實驗5非線性方程求根及其MATLAB實現(xiàn)

1、分類數(shù)學實驗之方程求近似實根問題、方程求近似實根問題、高射炮的控制區(qū)域問題高射炮的控制區(qū)域問題對應書本的第二章 數(shù)值計算問題的2.1 及2.4考慮方程考慮方程 f (x) = 0 求根分為兩步：求根分為兩步：（）先確定某個根的近似值；（）先確定某個根的近似值；（）再將初始近似值加工成滿足精度要求的結果。（）再將初始近似值加工成滿足精度要求的結果。.兩分法迭代兩分法迭代（理論基礎：零點定理）（理論基礎：零點定理）設設f (x)Ca, b，f (a)f (b) 0。區(qū)間。區(qū)間(a, b)就是方程就是方程根的存在區(qū)間，再用下面的方法改善根的精度。根的存在區(qū)間，再用下面的方法改善根的精度。方程求根數(shù)值

2、算法的基本思想方程求根數(shù)值算法的基本思想取取a, b的中點的中點x0=(a+b)/2，若，若f (x0)=0，則，則x0即是根；即是根；否則，否則，f (a)f (x0) 0，令，令a1 = a，b1 = x0(取取a, b的左半部的左半部)； f (x0)f (b) delt %達不到我們需要的精度達不到我們需要的精度 y0=myequation(x0); y1=myequation(x1);%求兩個初始點處的求兩個初始點處的y值值 x2=(x0+x1)./2; %二分二分 y2=myequation(x2); %求在中點處的值求在中點處的值 if y2=0 %恰好是方程的根恰好是方程的根

3、x0=x2; x1=x2; elseif y0*y20 % 方程的根落在方程的根落在x0和和x2之間之間 x1=x2; %新的兩個端點為：新的兩個端點為：x0=x0;x1=x2。 else % 方程的根落在方程的根落在y1和和y2之間之間 x0=x2; %新的兩個端點為：新的兩個端點為：x0=x2;x1=x1。 end i=i+1;enddisp(方程的根為：方程的根為：x=);x0disp(實際迭代次數(shù)為：實際迭代次數(shù)為：i=);idisp(理論迭代次數(shù)為：理論迭代次數(shù)為：N=);Nbisect.m兩分法迭代的加速：兩分法迭代的加速：aba+b2f(a) f(a+b)/2)f(b)f(x)x

4、yc以f(a),f(b)的連線在x軸的交點c作為新的出發(fā)點。程序：fastbisect.m( ) -( )c( )( )af bbf acf bf a點坐標可求出為：注：此方法不一定能加速!減速舉例：aba+ b2f(a)f(b)f(x)xyc程序：fastbisect.mf(a+b)/2)加速情況舉例：.不動點迭代不動點迭代n 稱滿足方程稱滿足方程 f(x)=xf(x)=x的點的點x x為函數(shù)為函數(shù)f f的的不動點不動點. .n求函數(shù)求函數(shù)f f的不動點。可以從一個初始點的不動點。可以從一個初始點x x0 0出發(fā)，出發(fā)，以格式以格式 xn+1=f(xn)進行迭代；進行迭代；n x1 =f(x

5、0)，x2 =f(x1)，xk+1 =f(xk)， n得到得到x0,x1,x2,xn,.n如果該數(shù)列是收斂的，則如果該數(shù)列是收斂的，則11*)lim (*lim;()nnnnxfxxxf將方程將方程 f (x) = 0 化為等價方程化為等價方程 x =(x) （2）取某個定數(shù)取某個定數(shù)x0，做數(shù)列，做數(shù)列xn，其中，其中， x1 =(x0)，x2 =(x1)，xk+1 =(xk)， （3）設設(x)連續(xù)，且連續(xù)，且axnnlima就是方程就是方程f (x) = 0的根。的根。a就是函數(shù)就是函數(shù)的一個不動點，即的一個不動點，即 a =(a)等價于等價于 f (a) = 0求根求根原理：原理：y=

6、f(x)x0f(x0)x1= f(x0)f(x1)x2= f(x1)y=xx收斂的迭代：觀察動態(tài)演示：收斂的迭代：觀察動態(tài)演示：發(fā)散的迭代：觀察動態(tài)演示：發(fā)散的迭代：觀察動態(tài)演示：x0kx)(xy由以上圖形可以看出，序列由以上圖形可以看出，序列的收斂速度，取決于曲線的收斂速度，取決于曲線在根附近的斜率在根附近的斜率)( )()(1111kkkkkkkkkxxxxxxxx所以在根所以在根x*附近，附近，(x) 恒小于恒小于1，則此迭代序列收斂，則此迭代序列收斂，若若(x) 1,則此序列發(fā)散。則此序列發(fā)散。 .不動點迭代不動點迭代例例2 求方程求方程 0142 xx在在 x = 3附近的近似實附近

7、的近似實 根。根。解：可將方程寫成下三種形式：解：可將方程寫成下三種形式： x = 14 x 2 ,114xx12142xxxxxfunction f=iterfun(x)% f=14-x.2;% f=14./(x+1); f=x-(x.2+x-14)./(2*x+1);(1)將三種迭代形式寫成函數(shù)存起來：(2)演示程序使用的程序：iter.m.不動點迭代不動點迭代收斂性蛛網(wǎng)圖一般地，若函數(shù)一般地，若函數(shù)(x)在含不動點在含不動點的某鄰域內(nèi)一階導的某鄰域內(nèi)一階導數(shù)連續(xù)，且數(shù)連續(xù)，且 1| )(|00.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91My=x00.

8、20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91My=x則存在一個鄰域則存在一個鄰域：|-x|，對任何的，對任何的x0，其迭代序列必收斂。其迭代序列必收斂。同時我們還提供一個高級程序：zhuwang.m，繪制出迭代格式為41xx的的蛛網(wǎng)圖蛛網(wǎng)圖。此處用到一個函數(shù):quiver,畫出矢量方向。quiver(x,y,u,v):畫出在(x,y)處，方向為u,v的矢量供學有余力的、感興趣的同學們好好體會學習，體會供學有余力的、感興趣的同學們好好體會學習，體會 Matlab繪圖的精妙。繪圖的精妙。3.牛頓迭代法牛頓迭代法記記a, b為方程為方程 f (x) = 0的根的存

9、在區(qū)間，的根的存在區(qū)間，f (a)與與f (b)異號，且對于每個異號，且對于每個xa, b，f (x)0,f (x)保持符號不變。保持符號不變。取取x0a, b，對，對f (x)用用微分中值定理微分中值定理，近似地，近似地，有有 f (x)p (x) = f (x0) + f (x0)(x - x0)令令p (x) = 0，得到，得到f (x) = 0的近似根的近似根 000()()f xxxfx 記為記為x1=為改善根的精確程度，反復實施這一過程，得到牛頓為改善根的精確程度，反復實施這一過程，得到牛頓迭代公式迭代公式:1()()kkkkf xxxfx xk+1就是從線性方程就是從線性方程 f

10、 (xk) + f (xk)(x xk) = 0 (1)中解得的根中解得的根x.以點以點(xk , f (xk)為切點，曲線為切點，曲線y = f (x)的切線方程恰為：的切線方程恰為： y = f (xk) + f (xk)(x xk) (2) 方程（方程（2）與）與 y=0相聯(lián)立，得到與相聯(lián)立，得到與x軸的交點，該交點軸的交點，該交點即即xk+1x*x0 x0,f(x0)x10100()()f xxxfxx1,f(x1)x2例例3 求方程求方程 3310 xx 在在 x0 = 2附近的近似實根。附近的近似實根。準確到小數(shù)點后準確到小數(shù)點后4位數(shù)字位數(shù)字解：3( )31f xxx 2()33

11、fxx 迭代公式為：3123133kkkkkxxxxx 計算步驟如下：（1）選x0=2,按照迭代公式計算x1；（2）若|x1-x0|0.00001 x0=x1; fun,dfun=fun0(x0); x1=x0-fun/dfun; i=i+1;enddisp(the solution is x1=)x1disp(the iter time is )inewtuniter.m第二部分：高射炮的控制區(qū)域問題第二部分：高射炮的控制區(qū)域問題問題描述：問題描述：高射炮發(fā)射的炮彈在空中呼嘯而過劃出一條拋射線。高射炮發(fā)射的炮彈在空中呼嘯而過劃出一條拋射線。設坐標原點為發(fā)射點，設坐標原點為發(fā)射點，x(t)和和

12、y(t)分別是高射炮在分別是高射炮在t時時刻的空間坐標。用刻的空間坐標。用v0為炮彈出膛時的初速度，為炮彈出膛時的初速度，為高為高射炮發(fā)射角度，射炮發(fā)射角度，g是重力加速度。問：是重力加速度。問：（1）試推高射炮拋射的彈道曲線的參數(shù)方程；）試推高射炮拋射的彈道曲線的參數(shù)方程；（2）當炮彈出膛速度）當炮彈出膛速度v0確定時，它的最遠射程？確定時，它的最遠射程？ （3）當炮擊目標確定后，如何調(diào)整發(fā)射角度，）當炮擊目標確定后，如何調(diào)整發(fā)射角度，使炮彈能準確地落在目標位置處爆炸？使炮彈能準確地落在目標位置處爆炸？ （4）一門高射炮可以控制什么樣的空間區(qū)域？）一門高射炮可以控制什么樣的空間區(qū)域？第二部分

13、：高射炮的控制區(qū)域問題第二部分：高射炮的控制區(qū)域問題問題描述：問題描述：高射炮發(fā)射的炮彈在空中呼嘯而過劃出一條拋射線，高射炮發(fā)射的炮彈在空中呼嘯而過劃出一條拋射線，設坐標原點為發(fā)射點，拋射的彈道曲線的參數(shù)方程為：設坐標原點為發(fā)射點，拋射的彈道曲線的參數(shù)方程為：問題：問題： （1）當炮彈出膛速度）當炮彈出膛速度v0確定時，它的最遠射程？確定時，它的最遠射程？ （2）當炮擊目標確定后，如何調(diào)整發(fā)射角度，）當炮擊目標確定后，如何調(diào)整發(fā)射角度，使炮彈能準確地落在目標位置處爆炸？使炮彈能準確地落在目標位置處爆炸？ （3）一門高射炮可以控制什么樣的空間區(qū)域？）一門高射炮可以控制什么樣的空間區(qū)域？其中其中v

14、0為炮彈出膛時的初速度，為炮彈出膛時的初速度，為高射炮發(fā)射角度，為高射炮發(fā)射角度，g是重力加速度。是重力加速度。初值條件： 00(0)0,cos(0)0,sindxxdtdyygtdt即可導出彈道曲線的參數(shù)方程為(1)模型建立與分析模型建立與分析消去參數(shù)t，可以得到彈道曲線的直角坐標的表達式：2220sec(tan)2gxyx這是我們十分熟悉的拋物線。（1）（2）就形成一族拋物線段.所以，（1）或（2）可以看作是帶有參數(shù)的平面曲線族。當發(fā)射角變化時，取900，相應的彈道曲線(2)控制區(qū)與包絡線控制區(qū)與包絡線包絡曲線：包絡曲線：如果一條曲線的每一點都與曲線簇中的某一曲線相切，則稱這條曲線為該曲線

15、簇的包絡。對曲線簇F(x,y,c)=0中，對參數(shù)c求導，與它自己聯(lián)立得到方程組：由這個方程組確定的曲線x=x(c) 即y=y (c) 稱為單參數(shù)曲線簇F(x,y,c)的包絡。包絡曲線與包絡曲線與x=0及及y=0所形成的所形成的區(qū)域，即區(qū)域，即高射炮的控制區(qū)域高射炮的控制區(qū)域。0),(0),(cyxFcyxFc(額外知識：額外知識：) 如果曲線族的參數(shù)方程形式已給出，則類似可推出其包絡線應滿足的判別方程組為：（ 由于此部分超出同學們知識范圍，過程略）( , )( , )0 xx tyy txyxyt t(額外知識：額外知識：)2202022gyxg可得包絡曲線的表達式：3. 模型求解：模型求解：首先建立平面直角坐標系，設坐標原點為發(fā)射點。初始速度向量為： 發(fā)射點到落點的距離是射程，初始速度不變時，落點僅與發(fā)射角有關。落點