模糊集的基本運算

1、 第二第二章章 模糊集的基本運算模糊集的基本運算一一. . 模糊集的表示方法模糊集的表示方法 模糊集合是論域模糊集合是論域X 到到0,10,1的映射的映射, , 因此用隸屬函因此用隸屬函數(shù)來表示模糊集合是最基本的方法。除此以外數(shù)來表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, , 還有還有以下的表示方法：以下的表示方法：1)1)序偶表示法序偶表示法 A=(x, A(x)|x X. 例如例如: : 用集合用集合X=x1, x2, x3, x4表示某學生宿舍中的四表示某學生宿舍中的四位男同學位男同學, “, “帥哥帥哥”是一個模糊的概念。經(jīng)某種方法是一個模糊的概念。經(jīng)某種方法對這四位學生屬于帥哥的程度對這

2、四位學生屬于帥哥的程度(“(“帥度帥度”) )做的評價依做的評價依次為次為: : 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 則以此評價構(gòu)成的模糊集則以此評價構(gòu)成的模糊集合合A記為記為: : A=(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56).2) 2) 向量表示法向量表示法 當論域當論域X=x1, x2, , xn時時, , X上的模糊集上的模糊集A可表示為向量可表示為向量 A=(A(x1), A(x2), ,A(xn). 模糊集模糊集“帥哥帥哥”A可記為可記為: : A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). 向量的每個分量都在

3、向量的每個分量都在0與與1之間之間, ,稱之為稱之為模糊向量模糊向量。 3） Zadeh表示法表示法 當論域為有限集當論域為有限集x1, x2, , xn時時, , 模糊集合可表示為模糊集合可表示為 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ +A(xn)/xn. 注意注意, , 這里僅僅是借用了算術(shù)符號這里僅僅是借用了算術(shù)符號+和和/, 并不表示分數(shù)并不表示分數(shù)和運算和運算, , 而只是描述而只是描述A中有哪些元素中有哪些元素, ,以及各個元素的隸屬以及各個元素的隸屬度值。度值。 對于任意論域?qū)τ谌我庹撚騒中的模糊集合中的模糊集合A可記為可記為: :( )/x XAA xx( )x XA xA

4、x 模糊集模糊集“年輕年輕”A可表示為可表示為0,2521(25,100)100,2001251() 50 xxxAxxxx 注意：當論域明確的情況下注意：當論域明確的情況下, , 在序偶和在序偶和ZadehZadeh表示法表示法中中, , 隸屬度為隸屬度為0 0的項可以不寫出。而在向量表示法中的項可以不寫出。而在向量表示法中, , 應應該寫出全部分量。該寫出全部分量。 例如例如, , 論域論域X為為1 1到到1010的所有正整數(shù)的所有正整數(shù), , 模糊集模糊集“近似于近似于5 5”A可表示為：可表示為：0/1 0/ 20.3/30.7/ 4 1/51/60.7/70.3/80/90/100.

5、3/30.7/ 4 1/5 1/60.7/70.3/8(0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0,0)AAA 或或 或或二二. . 典型的隸屬函數(shù)典型的隸屬函數(shù) 構(gòu)造恰當?shù)碾`屬函數(shù)是模糊集理論應用的基礎。一構(gòu)造恰當?shù)碾`屬函數(shù)是模糊集理論應用的基礎。一種基本的構(gòu)造隸屬函數(shù)的方法是種基本的構(gòu)造隸屬函數(shù)的方法是“參考函數(shù)法參考函數(shù)法”, 即參即參考一些典型的隸屬函數(shù)考一些典型的隸屬函數(shù), 通過選擇適當?shù)膮?shù)通過選擇適當?shù)膮?shù), 或通過擬或通過擬合、整合、實驗等手段得到需要的隸屬函數(shù)。合、整合、實驗等手段得到需要的隸屬函數(shù)。 下面介紹典型隸屬函數(shù)。下面介紹典型隸屬函數(shù)。 1. 偏小型偏小型

6、降半矩形分布降半矩形分布, 降半降半形分布形分布, 降半正態(tài)分布降半正態(tài)分布, 降半柯降半柯西分布西分布, 降半梯形分布降半梯形分布, 降嶺形分布。降嶺形分布。1( )0 xaA xxa()1( ),0k x axaA xexa k2()1( ),0k x axaA xexa k1( )1( ,0)1()cxaA xxa b cb xa1( )0 xabxA xaxbbaxb111( )sin2220 xaabA xxaxbbaxb2. 偏大型偏大型 升半矩形分布，升半升半矩形分布，升半形分布，升半正態(tài)分布，升半柯形分布，升半正態(tài)分布，升半柯西分布，升半梯形分布，升嶺形分布。西分布，升半梯形分

7、布，升嶺形分布。0( )1xaA xxa2()0( )1,0k x axaA xexa k()0( )1,0k x axaA xexa k0( )1( ,0)1()cxaA xxa b cb xa0( )1xaxaA xaxbbaxb011( )sin2221xaabA xxaxbbaxb “年輕年輕”模糊集合的隸屬函數(shù)為降半柯西分布模糊集合的隸屬函數(shù)為降半柯西分布, 其中取其中取a =1/5 , b =25 , c =2. “年老年老”模糊集合的隸屬函數(shù)為升半柯模糊集合的隸屬函數(shù)為升半柯西分布西分布, 其中取其中取a=1/5 , b=50, c= 2.3. 中間型中間型(對稱型對稱型) 矩形

8、分布矩形分布, 尖尖形分布形分布, 正態(tài)分布正態(tài)分布, 柯西分布柯西分布, 梯形分布梯形分布, 嶺形分布。嶺形分布。0( )10 xabA xabxabxab()()( )k x ak x aexaA xexa2()( ),0k x aA xek1( )0()1()cA xbcb x a為正偶數(shù)0( )10 xaccxaacxabcbA xabxabcxaabxaccbxac 011sin222( )111sin2220 xba bxbxab aA xaxaa bxaxbb axb 三三. . 模糊集上的運算模糊集上的運算幾幾點說明點說明 經(jīng)典經(jīng)典集合可用特征函數(shù)完全刻畫集合可用特征函數(shù)完全刻

9、畫, 因而經(jīng)典集合可看成因而經(jīng)典集合可看成模糊集的特例模糊集的特例(即隸屬函數(shù)只取即隸屬函數(shù)只取0, 1兩個值的模糊集兩個值的模糊集)。 設設X為非空論域為非空論域, X上的全體模糊集記作上的全體模糊集記作F(X). 于是于是, P(X) F(X), 這里這里P(X)為為X的冪集的冪集(即即X的全體子集構(gòu)成的集的全體子集構(gòu)成的集合合). 特別特別地地, 空集空集的隸屬函數(shù)恒為的隸屬函數(shù)恒為0, 全集全集X的隸屬函數(shù)恒為的隸屬函數(shù)恒為1, 即即、X都是都是X上的模糊集。上的模糊集。2. 模糊集的包含關(guān)系模糊集的包含關(guān)系 設設X為非空論域為非空論域, A, B為為X上的兩個經(jīng)典集合。上的兩個經(jīng)典集

10、合。 A B當且僅當屬于當且僅當屬于A的元素都屬于的元素都屬于B. 易證易證A B當且僅當對任意當且僅當對任意x X有有CA(x) CB(x). 定義定義 設設X為非空論域為非空論域, A, B為為X上的兩個模糊集合。上的兩個模糊集合。 稱稱A包含于包含于B(記作記作A B), 如果對任意如果對任意x X有有A(x) B(x). 這時也稱這時也稱A為為B的子集。的子集。例例 論域論域X=x1, x2, x3, x4時時, X上的模糊集上的模糊集A為為: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). X上的模糊集上的模糊集B為為: B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37).

11、 則根據(jù)定義有則根據(jù)定義有B A. 定義定義 論域論域X上的模糊集上的模糊集A與與B稱為是相等的稱為是相等的, 如果如果A B 且且B A, 即對任意即對任意x X有有A(x)= B(x). 3. 模糊集的并模糊集的并 設設X為非空論域為非空論域, A, B為為X上的兩個經(jīng)典集合。上的兩個經(jīng)典集合。 AB=x X| x A或或x B. 易證易證 CA B(x)=maxCA(x), CB(x)=CA(x) CB(x). 定義定義 設設X為非空論域為非空論域, A, B為為X上的兩個模糊集合。上的兩個模糊集合。 A與與B的并的并(記作記作AB)是是X上的一個模糊集上的一個模糊集, 其隸屬函數(shù)為其隸

12、屬函數(shù)為 (AB)(x)=maxA(x), B(x)=A(x) B(x), x X. 4. 模糊集的交模糊集的交 定義定義 非空論域非空論域X上的兩個模糊集合上的兩個模糊集合A與與B的交的交(記作記作AB)是是X上的一個模糊集上的一個模糊集, 其隸屬函數(shù)為其隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=minA(x), B(x)=A(x) B(x), x X.5. 模糊集的補模糊集的補 定義定義 非空論域非空論域X上的一個模糊集合上的一個模糊集合A的補的補(記作記作A 或或AC)X上的一個模糊集上的一個模糊集, 其隸屬函數(shù)為其隸屬函數(shù)為 A (x)=1 A(x), x X. 注：注：兩個模糊集的并、交運算可以推

13、廣到一般情形兩個模糊集的并、交運算可以推廣到一般情形, 即即對任意指標集對任意指標集I, 若若Ai是是X上的模糊集上的模糊集, i I. 則模糊集的則模糊集的(任意任意)并、并、(任意任意)交定義為交定義為:0,1;( )( ),.iiIiiiIiIAXAxAxxX:0,1;( )( ),.iiIiiiIiIAXAxAxxX例例 設論域設論域X=x1, x2, x3, x4為一個為一個4人集合人集合, X上的模糊集合上的模糊集合 A表示表示“高個子高個子”: A= (x1, 0.6), (x2, 0.5), (x3, 1) , (x4, 0.4) . 模糊集合模糊集合B表示表示“胖子胖子”:

14、B= (x1, 0.5), (x2, 0.6), (x3, 0.3) , (x4, 0.4) . 則模糊集合則模糊集合“高或胖高或胖”為為: AB=(x1,0.60.5),(x2,0.50.6),(x3,10.3),(x4,0.40.4) =(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 1), (x4, 0.4). 模糊集合模糊集合“又高又胖又高又胖”為為: AB=(x1, 0.5), (x2, 0.5), (x3, 0.3), (x4, 0.4). 模糊集合模糊集合“個子不高個子不高”為為: A =(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6). 四

15、四. .模糊集的運算性質(zhì)模糊集的運算性質(zhì) 1. 經(jīng)典集合的運算性質(zhì)經(jīng)典集合的運算性質(zhì) 經(jīng)典集合關(guān)于并、交、補運算具有以下性質(zhì)經(jīng)典集合關(guān)于并、交、補運算具有以下性質(zhì): 設設X為論域為論域, A, B, C為為X上的經(jīng)典集合上的經(jīng)典集合, 則則 (1) 冪等律冪等律: AA=A, AA=A; (2) 交換律交換律: AB=BA, AB=BA; (3) 結(jié)合律結(jié)合律: (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (4) 吸收律吸收律: A(AB)=A, A(AB)=A; (5) 分配律分配律: A(BC)= (AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC);(6) 對合律對合律(復原律復原律

16、): (A ) =A; (7) 兩極律兩極律(同一律同一律): AX=A, AX=X, A=, A=A;(8) De Morgan對偶律對偶律: (AB) =A B , (AB) =A B ;(9) 排中律排中律(互補律互補律): AA =X, AA =.注：注：滿足上述前四條規(guī)律的代數(shù)系統(tǒng)稱為格滿足上述前四條規(guī)律的代數(shù)系統(tǒng)稱為格(可誘導出一個序可誘導出一個序A BAB=AAB=B)。 滿足以上滿足以上9條性質(zhì)的代數(shù)系統(tǒng)條性質(zhì)的代數(shù)系統(tǒng)稱為布爾代數(shù)稱為布爾代數(shù)(Boolean algebra, 即即“有補的有界分配格有補的有界分配格”. 2. 模糊集合的運算性質(zhì)模糊集合的運算性質(zhì) 定理定理 設

17、設X為論域為論域, A, B, C為為X上的模糊集合上的模糊集合, 則則 (1) 冪等律冪等律: AA=A, AA=A; (2) 交換律交換律: AB=BA, AB=BA; (3) 結(jié)合律結(jié)合律: (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (4) 吸收律吸收律: A(AB)=A, A(AB)=A; (5) 分配律分配律: A(BC)= (AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC);(6) 對合律對合律(復原律復原律): (A ) =A; (7) 兩極律兩極律(同一律同一律): AX=A, AX=X, A=, A=A;(8) De Morgan對偶律對偶律: (AB) =A B ,

18、 (AB) =A B .證明證明De Morgan對偶律對偶律:對任意對任意x X, 由于由于 (AB) )(x)=1 (AB)(x) = 1 (A(x)B(x) = (1 A(x)(1 B(x) =A (x)B (x) =(A B )(x).所以所以 (AB) =A B .同理可證同理可證 (AB) =A B . 注：注：模糊集中互補律不成立模糊集中互補律不成立(參見下面的反例參見下面的反例). 滿足以上滿足以上8條性質(zhì)的代數(shù)系統(tǒng)稱為條性質(zhì)的代數(shù)系統(tǒng)稱為De Margan代數(shù)代數(shù), 也稱為軟代數(shù)也稱為軟代數(shù)(soft algebra). 反例反例 設論域設論域X=a, b上的模糊集上的模糊集

19、A=(a, 0.6), (b, 0.3). 則則 A =(a,0.4),(b,0.7). 從而從而 AA =(a,0.6), (b, 0.7) X, AA =(a, 0.4), (b, 0.3) .五五. L型模糊集型模糊集 本節(jié)把模糊集合的隸屬度取值范圍推廣到一般格上本節(jié)把模糊集合的隸屬度取值范圍推廣到一般格上, 并研究這類廣義模糊集合及其性質(zhì)。并研究這類廣義模糊集合及其性質(zhì)。 1. 偏序集與格偏序集與格 定義定義 稱稱(P, )為偏序集為偏序集, 若若P上的二元關(guān)系上的二元關(guān)系 滿足以下三滿足以下三個條件個條件: (1) 自反性自反性: a P, a a; (2) 反對稱性反對稱性: a

20、b且且b a a = b; (3) 傳遞性傳遞性: a b且且b c a c. 對于偏序集對于偏序集(P, ), 如果對于任意如果對于任意a, b P總有總有a b或或b a成立成立, 則稱則稱P為線性序集或全序集。為線性序集或全序集。 設設(P, )為偏序集為偏序集, 若存在若存在a P使得對任意使得對任意b P都有都有a b, 則稱則稱a為為P的的最小元最小元。若存在。若存在a P使得對任意使得對任意b P都有都有b a, 則則稱稱a為為P的的最大元最大元。 易知易知, 如果偏序集有最小元或最大元如果偏序集有最小元或最大元, 則最小元或最大元則最小元或最大元是惟一的。為此是惟一的。為此,

21、記記0為最小元素為最小元素, 1為最大元素。為最大元素。 設設(P, )為偏序集為偏序集, X P, 若存在若存在a P使得對任意使得對任意x X都有都有x a, 則稱則稱a為為X的的上界上界。如果。如果X的上界集合有最小元素的上界集合有最小元素, 則稱則稱它為它為X的最小上界或的最小上界或上確界上確界, 記為記為supX或或X. 對偶地對偶地, 可以定可以定義義下界下界、最大下界或、最大下界或下確界下確界(記為記為infX或或X)。 定義定義 偏序集偏序集 (L, )稱為格稱為格, 如果如果 a, b P, 上確界上確界a b與與下確界下確界ab都存在。都存在。 任意子集都有上、下確界的格稱

22、為任意子集都有上、下確界的格稱為完備格完備格。 上、下確界運算滿足分配律的格稱為上、下確界運算滿足分配律的格稱為分配格分配格, 這里分這里分配律指有限分配律。配律指有限分配律。 定理定理 設設(L, )為格為格, 則上、下確界運算滿足則上、下確界運算滿足: (1) 冪等律冪等律: aa=a, aa=a; (2) 交換律交換律: ab=ba, ab=ba; (3) 結(jié)合律結(jié)合律: (ab)c=a( (bc), (ab)c=a(bc); (4) 吸收律吸收律: a(ab)=a, a(ab)=a.定理定理 設代數(shù)系統(tǒng)設代數(shù)系統(tǒng)(L,)中的二元運算中的二元運算,滿足滿足: 冪等律冪等律: aa=a,

23、aa=a; 交換律交換律: ab=ba, ab=ba; 結(jié)合律結(jié)合律: (ab)c=a( (bc), (ab)c=a(bc); 吸收律吸收律: a(ab)=a, a(ab)=a. 則則: (1) ab=a ab=b; (2) 在在L中定義二元關(guān)系中定義二元關(guān)系 如下如下a b ab=a. 那么那么 (L, )是格是格, 且且,是這個格是這個格(L, )的上、下確界運算。的上、下確界運算。2. Boole代數(shù)與代數(shù)與De Morgan代數(shù)代數(shù) 定義定義 設設L是有界分配格是有界分配格, 0, 1分別是其最大元和最小元。分別是其最大元和最小元。對任意對任意a L, 若存在若存在a L使得使得aa

24、=1, aa =0, 則稱則稱L為布為布爾代數(shù)。爾代數(shù)。 定義定義 設設P是偏序集是偏序集, h:PP是映射。如果當是映射。如果當a b時恒有時恒有h(a) h(b), 則稱則稱h為保序映射。如果當為保序映射。如果當a b時恒有時恒有h(b) h(a), 則稱則稱h為逆序映射。如果逆序映射為逆序映射。如果逆序映射h滿足對合律滿足對合律h(h(a)=a, 則則h稱為稱為逆序?qū)蠈嫘驅(qū)蠈蚧蚰婧嫌成淠婧嫌成? 也稱也稱h為為偽補偽補。 定義定義 設設L是有界分配格是有界分配格, h:LL是是L上的一元運算且滿足上的一元運算且滿足(1) h(h(a)=a,(2) h(ab)=h(a)h(b)

25、, h(ab)=h(a)h(b).則稱則稱L為為De Morgan代數(shù)代數(shù)。 易知易知De Morgan代數(shù)中代數(shù)中h是逆合映射。是逆合映射。 設設X為非空集合為非空集合, 則冪集格則冪集格(P(X), , c)為布爾代數(shù)為布爾代數(shù), 而而X上的模糊集全體構(gòu)成的格上的模糊集全體構(gòu)成的格(F(X), , c)為為De Morgan代數(shù)。代數(shù)。 布爾代數(shù)是布爾代數(shù)是De Morgan代數(shù)代數(shù), 反之不真。反之不真。3. L型模糊集及其運算型模糊集及其運算 定義定義 設設X為論域為論域(經(jīng)典集合經(jīng)典集合), L是一個有逆合映射是一個有逆合映射(偽補偽補)h的格。則映射的格。則映射A:XL稱為集合稱為集合X上的上的L型模糊集合。型模糊集合。 記記FL(X)=A|A:XL為為L型模糊集合型模糊集合. 設設