線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)(共24頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文) 題目 線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置設(shè)計(jì) 學(xué)院名稱 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院 專業(yè)班級(jí) 自動(dòng)化08-1 學(xué)生姓名 導(dǎo)師姓名 李 敏 年 月 日專心-專注-專業(yè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)作 者 姓 名 專 業(yè) 自動(dòng)化 指導(dǎo)教師姓名 李 敏 專業(yè)技術(shù)職務(wù) 講 師 目 錄摘 要 現(xiàn)代控制理論源于20世紀(jì)60年代，以極大值原理、貝爾曼動(dòng)態(tài)規(guī)劃和卡爾曼濾波技術(shù)為形成標(biāo)志，經(jīng)典理論中以單一輸入變量為研究對(duì)象，主要通過頻率進(jìn)行控制，現(xiàn)在控制理論以線性空間理論為基礎(chǔ)，在時(shí)域中研究系統(tǒng)，能夠定量的進(jìn)行系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力的發(fā)展，現(xiàn)代控制也在更多領(lǐng)域得到

2、應(yīng)用?？刂葡到y(tǒng)是由受控對(duì)象和反饋控制器兩部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)，經(jīng)典控制理論通常采用輸出反饋，而現(xiàn)代控制理論多采用狀態(tài)反饋。閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的分布情況決定于系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)品質(zhì)，因此，可以根據(jù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)的要求，規(guī)定閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)所應(yīng)具備的分布情況，把極點(diǎn)的配置作為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)指標(biāo)。這種把極點(diǎn)配置在某位置的過程稱為極點(diǎn)配置。在空間狀態(tài)法中，一般采用反饋系統(tǒng)狀態(tài)變量或輸出變量的方法，來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置。本論文對(duì)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)反饋的精確極點(diǎn)配置、具有穩(wěn)定裕度的區(qū)域極點(diǎn)配置和具有圓域約束的區(qū)域極點(diǎn)配置進(jìn)行了研究，利用線性矩陣不等式LMI處理方法，編寫系統(tǒng)MATLAB仿真程序。結(jié)果證明了設(shè)計(jì)方法的正

3、確性和有效性。關(guān)鍵詞：線性系統(tǒng) 狀態(tài)反饋 極點(diǎn)配置 線性矩陣不等式ABSTRACTModern control theory from the 1960s to the maximum principle, Bellman's dynamic programming and Kalman filtering techniques for the formation of the flag, the classical theory of a single input variable, mainly through the frequency control, and now cont

4、rol theory linear space theory, in the time domain system, the quantitative system analysis and design, with the development of computing power, modern control is also more areas to be applied. The control system is composed of two parts by the controlled object and the feedback controller closed-lo

5、op system, the classical control theory usually used to output feedback, and modern control theory, the use of state feedback. The distribution of the closed-loop system poles are determined by the stability of the system and dynamic quality. Therefore, according to the requirements of the system dy

6、namic quality, the provisions of the poles of the closed-loop system should have the distribution, the configuration of the pole as the dynamic quality indicators. This pole assignment in the course of a location is known as the pole placement. In the space state law, the general feedback system sta

7、te variables or output variables, to achieve the pole configuration of the system. This thesis is accurate linear time invariant systems state feedback pole placement with stable margin of regional pole placement and regional pole placement with a circular domain constraints have been studied using

8、linear matrix inequality LMI approach, the preparation of the system MATLAB simulation program. The results proved the correctness and validity of the design method.Keywords: linear systems; state feedback; pole placement; linear matrix inequalities.第一章 緒論1.1課題背景及意義20世紀(jì)50年代以后，隨著等技術(shù)發(fā)展和控制理論應(yīng)用范圍的擴(kuò)大，經(jīng)典線

9、性控制理論的局限性日趨明顯，它既不能滿足實(shí)際需要，也不能解決理論本身提出的一些問題，這就推動(dòng)了線性系統(tǒng)的研究，于是在1960年以后從經(jīng)典階段發(fā)展到現(xiàn)階段。美國(guó)學(xué)者R.E.卡爾曼首先把狀態(tài)空間法應(yīng)用于多變量線性系統(tǒng)的研究，提出了能控性和能觀測(cè)性兩個(gè)基本概念。其研究問題的方法主要有時(shí)域狀態(tài)空間分析法，線性二次型最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器法（Linear Quadratic Regulator，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)QR），狀態(tài)觀測(cè)器控制法，李雅普諾夫（Laypunov）穩(wěn)定性分析法以及極點(diǎn)配置法等。近年來，計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展給需要大計(jì)算量的現(xiàn)代控制提供了更好的發(fā)展空間，同時(shí)工業(yè)生產(chǎn)的高速發(fā)展，使得工程界對(duì)控制的要求也日益

10、提高，由此也極大地推動(dòng)了現(xiàn)代控制理論的發(fā)展和完善。 在控制理論與實(shí)踐中的一個(gè)基本要求是設(shè)計(jì)反饋控制律，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在指定的位置上，從而保證閉環(huán)系統(tǒng)具有所要求的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性。由于模型的不確定因素和各種擾動(dòng)的存在，使得精確極點(diǎn)配置的控制方式不可能得到真正的實(shí)現(xiàn)。實(shí)際設(shè)計(jì)中只要將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在指定的區(qū)域內(nèi)，就可以使系統(tǒng)獲得滿意的性能。近年來，對(duì)D穩(wěn)定理論的研究十分活躍，利用這一理論研究區(qū)域極點(diǎn)配置問題已取得一些成果，包括最優(yōu)控制、魯棒性、性能、性能等方面1。在對(duì)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，首先要考慮的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，而線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與其極點(diǎn)的位置緊密相關(guān)，因此極點(diǎn)配置問題在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中是

11、很重要的。為此，需要根據(jù)分析和設(shè)計(jì)的目的，將系統(tǒng)極點(diǎn)配置在指定區(qū)域內(nèi)或指定某個(gè)位置2。1.2本論文研究的主要工作本論文是對(duì)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)反饋區(qū)域極點(diǎn)配置的研究。其中，第一章簡(jiǎn)單說明該課題的背景及其研究意義，同時(shí)對(duì)本論文進(jìn)內(nèi)容行一定的介紹；第二章主要是對(duì)本論文研究過程中所涉及的知識(shí)的介紹及說明；第三章從單輸入和多輸入兩種情況研究線性定常系統(tǒng)精確極點(diǎn)的配置；第四章研究線性定常系統(tǒng)中具有穩(wěn)定裕度的區(qū)域極點(diǎn)配置；第五章研究線性定常系統(tǒng)具有圓域約束的區(qū)域極點(diǎn)配置第二章 準(zhǔn)備知識(shí)2.1極點(diǎn)配置簡(jiǎn)介所謂極點(diǎn)配置問題，就是通過反饋矩陣的選擇，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，即閉環(huán)特征方程的特征值恰好處于所希望的一組極點(diǎn)位

12、置上或者是某個(gè)區(qū)域內(nèi)。由于希望的極點(diǎn)具有一定的任意性，因此極點(diǎn)的配置也具有一定的任意性。對(duì)于線性系統(tǒng)而言，其穩(wěn)定性取決于狀態(tài)的零輸入響應(yīng)，因而取決于系統(tǒng)極點(diǎn)的分布，當(dāng)極點(diǎn)的實(shí)部小于零時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)極點(diǎn)分布在虛軸上時(shí)，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的；當(dāng)極點(diǎn)的實(shí)部大于零時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。同時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的基本特性也依賴于極點(diǎn)的分布，若系統(tǒng)極點(diǎn)是負(fù)實(shí)數(shù)，則系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)非周期的，按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢取決于極點(diǎn)的分布；若系統(tǒng)極點(diǎn)是具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，則其動(dòng)態(tài)響應(yīng)是衰減振蕩的，振蕩的頻率取決于極點(diǎn)的虛部，而振幅衰減的快慢由極點(diǎn)的實(shí)部決定。因此將系統(tǒng)極點(diǎn)配置在指定位置（這主要由綜合問題中更為直觀的性能

13、指標(biāo)，例如時(shí)域形式的過渡過程時(shí)間、超調(diào)量等和頻域形式的增益穩(wěn)定域度、相位穩(wěn)定域度等，通過轉(zhuǎn)換和經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，而具體地加以給出的），可以使系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)的要求，從而改善系統(tǒng)的基本特性，具有實(shí)際的理論意義。在現(xiàn)代控制理論中，以狀態(tài)空間描述和狀態(tài)空間方法為基礎(chǔ)，引入反饋和補(bǔ)償器將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在指定位置。顯然，解決極點(diǎn)配置問題必須給出可配置條件和相應(yīng)的配置方法。由于在控制理論中，主要的反饋形式有狀態(tài)反饋和輸出反饋兩種。傳統(tǒng)的輸出反饋方法雖然也能改變系統(tǒng)極點(diǎn)的位置，但有很大的局限性，而采用狀態(tài)反饋方法可以實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置。下面重點(diǎn)對(duì)狀態(tài)反饋形式的極點(diǎn)配置問題行討論。狀態(tài)反饋是控制理論中最基本的反饋

14、形式之一。狀態(tài)反饋就是采用線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成反饋律，進(jìn)而改變系統(tǒng)矩陣，因此狀態(tài)反饋具有改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)屬性和實(shí)現(xiàn)性能指標(biāo)的功能。首先，狀態(tài)反饋的引入不改變系統(tǒng)的能控性，但可能改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性。其次，由于狀態(tài)反饋是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的一種完全的反饋，因此狀態(tài)反饋系統(tǒng)可以獲得良好的動(dòng)態(tài)性能。最后，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)完全可測(cè)時(shí)，狀態(tài)反饋控制器更易于實(shí)現(xiàn)。2.2 線性矩陣不等式LMI線性矩陣不等式LMI（Linear Matrix Inequality）的研究最早可以追溯到1892年。李亞普諾夫矩陣不等式實(shí)際上就是一個(gè)線性矩陣不等式LMI，任意給定一個(gè)對(duì)稱正定矩陣P，求解李亞普諾夫方程，即可得到不等式的一個(gè)可行解

15、3。控制中的很多問題，由于復(fù)雜性的增加而不可能直接給出問題求解的解析表達(dá)式，但卻可以將問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式求解。因此，線性矩陣不等式的求解在控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)中的地位是舉足輕重的。1995年，MathWorks公司在其軟件MATLAB中推出了求解線性矩陣不等式問題的LMI工具箱，從而使得人們能夠更加方便和有效地處理和求解線性矩陣不等式，進(jìn)一步推動(dòng)了LMI方法在系統(tǒng)和控制領(lǐng)域中的應(yīng)用。到目前為止，LMI在控制中應(yīng)用主要具有以下特點(diǎn)。一是通用性，即一類系統(tǒng)分析與綜合的問題可以通過LMI的形式來解決，并且可以方便的添加約束條件；二是可解性，雖然我們通常不能找找一個(gè)系統(tǒng)或控制問題的解析解，但是如

16、果要計(jì)算的問題具有凸函數(shù)的形式，可以得到有效的解決，大量的系統(tǒng)分析與綜合問題都可以用LMI的形式表示，根據(jù)有界實(shí)引理，最終轉(zhuǎn)化為可解的凸問題。 在控制工程中，許多控制問題尤其是魯棒控制問題，都可轉(zhuǎn)化成一種稱為線性矩陣不等式或帶有線性矩陣不等式限制條件的最優(yōu)化問題的求解。線性矩陣不等式一般形式如下： （2.1） 其中是變量，i=0，1，.m，是已知的實(shí)對(duì)稱陣。 實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常遇到的LMI并不呈現(xiàn)式（2.1）的形式，其中變量不是向量而是一個(gè)（或多個(gè)）實(shí)矩陣，但它可以等價(jià)地轉(zhuǎn)化成式（2.1）形式。線性矩陣不等式的求解一般可歸結(jié)為下列三類問題：一、 可行性問題 求使得 （2.2）二、 具有線性矩陣不

17、等式限制條件的線性規(guī)劃問題 滿足于 （2.3）三、 具有線性矩陣不等式限制條件的廣義特征值最小化問題 滿足于 （2.4） 在控制理論中，大多數(shù)控制問題都可以轉(zhuǎn)化成上述三種矩陣不等式問題中一種。2.2.1 線性矩陣不等式LMI基本變換引理在許多系統(tǒng)與控制問題中，我們需要將一些非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)化成線性矩陣不等式，這時(shí)常常用到矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)?？紤]對(duì)稱矩陣，且 （2.5）假定非奇異，則稱為S11在S中的Schur補(bǔ)。以下引理給出了矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)。 引理2.1：（Schur Complement） 對(duì)于給定的對(duì)稱矩陣，以下三個(gè)條件等價(jià)：（1）（2） （3） 在一些控制問題中，經(jīng)常遇到二

18、次矩陣不等式： （2.6）其中，A，B，是給定的適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，是對(duì)稱矩陣變量，則應(yīng)用引理2.1上述矩陣不等式的可行性問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的矩陣不等式 （2.7）的可行性問題，而后者是一個(gè)關(guān)于矩陣變量的線性矩陣不等式。該引理用于矩陣不等式的等價(jià)變換。2.2.2 LMI工具箱介紹 在 60 年代，已經(jīng)提出了線性矩陣不等式，但由于求解形如式（2.2）（2.4）所描述的線性矩陣不等式的算法還不夠成熟。再加上求解量大，因而線性矩陣不等式在實(shí)際中未得到充分應(yīng)用。近幾年來，由于線性矩陣不等式的理論不斷完善，求解算法也不斷成熟，加上計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，線性矩陣不等式的求解變得很方便，因此線性矩陣不等式在

19、實(shí)際工程中尤其在控制工程理論中得到廣泛的應(yīng)用。線性矩陣不等式（LMI）工具箱是求解一般線性矩陣不等式問題的一個(gè)高性能軟件包。由于其面向結(jié)構(gòu)的線性矩陣不等式方式，使得各種線性矩陣不等式能夠以自然塊矩陣的形式加以描述。一個(gè)線性矩陣不等式問題一旦確定，就可以通過調(diào)用適當(dāng)?shù)木€性矩陣不等式求解器來對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行數(shù)值求解。 由于用線性矩陣不等式求解控制理論中的問題是當(dāng)今控制理論發(fā)展的一個(gè)重要方向，因此出現(xiàn)了許多計(jì)算機(jī)應(yīng)用軟件，其中以美國(guó)MathsWorks Inc公司用C語(yǔ)言開發(fā)的MATLAB軟件最為流行；到目前為止，已相繼推出了幾個(gè)版本，其中在MATLAB5.3、MATLAB6.0、MATLAB7.0

20、等版本中，增加了用于求解線性矩陣不等式的線性矩陣不等式控制工具箱。線性矩陣不等式工具箱提供了在魯棒控制設(shè)計(jì)中所遇到的最優(yōu)化問題的解，同時(shí)給出了一個(gè)用于求解線性矩陣不等式的集成環(huán)境。由于這個(gè)工具箱功能強(qiáng)大和友好的用戶界面，因此可以開發(fā)自己的應(yīng)用程序。LMI工具箱提供了確定、處理和數(shù)值求解線性矩陣不等式的一些工具，它們主要用于：（1）以自然塊矩陣形式來直接描述線性矩陣不等式；（2）獲取關(guān)于現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)；（3）修改現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)；（4）求解三個(gè)一般的線性矩陣不等式問題；（5）驗(yàn)證結(jié)果。下面我們介紹LMI工具箱中的幾個(gè)重要函數(shù)：（1）setlmis（ ）：初始化的LMI系統(tǒng)。（2

21、）lmivar（type，struct）：增加新的矩陣變量X到當(dāng)前的LMI系統(tǒng)中。其中，type (類型）：根據(jù)變量X的不同類型設(shè)置（13），1表示矩陣變量X為對(duì)稱塊對(duì)角陣，2表示矩陣變量X為滿秩陣，3表示矩陣變量X為其它；struct（結(jié)構(gòu)）：若type=1,則struct的第i行描述X的第i個(gè)塊對(duì)角陣，其中struct（i，1）代表塊的大小，struct（i，2）代表塊的性質(zhì)，如果是尺度塊t*I，則struct（i，2）取0，如果是滿塊，則取1，如果是0塊，則取-1。若type=2，假如X是矩陣，則struct=M，N。若type=3,則struct是一個(gè)與X同維的矩陣，其中，struct

22、（i，j）取值為：當(dāng)X（i，j）=0，struct（i，j）=0，當(dāng)X（i，j）為第n個(gè)待求變量時(shí)，struct（i，j）=+n，當(dāng)X（i，j）為第n個(gè)待求變量乘上（-1）時(shí)，struct（i，j）=-n。（3）lmiterm（termID，A，B，flag）：給定前描述的LMI系統(tǒng)中的某個(gè)LMI增加一項(xiàng)。其中，termID為4輸入向量，用來指定項(xiàng)的位置和性質(zhì)。對(duì)于termID（1）：若該項(xiàng)位于第n個(gè)LMI的左邊，則termID（1）=+n，若該項(xiàng)位于第n個(gè)LMI的右邊，則termID（1）=-n。對(duì)于termID（2：3）：若該項(xiàng)屬于LMI的第（i，j）塊，則termID（2：3）=i，j，

23、若該項(xiàng)屬于外部因子，則termID（2：3）=0 0。對(duì)于termID（4）：若該項(xiàng)屬于常數(shù)項(xiàng)，則termID（4）=0，若該項(xiàng)屬于變量項(xiàng)，則termID（4）=m，若該項(xiàng)屬于變量項(xiàng)：termID（4）=-m，其中，m為由函數(shù)lmivar返回的變量X的標(biāo)識(shí)。A可以是外部因子，常數(shù)項(xiàng)或者變量項(xiàng)或的左系數(shù)，B是變量項(xiàng)或的右系數(shù)。flag：設(shè)置flag='s'，在一個(gè)lmiterm函數(shù)內(nèi)快捷定義表達(dá)式。（4）LMIs=getlmis：如果系統(tǒng)已經(jīng)用lmivar和lmiterm進(jìn)行了完整描述，則返回這個(gè)LMI系統(tǒng)的內(nèi)部描述LMIs。內(nèi)部描述LMIs能夠直接傳遞到求解工具或者其它LMI-

24、Lab函數(shù)中去。（5），xfeas=feasp（LMIs，options，target）：求解LMI系統(tǒng)定義的線性矩陣不等式約束條件問題的可行解。如果問題是可解的，則輸出xfeas將是待求向量的可行值。給定的可解性問題，解決凸優(yōu)化過程：對(duì)：求：minimize t如果LMI系統(tǒng)可解，則極小化值將是負(fù)的。feasp在每次迭代過程中給出t的當(dāng)前最佳值。LMIs：LMI約束的描述；options（選擇項(xiàng)）：控制參數(shù)的5輸入向量。Target（選擇項(xiàng)）：的目標(biāo)值（缺省值=100）。一旦<Target，則代碼終止。：終止時(shí)的。而且僅當(dāng)LMI系統(tǒng)是可解的，。xfeas：相應(yīng)的極小化值，如果，xfea

25、s將是LMI約束的一個(gè)可行向量。使用dec2mat可以從xfeas取出相應(yīng)的矩陣變量的值.（6）copt，xopt=mincx（LMIs，c，options，xinit，Target）：針對(duì)約束，極小化。其中，X是待求變量。LMIs：LMI約束的系統(tǒng)描述；c：與X同維的向量；options（選擇項(xiàng)）：控制參數(shù)的5輸入向量；xinit（選擇項(xiàng)）：X的初始值。Target（選擇項(xiàng)）：目標(biāo)值，一旦可行的X找到，即：<Target，中斷迭代；copt：目標(biāo)的極小化值；xopt：待求變量X的極小化值。使用dec2mat可以從xopt取出相應(yīng)的矩陣變量的值。（7），xopt=gevp（LMIs，nl

26、fc，options，target）：求解廣義特征值最小化問題。對(duì)LMI約束，以及 （j=1,.,nlfc），求minimize t。這里x表示待求變量。正定約束必須很好限定，涉及t的LMIs必須最后限定。LMIs：LMI約束的系統(tǒng)描述；nlfc：涉及t的LMIs的數(shù)目；options（選擇項(xiàng)）：控制參數(shù)的5輸入向量；，（選擇項(xiàng)）：t，x的初始值；target（選擇項(xiàng)）：的目標(biāo)值，只要t小于這個(gè)值，則代碼終止；：t的最小值；xopt：待求變量x的極小化值。使用dec2mat可以從xopt取出相應(yīng)的矩陣變量的值4。第三章 線性定常系統(tǒng)精確極點(diǎn)配置對(duì)于線性系統(tǒng)而言，其穩(wěn)定性取決于狀態(tài)的零輸入響應(yīng)，

27、因而取決于系統(tǒng)極點(diǎn)的分布，當(dāng)極點(diǎn)的實(shí)部小于零時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)極點(diǎn)分布在虛軸上時(shí)，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的；當(dāng)極點(diǎn)的實(shí)部大于零時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。同時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的基本特性也依賴于極點(diǎn)的分布，若系統(tǒng)極點(diǎn)是負(fù)實(shí)數(shù)，則系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)非周期的，按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢取決于極點(diǎn)的分布；若系統(tǒng)極點(diǎn)是具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，則其動(dòng)態(tài)響應(yīng)是衰減振蕩的，振蕩的頻率取決于極點(diǎn)的虛部，而振幅衰減的快慢由極點(diǎn)的實(shí)部決定。因此將系統(tǒng)極點(diǎn)配置在指定位置，可以使系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)的要求，從而改善系統(tǒng)的基本特性，具有實(shí)際的理論意義。3.1單輸入精確極點(diǎn)配置問題3.1.1問題描述給定單輸入線性定常系統(tǒng)x=Ax+bu,y=cx和一

28、組理想極點(diǎn)，我們需要求取一個(gè)反饋增益矩陣K，使得系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)恰好配置在這組理想極點(diǎn)上。3.1.2解決方案： 引理(3.1)：采用狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)0=a,b,c任意配置極點(diǎn)的充要條件是0 完全能控5。 由引理3.1可以得出：若0 完全能控，必存在非奇異變換：x=Tc1x可以得出受控系統(tǒng)0 的傳遞函數(shù)為W0s=csI-A-1b=bn-1sn-1+bn-2sn-2+b1s+b0sn+n-1sn-1+1s+0加入反饋增益矩陣：K=k0,k1,kn-1可求得對(duì)x的閉環(huán)狀態(tài)空間表達(dá)式：x=A+bKx+buy=cx然后得出閉環(huán)傳遞函數(shù)為：Wks=csI-A+bK-1b即：Wks=bn-1sn-1+bn-2s

29、n-2+b1s+b0sn+n-1-kn-1sn-1+1-k1s+0-k0使閉環(huán)極點(diǎn)與給定的期望極點(diǎn)相符，必須滿足：s=*s由等式兩邊s同次冪系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，可解出反饋陣各項(xiàng)系數(shù)：ki=i-i* i=0,1,n-1于是得：K=0-0*,1-1*,n-1-n-1*最后把對(duì)應(yīng)于x的K，通過如下變換得到對(duì)應(yīng)于狀態(tài)x的K：K=KTc1-1算法步驟：第一步：計(jì)算A的特征多項(xiàng)式，detsI-A=sn+n-1sn-1+1s+0 第二步：計(jì)算由1*,2*,n*所決定的多項(xiàng)式，即*s=s-1*s-n*=sn+n-1*sn-1+1*+0* 第三步：比較s和s*各對(duì)應(yīng)系數(shù)可以直接得出反饋增益據(jù)陣K3.2多輸入精確極點(diǎn)配

30、置問題3.2.1問題描述給定多輸入線性定常系統(tǒng)規(guī)范形x=Ax+Bu再給定期望的一組特征值i*，我們需要要確定p×n的反饋增益矩陣K，使iA-BK=i*成立。3.2.2解決方案 參見3.1.2算法步驟：第一步：計(jì)算由1*,2*,n*所決定的多項(xiàng)式，即*s=s-1*s-n*=sn+n-1*sn-1+1*+0*第二步：由*s可以反求得A-BK 第三步：計(jì)算BK=A-A-BK 第四步：由于B和BK的值已知，可以求得K3.3實(shí)例仿真以單輸入精確極點(diǎn)配置為例：給定單輸入線性定常系統(tǒng)x=-2-3x+001u y=1000x 試設(shè)計(jì)一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為-2，-1+i, -1-i。clea

31、r all;close all;A=0,1,0;0,0,1;0,-2,-3 ; B=0;0;1;if rank(ctrb(A,B)=3 P=-2,-1+j,-1-+j;K=acker(A,B,P); else message('This system not controllable,can not pole allocation')end運(yùn)行結(jié)果如下：狀態(tài)反饋矩陣 K=4 4 1對(duì)應(yīng)的控制律為u=-4x1-4x2-x3 各狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線如下圖3-1所示6。 圖3-1變量x下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線第四章 線性定常系統(tǒng)的區(qū)域極點(diǎn)配置在對(duì)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，首先要考慮的是

32、系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，而線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與其極點(diǎn)的位置緊密相關(guān)。在綜合考慮系統(tǒng)的各種性能時(shí)，如果系統(tǒng)極點(diǎn)配置在指定位置，則不能滿足系統(tǒng)綜合的要求，將系統(tǒng)極點(diǎn)配置在指定區(qū)域內(nèi)。因此，D極點(diǎn)配置問題是一個(gè)具有實(shí)際意義和吸引力的研究領(lǐng)域。事實(shí)上，只要將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在復(fù)平面上的一個(gè)適當(dāng)?shù)膮^(qū)域中，就可以保證系統(tǒng)具有一定的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性。對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，一些感興趣的區(qū)域有:保證狀態(tài)響應(yīng)具有衰減度的半平面（）、垂直條狀區(qū)域、圓盤、扇形區(qū)域等。Gutman和Jury（1981）針對(duì)一類相當(dāng)一般的區(qū)域和一個(gè)給定的正方矩陣，用含有一個(gè)矩陣變量的矩陣方程的可行性給出了該矩陣的所有特征值均在所考慮的區(qū)域中的充分必

33、要條件。下面介紹一類可以用一個(gè)線性矩陣不等式刻畫的區(qū)域，稱為L(zhǎng)MI區(qū)域?？梢宰C明，一個(gè)矩陣的特征值均在這樣一個(gè)LMI區(qū)域中的充分必要條件是一個(gè)適當(dāng)?shù)木€性矩陣不等式是可行的，從而可以借助求解線性矩陣不等式的有效方法來方便地求解系統(tǒng)極點(diǎn)的分析和區(qū)域極點(diǎn)配置問題8。4.1問題描述對(duì)于已知線性定常系統(tǒng)x=Ax+Bu,y=Cx，希望閉環(huán)極點(diǎn)均配置在s=-1線的左側(cè)，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K，當(dāng)給定一個(gè)系統(tǒng)初始條件時(shí)，將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在指定區(qū)域內(nèi)。4.2解決方案 我們需要設(shè)計(jì)這樣一個(gè)控制器，使其閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)均位于s平面的s線左側(cè)，其中。 引理4.1：矩陣A的所有特征值均在區(qū)域中的充分必要條件是存在一個(gè)對(duì)稱正

34、定矩陣 使得下式成立：對(duì)于系統(tǒng)，我們希望尋求一個(gè)狀態(tài)反饋控制 （4.2） 將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在區(qū)域內(nèi)，由定理4.1不難得出如下推論： 定理：系統(tǒng)在狀態(tài)反饋（4.2）控制下，其閉環(huán)系統(tǒng)所有極點(diǎn)在復(fù)平面區(qū)域內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)以下LMI： （4.3）有矩陣解和Q。其中，K為狀態(tài)反饋增益矩陣。 證明：將式（4.1）中的矩陣A替換成得 整理得 令，則上式為：故推論成立。算法步驟：（1）根據(jù)對(duì)系統(tǒng)性能的要求，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，即確定區(qū)域；（2）應(yīng)用MATLAB工具箱求解推論中的線性矩陣不等式（4.3），得到X和Q；（3）利用公式，求出狀態(tài)反饋增益矩陣；（4）得出控制律，作用于系統(tǒng)。4.3實(shí)例仿真對(duì)于已知線性定常

35、系統(tǒng)x=Ax+Bu,y=Cx假設(shè)其參數(shù)分別為： ，。希望閉環(huán)極點(diǎn)均配置在s=-2線的左側(cè)，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K，當(dāng)系統(tǒng)初始條件為時(shí)，畫出其零輸入響應(yīng)曲線及系統(tǒng)的極點(diǎn)分布圖。 根據(jù)4.2小節(jié)中提出的設(shè)計(jì)方法，下面利用MATLAB的LMI工具箱為上述系統(tǒng)進(jìn)行仿真，程序如下：clear all;close all;A=0,1,0;0,0,1;0,-2,-3B=0;0;1;C=1,0,0a=2;setlmis();X=lmivar(1,length(A),1);Y=lmivar(2,1,3);lmiterm(1,1,1,1,2*a,1);lmiterm(1,1,1,1,A,1,'s')

36、;lmiterm(1,1,1,2,-B,1,'s');lmiterm(2,1,1,1,-1,1);lmis=getlmis;tmin,xfeas=feasp(lmis);X=dec2mat(lmis,xfeas,1)Y=dec2mat(lmis,xfeas,2)K=Y*inv(X)通過以上程序得出：狀態(tài)反饋矩陣：K=97.8377 58.1864 7.9723對(duì)應(yīng)的控制律為：各狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線如圖4-1所示，系統(tǒng)的極點(diǎn)分布如圖4-2所示7。圖4-1變量xii=1,2,3的零輸入響應(yīng)曲線圖4-2 系統(tǒng)的極點(diǎn)分布圖從圖4-2可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)都位于左復(fù)半平面=-2左

37、側(cè)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性。第五章 線性定常系統(tǒng)具有圓域約束的區(qū)域極點(diǎn)配置用滿意控制思想解決實(shí)際工程問題時(shí)，常常要將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置到期望的區(qū)域內(nèi)，以使系統(tǒng)有著滿意的動(dòng)態(tài)性能。圓域極點(diǎn)配置是指將一個(gè)系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)配置在一個(gè)給定的圓域內(nèi)。眾所周知，線性系統(tǒng)的瞬時(shí)響應(yīng)與其極點(diǎn)的位置密切相關(guān)，只有將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在一個(gè)合適的圓域內(nèi)，就能保證系統(tǒng)具有一定的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能9。5.1 問題描述對(duì)于已知線性定常系統(tǒng)x=Ax+Bu,y=Cx，我們希望把系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在以一個(gè)指定的圓形區(qū)域中，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K，當(dāng)給定系統(tǒng)的初始條件時(shí)，將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在指定圓形區(qū)域內(nèi)。5.2解決方案

38、 引理5.1：設(shè)A是任一方陣，當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣，使得成立，其中表示矩陣的特征值。對(duì)于系統(tǒng)，我們希望尋求一個(gè)狀態(tài)反饋控制 將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在區(qū)域D（q，r）內(nèi)，由該定理不難得出如下推論： 定理：系統(tǒng)在狀態(tài)反饋（5.1）控制下，其閉環(huán)系統(tǒng)所有極點(diǎn)在復(fù)平面區(qū)域D（q，r）內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)以下LMI： （5.2）有矩陣解和Y。其中，K為狀態(tài)反饋增益矩陣。 證明：將式（5.1）中的矩陣A替換成得 整理并引入一個(gè)新的變量，可知推論成立。算法步驟：（1）根據(jù)對(duì)系統(tǒng)性能的要求，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，即確定區(qū)域D（q，r）；（2）應(yīng)用MATLAB工具箱求解推論中的線性矩陣不等式（5.2），得到X和Y；（3）利用公式，

39、求出狀態(tài)反饋增益矩陣；（4）得出控制律，作用于系統(tǒng)。5.3實(shí)例仿真對(duì)于已知線性定常系統(tǒng)x=Ax+Bu,y=Cx假設(shè)其參數(shù)分別為： ，。希望的閉環(huán)極點(diǎn)配置在以-2為圓心，半徑為2的圓內(nèi)，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣K，當(dāng)系統(tǒng)初始條件為時(shí)，畫出其零輸入響應(yīng)曲線及系統(tǒng)的極點(diǎn)分布圖。 根據(jù)5.2小節(jié)中提出的具有圓域極點(diǎn)約束的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法，下面利用MATLAB的LMI工具箱為上述系統(tǒng)進(jìn)行仿真，程序如下：clear all;close all;A=0,1,0;0,0,1;0,-2,-3B=0;0;1;C=1,0,0r=2;q=2;setlmis();X=lmivar(1,length(A),1);Y=lm

40、ivar(2,1,3);lmiterm(1,1,1,1,-r,1);lmiterm(1,2,2,1,-r,1);lmiterm(1,1,2,1,A+q*eye(3),1);lmiterm(1,1,2,2,-B,1);lmis=getlmis;tmin,xfeas=feasp(lmis);X=dec2mat(lmis,xfeas,1)Y=dec2mat(lmis,xfeas,2)K=Y*inv(X)通過以上程序得出：狀態(tài)反饋矩陣：K=1.0503 1.3608 0.1784對(duì)應(yīng)的控制律為：各狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線如圖5-1所示，系統(tǒng)的極點(diǎn)分布如圖5-2所示。圖5-1變量xii=1,2,3的零輸入響應(yīng)曲線圖5-2 系統(tǒng)的極點(diǎn)分布圖從圖5-2可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)都位于圓域內(nèi)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性。結(jié) 論本論文是對(duì)線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋區(qū)域極點(diǎn)配置的研究，首先從單輸入和多輸入兩種情況研究