第5章-相似矩陣和二次型(第十三課)

1、1第第5 5章章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 關(guān)于特征值和特征向量的討論關(guān)于特征值和特征向量的討論 用正交變換化二次型為標準形用正交變換化二次型為標準形 (或用正交矩陣化對稱陣為對角陣或用正交矩陣化對稱陣為對角陣) 本章討論本章討論 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積 特征值和特征向量特征值和特征向量 相似矩陣相似矩陣 二次型的化簡二次型的化簡 本章重點本章重點22 方陣的特征值和特征向量方陣的特征值和特征向量定義定義 設(shè)設(shè) A為為 n 階方陣，如果數(shù)階方陣，如果數(shù)和和 n 維維非零向量非零向量 x, 使關(guān)系式使關(guān)系式)1(xAx 成立，則稱數(shù)成立，則稱數(shù)為方陣為方陣 A 的的特征值特征值，非零向量，

2、非零向量 x為為 A 的的對應(yīng)于對應(yīng)于的的特征向量特征向量.注注 由定義可知：由定義可知： 1) 若若 p 是是 A 的對應(yīng)于的對應(yīng)于的特征向量的特征向量, 則則 kp (k0) 也也 是是 A 的對應(yīng)于的對應(yīng)于的特征向量的特征向量. 2) 若若 p1, p2 皆是皆是 A 的對應(yīng)于的對應(yīng)于的特征向量的特征向量, 則則 p1+p2 ( p1+p2 0) 也是也是 A 的對應(yīng)于的對應(yīng)于的特征向量的特征向量. 3問題問題: 給定方陣給定方陣A, 如何去求如何去求A的特征值及特征向量的特征值及特征向量?0 0 ExAx 式式知知由由 ) 1 (0 0 xEA)( 這是這是 n個未知數(shù)個未知數(shù) n 個

3、方程的齊次線性方程組個方程的齊次線性方程組,由克萊姆由克萊姆法則知其有非零解的法則知其有非零解的充要條件充要條件是系數(shù)行列式是系數(shù)行列式)3()0(0 AEEA 或或即即)3( 0/212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa4,)(EAf 記記 由代數(shù)學(xué)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，由代數(shù)學(xué)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，n 次方程一定次方程一定有有 n 個根個根(重根按重數(shù)計算重根按重數(shù)計算). 故知有故知有結(jié)論結(jié)論 n 階方陣階方陣 A 一定有一定有n 個特征值個特征值.稱其為方陣稱其為方陣 A 的的特征多項式特征多項式.這是一個關(guān)于這是一個關(guān)于的一元的一元 n 次多項式次多項式. 上式是

4、關(guān)于上式是關(guān)于的一元的一元 n 次方程次方程, 稱其為稱其為 A 的的特征方程特征方程，顯然顯然 A 的特征值即為特征方程的解的特征值即為特征方程的解.5通常，稱通常，稱nnaaa2211為為A的的跡跡，記為，記為 tr(A).則則對對應(yīng)應(yīng)于于的的一一個個特特征征值值為為方方陣陣若若已已求求得得,Ai 即，求對應(yīng)的特征向量歸結(jié)為解一個線性方程組即，求對應(yīng)的特征向量歸結(jié)為解一個線性方程組.0 0i i xEAi)( 的的特特征征向向量量滿滿足足設(shè)設(shè)A 的特征值為的特征值為n ,21由多項式的根與系數(shù)由多項式的根與系數(shù)之間的關(guān)系知：之間的關(guān)系知：.)2)121221121Aaaannnn 61）

5、解特征方程解特征方程2) 對每個特征值對每個特征值總結(jié)：總結(jié)：n 階方陣階方陣A的特征值、特征向量的求法：的特征值、特征向量的求法：0 EA 得到得到 A 的全部特征值的全部特征值.（注意共有（注意共有 n 個特征值）個特征值）,i 求出齊次線性方程組求出齊次線性方程組0 0 xEAi)( 的基礎(chǔ)解系，它們就是的基礎(chǔ)解系，它們就是 A 的對應(yīng)于的對應(yīng)于i 的線性無關(guān)的特征向量的線性無關(guān)的特征向量.7例例 （教材教材P122例例4） 求三階矩陣求三階矩陣 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A的特征多項式為的特征多項式為2) 1)(2(201034011 AE故得故得

6、A的三個特征值為的三個特征值為. 1, 2321 對于對于, 21 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（2E -A)x= 0 ,8系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣IAE 000010001001014013)2(行行同解方同解方程組為程組為 332100 xxxx取基礎(chǔ)取基礎(chǔ) 解系解系.1001 則則1就是就是 A 的屬于的屬于1 =2的特征向量的特征向量, 而而)0(1 kk 就是就是 A 的屬于的屬于1 =2的全部特征向量的全部特征向量.例例 （教材教材P122例例4） 求三階矩陣求三階矩陣 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.9對于對于, 132 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組

7、（E A)x = 0 ,系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣IAE 000210101101024012)(行行同解方同解方程組為程組為 3332312xxxxxx取基礎(chǔ)取基礎(chǔ) 解系解系.1212 )0( k則則2就是就是 A的屬于的屬于2 = 3 =1的特征向量的特征向量, 而而就是就是 A的屬于的屬于2 = 3 =1的全部特征向量的全部特征向量.2 k注意注意:這里基這里基礎(chǔ)解系礎(chǔ)解系只含一只含一個向量個向量例例 （教材教材P122例例4） 求三階矩陣求三階矩陣 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.10例例 （教材教材P123例例5） 求三階矩陣求三階矩陣 122212221A的特征值和

8、特征向量的特征值和特征向量.解解 A的特征多項式為的特征多項式為2) 1)(5(122212221 AE故得故得A的三個特征值為的三個特征值為. 1, 5321 對于對于, 51 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（5E A)x= 0 ,11系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣4221015242011224000()EAI行行同解方同解方程組為程組為 333231xxxxxx取基礎(chǔ)取基礎(chǔ) 解系解系.1111 則則1就是就是A的屬于的屬于1 =5的特征向量的特征向量, 而而)0(1 kk 就是就是A的屬于的屬于1 =5的全部特征向量的全部特征向量.例例 （教材教材P123例例5） 求三階矩陣求三階矩陣的特征值和特

9、征向量的特征值和特征向量. 122212221A12對于對于, 132 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（ E A)x= 0 ,系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣IAE 000000111222222222)(行行同解方程組為同解方程組為 3322321xxxxxxx例例 （教材教材P123例例5） 求三階矩陣求三階矩陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 122212221A13取基礎(chǔ)解系取基礎(chǔ)解系 101,01132 則則2 ,3就是就是A的屬于的屬于2 = 3 =1的兩個線性無關(guān)的的兩個線性無關(guān)的A的屬于的屬于2 = 3 =1 的全部特征向量的全部特征向量.注意注意: 這里這里基礎(chǔ)解系含基礎(chǔ)解系含有兩

10、個向量有兩個向量323322,(kkkk 特征向量特征向量, 而而不同時為不同時為0）就是）就是 由上兩例可見：由上兩例可見：k 重特征根所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征重特征根所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)可能為向量個數(shù)可能為 k, 也可能少于也可能少于 k .例例 （教材教材P123例例5） 求三階矩陣求三階矩陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 122212221A14引理引理 設(shè)設(shè)是是A的特征值，則的特征值，則2是是A2 特征值，一般特征值，一般 地，地，k 是是Ak 的特征值的特征值.證證 因為因為是是A的特征值，即有的特征值，即有pApp 使使, 0 0于是，于是，pAppAApApA2

11、2)()()( 即即2是是A2 特征值，類似可證一般情形特征值，類似可證一般情形.注：此注：此結(jié)結(jié)論還可進一步推廣如下：論還可進一步推廣如下：若若是是A的特征值，則的特征值，則的的特特征征值值是是的的特特征征值值，是是bEaAbaaAa 更一般地，更一般地，mmaaa 10.10的的特特征征值值是是mmAaAaEa 15定理定理 2 設(shè)設(shè)m ,21是方陣是方陣A的的 m個特征值個特征值,依次是與之對應(yīng)的特征向量，如果依次是與之對應(yīng)的特征向量，如果mppp,21m ,21各不相等，則各不相等，則mppp,21線性無關(guān)線性無關(guān).證證 設(shè)有設(shè)有( (* *) )0 0 mmpxpxpx2211（*）

12、式兩端分別用）式兩端分別用12, mAAAE左乘左乘, 由引理由引理0 mmmmmpxpxpxpxpxpx221122112 21 10 0可得可得:0 02 21 1 mmmmmmpxpxpx122111116 OOOpxpxpxmmmmmmm 11221112211111 左端第二個矩陣的行列式為范德蒙行列式，由條件知，左端第二個矩陣的行列式為范德蒙行列式，由條件知，此行列式不等于零，故該矩陣可逆，于是有：此行列式不等于零，故該矩陣可逆，于是有： OOOpxpxpxmm 2211故故但但即即, , ,OpmjOpxjjj ).,2,1(), 2 , 1(0mjxj .,21線線性性無無關(guān)關(guān)

13、所所以以mppp證畢證畢用矩陣形式寫出用矩陣形式寫出,即即:17*:1. 31,1,2|3|?AAE 思思考考設(shè)設(shè) 階階矩矩陣陣 的的特特征征值值為為，則則2.322AA設(shè)設(shè) 為為 階階矩矩陣陣，各各列列元元素素之之和和均均為為 ，問問 是是的的一一個個特特征征值值嗎嗎？*3. 3|2|0,|2|0|2|0,|.AAEAEAEA設(shè)設(shè) 為為 階階方方陣陣，且且，求求12*4.4,0(). AAxR A 設(shè)設(shè) 為為 階階矩矩陣陣，是是的的兩兩個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解，求求1846015. 3501.361Axkk 設(shè)設(shè)的的一一個個特特征征向向量量，求求-46- 3-51.3-6 .Axxkkk

14、 ，解解：，得得到到的的特特征征值值是是多多少少？問問上上題題中中對對應(yīng)應(yīng)于于 x.211121112111kAAkx的特征向量，求的特征向量，求的逆陣的逆陣是是設(shè)設(shè)練習(xí)題練習(xí)題 參參考考上上提提示示：述述例例子子. .193 3 相似矩陣相似矩陣定義定義 設(shè)設(shè)A，B都是都是 n 階方陣，若有可逆矩陣階方陣，若有可逆矩陣 P，使，使BAPP 1則稱矩陣則稱矩陣 B 和和A相似相似，對對A進行運算進行運算BAPP 1稱為對稱為對A進行進行相似變換相似變換，可逆矩陣，可逆矩陣 P 稱稱為為相似變換矩陣相似變換矩陣.定理定理 3 若若 n 階方陣階方陣A與與B相似，則相似，則A與與B的特征多項式相的

15、特征多項式相 同，從而同，從而A與與B的特征值亦相同的特征值亦相同.證證 因因A與與B相似，即有相似，即有P，使，使BAPP 1故故PEAPPEPAPPEB)()(111 .1EAPEAP 20推論推論 若若 n 階方陣階方陣 A相似于對角陣相似于對角陣 n 21則則n ,21即是即是A的的 n 個特征值個特征值.思考思考：1) 若若A、B相似，相似，A、B是否等價？是否等價？2) 若若A、B相似相似, 是否有是否有?BA 結(jié)論結(jié)論: 若若A、B相似相似, 則則A, B等價等價(從而秩相等從而秩相等), 且有且有 A,B的特征多項式相同的特征多項式相同,特征值相同特征值相同; ,BA 以及以及

16、nnnnbbbaaa 2211221121問題問題 對對n 階方陣階方陣A，如何尋求相似變換矩陣，如何尋求相似變換矩陣P，使，使 APP1為對角陣？為對角陣？定理定理 4 n 階方陣階方陣A相似于對角陣（即相似于對角陣（即A能對角化）能對角化）充分充分 必要條件必要條件是是A有有n 個個線性無關(guān)線性無關(guān)的特征向量的特征向量. 由此定理知，由此定理知，A能否對角化歸結(jié)為何時能否對角化歸結(jié)為何時A能有能有n個線性個線性無關(guān)的特征向量，在上節(jié)的例子中，我們知道，盡管無關(guān)的特征向量，在上節(jié)的例子中，我們知道，盡管 n階矩陣一定有階矩陣一定有 n 個特征值，但卻不一定有個特征值，但卻不一定有 n 個線性

17、無關(guān)個線性無關(guān)的特征向量的特征向量.22 nnnppppppA 212121則有：則有：定理定理 4的證明的證明即即)(iiiiippAp 可可逆逆由由于于的的特特征征向向量量的的對對應(yīng)應(yīng)于于是是所所以以PApii, （充分性）將必要性證明逆推之即可（充分性）將必要性證明逆推之即可.證證 （必要性）若（必要性）若A與對角陣相似，與對角陣相似， APP1),(的的列列向向量量皆皆為為 Ppi即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 P，使，使 PAP.,21線線性性無無關(guān)關(guān)故故nppp23推論推論 如果如果 n 階矩陣階矩陣A的的 n 個特征值各不相等，則個特征值各不相等，則A與對與對 角陣相似角陣相似.在

18、一個特別情形，我們有在一個特別情形，我們有注意注意 由定理由定理4的證明過程可知：的證明過程可知：1）對角陣）對角陣的對角線上的元素就是的對角線上的元素就是A的的 n 個特征值；個特征值；2）相似變換矩陣）相似變換矩陣 P 的列向量就是的列向量就是A的的 n個線性無關(guān)個線性無關(guān) 的特征向量的特征向量.當(dāng)有當(dāng)有 APP1成立時，成立時，設(shè)設(shè)3階方陣階方陣A的特征值為的特征值為 1,1,2，問，問A3 能否相似對角化？能否相似對角化？答答: 可以可以.24解解 A的特征多項式為的特征多項式為2)1)(2(163053064 AE故得故得A的三個特征值為的三個特征值為. 1, 2321 對于對于, 21 方程組（方程組（-2E A)x= 0 , 試證三階矩陣試證三階矩陣與對角陣相似與對角陣相似. 1630