正余弦定理應(yīng)用舉例課件新課標(biāo)人教A版必修5.

1、解斜三角形公式、定理正弦定理：正弦定理：余弦定理：余弦定理：三角形邊與角的關(guān)系：三角形邊與角的關(guān)系：RCcBbAa2sinsinsin Abccbacos2222 Baccabcos2222 Cabbaccos2222 1801CBA、2、 大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊 。，bcacbA2cos222，cabacB2cos222。abcbaC2cos2222.余弦定理的作用余弦定理的作用（1）已知三邊，求三個(gè)角；）已知三邊，求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩角；）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩角； （3）判斷三角形的形狀。）判斷三角形的形狀。中，在A

2、BC推論推論:為直角；，則若Ccba222為銳角；，則若Ccba222為鈍角；，則若Ccba222三角形的面積公式三角形的面積公式BacAbcCabSsinsinsin212121斜三角形的解法斜三角形的解法已知條件已知條件定理選用定理選用一般解法一般解法用正弦定理求出另一對(duì)角用正弦定理求出另一對(duì)角,再由再由A+B+C=180，得出第三角，得出第三角,然然后用正弦定理求出第三邊。后用正弦定理求出第三邊。正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理由由A+B+C=180,求出另一角，再求出另一角，再用正弦定理求出兩邊。用正弦定理求出兩邊。用余弦定理求第三邊，再用余弦用余弦定理

3、求第三邊，再用余弦定理求出一角，再由定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。用余弦定理求出兩角，再由用余弦定理求出兩角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。一邊和兩角一邊和兩角(ASA或或AAS)兩邊和夾角兩邊和夾角(SAS)三邊三邊(SSS)兩邊和其中一兩邊和其中一邊的對(duì)角邊的對(duì)角(SSA):多應(yīng)用實(shí)際測(cè)量中有許正弦定理和余弦定理在(1)測(cè)量距離.(2)測(cè)量高度.)3(測(cè)量角度解斜三角形中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)解斜三角形中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)： （1）坡度：斜面與地平面所成的角度。）坡度：斜面與地平面所成的角度。 （2）仰角和俯角：在）仰角和俯角：在視線(xiàn)視線(xiàn)和和水平線(xiàn)水平

4、線(xiàn)所成的角中，所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方上方的角叫仰角，視線(xiàn)在水平線(xiàn)的角叫仰角，視線(xiàn)在水平線(xiàn)下下方方的角叫俯角。的角叫俯角。 （3）方位角：從正北方向）方位角：從正北方向順時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的夾角。的夾角。 （4）視角：由物體兩端射出的兩條光線(xiàn)在眼球）視角：由物體兩端射出的兩條光線(xiàn)在眼球內(nèi)交叉而成的角內(nèi)交叉而成的角ACB51o55m75o例例1.設(shè)設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離。兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離。測(cè)量者在測(cè)量者在A的同測(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)的同測(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出測(cè)出AC的距離是的距離是55cm，BAC51o，

5、ACB75o，求，求A、B兩點(diǎn)間的距離（精確到兩點(diǎn)間的距離（精確到0.1m）分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形sinsinABACCB解：根據(jù)正弦定理，得解：根據(jù)正弦定理，得答：答：A,B兩點(diǎn)間的距離為兩點(diǎn)間的距離為65.7米。米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7( )sin(1805175 )sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCmACB？ABCDABCDa解：如圖，測(cè)量者可解：如圖，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，設(shè)，設(shè)CD=a，BCA=，ACD=，CD

6、B=，ADB=分析：用例分析：用例1的方法，可以計(jì)算出河的這一岸的一的方法，可以計(jì)算出河的這一岸的一點(diǎn)點(diǎn)C到對(duì)岸兩點(diǎn)的距離，再測(cè)出到對(duì)岸兩點(diǎn)的距離，再測(cè)出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以計(jì)算出借助于余弦定理可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離。兩點(diǎn)間的距離。.,),(,2兩點(diǎn)間距離的方法設(shè)計(jì)一種測(cè)量達(dá)不可到兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸、如圖例BABA解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得，測(cè)得CD=a,并并且在且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在 ADC和和 BDC中，應(yīng)用正弦定理得中，應(yīng)用正弦定理得計(jì)算出計(jì)算出AC和和BC

7、后，再在后，再在 ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出算出AB兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離sin()sin()sin()sin 180()sinsinsin()sin 180()aaACaaBC222cosABACBCACBC變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距4040米的米的C C、D D兩兩點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)，測(cè)得 BCA= BCA= ， ACD= ACD= ， CDB= CDB= ，BDA=BDA=60304560求求A、B兩點(diǎn)間距離兩點(diǎn)間距離 .注：閱讀教材注：閱讀教材P12P12，了解，了解基線(xiàn)基線(xiàn)的概念的概念練習(xí)練習(xí)1.一艘船以一艘船以32.2n mile / hr的

8、速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A處看燈塔處看燈塔S在船的北偏東在船的北偏東20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到B處，在處，在B處看燈塔處看燈塔在船的北偏東在船的北偏東65o的方向，已知距離此燈塔的方向，已知距離此燈塔6.5n mile 以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5ASBSBASABSBn mileSABhhSBn milehn mile 解：在中，由正弦定理得設(shè)點(diǎn) 到直線(xiàn)的距離為則此船可

9、以繼續(xù)沿正北方向航行答：此船可以繼續(xù)沿正北方向航行變式練習(xí)：兩燈塔變式練習(xí)：兩燈塔A A、B B與海洋觀(guān)察站與海洋觀(guān)察站C C的距離都的距離都等于等于a km,a km,燈塔燈塔A A在觀(guān)察站在觀(guān)察站C C的北偏東的北偏東3030o o，燈塔，燈塔B B在觀(guān)察站在觀(guān)察站C C南偏東南偏東6060o o，則，則A A、B B之間的距離為多之間的距離為多少？少？（1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例題中涉及一個(gè)怎樣的三角）例題中涉及一個(gè)怎樣的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CA

10、B0.6 20.BCBAABACBC2601 95m1 40m0 01m練習(xí) 自動(dòng)卸貨汽車(chē)的車(chē)廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿的長(zhǎng)度已知車(chē)廂的最大仰角是，油泵頂點(diǎn) 與車(chē)廂支點(diǎn) 之間的距離為，與水平線(xiàn)之間的夾角為，長(zhǎng)為，計(jì)算的長(zhǎng)（精確到）練習(xí)練習(xí)2自動(dòng)卸貨汽車(chē)的車(chē)廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算自動(dòng)卸貨汽車(chē)的車(chē)廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿油泵頂桿BC的長(zhǎng)度已知車(chē)廂的最大仰角是的長(zhǎng)度已知車(chē)廂的最大仰角是60，油泵頂點(diǎn)，油泵頂點(diǎn)B與車(chē)廂支點(diǎn)與車(chē)廂支點(diǎn)A之間的距離為之間的距離為1.95m，AB與水平線(xiàn)之間的夾角為與水平線(xiàn)之間的夾角為62020，AC長(zhǎng)為長(zhǎng)為1.40m，計(jì)算，計(jì)算BC的長(zhǎng)（

11、精確到的長(zhǎng)（精確到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夾角夾角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：頂桿答：頂桿BCBC約長(zhǎng)約長(zhǎng)1.89m。 CAB22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)BCABACAB ACABC 測(cè)量垂直高度測(cè)量垂直高度 1 1、底部可以到達(dá)的、底部可以到達(dá)的 測(cè)量出角測(cè)量出角C C和和BCBC的長(zhǎng)度，解直的長(zhǎng)度，解直角三角形即可求出角三角形即可求出ABAB的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。 .,

12、. 3的方法物高度設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑為建筑物的最高點(diǎn)不可到達(dá)的一個(gè)建筑物是底部例ABABAB圖中給出了怎樣的一個(gè)圖中給出了怎樣的一個(gè)幾何圖形？已知什么，幾何圖形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想BEAGHDC2 2、底部不能到達(dá)的、底部不能到達(dá)的 例例3 AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直是不可到達(dá)的，所以不能直接測(cè)量出建筑物的高。由解接測(cè)量出建筑物的高。由解直角三角形的知識(shí)，只要能直角三角形的知

13、識(shí)，只要能測(cè)出一點(diǎn)測(cè)出一點(diǎn)C到建筑物的頂部到建筑物的頂部A的距離的距離CA,并測(cè)出由點(diǎn)并測(cè)出由點(diǎn)C觀(guān)察觀(guān)察A的仰角，就可以計(jì)算的仰角，就可以計(jì)算出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)法借助解三角形的知識(shí)測(cè)出法借助解三角形的知識(shí)測(cè)出CA的長(zhǎng)的長(zhǎng)。BEAGHDC)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：選擇一條水平基線(xiàn)解：選擇一條水平基線(xiàn)HG,使使H,G,B三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上。由三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上。由在在H,G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的的仰角分別是仰角分別是，CD=a,測(cè)角儀測(cè)角儀器的高是器的高是h.那么，在那么，在 ACD中，中，根據(jù)正弦定

14、理可得根據(jù)正弦定理可得例例3. AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法的方法BEAGHDC).1(,3 .27.150, 4054,. 400mDCmBCACAB精確到求出山高部分的高為塔已知鐵角處的俯處測(cè)得在塔底的俯角面上一點(diǎn)處測(cè)得地鐵塔上在山頂如圖例分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計(jì)算出法計(jì)算出AB或或AC的長(zhǎng)的長(zhǎng)A AB BC CD D )(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADAB

15、BDABDRt得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度約為答：山的高度約為150米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，)90sin()sin(ABBC解：在解：在ABC中，中，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，A AB BC CD D 例例3 3：如圖：如圖, ,一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛正西行駛, ,到到A A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D D在西偏北在西偏北15150 0的方向上的方向上, ,行駛行駛5km5km后到達(dá)

16、后到達(dá)B B處處, ,測(cè)測(cè)得此山頂在西偏北得此山頂在西偏北25250 0的方向上的方向上, ,仰角為仰角為8 80 0, ,求求此山的高度此山的高度CD CD 分析：要測(cè)出高分析：要測(cè)出高CD,只要測(cè)出只要測(cè)出高所在的直角三角形的另一條高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長(zhǎng)。根據(jù)已知直角邊或斜邊的長(zhǎng)。根據(jù)已知條件，可以計(jì)算出條件，可以計(jì)算出BC的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。例例5 一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正東行駛，到一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測(cè)得處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南在東偏南15的方向上，行駛的方向上，行駛5km后到后到達(dá)達(dá)B處，測(cè)得此山頂在東偏南處，

17、測(cè)得此山頂在東偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C= 25 15=10.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度約為答：山的高度約為1047米。米。變式：某人在變式：某人在M M汽車(chē)站的北偏西汽車(chē)站的北偏西20200 0的方的方向上的向上的A A處，觀(guān)察到點(diǎn)處，觀(guān)察到點(diǎn)C C處有一輛汽車(chē)處有一輛汽車(chē)沿公路向沿公路向M M站行駛。公路的走向是站行駛。公路的走向是M M站站的北偏東的

18、北偏東40400 0。開(kāi)始時(shí)，汽車(chē)到。開(kāi)始時(shí)，汽車(chē)到A A的距離的距離為為3131千米，汽車(chē)前進(jìn)千米，汽車(chē)前進(jìn)2020千米后，到千米后，到A A的的距離縮短了距離縮短了1010千米。問(wèn)汽車(chē)還需行駛千米。問(wèn)汽車(chē)還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M M汽車(chē)站？汽車(chē)站？ :多應(yīng)用實(shí)際測(cè)量中有許正弦定理和余弦定理在.)3(測(cè)量角度).01. 0,1 . 0(,.0 .5432,5 .6775,. 6000nmileCACnmileBBnmileA確到距離精角度精確到需要航行多少距離航行此船應(yīng)該沿怎樣的方向出發(fā)到達(dá)航行直接從如果下次后到達(dá)海島的方向航行東沿北偏出發(fā)然后從后到達(dá)海島航行的方向沿北偏東出發(fā)

19、一艘海輪從如圖例例例6 一艘海輪從一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東出發(fā)，沿北偏東75的方向航行的方向航行67.5n mile后到達(dá)海島后到達(dá)海島B,然后從然后從B出發(fā)，沿北偏東出發(fā)，沿北偏東32的方向航行的方向航行54.0n mile后到達(dá)海島后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到0.1,距距離精確到離精確到0.01n mile）?解：在解：在 ABC中，中，ABC1807532137，根據(jù)余弦定理，根據(jù)余弦定理，15.113137cos0 .545 .672

20、0 .545 .67cos22222ABCBCABBCABAC練習(xí)練習(xí)1 1如下圖是曲柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄如下圖是曲柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄CB繞繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過(guò)連桿時(shí)，通過(guò)連桿AB的傳遞，活塞作直線(xiàn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)曲柄在的傳遞，活塞作直線(xiàn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)曲柄在CB位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線(xiàn)，連桿的端點(diǎn)位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線(xiàn)，連桿的端點(diǎn)A在在A處，設(shè)連處，設(shè)連桿桿AB長(zhǎng)為長(zhǎng)為340mm，由柄，由柄CB長(zhǎng)為長(zhǎng)為85mm，曲柄自，曲柄自CB按順時(shí)針?lè)桨错槙r(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)向旋轉(zhuǎn)80，求活塞移動(dòng)的距離（即連桿的端點(diǎn)，求活塞移動(dòng)的距離（即連桿的端點(diǎn)A移動(dòng)的距移動(dòng)的距離離 ）（精確到）（精確到1mm） AA0已知已知ABC中，中， BC85mm，AB340mm，C80，求求AC 解：（如圖）在解：（如圖）在ABC中，中， 由正弦定理可得：由正弦定理可得：2462. 034080sin85sinsin ABCBC