導(dǎo)線平差的程序設(shè)計與實現(xiàn)

1、 山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院實習報告題 目 導(dǎo)線平差的程序設(shè)計與實現(xiàn) 姓 名： 孟國嬌 學(xué) 號： 專 業(yè)： 工程造價1139 報告提交日期：山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院設(shè)計任務(wù)書學(xué)院：土建工程系 專業(yè)年級：工程造價2011 學(xué)生姓名：孟國嬌 任務(wù)下達日期：2012 年 2 月 20 日畢業(yè)設(shè)計日期： 2012 年 3 月 12 日至 2012 年 6 月 13 日畢業(yè)設(shè)計題目： 導(dǎo)線平差的程序設(shè)計與實現(xiàn)畢業(yè)設(shè)計主要內(nèi)容和要求：主要內(nèi)容：（1）測量平差的研究背景及意義；（2）測量平差概述；（3）Excel在單一附和導(dǎo)線近似平差中的應(yīng)用；（4）Excel在單一附和導(dǎo)線條件平差中的應(yīng)用；（5）導(dǎo)線網(wǎng)的間接平差理論

2、；（6）導(dǎo)線網(wǎng)平差的結(jié)構(gòu)和函數(shù)設(shè)計與實現(xiàn)。設(shè)計要求：（1）畢業(yè)設(shè)計要充分發(fā)揮主觀能動性，積極思考，主動實踐；（2）畢業(yè)設(shè)計撰寫結(jié)構(gòu)要嚴整，敘述清楚，理論分析適當，數(shù)據(jù)可靠，研究方法合理，結(jié)論正確，論文格式符合規(guī)范；（3）研究成果要有一定的實用或參考價值。院長簽字： 指導(dǎo)教師簽字：摘 要隨著測繪科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，在測量數(shù)據(jù)的處理中產(chǎn)生很多種平差的方法。在本文中，導(dǎo)線網(wǎng)的近似平差和條件平差的一些簡單計算可通過Excel表編制計算公式和編程實現(xiàn)，我們只需在已編好的Excel表中稍作調(diào)整和公式修改，并輸入已知數(shù)據(jù)，最終就可得到所需的平差結(jié)果，這為測量的內(nèi)業(yè)工作提供了服務(wù)和參考；導(dǎo)線網(wǎng)的間接平差程序是

3、利用C+編程實現(xiàn)的，我們需要將導(dǎo)線網(wǎng)的已知數(shù)據(jù)信息按照特定的規(guī)則輸入到dat文本中，利用C+程序讀取文本數(shù)據(jù)信息后，對其進行一系列的平差計算，最終獲得平差后的結(jié)果，并以dat文本的形式輸出且保存，這樣就可為測量工作提供一定的參考，還能為測繪數(shù)據(jù)的管理帶來幫助。關(guān)鍵詞： 導(dǎo)線平差；Excel；C+；程序 目 錄1 緒論11.1研究背景及意義11.2國內(nèi)外研究狀況21.3本文研究的具體內(nèi)容21.4平差程序相關(guān)說明31.4.1平差程序計算特點31.4.2平差程序的基本要求31.4.3平差程序的結(jié)構(gòu)化設(shè)計31.4.4平差程序模塊化41.4.5平差程序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)42 測量平差52.1測量平差概述52.1

4、.1測量平差52.1.2測量平差的函數(shù)模型52.2最小二乘原理52.3條件平差原理62.3.1條件平差的數(shù)學(xué)模型62.3.2條件平差原理62.3.3條件平差的計算步驟72.3.4精度評定82.4間接平差原理102.4.1間接平差的數(shù)學(xué)模型102.4.2間接平差的的一般原理112.4.3按間接平差法求平差值的計算步驟122.4.4精度評定123 Excel在導(dǎo)線平差中的應(yīng)用153.1 Excel在平差中的應(yīng)用基礎(chǔ)153.1.1 引言153.1.2 Excel在平差中的基本應(yīng)用操作函數(shù)153.1.3 核心問題的解決及技巧173.1.4 三角函數(shù)在Excel中的處理方法173.1.5 小結(jié)183.2

5、 Excel在附和導(dǎo)線近似平差中的應(yīng)用183.2.1 單一附和導(dǎo)線近似平差183.2.2單一附和導(dǎo)線近似平差實例193.3 Excel在導(dǎo)線網(wǎng)條件平差中的應(yīng)用233.3.1單一附合導(dǎo)線條件平差233.3.2邊角權(quán)的確定及單位權(quán)中誤差253.3.3單一附和導(dǎo)線條件平差實例264導(dǎo)線網(wǎng)的間接平差程序設(shè)計與實現(xiàn)314.1矩陣的相關(guān)函數(shù)314.1.1矩陣相乘314.1.2矩陣轉(zhuǎn)置324.1.3矩陣求逆334.1.4矩陣輸出334.1.5設(shè)置實數(shù)輸出精度334.2平差中的重要函數(shù)334.2.1角度制與弧度制的相互轉(zhuǎn)化334.2.2測量正反算函數(shù)344.2.3近似坐標計算344.3導(dǎo)線網(wǎng)的平差理論364.

6、3.1平差概述364.3.2邊角網(wǎng)的最小二乘平差374.4間接平差的結(jié)構(gòu)與函數(shù)設(shè)計394.4.1間接平差394.4.2結(jié)構(gòu)與函數(shù)設(shè)計414.5導(dǎo)線網(wǎng)平差的程序應(yīng)用434.5.1平面網(wǎng)數(shù)據(jù)的輸入格式434.5.2導(dǎo)線網(wǎng)平差程序應(yīng)用實例445結(jié)論與展望505.1 Excel在導(dǎo)線平差中的應(yīng)用505.1.1 Excel在導(dǎo)線近似平差中的應(yīng)用505.1.2 Excel在導(dǎo)線網(wǎng)條件平差中的應(yīng)用505.2 C+在導(dǎo)線平差中的應(yīng)用515.3 測量平差的展望51參考文獻52致 謝541 緒論1.1研究背景及意義測量工作是工程施工非?；A(chǔ)、重要的環(huán)節(jié)，對工程設(shè)計、工程施工、工程的驗收都發(fā)揮著指導(dǎo)性、不可替代的作

7、用。國家等級控制網(wǎng)的數(shù)據(jù)采集與更新，全國土地調(diào)查，鐵路公路的施工，隧道的貫通，地震的預(yù)報，建筑物的施工放樣和形變監(jiān)測等項目，都離不開測繪行業(yè)。測繪學(xué)科在國民經(jīng)濟規(guī)劃，國防建設(shè)，環(huán)境和資源管理，城鄉(xiāng)建設(shè)等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用?？梢?，測繪行業(yè)的重要性，基礎(chǔ)性地位，同樣隨著施工項目的增多也促進了整個測繪行業(yè)的需求增加，給測繪行業(yè)帶來迅猛的發(fā)展。對于不同的測量任務(wù)常常需要布設(shè)相應(yīng)的控制網(wǎng)以滿足精度需要，測量控制網(wǎng)的發(fā)展由早期的測角三角網(wǎng)、測邊三角網(wǎng)、水準網(wǎng)，到現(xiàn)在的導(dǎo)線網(wǎng)、三維網(wǎng)和GPS控制網(wǎng)。其中導(dǎo)線網(wǎng)是特殊的邊角網(wǎng)，導(dǎo)線網(wǎng)相對測角網(wǎng)和測邊網(wǎng)網(wǎng)形靈活任意，數(shù)據(jù)采集工作相對少了很多，并且可以根據(jù)需要自由

8、伸展。通常測量控制網(wǎng)中全部邊和方向構(gòu)成自身閉合或附和條件即可，在測量條件相對困難的地區(qū)，常常用相當?shù)燃壍膶?dǎo)線網(wǎng)來代替，導(dǎo)線控制網(wǎng)的應(yīng)用現(xiàn)在已非常廣泛，測角網(wǎng)和測邊網(wǎng)已逐漸退出歷史舞臺。測量控制網(wǎng)的精度是測量任務(wù)中的關(guān)鍵、最重要的方面，外業(yè)采集的數(shù)據(jù)能否滿足施工項目的具體要求，測量數(shù)據(jù)處理顯得尤為重要，也是指導(dǎo)外業(yè)測量的關(guān)鍵所在。如隧道的貫通精度控制，橋梁的形變控制，鐵路、公路路線的帶狀控制，都需要很高的外業(yè)測量經(jīng)驗和數(shù)據(jù)處理知識。從施工行業(yè)和測繪行業(yè)的整個控制測量工作流程來講，工作人員獲得了外業(yè)測量采集的數(shù)據(jù)后，還需進行測量內(nèi)業(yè)的數(shù)據(jù)處理內(nèi)業(yè)工作。不同的工程、不同的行業(yè)要求控制網(wǎng)滿足的測量精度

9、也各不相同，使用的儀器精度也不同，最終能否達到工程的要求，必須通過測量控制網(wǎng)數(shù)據(jù)處理來進行檢驗，指導(dǎo)控制網(wǎng)施工。七八十年代的老一輩的測繪工作者數(shù)據(jù)處理只能采用手計算的方式，計算工作量相當繁重，占用大量的時間，測量人員必須具備很高的外業(yè)測量經(jīng)驗和平差數(shù)據(jù)處理知識才能完成。九十年代早期出現(xiàn)了測量平差程序，仍需經(jīng)過記錄數(shù)據(jù)的打印、繪制計算略圖、編號編碼、數(shù)據(jù)摘抄、嚴格順序數(shù)據(jù)錄入等繁瑣工作，影響了數(shù)據(jù)處理的效率，浪費了寶貴的時間，嚴重阻礙了測量數(shù)據(jù)處理自動化的發(fā)展。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展和普及，以及矩陣代數(shù)、最優(yōu)化理論和概率統(tǒng)計在測量平差中的廣泛應(yīng)用，對測量平差理論產(chǎn)生了深刻的影響，是測量平差從經(jīng)典平

10、差理論到現(xiàn)在的近代平差理論，推動了測量平差理論知識的發(fā)展，擴展了經(jīng)典平差理論的數(shù)學(xué)模型，提出了一些近代平差數(shù)據(jù)處理的新方法，如相關(guān)平差、秩虧平差方法、隨機模型的驗后估計、有偏估計等。近幾年國內(nèi)外已有多個版本的導(dǎo)線網(wǎng)平差程序，這些平差程序有其各自的優(yōu)點并存在不足。近期開發(fā)的平差程序大部分已有了改善，智能化自動解算水平在提高，功能在日趨完善，但總存在著不足，功能仍然需要完善。利用現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)手頓結(jié)合測量數(shù)據(jù)處理的專業(yè)知識，編寫新一代的導(dǎo)線網(wǎng)平差軟件，實現(xiàn)導(dǎo)線網(wǎng)平差數(shù)據(jù)處理的計算機自動解算，智能化的完成繁重的數(shù)據(jù)處理任務(wù)，圖形化的操作界面，可大大提高工作的效率，同時減輕內(nèi)業(yè)工作負擔，縮短項目的工期，

11、降低了數(shù)據(jù)處理人員對平差專業(yè)知識的依賴，指導(dǎo)測量任務(wù)能夠正確進行，完成預(yù)期的精度指標，并提高測量數(shù)據(jù)處理效率以準確方便的為測量人員服務(wù)，指導(dǎo)測量施工。取代了在計算機技術(shù)水平不發(fā)達的時代里繁重的、刻板的工作流程，比如繪制計算略圖、編號編碼、數(shù)據(jù)摘錄等等，而且，計算結(jié)果比以前更加準確，避免了人為出現(xiàn)的錯誤機會，減少了人力、物力，財力的成本，同時也為測繪工作者帶來了極大的方便。1.2國內(nèi)外研究狀況計算機編程技術(shù)的發(fā)展推動了測繪行業(yè)軟件的發(fā)展，測量的數(shù)據(jù)處理技術(shù)已走向了數(shù)字化，智能化，越來越多的測繪類軟件層出不窮。通過行業(yè)調(diào)查和市場調(diào)查，國內(nèi)外大型測繪儀器公司都研發(fā)了測繪相應(yīng)領(lǐng)域的數(shù)據(jù)處理軟件，但軟件

12、質(zhì)量差異較大、層次不齊，只能基本滿足測量生產(chǎn)任務(wù)的需要，對與一些比較深入的數(shù)據(jù)處理功能任務(wù)并不能很好的完成，或者存在錯誤、不合理的地方，等各種各樣的問題，比如數(shù)據(jù)錄入繁瑣復(fù)雜，功能不完善，缺乏友好的軟件操作界面，而且軟件開發(fā)人員也并非測量數(shù)據(jù)處理的專業(yè)人員，專業(yè)水平值得懷疑，具體使用的平差算法不明確，平差計算結(jié)果的精度值得質(zhì)疑，而且各個平差程序的平差結(jié)果都不同。目前應(yīng)用較為廣泛的，口碑較好的平差軟件有：南方平差易、清華三維、科傻適普數(shù)據(jù)處理軟件，但都能發(fā)現(xiàn)或多或少的問題或錯誤。國外的平差軟件規(guī)模都相對比較龐大，涵蓋內(nèi)容比較廣，但是軟件難以操作，不容易掌握，對于國內(nèi)的用戶而言，在實際需求上也并不

13、是非常實用，對用戶的專業(yè)水平要求較高，軟件使用習慣上和具體測量數(shù)據(jù)處理流程上，解決的實際問題上和國內(nèi)也有很大的差異，目前市場上還沒有國外專門針對國內(nèi)適合的控制網(wǎng)測量平差軟件。導(dǎo)線網(wǎng)平差軟件的程序?qū)崿F(xiàn)涉及到多個算法，測量平差的數(shù)學(xué)算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中圖論的一系列算法，國內(nèi)很多專家學(xué)者致力于其中難點問題的研究，比如近似坐標的自動推算，無定向?qū)Ь€網(wǎng)的自動推算，自由網(wǎng)平差算法，擬穩(wěn)平差算法，最小獨立閉合環(huán)的搜索，控制網(wǎng)圖形顯示，算法的效率優(yōu)化問題等方面的內(nèi)容。目前，已取得了一定的研究成果，并具有多種算法實現(xiàn)形式。從這些已有的研究成果中，比較算法的優(yōu)劣，找到最高效，最簡便的算法，或者進行更深入的研究，提出更

14、優(yōu)秀的算法。1.3本文研究的具體內(nèi)容結(jié)合已學(xué)的平差理論基礎(chǔ)，本文重在研究平差程序的設(shè)計與實現(xiàn)，其中包括：（1）測量平差的函數(shù)模型（2）Excel在平差中的應(yīng)用基礎(chǔ)（3）Excel在附和導(dǎo)線近似平差中的應(yīng)用（4）Excel在導(dǎo)線網(wǎng)條件平差的應(yīng)用（5）矩陣的相關(guān)函數(shù)（6）平差中的重要函數(shù)（7）導(dǎo)線網(wǎng)的平差理論（8）間接平差的結(jié)構(gòu)與函數(shù)設(shè)計（9）導(dǎo)線網(wǎng)平差的程序應(yīng)用1.4平差程序相關(guān)說明1.4.1平差程序計算特點相對于手工計算，平差程序計算的主要特點是計算速度快、精度高、數(shù)據(jù)處理自動化，從而把人從繁重的計算工作中解放出來。從程序設(shè)計的角度看，程序設(shè)計與平差計算相對獨立。在平差手工計算時，我們總是面對

15、需要計算的具體問題，所以其數(shù)據(jù)是特定的，計算過程由人實時控制；在計算機程序計算中，在程序設(shè)計時數(shù)據(jù)是抽象的，必須考慮到實際計算中問題的多樣性，以及數(shù)據(jù)計算過程的自動化，所以在程序設(shè)計時必須考慮需要處理的所有問題的普遍性和規(guī)律性。另外，相對于手工計算，在程序計算時，選擇平差方法的依據(jù)不同。在手工計算時，我們通常希望盡量降低計算工作量。當必要觀測數(shù)t多余觀測數(shù)r時，我們可以選擇條件平差；當必要觀測數(shù)t多余觀測數(shù)r時，我們可以選擇間接平差，這樣，可以降低平差計算量。然而，在計算機程序計算時，由于計算機計算的快速高效性，我們不是很關(guān)心計算量的問題，而把主要精力集中于方法實現(xiàn)的現(xiàn)實性方面，也就是要求該方

16、法具有較強的規(guī)律性，便于程序設(shè)計的技術(shù)實現(xiàn)。在平差程序設(shè)計中，使用間接平差，對于一般控制網(wǎng)，誤差方程形式統(tǒng)一、規(guī)律性強、便于程序設(shè)計；而使用條件平差，誤差方程形式多樣，規(guī)律性差，不利于程序設(shè)計。所以，在本文中，我們主要使用間接平差方法進行程序設(shè)計?？傊?，我們在選擇數(shù)學(xué)模型的時候，一定要考慮算法同計算機程序設(shè)計的特點相統(tǒng)一。1.4.2平差程序的基本要求平差程序設(shè)計與其它程序設(shè)計相同，應(yīng)當滿足一定的要求。（1）程序邏輯結(jié)構(gòu)簡單，清晰易讀，符合結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計要求，便于擴展；（2）運算速度快，占用內(nèi)存小，內(nèi)外存之間的交換不宜過于頻繁；（3）數(shù)學(xué)模型及計算方法正確、先進，計算結(jié)果精度高；（4）適應(yīng)性強，

17、便于移植，充分考慮各種可能形式，盡量滿足不同要求與需要；（5）方便用戶，操作簡便。數(shù)據(jù)輸入與用戶作業(yè)方式與習慣相統(tǒng)一，輸出明了、齊全；盡量減少手工處理工作量，操作簡便；人機交互性要強。 上述要求，既體現(xiàn)在平差程序的總體設(shè)計中，也貫穿于平差程序設(shè)計的各個環(huán)節(jié)中。1.4.3平差程序的結(jié)構(gòu)化設(shè)計 結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計是計算機軟件技術(shù)高度發(fā)展的產(chǎn)物，是大規(guī)模、工業(yè)化軟件開發(fā)的基礎(chǔ)。C語言是結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計思想成熟與完善的標志，至今，仍然是計算機軟件開發(fā)的主要語言之一。模塊的概念是軟件工程的基本概念之一。1模塊化程序設(shè)計相關(guān)概念模塊執(zhí)行某一特定任務(wù)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和程序代碼。 在C語言中，每個模塊與一個函數(shù)（func

18、tion）相對應(yīng)。模塊化將待開發(fā)的軟件分解成若干個小的模塊，以使每個模塊可以獨立地開發(fā)、測試，最后組裝成完整的軟件。軟件模塊化的目的在于使軟件的結(jié)構(gòu)清晰，降低軟件開發(fā)難度、容易閱讀理解、測試和修改。2劃分模塊的原則：（1）按功能劃分模塊，要求每個模塊包含單一、具體的功能（2）使每個模塊獨立性好，這就要求一個模塊具有較強的內(nèi)聚性和較弱的耦合性。方便于模塊的獨立開發(fā)、調(diào)試，同時，使模塊具有很好的移植性。1.4.4平差程序模塊化圖1.1 平差程序模塊化1.4.5平差程序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)測量平差程序處理的對象是程序所適應(yīng)的各種測量控制網(wǎng)問題。因此，這類程序總是同一定的網(wǎng)形相聯(lián)系的。一個具體的控制網(wǎng)通常是以圖

19、形方式直接繪出的，為了用計算機進行控制網(wǎng)的平差計算，就需要將具體的網(wǎng)形轉(zhuǎn)化為一系列的數(shù)據(jù)，然后才能輸入計算機進行處理。這種將網(wǎng)形轉(zhuǎn)化為一系列數(shù)據(jù)的工作和過程稱為“網(wǎng)形數(shù)字化”。網(wǎng)形數(shù)字化所得到的一組數(shù)據(jù)就是控制網(wǎng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)所涉及的范圍是廣泛的。在每個具體問題中，數(shù)據(jù)元素及其關(guān)系是確定的，而且都有其特定的含義。對測量平差而言，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就是表達一個控制網(wǎng)的全部數(shù)據(jù)的集合，包括已知數(shù)據(jù)、觀測數(shù)據(jù)、網(wǎng)形數(shù)據(jù)（網(wǎng)圖數(shù)據(jù)）及其關(guān)系。2 測量平差2.1測量平差概述2.1.1測量平差由于測量儀器的精度不完善和人為因素及外界條件的影響，測量誤差總是不可避免的。為了提高成果的質(zhì)量，處理好這些測量中存在

20、的誤差問題，觀測值的個數(shù)往往要多于確定未知量所必須觀測的個數(shù)，也就是要進行多余觀測。有了多余觀測，勢必在觀測結(jié)果之間產(chǎn)生矛盾，測量平差的目的就在于消除這些矛盾而求得觀測量的最可靠結(jié)果并評定測量成果的精度。測量平差采用的原理就是“最小二乘法”。2.1.2測量平差的函數(shù)模型在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，通常對研究對象進行抽象概括，用數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述它的某種特征或內(nèi)在的聯(lián)系，這種數(shù)學(xué)關(guān)系式就稱為數(shù)學(xué)模型。在測量工作中，涉及的是通過觀測量確定某些幾何量的大小等有關(guān)數(shù)量問題，因此，?？紤]如何建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型及如何解算這些模型。由于測量觀測值是一種隨機變量，所以，平差的數(shù)學(xué)模型與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)上的模型不同，它不僅要考慮描述

21、已知量與待求量之間的函數(shù)模型，還要考慮隨機模型，在研究任何平差方法時，函數(shù)模型和隨機模型必須同時予以考慮。常見的平差函數(shù)模型有條件平差法、附有參數(shù)的條件平差、間接平差法（參數(shù)平差法）、附有限制條件的間接平差等。1.函數(shù)模型函數(shù)模型是描述觀測量與待求量之間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系的模型。對于一個平差問題，建立函數(shù)模型是測量平差中最基本、最重要的問題，模型的建立方法不同，與之相應(yīng)就產(chǎn)生了不同的平差方法。2.平差的隨機模型 對于我們已學(xué)的基本平差方法，最基本的數(shù)據(jù)就是觀測值向量，進行平差時除建立其函數(shù)模型外，還要同時考慮到它的隨機模型，亦即觀測向量的協(xié)方差陣： （2.1）式中D為L的協(xié)方差陣，Q為L的協(xié)因數(shù)陣

22、，P為L的權(quán)陣，為單位權(quán)方差。函數(shù)模型連同隨機模型，就稱為平差的數(shù)學(xué)模型。在進行平差計算前，函數(shù)模型和隨機模型必須首先被確定，前者按上面介紹的方法建立，后者須知道P、Q、D其中之一?？梢酝ㄟ^平差計算求出的估值確，然后根據(jù)公式 求得D的估值。2.2最小二乘原理在測量工作及其它科學(xué)工程領(lǐng)域，應(yīng)用最早也最廣泛的就是所謂的“最小二乘準則”： （2.2）在滿足最小二乘準則下求得的真誤差稱為估值，用表示，測量工作中習慣上用符號代替，因此最小二乘準則常表達為： （2.3）由于根據(jù)最小二乘準則可以求得真誤差估值，也就可以求得觀測值的估值，其計算公式為： （2.4）式中稱為觀測值的改正數(shù)，稱為觀測值的估值，或平

23、差值、最或然值。 應(yīng)用最小二乘準則，并不需要知道觀測向量屬于什么概率分布，只需要知道它的先驗權(quán)陣 就可以了。 當為非對角陣，表示觀測值相關(guān)，按進行的平差稱為相關(guān)觀測平差。 當為對角陣，表示觀測值不相關(guān)，此時最小二乘準則可表示為純量形式，即： （2.5）特別地，當觀測值不相關(guān)且等精度時，權(quán)陣為單位陣，此時最小二乘準則可表示為： （2.6）2.3條件平差原理2.3.1條件平差的數(shù)學(xué)模型條件平差的數(shù)學(xué)模型為： （2.7） （2.8）條件方程個數(shù)等于多余觀測數(shù)r，n為觀測值總個數(shù)，t為必要觀測數(shù)，存在關(guān)系：r = n - t （2.9）由于r n，從式（2.7）不能計算出的唯一解，但可按最小二乘原理(

24、)，求出的最然值V，從而進一步計算觀測量 的最或然值 （又稱平差值）。 （2.10）將（2.7）式中的改寫成其估值（最或然值）V，條件方程變?yōu)椋?（2.11）條件平差就是在滿足r個條件方程條件下，求解滿足最小二乘法（）的V值，在數(shù)學(xué)中就是求函數(shù)的條件極值問題。12.3.2條件平差原理 （2.12） （2.13） （2.14）按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，引入乘系數(shù)（又稱為聯(lián)系數(shù)向量），構(gòu)成函數(shù)： （2.15）為引入最小二乘法,將對V求一階導(dǎo)數(shù),并令其為零：得：上式兩端轉(zhuǎn)置，得 由于P是主對角線陣，則 ，得 ：將上式兩邊左乘權(quán)逆陣 ，得： （2.16）此式稱為改正數(shù)方程，其純量形式為： （2.1

25、7）將（）式代入（）式，得 （2.18）此式稱為聯(lián)系數(shù)法方程（簡稱法方程）取法方程的系數(shù)陣，由上式易知N陣關(guān)于主對角線對稱，得法方程表達式 ： （2.19）法方程數(shù)陣N的秩： 即，N是一個r階的滿秩方陣，且可逆。將（）式移項，得： 上式兩邊左乘法方程系數(shù)陣N的逆陣 ，得聯(lián)系數(shù)K的唯一解： （2.20）將（2.20）式代入（2.16）或（2.17）式，可計算出V，再將V代入（2.10）,即可計算出所求的觀測值的最或然值 。通過觀測值的平差值，可以進一步計算一些未知量（如待定點的高程、縱橫坐標以及邊的長度、某一方向的方位角等）的最或然值。由上述推導(dǎo)可看出，K、V及都是由（2.13）和（2.16）式

26、解算出的，因此我們把（2.13）和（2.16）式合稱為條件平差的基礎(chǔ)方程。2.3.3條件平差的計算步驟綜合以上所述，按條件平差的計算步驟可歸結(jié)為以下幾步：（1）根據(jù)實際問題，確定出總觀測值的個數(shù)n、必要觀測值的個數(shù)t及多余觀測個數(shù)r = n - t，進一步列出最或是值條件方程（2.12）或改正數(shù)條件方程（2.13）；（2）根據(jù)（2.18）式，組成法方程式；（3）依據(jù)（2.20）式計算出聯(lián)系數(shù)K；（4）由（2.16）式計算出觀測值改正數(shù)V；并依據(jù)（2.10）式計算出觀測值的平差值；（5）根據(jù)（2.22）和（2.23）計算單位權(quán)方差 和單位權(quán)中誤差 ；（6）列出平差值函數(shù)關(guān)系式（2.29），并對其

27、全微分，求出其線性函數(shù)的系數(shù)陣f，利用（2.32）式計算出平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)，代入（2.33）計算出平差值函數(shù)的協(xié)方差。 （7）為了檢查平差計算的正確性，可以將平差值代入平差值條件方程式（2.12），看是否滿足方程關(guān)系。2.3.4精度評定1計算單位權(quán)方差和中誤差的估值根據(jù)中誤差的定義，單位權(quán)中誤差的計算公式為 （2.21）在一般情況下，觀測值的真誤差是不知道的，也就不可能利用上式計算單位權(quán)中誤差。但在條件平差中，可以通過觀測值的改正數(shù)V來計算單位權(quán)方差和中誤差： （2.22） （2.23）式中r為多余觀測值個數(shù)，r = nt。在（2.23）中，須先算出VTPV的值，才能計算單位權(quán)中誤差。VTP

28、V可用下列幾種方法計算：（1）直接利用定義式（2.22）計算。純量形式為： （2.24）（2）由（2.16）和（2.13）式導(dǎo)出 即 （2.25）其純量形式為: （2.26）2協(xié)因數(shù)陣條件平差的基本向量L、W、K、V、 都可以表達成隨機向量L的函數(shù)將向量L、K、V、組成列向量，并以Z表示之 （2.27）式中等號右端第二項是與觀測值無關(guān)的常數(shù)項陣，按協(xié)因數(shù)傳播律，得Z的協(xié)因數(shù)陣為： （2.28）由上式可見，平差值與閉合差W、聯(lián)系數(shù)K、改正數(shù)V是不相關(guān)的統(tǒng)計量，又由于它們都是服從正態(tài)分布的向量，所以與W、K、V也是相互獨立的向量。3平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)在條件平差中，平差計算后，首先得到的是各個觀測量

29、的平差值。例如，測角網(wǎng)中的觀測角度的平差值，導(dǎo)線網(wǎng)中的角度觀測值和各導(dǎo)線邊長觀測值的平差值等。而我們進行測量的目的，往往是要得到未知點的坐標值、三角網(wǎng)的邊長值及方位角值等，并且評定其精度。這些值都是關(guān)于觀測值平差值的函數(shù)。設(shè)有平差值函數(shù)： （2.29）對上式全微分得：取全微分式的系數(shù)陣為：由協(xié)因數(shù)傳播律得： （2.30）根據(jù)的等式，知： （2.31）代入（2.30）式得： 即 （2.32）此式即為平差值函數(shù)式（2.29）的協(xié)因數(shù)表達式。則得該平差值函數(shù)的方差： （2.33）2.4間接平差原理2.4.1間接平差的數(shù)學(xué)模型間接平差法（參數(shù)平差法）是通過選定t個與觀測值有一定關(guān)系的獨立未知量作為參數(shù)

30、，將每個觀測值都分別表達成這t個參數(shù)的函數(shù)，建立函數(shù)模型，按最小二乘原理，用求自由極值的方法解出參數(shù)的最或然值，從而求得各觀測值的平差值。1一般地，間接平差的函數(shù)模型為： （2.34）平差時，為了計算方便和計算的數(shù)值穩(wěn)定性，一般對參數(shù)都取近似值，令： （2.35）代入（4-1-4）式，并令： （2.36）由此可得誤差方程： （2.37）式中為誤差方程的自由項，對于經(jīng)典間接平差，將未知參數(shù)視為非隨機參數(shù)，不考慮其先驗統(tǒng)計性質(zhì)，根據(jù)（2.35）式，可得平差后，由（2.36）式可得。間接平差的隨機模型為： （2.38）平差準則為： （2.39）間接平差就是在最小二乘準則要求下求出誤差方程中的待定參數(shù)

31、，在數(shù)學(xué)中是求多元函數(shù)的自由極值問題。2.4.2間接平差的的一般原理設(shè)平差問題中有n個觀測值L，已知其協(xié)因數(shù)陣，必要觀測數(shù)為t，選定t個獨立參數(shù)，其近似值為，觀測值L與改正數(shù)V之和，稱為觀測量的平差值。按具體平差問題，可列出n個平差值方程為：（i=1，2，3，n） （2.40）令 ： 則平差值方程的矩陣形式為： （2.41）令：式中為參數(shù)的充分近似值，于是可得誤差方程式為 （2.42）按最小二乘原理，上式的必須滿足的要求，因為t個參數(shù)為獨立量，故可按數(shù)學(xué)上求函數(shù)自由極值的方法，得：轉(zhuǎn)置后得： （2.43） 以上所得的（2.42）和（2.43）式中的待求量是n個V和t個，而方程個數(shù)也是n+t個，

32、有唯一解，稱此兩式為間接平差的基礎(chǔ)方程。 解此基礎(chǔ)方程，一般是將（2.42）式代入（2.43）式，以便先消去V，得： （2.44）令上式可簡寫成 （2.45）式中系數(shù)陣為滿秩矩陣，即 , 有唯一解，上式稱為間接平差法方程。解之，得： 或 （2.46）將求出的 代入誤差方程（2.42），即可求得改正數(shù)V，從而平差結(jié)果為： （2.47）特別地，當P為對角陣時，即觀測值之間相互獨立，則法方程（2.45）的純量形式為：2.4.3按間接平差法求平差值的計算步驟（1）根據(jù)平差問題的性質(zhì)，選擇t個獨立量作為參數(shù)；（2）將每一個觀測量的平差值分別表達成所選參數(shù)的函數(shù)，若函數(shù)非線性要將其線性化，列出誤差方程（2

33、.42）；（3）由誤差方程系數(shù)B和自由項組成法方程（2.45），法方程個數(shù)等于參數(shù)的個數(shù)t ；（4）解算法方程，求出參數(shù)，計算參數(shù)的平差值 （5）由誤差方程計算V，求出觀測量平差值；（6）評定精度。2.4.4精度評定1.單位權(quán)中誤差間接平差與條件平差雖采用了不同的函數(shù)模型，但它們是在相同的最小二乘原理下進行的，所以兩法的平差結(jié)果總是相等的，這是因為在滿足條件下的V是唯一確定的，故平差值不因方法不同而異。單位權(quán)方差 的估值 ，計算式仍然是 除以其自由度，即 （2.48）中誤差為 （2.49）計算可以將誤差方程代入后計算，顧及得 即，考慮到得 （2.50）2.協(xié)因數(shù)陣在間接平差中，基本向量為，,V

34、和。已知,根據(jù)前面的定義和有關(guān)說明知，故 ，。下面推求各基本向量的自協(xié)因數(shù)陣和兩兩向量間的互協(xié)因數(shù)陣。設(shè) ，則Z的協(xié)因數(shù)陣為：式中對角線上子矩陣，就是各基本向量的自協(xié)因數(shù)陣，非對角線上子矩陣為兩兩向量間的互協(xié)因數(shù)陣。 其基本思想是把各量表達成協(xié)因數(shù)已知量的函數(shù)，上述各量的關(guān)系式已知為： （2.51） （2.52） （2.53） （2.54）由前三個式子，按協(xié)因數(shù)傳播定律容易得出再計算與（2.54）式有關(guān)的協(xié)因數(shù)陣,得平差值、與改正數(shù)V的互協(xié)因數(shù)陣為零，說明與V，與V統(tǒng)計不相關(guān)，這是一個很重要的結(jié)果。3.參數(shù)函數(shù)中的誤差在間接平差中，解算法方程后首先求得的是t個參數(shù)。有了這些參數(shù)，便可根據(jù)它們來

35、計算該平差問題中任一量的平差值（最或然值）1 張書畢. 測量平差. 徐州：中國礦大學(xué)出版社，2008，6-17.2 高井祥. 數(shù)字測圖原理與方法. 徐州：中國礦大學(xué)出版社，2008，22-23.3 張華海. 應(yīng)用大地測量學(xué). 徐州：中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2008，53.4 譚浩強. C+程序設(shè)計. 北京：清華大學(xué)出版社，2008.5 殷人昆. 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（用面向?qū)ο蠓椒ㄅcC+語言描述）. 北京：清華大學(xué)出版社，2007.6 劉玉英. 程序設(shè)計基礎(chǔ)C+. 北京：人民郵電出版社，2006.7 求是科技程序設(shè)計從入門到精通. 北京：人民郵電出版社，2006.在間接平差中，任何一個量的平差值都可以由平差所

36、選參數(shù)求得，或者說都可以表達為參數(shù)的函數(shù)。下面從一般情況來討論如何求參數(shù)函數(shù)的中誤差的問題。假定間接平差問題中有t個參數(shù)，設(shè)參數(shù)的函數(shù)為： （2.55）將代入上式后，按泰勒公式展開，取至一次項，得： 或 （2.56）對于評定函數(shù)的精度而言，給出或是一樣的。通常把（2.56）式稱為參數(shù)函數(shù)的權(quán)函數(shù)式，簡稱權(quán)函數(shù)式。令 ，則： 因，故函數(shù) 的協(xié)因數(shù)為: （2.57）一般，設(shè)有函數(shù)向量的權(quán)函數(shù)式為: （2.58）即用來計算m個函數(shù)的精度，其協(xié)因數(shù)陣為: （2.59）是參數(shù)向量的協(xié)因數(shù)陣，即:其中，對角線元素是參數(shù)的協(xié)因數(shù)，故的中誤差為: （2.60）（2.58）式的函數(shù)的協(xié)方差陣為: （2.61）3

37、 Excel在導(dǎo)線平差中的應(yīng)用3.1 Excel在平差中的應(yīng)用基礎(chǔ)3.1.1 引言在現(xiàn)代測量中，對通過各種測量方法所采集得到的原始數(shù)據(jù)，往往需要根據(jù)誤差理論的方法對存在的各類誤差進行平差處理從而取得最或然結(jié)果。而對于偶然誤差的處理，利用最小二乘法準則進行平差計算的過程，通常都要對誤差方程式或條件方程式進行整合處理求得法方程組，然后解算法方程、計算改正數(shù)、精度評定等等，一系列計算步驟的進行，如果沒有現(xiàn)成的專業(yè)軟件，而用手工的辦法去完成平差計算工作，將是一件很繁瑣的事情。其實，測量平差的過程簡單的來說就是解算線性方程組的過程，而最令人煩惱的部分是線性方程的求解。在處理一些小的工程項目平差計算的時候

38、，如果手頭沒有像MATLAB等具有矩陣運算功能的應(yīng)用軟件，利用Microsoft Office Excel的內(nèi)置函數(shù)，同樣的可以幫助計算者比較輕松的完成計算任務(wù)。3.1.2 Excel在平差中的基本應(yīng)用操作函數(shù)以下要闡述的就是利用Excel轉(zhuǎn)置粘貼功能以及矩陣計算的函數(shù)TRANSPOSE（矩陣轉(zhuǎn)置）、MMULT（矩陣乘）、MINVERSE（矩陣求逆），實現(xiàn)測量平差之線性方程組解算的過程。為了加快平差解算的作業(yè)效率，應(yīng)該根據(jù)實際情況選擇適當?shù)臄?shù)學(xué)模型。實際工作中，有兩種數(shù)學(xué)模型得到了較為廣泛的應(yīng)用，即間接平差模型和條件平差模型；本章中主要介紹Excel在條件平差的應(yīng)用。1.條件平差模型條件方程式

39、：AV-W= 0 ； 法方程：AP-1ATK-W= 0 ；改正數(shù)計算：V= P-1ATK；V TPV計算： V TPV=WTK；平差值的函數(shù)：平差值的協(xié)因數(shù)計算： 公式中各種符號的含義：觀測向量 L；相應(yīng)的權(quán)陣 P；條件方程的系數(shù)矩陣A；條件改正數(shù) V；條件閉合差 W；法方程聯(lián)系數(shù)矩陣 K；平差值的函數(shù)系數(shù)陣。2.計算法方程平差計算的數(shù)學(xué)模型，全都是以矩陣的形式給定的。如果掌握了矩陣計算的方法，所有的計算將迎刃而解。由于測量計算作業(yè)過程中采用不同的數(shù)學(xué)模型，以及圖形條件的多樣化，對于條件方程的產(chǎn)生，在本文所述的解算方案當中，還不能自動完成；當然，可以完成部分類型的條件方程（如附和導(dǎo)線），還可以

40、利用Excel中的VBA功能編程處理，但將可能給計算者增加了難度。以下是對如何使用Excel內(nèi)置函數(shù)進行矩陣計算的方案進行闡述。（1）數(shù)據(jù)的輸入將系數(shù)矩陣的數(shù)據(jù)填入電子表格的相應(yīng)區(qū)域中。（2）矩陣的轉(zhuǎn)置a.選中電子表格中系數(shù)矩陣的數(shù)據(jù)區(qū)域，點擊右鍵，選擊復(fù)制菜單選項。b.在電子表格中點擊系數(shù)矩陣數(shù)據(jù)區(qū)域以外的任意單元格，點擊右鍵，選擊“選擇性粘帖”菜單項。c.點擊“選擇性粘帖”菜單項，出現(xiàn)“選擇性粘帖”對話框；該對話框有三部分選項，第一部分“粘帖”，選中“全部”選項，第二部分“運算”，選中“無”選項，第三部分選中“轉(zhuǎn)置”選項，單擊確定，即可完成系數(shù)矩陣數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)置操作。（3）矩陣乘運算a.選中電

41、子表格中的空白區(qū)域，該區(qū)域的行數(shù)、列數(shù)等于矩陣相乘所得矩陣的行數(shù)、列數(shù)，點擊工具欄中的fx（函數(shù)）工具按鈕。b.彈出插入函數(shù)的對話框，在該對話框的左邊的函數(shù)分類中選擇“數(shù)學(xué)與三角函數(shù)”，在右邊的函數(shù)名中選中“MMULT”，單擊確定。c.彈出函數(shù)參數(shù)輸入的對話框，該對話框提示輸入兩組參數(shù)，第一個參數(shù)Array1欄中輸入第4步驟中轉(zhuǎn)置矩陣區(qū)域的行列號，在Array2欄中輸入系數(shù)矩陣區(qū)域的行列號，可以不用鍵盤輸入，而用Array*內(nèi)右端的按鈕，回到表格視圖中用鼠標涂選表格區(qū)域，按一下回車鍵即可；在表格視圖的公式欄應(yīng)該有“=MMULT（轉(zhuǎn)置矩陣區(qū)域，系數(shù)矩陣區(qū)域）”的描述。d.同時按住Shift和Ct

42、rl兩鍵，按下回車鍵，這時，第1步驟選定的區(qū)域內(nèi)的單元格所顯示的結(jié)果即為聯(lián)系方程的系數(shù)陣。（4）矩陣求逆運算a.選中電子表格中的空白區(qū)域，其行列數(shù)與系數(shù)矩陣相同，點擊工具欄中的fx工具按鈕。b.在彈出的對話框中左邊的函數(shù)分類選取“數(shù)學(xué)與三角函數(shù)”，右邊選擇函數(shù)名“MINVERSE”，單擊確定。c.在彈出的參數(shù)選擇對話框中Array1中輸入系數(shù)矩陣，在表格視圖的公式欄中也應(yīng)該有“=MINVERSE （系數(shù)矩陣區(qū)域）”的描述。d.同時按住Shift和Ctrl兩鍵，按下回車鍵，第1步驟選定區(qū)域內(nèi)的單元格所顯示的結(jié)果即為系數(shù)矩陣的逆矩陣。 熟練掌握上述矩陣計算的步驟、方法，解決測量平差的線性方程組解算

43、的問題就會變得簡單、容易。3. 注意事項在計算過程中，受Excel軟件本身的約束和限制，可能會帶來不可預(yù)想的結(jié)果，因此需要注意一下幾個事項：（1）受電子表格列數(shù)的限制，Excel最多可以計算有256列的矩陣。若要求解有更多列的矩陣，可以利用分塊矩陣的辦法，或者VBA 語言編程進行解決。（2）改變計算結(jié)果的精度，可作以下操作：格式菜單單元格數(shù)字數(shù)值小數(shù)位數(shù)，選定相應(yīng)的數(shù)值即可。若需用雙精度計算，設(shè)定小數(shù)位為15位，即可得到雙精度的求解結(jié)果。（3）有關(guān)矩陣的計算，還有其他的運算功能，如相加、相減等，均可以在Excel編輯功能的復(fù)制與選擇性粘貼中實現(xiàn)。3.1.3 核心問題的解決及技巧（1）測量平差計

44、算傳統(tǒng)上是以表格為基本框架進行的，Excel也沿用了這一模式，所不同是它每一個單元格都有函數(shù)、公式的編輯、計算功能，這樣整個表格就有了生命力，這正是Excel成功的地方，是其精髓所在。在程序的編輯中，我們應(yīng)始終明確這一概念。（2）觀測數(shù)據(jù)應(yīng)固定于某一列，自上而下依次輸入，從而使整個輸入過程變得連貫、順暢。即使輸入有誤也便于修改。（3）同一類格式、文字、數(shù)據(jù)、計算，例如，提示文字、水平角、距離、坐標增量計算等應(yīng)分列放置，只有這樣，才能有條理，便于后續(xù)計算的有效利用。同時可用“拖放”功能，將其格式、公式等合理地復(fù)制到下面的單元格，瞬間完成程序的編寫。（4）在本程序的編寫過程中，需大量使用判斷語句，

45、特別是鑲嵌式的判斷語句，如果能靈活運用好該語句，程序的編寫也就成功了一大半。例如，在后面的圖5中的G6單元格為：=IF(D4+E5+180360,D4+E5+180,IF(D4+E5+180720,D4+E5+180-360,D4+E5+180-720)這是一個方位角推算語句，其中D4為起始方位角，E5為下一條邊前進方向左角，該語句功能為：若D4+E5+180360,則G6=D4+E5+180；若360D4+E5+180720，則G6= D4+E5+180-360；否則G6= D4+E5+180-720。（5）因Excel中三角函數(shù)是以弧度為單位計算的，所以必須將以度分秒輸入的角度轉(zhuǎn)換成弧度。

46、這就需要將度分秒分開，然后才能化成弧度。例如C6單元格為：=IF(B6=”，180，INT(B6)其中B6為度分秒為單位的角度。該語句意為：若B6是空格，即未觀測，C6值為180度，否則為觀測角的整度值。其中180度是為在本站未觀測的情況下預(yù)設(shè)的角度，其目的是為在后續(xù)的計算中把方位角傳遞下去，從而保證整個程序在邏輯上的完整性。（6）程序編輯完成后，應(yīng)對輸入?yún)^(qū)外的所有單元格進行再設(shè)置，在“設(shè)置單元格格式”菜單下，選定“保護”子菜單下的“鎖定”和“隱藏”，并在“工具”子菜單“保護”中的“保護工作表”下，用密碼進行保護，從而確保程序在使用過程中不被修改或破壞。3.1.4 三角函數(shù)在Excel中的處理

47、方法在測量計算中, 除了加、減、乘、除、開方外, 最常見的是角度與三角函數(shù)的處理。EXCEL 中備有常用的各種函數(shù), 各種三角函數(shù)也很齊全, 但角度是按弧度為單位處理的, 在計算過程中需要涉及到角度的度、分、秒形式與弧度的相互轉(zhuǎn)換。具體的轉(zhuǎn)換公式如下： 1.“度.分秒”轉(zhuǎn)換成度( 度小數(shù))當把角度值輸入到計算機時, 我們一般以“度. 分秒”格式輸入, 其表示的數(shù)值并不是代表度, 如某角度178. 32066代表1783206. 6,而不是代表178.32066。在數(shù)據(jù)處理時常需要變換成以度為單位的角度值, 俗稱度小數(shù)。在用計算器進行計算時有 “DEG”的功能鍵, 可以直接把“度. 分秒”值直接轉(zhuǎn)換成度小數(shù), 而EXCEL 中的DEGREE（）函數(shù)是把弧度轉(zhuǎn)換成度小數(shù)的函數(shù), 不能直接計算, 需要應(yīng)用公式來計算。計算機要在處理角度之前必須首先分別判斷出度、分、秒值, 設(shè)某一以“度. 分秒”形式表示角度為B,則其度的:整數(shù)部 = INT(ABS(B)分值 = INT(ABS(B)*100)-INT(ABS(B)*100秒值 =