蘇教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)公開課《釘子板上的多邊形》教案（定稿）

1、釘子板上的多邊形教學(xué)內(nèi)容：五年級(jí)上冊(cè)p108-109探索規(guī)律“釘子板上的多邊形”教學(xué)目標(biāo)：1.使學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)釘子板上圍成的多邊形的面積，與圍成的多邊形邊上的釘子數(shù)、多邊形內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系，并嘗試用字母式子表示關(guān)系。2.使學(xué)生經(jīng)歷探索釘子板上圍成的多邊形面積與相關(guān)釘子數(shù)間的關(guān)系的過程，體會(huì)規(guī)律的復(fù)雜性和全面性，體會(huì)歸納思維，體會(huì)用字母表示關(guān)系的簡(jiǎn)潔性，發(fā)展觀察、比較、推理、綜合和抽象、概括等思維能力。3.使學(xué)生獲得探索規(guī)律成功的體驗(yàn)，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，感受數(shù)學(xué)規(guī)律的奇妙，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。教學(xué)重點(diǎn)：探索釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的

2、關(guān)系.教學(xué)難點(diǎn)：綜合、歸納多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系.教學(xué)過程：一、問題引入，揭示課題師：同學(xué)們，你們認(rèn)識(shí)這是什么嗎?老師已經(jīng)上面圍了一些多邊形，今天這節(jié)課我們就來研究釘子板上的多邊形。為了研究的方便，我們通常用這樣的點(diǎn)子圖代替釘子板。這里每相鄰兩個(gè)釘子之間的距離都是1cm，相鄰4個(gè)點(diǎn)圍成的一個(gè)正方形的面積是1cm²。師：這些都是在釘子板上圍成的多邊形，你想研究多邊形的哪些內(nèi)容呢？師：好的，今天這節(jié)課我們就先來研究一下和釘子板上這些多邊形的面積有關(guān)的知識(shí)。你們猜想一下，這些多邊形的面積會(huì)和哪些什么因素有關(guān)？師：是否和你們說的這些因素有關(guān)呢？下面我們就借助這些

3、多邊形來研究。二、分層探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律（一）引導(dǎo)嘗試，初步感知。1.課件出示圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察。引導(dǎo)：請(qǐng)大家觀察多邊形，按要求數(shù)一數(shù)，算一算，在教材第108頁(yè)的表格里填一填。（1）數(shù)一數(shù)或算一算每個(gè)多邊形的面積各是多少平方厘米；（2）數(shù)一數(shù)每個(gè)多邊形上的釘子各有多少枚；（3）想一想多邊形的面積和邊上的釘子數(shù)有怎樣的關(guān)系。2.學(xué)生交流，板書完成下面表格。3.觀察數(shù)據(jù)，比較發(fā)現(xiàn)。引導(dǎo)：你能看出這些多邊形的面積和邊上釘子數(shù)的關(guān)系嗎？同桌先說一說。交流：你發(fā)現(xiàn)這里的多邊形面積和邊上的釘子數(shù)有什么關(guān)系？（板書：多邊形的面積=多邊形上的釘子數(shù)÷2）說明：為了更簡(jiǎn)潔、方便地表示出這個(gè)規(guī)律，我們可以用字

4、母來表示。如果用n表示多邊形上的釘子數(shù)，用S表示多邊形的面積，那上面發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律可以怎樣表示？教師確認(rèn)、說明字母表示的關(guān)系式，并板書：S=n÷24.觀察比較，反思質(zhì)疑。引導(dǎo)：是不是所有的釘子板上多邊形的面積和它邊上的釘子數(shù)都有這樣的關(guān)系呢？請(qǐng)?jiān)诘诙兄羞x擇一個(gè)多邊形數(shù)一數(shù)，看看是不是也有這樣的關(guān)系。交流：你數(shù)的第二行哪一個(gè)，結(jié)果怎樣？（結(jié)合交流對(duì)應(yīng)板書面積和釘子數(shù)：6  10    5.5   9     6.5  

5、0;9    7   8）追問：現(xiàn)在多邊形的面積和邊上釘子數(shù)還有上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？提問：這是為什么呢？回過去再看第一行的多邊形，它們還有什么共同的地方嗎？找找看。第二行和它們有什么不同？小結(jié)：第一行符合規(guī)律的多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)都為1，第二行多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)都不是1。這說明多邊形的面積不僅和多邊形的釘子數(shù)有關(guān)，還與多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。剛才我們只是研究了內(nèi)部釘子數(shù)為1的情況。說明：如果用a表示多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，那當(dāng)a=1時(shí)，S=n÷2。（在上面得出的關(guān)系式前補(bǔ)充板書：a=1）（二）繼續(xù)研究，拓展認(rèn)識(shí)。1.提出問

6、題，引發(fā)思考。引導(dǎo)：如果多邊形內(nèi)部都有2枚釘子，多邊形面積與它邊上的釘子數(shù)又有什么關(guān)系呢？現(xiàn)在請(qǐng)大家進(jìn)一步觀察，數(shù)一數(shù)、比一比，看看有沒有規(guī)律。2.小組合作，探究規(guī)律。引導(dǎo)：現(xiàn)在請(qǐng)你們四人小組合作，按照下面的辦法研究多邊形的面積。出示活動(dòng)要求：（1）每人畫一個(gè)內(nèi)部有2枚釘子的多邊形，數(shù)出邊上的釘子數(shù)，算出它的面積；（2）每人把獲得的數(shù)據(jù)在小組內(nèi)交流，并記錄在課本第109頁(yè)的表格里；（3）觀察表格中的數(shù)據(jù)，小組討論交流：你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生操作、填表、比較、思考，教師巡視。3.交流引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。出示表格，指名學(xué)生交流結(jié)果，在表格里呈現(xiàn)。引導(dǎo)：我們剛才已經(jīng)知道，這里的面積不等于n÷2，但

7、和n÷2有點(diǎn)什么關(guān)系嗎？同桌互相討論，看看有什么發(fā)現(xiàn)。提問：通過數(shù)據(jù)比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？小結(jié)：通過這里的多邊形的比較，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)a=2時(shí)，面積S=n÷2+1。（板書：a=2  S=n÷2+1）追問：檢查你畫的內(nèi)部有2個(gè)釘子的多邊形，面積符合這個(gè)規(guī)律嗎？如果不符合，把你的例子在全班交流。指出：現(xiàn)在沒有學(xué)生提出反例，所以的都符合這里的規(guī)律。從大家的圖形和數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)多邊形內(nèi)部有2個(gè)釘子時(shí)，也就是a=2時(shí)，S=n÷2+1。（三）引導(dǎo)猜想，概括規(guī)律。1.引發(fā)學(xué)生猜想。提問：上面發(fā)現(xiàn)圖形內(nèi)部釘子數(shù)a=1時(shí)，S=n÷

8、;2；a=2時(shí)，S=n÷2+1。這里是不是有什么規(guī)律，猜一猜，如果多邊形內(nèi)部有3枚釘子，它的面積與邊上釘子數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？先想一想，再告訴大家你的猜想。交流：你猜想的規(guī)律是怎樣的？（板書：a=3  S=n÷2+2  ？）怎樣想的？2.畫圖舉例，驗(yàn)證猜想。讓學(xué)生在點(diǎn)子圖上畫出圖形，驗(yàn)證上面的猜想。交流：你畫出的是怎樣的圖形，驗(yàn)證的結(jié)果有什么結(jié)論？（指名學(xué)生呈現(xiàn)圖形驗(yàn)證結(jié)論）確認(rèn)：當(dāng)多邊形內(nèi)釘子數(shù)是3時(shí)，面積S就等于n÷2+2 。（擦除上面板書中的“？”）追問：現(xiàn)在我們又有什么發(fā)現(xiàn)？3.拓展延伸，揭示規(guī)律。引導(dǎo)學(xué)生

9、觀察關(guān)系式：a=1  S=n÷2a=2  S=n÷2+1a=3  S=n÷2+2引導(dǎo)：你覺得如果a=4，會(huì)有什么規(guī)律？a=5呢？那你能任選一個(gè)a等于幾，畫一畫、算一算來驗(yàn)證嗎？自己畫圖驗(yàn)證。指名學(xué)生交流，呈現(xiàn)不同例子的圖形用數(shù)據(jù)驗(yàn)證，并板書關(guān)系式。提問：你現(xiàn)在能發(fā)現(xiàn)釘子板上多邊形面積的規(guī)律了嗎？指出：如果用a表示多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，那么，多邊形的面積S就等于邊上的釘子數(shù)n除以2，再加上內(nèi)部的釘子數(shù)a，然后減1。（板書：S=n÷2+a-1）驗(yàn)證：當(dāng)a=0或a=1的時(shí)候，也

10、符合這樣的規(guī)律嗎？我們找?guī)讉€(gè)圖形來看一看。呈現(xiàn)幾個(gè)相應(yīng)的圖形數(shù)一數(shù)，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a=0時(shí)，可以看作S=n÷2+0-1，符合規(guī)律；當(dāng)a=1時(shí)，可以看作S=n÷2+1-1，同樣符合規(guī)律。追問：通過對(duì)釘子板上多邊形的研究，我們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)大家說出這個(gè)規(guī)律。4.適當(dāng)介紹，拓展視野。說明：我們今天研究的規(guī)律，就是數(shù)學(xué)上著名的皮克定理（適當(dāng)介紹）。有興趣的同學(xué)，可以在網(wǎng)絡(luò)上或書籍里了解皮克定理。如果有進(jìn)一步認(rèn)識(shí)的要求，那記住這本書：閔酮鶴的著作格點(diǎn)和面積，以后有興趣、有條件了，可以去閱讀。三、回顧過程，交流體會(huì)。提問：回顧剛才探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，你有什么體會(huì)和收獲？追問：還有什么疑問嗎？小結(jié)：今天我們一起研究了釘子板上多邊形面積與釘子數(shù)之間的關(guān)系。在研究的過程中，我們從簡(jiǎn)單情形入手，通過畫一畫、數(shù)一數(shù)、算一算等方法，經(jīng)歷