖在(2,1,3)卷積碼編碼器當(dāng)中,輸出移位寄存器用轉(zhuǎn)換開關(guān)代替,每輸入一個(gè)位信息,經(jīng)編碼產(chǎn)生兩位輸出。 假設(shè)移位寄存器的起始狀態(tài)為全0,當(dāng)?shù)谝粋€(gè)輸入位為0時(shí),

44、輸出為00； 若輸入比特為1,則輸出比特為11。 隨著第二個(gè)位的輸入,第一位右移一位,此時(shí)輸出比特同時(shí)受當(dāng)前輸入位和前一個(gè)輸入位的影響。 第三位輸入時(shí),第一、 二位分別右移一位,同時(shí)輸出兩個(gè)由這三位移位寄存器存儲(chǔ)內(nèi)容所共同決定的比特。 當(dāng)?shù)谒奈惠斎霑r(shí),第一位移出移位寄存器而消失。 移位過程可能產(chǎn)生的各種序列可以用圖4-11所示的樹狀圖來表示。 樹狀圖從節(jié)點(diǎn)a開始畫,此時(shí)移位寄存器狀態(tài)(即存儲(chǔ)內(nèi)容)為00。第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)00aab110010cbd0111a0000acb111010cdd0101b11a0000aab110010cbd0111c00acb111010cdd

45、0101db11a圖4-11 （2，1，3）卷積碼的樹狀表示第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)當(dāng)?shù)谝粋€(gè)輸入位m10時(shí),輸出位x1, 1x2, 100； 當(dāng)m11時(shí),輸出位x1, 1x2, 111； 因此從a點(diǎn)出發(fā)有兩條分支(樹叉)可以選擇,也就是m10時(shí)取上面一條分支,m11時(shí)取下面一條分支。 當(dāng)輸入第二位時(shí),移位寄存器右移一位后,在上分支情況下,移位寄存器的狀態(tài)仍為00,下分支的狀態(tài)則為01,把01狀態(tài)記作b。 當(dāng)新的一位輸入時(shí),隨著移位寄存器狀態(tài)和輸入位的不同,樹狀圖繼續(xù)分叉成4條分支,兩條向上,兩條向下。 上分支對(duì)應(yīng)于輸入0狀態(tài),下分支對(duì)應(yīng)于輸入1狀態(tài)。 如此繼續(xù)下去,即可得到圖4-1

46、1所示的二叉樹圖形。 樹狀圖中,每條樹叉上所標(biāo)注的碼元為輸出狀態(tài),每個(gè)節(jié)點(diǎn)上標(biāo)注的a、 b、 c、 d表示移位寄存器的狀態(tài),也就是以前輸入的信息,a狀態(tài)表示mj-2mj-100,b狀態(tài)表示mj-2mj-101,c狀態(tài)表示mj-2mj-110,d狀態(tài)表示mj-2mj-111。 顯然,對(duì)于第j個(gè)輸入位,就有2j條分支,但是在j=N3時(shí),樹狀圖的節(jié)點(diǎn)自上而下開始重復(fù)出現(xiàn)這4種狀態(tài)。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)2. 網(wǎng)格圖從卷積碼的樹狀圖中可以看到,樹狀圖的節(jié)點(diǎn)自上而下會(huì)出現(xiàn)重復(fù)特性,為此,我們可以得到一種更為緊湊的圖形表示方法,即網(wǎng)格圖法,具體情況見圖4-12。 在網(wǎng)格圖中,把碼樹中具有相

47、同狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)合并在一起,碼樹中的上分支（對(duì)應(yīng)輸入0）用實(shí)線表示,下分支（對(duì)應(yīng)輸入1）用虛線表示。 網(wǎng)格圖中分支上標(biāo)注的碼元為對(duì)應(yīng)的輸出,自上而下4行節(jié)點(diǎn)分別表示a、 b、 c、 d四種狀態(tài)。 一般情況下應(yīng)有2N-1種狀態(tài),從第N節(jié)開始,網(wǎng)格圖圖形開始重復(fù)而完全相同。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)圖4-12 （2, 1, 3）卷積碼的網(wǎng)絡(luò)圖表示0000000000111111111110狀態(tài)a00b01c10d1110101001010101010101000000101111111010第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)3. 狀態(tài)圖由圖4-11可以看到,對(duì)于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)當(dāng)前狀態(tài)a、 b

48、、 c、 d,根據(jù)不同的輸入將進(jìn)入不同的狀態(tài),基于這一原理,我們可以構(gòu)造出當(dāng)前狀態(tài)與下一狀態(tài)之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖,也可以稱之為卷積碼的狀態(tài)圖。 在圖4-13中實(shí)線表示信息位為0的路徑,虛線表示信息位為1的路徑,并在路徑上寫出相應(yīng)的輸出碼元。 當(dāng)然,如果將狀態(tài)圖在時(shí)間上展開,便可以得到前面講到的網(wǎng)格圖。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)圖4-13 （2,1,3）卷積碼的狀態(tài)圖adcb1000001011011101狀態(tài)a00b01c10d11第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)假如利用圖4-10所示的卷積碼編碼器對(duì)輸入序列110111001000進(jìn)行編碼,我們就可以用上述3種方法當(dāng)中的任意一種來

49、分析編碼器的輸出序列和狀態(tài)變化路徑。 在這里使用卷積碼的網(wǎng)格圖表示法進(jìn)行分析。 若起始狀態(tài)為a,則可以得到圖4-14所示的結(jié)論。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)圖4-14 （2,1,3）卷積碼的編碼過程及路徑a輸 出 碼狀 態(tài)輸 入 碼111b11011d010c001b011d101d010c110a111b100c110a000a0001010001100111111011第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)通過上述分析以及對(duì)具體實(shí)例的研究,我們可以得到(n,k,N)卷積碼的一些基本特性： （1） 對(duì)于每組k位的輸入,利用卷積碼編碼后將得到n位的輸出； （2） 樹狀圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)可引出2k條分支； （3） 網(wǎng)格圖和狀態(tài)圖都有2k(N-1) 種可能的狀態(tài),每個(gè)狀態(tài)可以引出2k條分支,同時(shí)也有2k條分支從其他狀態(tài)或本狀態(tài)引入； （4） 在任何情況下,只要卷積碼編碼器一確定,相應(yīng)的樹狀圖、 網(wǎng)格圖和狀態(tài)圖都將確定,與輸入的碼序列無關(guān)。 第第4章章 信道編碼技術(shù)信道編碼技術(shù)4.4.2 二進(jìn)制卷積碼的距離特性我們知道,在分組碼中碼距(Hamming距)與糾錯(cuò)能力有密切關(guān)系,生成一種分組碼時(shí)應(yīng)使碼組之間的距離盡可能大。 常以最大的最小碼距作為糾錯(cuò)能力的度量。 卷積碼中也同樣存在碼距的概念,通常使用的碼距有兩種： 最小碼距