數(shù)字信號(hào)處理課件 第六章

1、第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院信號(hào)課程建設(shè)組主講：李沅中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)2/88第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)n6.1 數(shù)字濾波器的基本概念n6.2 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)n6.3 模擬濾波器的數(shù)字化方法n6.4 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的綜合實(shí)例n6.5 其它類型的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)n6.6 全通濾波器與最小相位系統(tǒng)中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3/886.1 數(shù)字濾波器的基本概念一、數(shù)字濾波器定義一、數(shù)字濾波器定義 數(shù)字濾波器是對(duì)數(shù)字信號(hào)實(shí)現(xiàn)濾波的線性移不變系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng)。

2、將輸入的數(shù)字序列通過特定運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列。中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)4/88二、濾波器的分類濾波器的分類經(jīng)典濾波器 假定輸入信號(hào)x(n)中的有用成份和希望去除的成分各自占有不同的頻帶，這樣，當(dāng)x(n)通過一個(gè)線性系統(tǒng)（即濾波器）后可將與欲去除的成份有效地去除。()()()jjjY eX eH e( )( )( )( ) ()ny nx nh nh m x nm中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)5/88其特點(diǎn)為： （1）頻率變量以數(shù)字頻率 表示，=T ， 為模擬角頻率，T為抽樣時(shí)間間隔； （2）以數(shù)字抽樣頻率

3、 為周期； （3）頻率特性只限于 范圍，這是因?yàn)橐廊佣ɡ?，?shí)際頻率特性只能為抽樣頻率的一半。22sasaf T/2sa可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6/88低通高通帶通帶阻中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)7/88三、數(shù)字濾波器的性能要求（低通為例）通帶容限：阻帶容限：通帶截止頻率：阻帶截止頻率：通帶最大衰減：阻帶最小衰減：0()20lg20lg()()ppjjpjH eH eH e 0()20lg20lg()()ststjjstjH eH eH e p12pstpst11112st

4、中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)8/88四、數(shù)字濾波器頻響的三個(gè)參量 1、幅度平方響應(yīng) 2、相位響應(yīng) 3、群延遲)(Im)(Re)()()(jjejjjeHjeHeeHeHjdedejj)()(1Im()()tanRe()jjjH eeH e2*1()()()()()( )()|jjjjjjz eH eH eHeH eH eH z H z中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)9/88五、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)內(nèi)容 1、按任務(wù)要求確定濾波器的性能指標(biāo)； 2、用IIR或FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求； 3、選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)這個(gè)系

5、統(tǒng)函數(shù)； 4、用軟件還是用硬件實(shí)現(xiàn)。中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)10/88六、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法（1）將DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成AF的技術(shù)指標(biāo)； （2）按轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo)、設(shè)計(jì)模擬低通濾波器的 ； 巴特沃思模擬濾波器和切比雪夫模擬濾波器 （3）將 沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法 注：如果不是低通，則必須先將其轉(zhuǎn)換成低通AF的技術(shù) 指標(biāo)。)()(zHsHa)(sHa中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)11/886.2 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)n為了從模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器，必須先設(shè)計(jì)一個(gè)滿足技術(shù)指

6、標(biāo)的模擬原型濾波器，也就是要把數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬原型濾波器的指標(biāo)，因此我們就要設(shè)計(jì)這模擬原型濾波器。中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)12/88n常用的模擬低通原型濾波器有巴特沃思(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Ellipse)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等。這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，現(xiàn)成的設(shè)計(jì)圖表供設(shè)計(jì)人員使用。高通、帶通、帶阻等濾波器則可以利用變量變換方法，由低通濾波器變換得到。設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，總是先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器。中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院

7、數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)13/88一、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)一、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù) 1、幅度平方函數(shù)、幅度平方函數(shù)由于由于 所以所以模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： 模擬濾波器的頻率響應(yīng)：模擬濾波器的幅頻特性：)()()()(*22jHjHjHAaaa)()(*jHjHaa2()()()( )()aaaaas jH jHjHjH s Hs )(sHa)( jHa)( jHa中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)14/882、 的零極點(diǎn)分布特點(diǎn)（1）( )()aaHs Hs 的零極點(diǎn)呈象對(duì)稱出現(xiàn)*11*11( ),(),aaHss sHsss

8、 的極點(diǎn)（零點(diǎn)）： 的極點(diǎn)（零點(diǎn)）： -（2）虛軸上的零點(diǎn)一定是二階的，這是因?yàn)?是實(shí)數(shù)時(shí)的 的零極點(diǎn)以共軛對(duì)存在；（3）由于濾波器是穩(wěn)定的，所以 的極點(diǎn)一定在左半平面；最小相位延時(shí)，應(yīng)取左半平面的零點(diǎn)，如無此要求，可取任一半對(duì)稱零點(diǎn)為 的零點(diǎn)。 ( )aH s( )ah t( )aH s( )aH s( )()aaHs Hs中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)15/883、由 確定 的方法 (1) 由 可確定出 ， (2)根據(jù)零極點(diǎn)可確定出 ，穩(wěn)定可實(shí)現(xiàn)的濾波器的極點(diǎn)一定在S平面的左邊，零點(diǎn)根據(jù)與 對(duì)稱關(guān)系取其中一個(gè)。 （3)按頻率特性確定增益常數(shù)。 2(a

9、Hj）2)(sHa)(sHa)( sHa2(aH j）)(sHa中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)16/88中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)17/88中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)18/88二、巴特沃斯低通濾波器二、巴特沃斯低通濾波器 1、幅度平方函數(shù)、幅度平方函數(shù)其中，N為濾波器的階數(shù)； 為截止頻率(3dB)。當(dāng) 時(shí)，則即NcajH22)(11)(c5 . 0)(2cajH707. 0)(cajH10( 0)20 log3(aacHjdBHj ）c中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信

10、號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)19/882、巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)、巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)由于 所以其零點(diǎn)全部在 處；即所謂全極點(diǎn)型，它的極點(diǎn)為也就是說，這些極點(diǎn)也是呈象限對(duì)稱的。而且分布在巴特沃斯圓上（半徑為 ），共有2N點(diǎn)。NcaajssHsH2)(11)()(NkejsNkjccNk2,.2 , 1,)() 1(2122121)(sHacs中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)20/88 N=4 N=5中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)21/88取 左半平面的極點(diǎn)為 的極點(diǎn)，這樣極點(diǎn)僅有N個(gè)，即其中，常數(shù) 由

11、 的低頻特性決定。則)()(sHsHaa12122,1,2,.kjNkcsekN )(sHaNkkassksH10)()(0k)(sHa中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)22/88例6.2.2：導(dǎo)出三階巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，sradc/16211)(jHa611)()(ssHsHaa,2321, 1,23213432321jesesjesjjj2321, 1,232131605354jesesjesjjj6,.,2 , 1,61221keskjk幅度平方函數(shù): 所以 中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)23/88由

12、三個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù)代入可得，321,sss122)()()(2303210ssskssssssksHa0,( )1asHs 1221)(23ssssHa中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)24/883、歸一化的系統(tǒng)函數(shù) 如果將系統(tǒng)函數(shù)的 , 用濾波器的截止頻率 去除，這樣對(duì)應(yīng)的截止頻率變?yōu)?rad/s，即所謂歸一化，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)稱作歸一化的系統(tǒng)函數(shù)記作s( )( )|canassHsH s( )anHsc( )( )|caanssHsHs中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)25/88 在系統(tǒng)函數(shù)形式不變的情況下，如果需要將

13、截止頻率為 的濾波器 ，轉(zhuǎn)變成截止頻率為 的濾波器N, 2 , 1k 1( )aHs1c2c1221( )( )|ccaassHsHs2( )aHs中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)26/884、濾波器的階數(shù)和截止頻率的確定已知巴特沃思模擬濾波器的指標(biāo)2110lg1 (/)pNpc 2110lg1 (/)stNstc 0.10.1lg(101) (101)lg()pstpstN/102101ppcpN2/10101ststcstN( 0)20lg20lg()()H jH jH j N的推導(dǎo)中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

14、27/88N的推導(dǎo)2210lg 1 (/)10lg 1 (/)NppcNststcAA 1010lg(101) (101)lg()pstAAstpN210210101 ()101 ()pstApNcANstc 210210101()101()pstApNcANstc 10210101()101stpANstAp返回中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)28/88中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)29/88中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)30/88三、切比雪夫模擬低通濾波器切比雪夫模擬低通濾

15、波器 1、切比雪夫模擬低通濾波器的提出n巴特沃思濾波器的幅度特性無論在通帶與阻帶都隨頻率變化而單調(diào)變化，因而如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在阻帶內(nèi)肯定會(huì)有富裕量，也就會(huì)超過指標(biāo)的要求，因而并不經(jīng)濟(jì)，所以更有效的辦法是將指標(biāo)的精度均勻地分布在通帶內(nèi)，或均勻地分布在阻帶內(nèi)，或同時(shí)均勻地分布在通帶與阻帶內(nèi)，這時(shí)就可設(shè)計(jì)出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來完成。中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)31/88n切比雪夫?yàn)V波器的幅度特性就在一個(gè)頻帶中（通帶或阻帶）具有這種等波紋特性。n（1）切比雪夫型：在通帶中是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單

16、調(diào)的；n（2）切比雪夫型：在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的。中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)32/882、切比雪夫型低通濾波器n幅度平方函數(shù)n幅度頻響函數(shù))/(11)(222cNaCjH1cos(arccos )( )ch(arcch )1NxNxCxNxx1)()(2)(11NxCxxCxCNNN)/(11)(22cNaCjH中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)33/88切比雪夫?yàn)V波器的三個(gè)參數(shù)：（1） 是通帶寬度；（給定）（2） 是與通帶波紋 有關(guān)的一個(gè)參數(shù)。（3）N 等于通帶內(nèi)最大值和最小值的總數(shù)。)1lg(10

17、)()(lg20)()(lg102minmax2min2max1jHjHjHjHaaaa11010/21)/(11)(222cNaCjHststC1中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)34/88221)(AjHa22221)/(11)(ACjHcNa221()charcch()1ststNccCNA在阻帶內(nèi)st 220lg A20.12arcch101arcch1arcch()arcch()stcstcAN中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)35/88220.111charcch111charcch101stccANN 311

18、charcch( )dBcN 220lg A當(dāng) 即為3dB截止頻率 2A 中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)36/88四、歸一化原型濾波器的設(shè)計(jì)四、歸一化原型濾波器的設(shè)計(jì) 不論哪種形式（巴特沃斯，切比雪夫）的濾波器，都有自己的歸一化原型濾波器（ ），而且它們都有現(xiàn)成的數(shù)據(jù)表可查和設(shè)計(jì)公式（見書187的表6.2.1和表6.2.2） 例如，歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為當(dāng) ,增益為1，則有 。 * 由歸一化系統(tǒng)函數(shù) 得 ，只需將s代入 即可。002012( ).anNNdHsaa sa sa s1cr( )anHs( )aHs/cs 00da中北大學(xué)信息與通信工程

19、學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)37/88濾波器的設(shè)計(jì)舉例 一低通模擬濾波器的指標(biāo)：在 的通帶范圍，幅度特性下降小于1dB；在 的阻帶范圍，衰減大于15dB；試用巴特沃思設(shè)計(jì)滿足要求的模擬濾波器。 3102 3103中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)38/881、技術(shù)指標(biāo) 2、計(jì)算所需的階數(shù)及3dB截止頻率 將技術(shù)指標(biāo)，代入上式，可得1)102 j (Hlg203a15)103 j (Hlg203aC)(1/1)j (HN2C2a)(1lg10)j (Hlg20N2Ca1)102(1lg10N2C315)103(1lg10N2C3中北大學(xué)信息

20、與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)39/88解上述兩式得：1 . 0N2C310)102(15 . 1N2C310)103(1得N=6，則3C100321. 71010lg(101) (101)lg()pstAAstpNNApcp210/110中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)40/88將s用 代入，可得3、 的求得查表（P261）可得N=6時(shí)的歸一化原型模擬巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為)(sHa654321( )3.867.469.147.463.861anHsssssss37.03 10css( )aHs236458412316

21、219231.21 10( )2.60 103.69 103.18 101.82 106.63 101.21 10aHsssssss中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)41/886.3 模擬濾波器的數(shù)字化方法( )( )ah th n沖激函數(shù)：( )( )aHsH z系統(tǒng)函數(shù)：SZ即： 平面（域）平面（域）()()()jaHjH eH j 頻響特性：或中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)42/88轉(zhuǎn)換關(guān)系的兩點(diǎn)要求：轉(zhuǎn)換關(guān)系的兩點(diǎn)要求：n(1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。因此轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)是S平面的左半

22、平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)部。 n(2) 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻率響應(yīng)，也就是S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。數(shù)字化方法：數(shù)字化方法：n抽樣響應(yīng)不變法n雙線性變換法中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)43/88一、抽樣響應(yīng)不變法抽樣響應(yīng)不變法1、變換原理、變換原理 思想： 如果 則有 上式表明，先對(duì) 沿虛軸作周期延拓，再經(jīng)過 的映射關(guān)系映射到Z平面。( )( ) ,( )( ) ,( )( )aaaaHsL h tHsL h tH zZ h n( )()( )|( )aat nTah nh nTh th t12( )( )()sTaaz e

23、kH zHsHsjkTTsTez )(sHa中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)44/882、混疊失真、混疊失真 數(shù)字濾波器的頻響并不是簡(jiǎn)單的重復(fù)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓，即只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊現(xiàn)象失真，即 1212()()()jaakkkkH eHjHjTTTT()02staHjT 1()()jaH eHjTT中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)45/88但是，任何一個(gè)實(shí)際模擬濾波器的頻

24、響卻不是嚴(yán)格帶限的，就會(huì)產(chǎn)生混疊失真)T/j (Ha022中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)46/883、模擬濾波器的數(shù)字化、模擬濾波器的數(shù)字化 （1）一般方法）一般方法 先先再對(duì)再對(duì) 抽樣，使抽樣，使最后最后 這個(gè)過程比較復(fù)雜這個(gè)過程比較復(fù)雜( )( )H zZ h n)()(nThnha1( )( )aah tLHs( )( )aH sH z)(tha中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)47/88（2）方法的簡(jiǎn)化）方法的簡(jiǎn)化 設(shè) 只有單階極點(diǎn)，而且分母的階次大于分子的階次， 可展成如下的部分公式)(sHa)(sHaNkk

25、kassAsH1)()()()(11tueAsHLthNktskaak)()()()()(11nueAnueAnThnhNknTskNknTskakk中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)48/88因?yàn)橐驗(yàn)?1( )1nZ a u naz TsTskkkezzzess11111( )()( )kNs Tnkkh nAeu nNkkkassAsH1)(對(duì)比式：對(duì)比式：對(duì)應(yīng)關(guān)系式：對(duì)應(yīng)關(guān)系式：所以所以11( )1kNks TkAH zez中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)49/88（3）特點(diǎn)n頻率的線性關(guān)系好=T；n時(shí)域模仿特性好

26、；n會(huì)產(chǎn)生混疊失真；會(huì)產(chǎn)生混疊失真；n頻率響應(yīng)與采樣間隔頻率響應(yīng)與采樣間隔T成反比成反比中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)50/88（4）修正的H(z) 由于數(shù)字濾波器的頻響與T成反比，當(dāng)T很小時(shí)，數(shù)字濾波器的增益過高，為此做如下修正：11( )1kNks TkTAH zez2()()(),jaakkH eHjHjTT( )()ah nTh nT中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)51/88二、雙線性變換法雙線性變換法 n針對(duì)沖激響應(yīng)不變法的混疊失真現(xiàn)象，采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到 之間，再用 轉(zhuǎn)

27、換到Z平面上T/sTez 中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)52/881、變換原理設(shè) 經(jīng)過非線性頻率壓縮后用 表示，這里用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮： ( ),aHs sj 111),( jssHaTT121tan22/T由待定系數(shù)得出1tan22TT中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)53/88待定系數(shù)的考慮n考慮當(dāng)很小時(shí)， 即 此時(shí)濾波器的低頻特性得到很好的近似 n考慮濾波器的截止頻率 可以較準(zhǔn)確的控制模擬截止頻率的位置 11tan2CT 2CT1ccT 11tantan22cccCTC C待定系數(shù)12TC cot2ccC 中

28、北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)54/882/j -2/j2/j -2/j1111111ee21ee2j12)21(cos)21(sin221tan2TTTTTTTTTT1111/2-/21/2-/2221th2jTjTjTjTeejjTT eeT 111212 1th21s Ts TessTTTeS平面的壓縮中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)55/88n實(shí)現(xiàn)頻率壓縮： n實(shí)現(xiàn)S平面壓縮：n轉(zhuǎn)換到Z平面：121tan2TT 111212 1th21s Ts TessTTTe11112zzTssszT/2T/21s Tze中

29、北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)56/882、 S平面與Z平面的映射關(guān)系得：2/2/2/2/TsTjzTsTj 則：2222(2/)(2/)TzTjs由中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)57/88（1）當(dāng) 時(shí)， ；這就是說，S平面的 軸映射Z平面的單位圓上。（2）當(dāng) 時(shí)，則有 ；這表明S左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)。兩者均是穩(wěn)定的。（3）當(dāng) 時(shí)，則有 ；這表明S右半平面映射到Z平面的單位圓外。0j01z1z1z 0中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)58/88得：滿足S平面的虛軸與Z平面

30、的單位圓對(duì)應(yīng),jsjze 由jTjeeTsjj)2tan(21122/2/jTjeTj 2arctan2T2tan2T 中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)59/883、模擬濾波器的數(shù)字化n系統(tǒng)函數(shù)n頻率響應(yīng)11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa2tan()22()()tan()2jaaTH eHjHjT中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)60/88與的關(guān)系2arctan2T2tan2T 中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)61/884、雙線性變換的特點(diǎn)n模擬濾波器Ha(s)

31、中最大和最小值將保留在數(shù)字濾波器中，因此模擬濾波器的通帶或阻帶變換成數(shù)字濾波器的通帶或阻帶。n如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則通過雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。n由于S平面的整個(gè)j軸映射為Z平面上的單位圓，因此雙線性變換法確實(shí)消除了沖激響應(yīng)不變法所存在的混疊誤差，所以逼近是良好的。n在和間存在著嚴(yán)重的非線性。中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)62/885、表格設(shè)計(jì)n模擬系統(tǒng)函數(shù)：n關(guān)系式：n數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)n查書198頁表6.3.1可得對(duì)應(yīng)的系數(shù)NNNNNkkkNkkkasBsBsBBsAsAsAAsBsAsH.)(221022100011112112)

32、()(11zzTHsHzHazzTsaNNNNNkkkNkkkzbzbzbbzazazaazbzazH.)(221102211000中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)63/886.4 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的綜合實(shí)例數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的綜合實(shí)例IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟：（1） 確定DF技術(shù)指標(biāo)：p、s、p和s。（2）轉(zhuǎn)換成AF的技術(shù)指標(biāo)(邊界頻率的變換)n采用抽樣響應(yīng)不變法：n采用雙線性變換法：（3）根據(jù)轉(zhuǎn)換后的指標(biāo)設(shè)計(jì)AF （4）將AF的 DF的的 。T/( )aHs( )H z21tan2T 中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章

33、 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)64/88例1（書例6.3.1）：模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ，試用抽樣響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器，T=1解： 11( )13aHsss113131324( )11()1()TTTTTTTTTH zz ez eTzeezeez e21101831. 04177. 013181. 0)(zzzzH中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)65/88模擬濾波器的頻響于數(shù)字濾波器的頻響4)3(2)(2jjHa2jjjje01831. 0e4177. 01e3181. 0)e (H產(chǎn)生失真中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾

34、波器的設(shè)計(jì)66/88解：對(duì)應(yīng)模擬低通濾波器德3dB截止頻率模擬系統(tǒng)函數(shù)：數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)：)/(11)(cassHTTTcc828. 0225. 0tan22tan2例6.3.2：設(shè)計(jì)一個(gè)一階數(shù)字低通濾波器，3dB截止頻率為c=0.25 ，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器。)828. 0/(11)/(11)(sTssHca11111124159. 0112920. 0)1/()1)(828. 0/2(11)()(11zzzzsHzHzzTsa中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)67/88例6.3.3：以 為模型，分別用抽樣不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器

35、，要求：（1）截止頻率為100HZ；（2）系統(tǒng)采樣頻率為1KHz。11)(ssHan如果給定的模型不是歸一化函數(shù)，那么要先求原模型的截止頻率，如 則01( )12Hss0001( )(),21200csH sHs 其中求解中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)68/88解：（1）沖激不變法所以100 2200C 1200( )()200/2001200ansH sHss)()(nTThnha2000.22000.2( )TTzzH zzeze中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)69/88（2）雙線性變換法112221000.21

36、000cccsaf Tff112 111111( )( )65010.245110.50920006501zsTzH zH szzzz返回650( )()650650ansH sHs2tan2000tan(0.1 )6502ccT 中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)70/88例6.3.4：某一低通濾波器的各種指標(biāo)和參量要求如下： （1）巴特沃思頻率響應(yīng)，分別采用雙線性變換法和抽樣不變法設(shè)計(jì)； （2）當(dāng)0f2.5Hz時(shí)，衰減小于3dB； （3）當(dāng)f50Hz時(shí)，衰減大于或等于40dB； （4）采樣頻率為200Hz。 如果以上的指標(biāo)改為： （1）通帶截止頻率p=0

37、.025時(shí)，通帶最大衰減為3dB； （2）阻帶截止頻率st=0. 5 ，阻帶最小衰減為40dB； （3）方法不變求解中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)71/88解：雙線性變換法（2）數(shù)字截止角頻率轉(zhuǎn)變?yōu)槟M截止角頻率112222.52004011222502002pppsastststsaf Tfff Tff2tan400tan()2802tan400tan()24ppststTT（1）得到濾波器的數(shù)字截止角頻率中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)72/8822 10lg 110lg 1NppcNststc（3）根據(jù)指標(biāo)列出

38、關(guān)系式20.324400tan(/80)110400tan(/ 4)110NcNc 代入數(shù)據(jù)得 中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)73/88或 101040.3lg (101) (101)lg()1 lg(101)/(101)1.4222lg1/tan( /80)pstAAstpN（4）根據(jù)指標(biāo)關(guān)系式求解得N和/10215.7101ppcAN c/10240101ststcAN 中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)74/88（5）查表得歸一化二階模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)21( )1.4141anHsss（6）代入截止頻率得到設(shè)計(jì)的

39、系統(tǒng)函數(shù)2246.5( )()22.2246.5aancsHsHss1112121400112( )( )|686.11(1 1.8890.895)azszzzH zHszz（7）雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)子濾波器中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)75/88解：抽樣響應(yīng)不變法： （1）模擬截止角頻率222.552250100ppststff T （2）代入指標(biāo)得22 10lg 110lg 1NppcNststcAA中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)76/88或 101040.3lg (101) (101)lg()lg (101)

40、 (101)33lg(1005 )1.3pststpN ，（3）根據(jù)指標(biāo)關(guān)系式求解得N和/10254.953.17101ppcN c/102101ststcN 中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)77/88（4）查表得歸一化三階模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)（6）沖激不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)子濾波器23211( )122(1)(1)anHsssssss 312( )()131322anccccAAAsH sHsjjss 312131322( )cccTjjTTTA zTA zTA zH zzesese（5）代入截止頻率得到設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)返回中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第

41、六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)78/886.5 其它類型IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字頻帶變換法映射關(guān)系見書212頁表6.4.2模擬頻帶變換法映射關(guān)系見書208頁表6.4.1中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)79/88表表6.4.1 利用雙線性變換從利用雙線性變換從LAF變換變換DF (P208)中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)80/88表表6.4.2數(shù)字頻率變換設(shè)計(jì)公式表數(shù)字頻率變換設(shè)計(jì)公式表 (P212)中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)81/88nMatlab軟件設(shè)計(jì)濾波器 1、濾波器的

42、設(shè)計(jì)（ap表示模擬）nbuttap、butter巴特沃思濾波器nCheb1ap、cheby1切比雪夫型nCheb2ap、cheby2切比雪夫型 2、階數(shù)的獲得（適用于模擬和數(shù)字）nButtord 巴特沃思濾波器nCheb1ord 切比雪夫型nCheb2ord 切比雪夫型中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)82/883、模擬到數(shù)字的變化nImpinvar 抽樣不變法nBilinear 雙線性變換法 4、模擬低通到各型濾波器的變換nLp2lp 低通到低通nLp2bp 低通到帶通nLp2bs 低通到帶阻nLp2hp 低通到高通中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理 第六章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)83/885、零極點(diǎn)增益模型與傳遞函數(shù)模型的轉(zhuǎn)化（模擬）nZp2tf 零極點(diǎn)增益模型到傳遞函數(shù)模型nTf2zp 傳遞函數(shù)模型到零極點(diǎn)增益模型