拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則

1、3.5 拉格朗日中值定理與洛必達(dá)法則一、案例引入二、討論分析1、拉格朗日中值定理2、洛必達(dá)法則在兩個(gè)高度相同的點(diǎn)間的一段連續(xù)曲線上，除端點(diǎn)外如果各點(diǎn)都有不垂直于x軸的切線，那么至少有一點(diǎn)處的切線水平的.xyabPOAB案例引入1、 定理定理3-6（拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理）如果函數(shù)如果函數(shù) f (x)滿足下列條件：滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù);（2）在開(kāi)區(qū)間）在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，那么在那么在(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，使得:( )( )( ),f bf afba 一、拉格朗日（一、拉格朗日（Lag

2、range）中值定理）中值定理( )( )( )()f bf afba 或或討論分析OxyABbaC由定理的條件可知由定理的條件可知,連接端點(diǎn)連接端點(diǎn) A 和和 B 作弦作弦 AB , 則則( )( ).f bf aba 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理 的幾何直觀的幾何直觀曲線曲線( )yf x 在在,ba上是一條連續(xù)的曲線弧上是一條連續(xù)的曲線弧 ,AB曲線弧曲線弧 內(nèi)部每一點(diǎn)處都有不垂直于內(nèi)部每一點(diǎn)處都有不垂直于 x 軸的切線軸的切線.AB ( )ABfK 討論分析 足拉格朗日中值定理的條件足拉格朗日中值定理的條件 解解所以函數(shù)在所以函數(shù)在0, 2上滿上滿上連續(xù)，上連續(xù)， 在開(kāi)區(qū)間在

3、開(kāi)區(qū)間(0, 2)內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，函數(shù)函數(shù) 在在 上滿足拉格朗日定理么？上滿足拉格朗日定理么？例例1 1 22fxxx0, 2如果滿足，求出使定理成立的如果滿足，求出使定理成立的 的值。的值。 故在閉區(qū)間故在閉區(qū)間0, 2是初等函數(shù)，是初等函數(shù)， 22fxxx ( )22,fxx 又又(2)(0)( )20fff 令令(210, ) 解得解得( )( )L-( )f bf afb a 中中值值定定理理：22 即即8022,20 討論分析0,ab 例例2 證明：對(duì)任意證明：對(duì)任意不等式不等式3( ),f xx 解解 設(shè)設(shè),a b顯然它在顯然它在 上滿足上滿足即即 成立成立 23323()3aba

4、babba 3323) ( )babaab ，23323()3()ababab ba拉格朗日中值定理的條件，所以有拉格朗日中值定理的條件，所以有L-( )( )( ) ()f bf afba 中中值值定定理理：2223()3()3()ababab ba ，顯然有顯然有 3、拉格朗日中值定理應(yīng)用、拉格朗日中值定理應(yīng)用（1）證明不等式；）證明不等式； （2）證明等式）證明等式即即 討論分析例例3. 證明不等式證明不等式證證: 設(shè)設(shè)( )ln(1),f tt朗日朗日中值定理?xiàng)l件中值定理?xiàng)l件,即即因?yàn)橐驗(yàn)楣使蔿n(1)(0).1xxxxx ( )(0)f xfln(1)ln1x1,01xx 1x 1x

5、x 10 xx ln(1)(0)1xxxxx ( )(0),0fxx 因此應(yīng)有因此應(yīng)有顯然顯然 f (t)在在0, x上滿足拉格上滿足拉格即即ln(1)x ,01xx 討論分析212112()()( )() ()f xf xfxxxx 12,x x12xx 證證 設(shè)設(shè)為區(qū)間為區(qū)間I上任意兩點(diǎn)（不妨設(shè)上任意兩點(diǎn)（不妨設(shè) ) ( )f x12,x x在在上滿足拉格朗日中值定理的條件，上滿足拉格朗日中值定理的條件，則則21()()0,f xf x 即即21()()f xf x ( )0,f 由于由于故故 f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 I 上為一常數(shù)上為一常數(shù)即函數(shù)即函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間 I 上任意

6、兩點(diǎn)的函數(shù)值相等，上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值相等，則則()fx( )0,fx 推論推論1 若函數(shù)若函數(shù)上滿足上滿足在區(qū)間在區(qū)間If (x)在區(qū)間在區(qū)間 I上必為一常數(shù)上必為一常數(shù)所以所以顯然，顯然，討論分析arcsinarccos, 1,1.2xxx 證證: 設(shè)設(shè)( )arcsinarccos,f xxx( )fx 由推論可知由推論可知( )arcsinarccosf xxxC (C為常數(shù)為常數(shù)) 令令 x = 0 , 得得(0)arcsin0arccos02f 又又( 1),2f 故所證等式在定義域故所證等式在定義域 上成立上成立. 1, 1211x 211x 0 小結(jié)小結(jié): 欲證欲證xI 時(shí)時(shí)0(

7、 ),f xC 只需證在只需證在 I 上上( )0,fx 0,xI且且00()f xC使使，例例4. 證明等式證明等式在在(-1, 1)上有：上有：C 討論分析( )( )()fxg xxI ，( )( )f xg xC 則則( C 常數(shù)常數(shù) ) ( )f x( )g x推論推論2 若兩個(gè)函數(shù)若兩個(gè)函數(shù)與與的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間 I 內(nèi)內(nèi)相等，相等，即即練習(xí)練習(xí): :(,)x arctanarccot,2xx 討論分析( )yf x 若函數(shù)若函數(shù) 滿足滿足:(1) 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上連續(xù)上連續(xù)(2) 在區(qū)間在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b

8、)使使( )0.f xyoab( )yf x ,在在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)4、補(bǔ)充補(bǔ)充：羅爾（羅爾（ Rolle ）定理）定理( )( )L-( )f bf afba 中中值值定定理理：應(yīng)用說(shuō)明：應(yīng)用說(shuō)明：（1）證明方程）證明方程 f (x)=0 根的唯一性。根的唯一性。（2）證明方程）證明方程 有根。有根。( )0fx 討論分析例例5. 證明方程證明方程5510 xx (0)1,(1)3.ff 0()0,f x 有且僅有一個(gè)小于有且僅有一個(gè)小于1 的的正實(shí)根正實(shí)根 .證證: 1) 根的存在性根的存在性 .則則( )f x在在 0 , 1 連續(xù)連續(xù) , 且且由零點(diǎn)定理

9、知存在由零點(diǎn)定理知存在0(0,1),x 使使5( )51,f xxx設(shè)設(shè)500510 xx 即即即方程即方程 有小于有小于 1 的正根的正根 0.x5510 xx討論分析110(0,1),xxx4( )5(1)fxx 0,(0,1),x2) 根的唯一性根的唯一性 .假設(shè)另有假設(shè)另有1()0,f x 使使( )f x在在0110, (,)xxxx 或或滿足羅爾定理?xiàng)l件滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,之間在10, xx至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn),( )0.f 使使但但矛盾矛盾, 故假設(shè)不真故假設(shè)不真!討論分析例例6 若方程若方程 有正根有正根320axbxcx0,x證明：證明：2320axbxc0(0,)x 方

10、程方程 在在 內(nèi)必定有根。內(nèi)必定有根。證明：令證明：令32( ),f xaxbxcx 2( )320fabc 0(0)()0.ff x00,x( )f x則則 在在 上上連續(xù)，連續(xù)，0(0,)x2( )32fxaxbxc 在在 存在，且存在，且()fx00,x所以所以 在在 滿足羅爾定理的條件。滿足羅爾定理的條件。0(0,)x, 根據(jù)羅爾定理可知，在根據(jù)羅爾定理可知，在 上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn)使使0( (0,)x 2320axbxc即即 是方程是方程 的根。的根。討論分析二、洛必達(dá)法則二、洛必達(dá)法則當(dāng)當(dāng) （或（或 ）時(shí)，如果兩個(gè)函數(shù)）時(shí)，如果兩個(gè)函數(shù) 0 xx x那么極限那么極限0()(

11、 )lim( )xxxf xg x( ),( )f xg x 都是無(wú)窮小或都是無(wú)窮大，都是無(wú)窮小或都是無(wú)窮大，可能存在、也可能不存在可能存在、也可能不存在通常稱(chēng)這種極限為未定式的極限，并分別簡(jiǎn)記通常稱(chēng)這種極限為未定式的極限，并分別簡(jiǎn)記為為 或或00. 討論分析又滿足條件：又滿足條件：( )0,g x 00lim( )0, lim ( )0;xxxxf xg x （1）00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxg xg x 則則的左右近旁可導(dǎo)，且的左右近旁可導(dǎo)，且定理定理3-7 設(shè)設(shè)0 x在點(diǎn)在點(diǎn)( ),( )f xg x （2）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大）0( )li

12、m( )xxfxg x 1、 型未定式型未定式00討論分析 這種通過(guò)分子與分母這種通過(guò)分子與分母分別求導(dǎo)分別求導(dǎo)來(lái)確定未定式的來(lái)確定未定式的00,xxxxxxx 結(jié)論仍然成立結(jié)論仍然成立極限值的方法稱(chēng)作極限值的方法稱(chēng)作洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則說(shuō)明說(shuō)明：如果把極限過(guò)程換成：如果把極限過(guò)程換成：討論分析解解 這是這是型未定式型未定式00301limxxex 例例7 求求33001(1)limlim( )xxxxeexx 303lim1xxe 由洛必達(dá)法則，得由洛必達(dá)法則，得3.討論分析解解 這是這是 型未定式，型未定式，0030sinlimxxxx 30sinlimxxxx 例例8 求求 由洛必達(dá)法則

13、，得由洛必達(dá)法則，得00002001cossin1limlim366xxxxxx 注意注意 ：如果應(yīng)用洛必達(dá)法則后所得到的極限：如果應(yīng)用洛必達(dá)法則后所得到的極限仍然是仍然是未定式未定式，且，且滿足滿足洛必達(dá)法則的洛必達(dá)法則的條件條件，則可，則可繼續(xù)使用繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，洛必達(dá)法則，直至求出極限為止直至求出極限為止討論分析極限是否為未定式極限是否為未定式特別注意的是，在每次使用洛必達(dá)法則前特別注意的是，在每次使用洛必達(dá)法則前, 都要都要驗(yàn)證驗(yàn)證討論分析例例9 求求542154lim22xxxxxx542154lim22xxxxxx 00解解 這是這是 型未定式，型未定式， 由洛必達(dá)法則，得由洛

14、必達(dá)法則，得0403155lim422xxxx 0302120lim2122xxx 討論分析練習(xí)：求練習(xí)：求02(1) lim;(2) lim.1cosxxmmnnxxaeexaxxa 討論分析( ),( )f xg x 的左右近旁可導(dǎo)，且的左右近旁可導(dǎo)，且0 x定理定理3-8 設(shè)設(shè)在點(diǎn)在點(diǎn)( )0,g x 又滿足條件：又滿足條件：00(1) lim( ), lim( );xxxxf xg x 0()(2) lim()xxfxgx 存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），存在（或?yàn)闊o(wú)窮大）， 00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxg xg x 則則2、 型未定式型未定式 ；討論分析例例101

15、0 求求0lnsinlim.lnxxx 型未定式，型未定式，解解 這是這是 0lnsinlimlnxxx 0lim(cos )sinxxxx 由洛必達(dá)法則，得由洛必達(dá)法則，得0cossinlim1xxxx 00lim() lim cos1sinxxxxx討論分析例例11 求求2lnlim.xxx 解解 這是這是型未定式，型未定式，2lnlimxxx由洛必達(dá)法則，得由洛必達(dá)法則，得2lnlim1xxx 2lnlimxxx=12 lim0 xx =討論分析練習(xí)：練習(xí)： 求極限求極限2(1) lim;1xxx coslimcosxxxxx 討論分析3、未定式的其它類(lèi)型、未定式的其它類(lèi)型：變形，轉(zhuǎn)化為

16、變形，轉(zhuǎn)化為所有這些類(lèi)型的未定式都可通過(guò)適當(dāng)所有這些類(lèi)型的未定式都可通過(guò)適當(dāng)或或00求解求解（2）和差形式的未定式，簡(jiǎn)記為和差形式的未定式，簡(jiǎn)記為00,0 ,1（3）冪指形式的冪指形式的未定式，簡(jiǎn)記為未定式，簡(jiǎn)記為0（1）乘積形式的未定式，簡(jiǎn)記為乘積形式的未定式，簡(jiǎn)記為討論分析例例12 求求0limcot2xxx解解 這是這是0型未定式，將其變形為型未定式，將其變形為 00limcot2limtan2xxxxxx 00000( )limcot2limlimtan2(tan2 )xxxxxxxxx 00 這是這是 型未定式，型未定式， 由洛必達(dá)法則，得由洛必達(dá)法則，得201lim2sec 2xx

17、 1.2 討論分析例例13 求求11lim.1lnxxxx 解解 這是這是型未定式，通分后可化為型未定式，通分后可化為111ln1limlim,1ln(1)lnxxxxxxxxxx 型未定式，利用洛必達(dá)法則，得型未定式，利用洛必達(dá)法則，得這是這是000101ln1(ln1)limlim(1)ln(1)lnxxxxxxxxxxxx 100(ln)lim1(ln1)xxxx 1lnlim1ln1xxxx 121lim11xxxx 原式原式1.2 討論分析例例14 求求1lim (ln) .xxx 0解解 這是這是型未定式，將其改寫(xiě)成型未定式，將其改寫(xiě)成，11ln(ln )lim(ln )limxx

18、xxxxe ln(ln )limxxx 是是型未定式，型未定式，ln(ln )ln(ln )limlim( )xxxxxx 所以所以1lim(ln )xxx 01.e ln(ln)limxxxe由洛必達(dá)法則，得由洛必達(dá)法則，得1lim0.lnxxx 討論分析注：注：洛必達(dá)法則對(duì)求未定式的極限并非始終有效，洛必達(dá)法則對(duì)求未定式的極限并非始終有效，220001111sin(sin)2 sincoslimlimlimsin(sin )cosxxxxxxxxxxxxx 01limcosxx而而 不存在不存在(也不是無(wú)窮大也不是無(wú)窮大)，所以，所以右端的右端的有些未定式利用洛必達(dá)法則求不出極限有些未定式

19、利用洛必達(dá)法則求不出極限 201sinlimsinxxxx是是 型的未定式，型的未定式，00如如 極限不存在極限不存在討論分析2001sin1limlimsinsinsinxxxxxxxxx該極限是否就真的不存在呢？該極限是否就真的不存在呢？事實(shí)上：事實(shí)上：001limlimsinsinxxxxxx1 00. 討論分析費(fèi)馬費(fèi)馬(1601 1665)法國(guó)數(shù)學(xué)家法國(guó)數(shù)學(xué)家, 他是一位律師他是一位律師, 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛(ài)好只是他的業(yè)余愛(ài)好. 他興趣廣泛他興趣廣泛, 博博覽群書(shū)并善于思考覽群書(shū)并善于思考, 在數(shù)學(xué)上有許多在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn)重大貢獻(xiàn). 他特別愛(ài)好數(shù)論他特別愛(ài)好數(shù)論, 他提出他提

20、出的費(fèi)馬大定理的費(fèi)馬大定理:,2無(wú)整數(shù)解方程時(shí)當(dāng)nnnzyxn至今尚未得到普遍的證明至今尚未得到普遍的證明. 他還是微積分學(xué)的先驅(qū)他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來(lái)的提煉出來(lái)的.討論分析 羅爾是法國(guó)數(shù)學(xué)家，羅爾是法國(guó)數(shù)學(xué)家，16521652年年4 4月月2121日日生于昂貝爾特，生于昂貝爾特，17191719年年1111月月8 8日卒于巴黎。日卒于巴黎。羅爾在數(shù)學(xué)上的成就主要是在代數(shù)方面，羅爾在數(shù)學(xué)上的成就主要是在代數(shù)方面，專(zhuān)長(zhǎng)于丟番圖方程的研究。專(zhuān)長(zhǎng)于丟番圖方程的研究。 羅爾于羅爾于16911691年在題為年在題為任意次方程的任意次方程的一個(gè)解法的證明一個(gè)解法的證明的論文中指出了：在多項(xiàng)式方程的論文中指出了：