多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

1、制作與設(shè)計(jì) 賈啟芬Mechanical and Structural Vibration機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)第第4 4章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)目錄Mechanical and Structural Vibration 第第4 4章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration4.1.1 頻率方程頻率方程 4.1.2 主振型主振型 4.1.3 位移方程的解位移方程的解 Mechanical and Structural Vibration4.1.1頻率方程頻率方程 m xm xm xk xk xk xm x

2、m xm xk xkxkxm xm xm xk xkxkxnnnnnnnnnnnnnnnnnn111122111112212112222211222211221122000設(shè)設(shè)n自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的特解為自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的特解為niptAxii, 3 , 2 , 1)sin( 即設(shè)系統(tǒng)的各坐標(biāo)作同步諧振動(dòng)。上式又可表示為即設(shè)系統(tǒng)的各坐標(biāo)作同步諧振動(dòng)。上式又可表示為xAsin()pt MxKx 0Mechanical and Structural Vibration4.1.1頻率方程頻率方程 xAsin()ptA AAAAAAnnT1212將解式代入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，并消去將解式代入系

3、統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，并消去 ，得到，得到sin()pt KAMA0p2KAMA p2()KM A0p2 MxKx 0Mechanical and Structural Vibration4.1.1頻率方程頻率方程 BKM p2()KM A0p2特征矩陣要使要使A有不全為零的解，必須使其系數(shù)行列式等于零。于有不全為零的解，必須使其系數(shù)行列式等于零。于是得到該系統(tǒng)的是得到該系統(tǒng)的頻率方程頻率方程(或特征方程或特征方程)。KM0p2式是關(guān)于式是關(guān)于p2的的n次多項(xiàng)式，由它可以求出次多項(xiàng)式，由它可以求出n個(gè)固有頻率個(gè)固有頻率(或稱或稱特征值特征值)。因此，。因此，n個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)具有個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)具有

4、n個(gè)固有頻率個(gè)固有頻率。Mechanical and Structural Vibration4.1.1頻率方程頻率方程 KM0p2A KAA MATT p2KAMA p2可得到AT前乘以下面對(duì)其取值情況進(jìn)行討論。下面對(duì)其取值情況進(jìn)行討論。由于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣由于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M是正定的，剛度矩陣是正定的，剛度矩陣K是正定的或半正是正定的或半正定的，因此有定的，因此有p20A KAA MATT0TMAA于是，得到0TKAAMechanical and Structural Vibration4.1.1頻率方程頻率方程 頻率方程中所有的固有頻率值都是實(shí)數(shù)，并且是正數(shù)或?yàn)轭l率方程中所有的固有頻率值都

5、是實(shí)數(shù)，并且是正數(shù)或?yàn)榱?。通常剛度矩陣為正定的稱之為零。通常剛度矩陣為正定的稱之為正定系統(tǒng)正定系統(tǒng)；剛度矩陣為半；剛度矩陣為半正定的稱之為正定的稱之為半正定系統(tǒng)半正定系統(tǒng)。對(duì)應(yīng)于正定系統(tǒng)的固有頻率值是。對(duì)應(yīng)于正定系統(tǒng)的固有頻率值是正的；對(duì)應(yīng)于半正定系統(tǒng)的固有頻率值是正數(shù)或?yàn)榱?。正的；?duì)應(yīng)于半正定系統(tǒng)的固有頻率值是正數(shù)或?yàn)榱?。一般的振?dòng)系統(tǒng)的一般的振動(dòng)系統(tǒng)的n個(gè)固有頻率的值互不相等個(gè)固有頻率的值互不相等(也有特殊情也有特殊情況況)。將各個(gè)固有頻率按照由小到大的順序排列為。將各個(gè)固有頻率按照由小到大的順序排列為012pppn其中最低階固有頻率其中最低階固有頻率p1稱為稱為第一階固有頻率或稱基頻第一

6、階固有頻率或稱基頻，然后，然后依次稱為二階、三階固有頻率等。依次稱為二階、三階固有頻率等。 Mechanical and Structural Vibration對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于pi可以求得可以求得A(i)，它滿足，它滿足4.1.2主振型主振型 0)()(2iipAMK0)(2AMKpA(i)為對(duì)應(yīng)于為對(duì)應(yīng)于pi的特征矢量。它表示系統(tǒng)在以的特征矢量。它表示系統(tǒng)在以pi的頻率作自的頻率作自由振動(dòng)時(shí)，各物塊振幅的相對(duì)大小，稱之為由振動(dòng)時(shí)，各物塊振幅的相對(duì)大小，稱之為第第i階主振型階主振型，也，也稱稱固有振型或主模態(tài)固有振型或主模態(tài)。 AAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn(

7、 )( )( )( ) 對(duì)于任何一個(gè)對(duì)于任何一個(gè)n自由度振動(dòng)系統(tǒng)，總可以找到自由度振動(dòng)系統(tǒng)，總可以找到n個(gè)固有個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型階主振型Mechanical and Structural Vibration4.1.2主振型主振型 AAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn( )( )( )( )對(duì)于任何一個(gè)對(duì)于任何一個(gè)n自由度振動(dòng)系統(tǒng)，總可以找到自由度振動(dòng)系統(tǒng)，總可以找到n個(gè)固有頻個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型階主振型在主振型矢量中，規(guī)定某個(gè)元素的值為在主振型矢量中，規(guī)定某個(gè)元素的值為1，并進(jìn)而確定其，并進(jìn)而確定其它元素的過(guò)

8、程稱為它元素的過(guò)程稱為歸一化歸一化。 令令 ，于是可得第，于是可得第i階主振型矢量為階主振型矢量為Ani ( )1 AiiiTAA121( )( )Mechanical and Structural Vibration4.1.2主振型主振型 主振型矢量也可以利用特征矩陣的伴隨矩陣來(lái)求得。主振型矢量也可以利用特征矩陣的伴隨矩陣來(lái)求得。BKM p2BBBadj11特征矩陣特征矩陣逆矩陣逆矩陣BBIBadjB B乘以iiiBBIBadjpi代入0adjiiBBBi 00)()(2iipAMK比較比較 所以伴隨矩陣的每一列就是主振型矢量或者差一常數(shù)因子。所以伴隨矩陣的每一列就是主振型矢量或者差一常數(shù)因

9、子。 AiiBadj任任何何非非零零列列成成比比例例Mechanical and Structural Vibration4.1.3位移方程的解位移方程的解當(dāng)運(yùn)動(dòng)微分方程是位移方程時(shí)，仍可設(shè)其解具有當(dāng)運(yùn)動(dòng)微分方程是位移方程時(shí)，仍可設(shè)其解具有sin()pt p2 MAA0niptAxii, 3 , 2 , 1)sin( () MI A012p MI102pLMI 12p特征矩陣頻率方程頻率方程求出求出n個(gè)固有頻率，其相應(yīng)的主振型也可從特征矩陣的伴隨矩個(gè)固有頻率，其相應(yīng)的主振型也可從特征矩陣的伴隨矩陣陣adjL將將pi值代入而求出值代入而求出. 代入位移方程代入位移方程 Mxx0Mechanica

10、l and Structural Vibration例例 題題解：選擇解：選擇x1、 x2、 x3坐標(biāo)如圖所示。則系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛坐標(biāo)如圖所示。則系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為度矩陣分別為M mmm0000002K 2020kkkkkkk將M和K代入頻率方程KMp20202020222kp mkkkp mkkkp mMechanical and Structural Vibration例例 圖是三自由度振動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)圖是三自由度振動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。例例 題題299064223pk

11、mpkmpkmpkmpkmpkm122232012671272631007.,.,.mkpmkpmkp7609. 1,2810. 1,3559. 0321 解方程得到解方程得到求出系統(tǒng)的三個(gè)固有頻率為求出系統(tǒng)的三個(gè)固有頻率為再求特征矩陣的伴隨矩陣再求特征矩陣的伴隨矩陣BKMpkp mkkkp mkkkp m222220202Mechanical and Structural Vibration例例 題題 22222222222222)2()2()2()2)(2()2()2()2)(2(adjkmpkmpkkkmpkkmpkmpkmpkkkmpkkkmpkmpkB設(shè)取其第三列設(shè)取其第三列(計(jì)算時(shí)

12、可只求出這一列計(jì)算時(shí)可只求出這一列)，將，將p1值代入，得到第一值代入，得到第一階主振型為階主振型為 A1100001873325092. AA( ).23100000727404709100001100702115 得到第二、三階主振型為得到第二、三階主振型為三個(gè)主振型由圖所示Mechanical and Structural Vibration歸一化后，即令歸一化后，即令例例 題題 ipAMK)(2 = 0主振型也可由式主振型也可由式 求得求得0)(2AMKpppp123,代入 Aii111 2 3(, )可得主振型可得主振型Mechanical and Structural Vibrat

13、ion例例 題題例例 在前例中，若在前例中，若k1 =0, 求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。k10K kkkkkkk020相當(dāng)于圖所示系統(tǒng)中去掉這個(gè)彈簧，這時(shí)剛度矩陣為相當(dāng)于圖所示系統(tǒng)中去掉這個(gè)彈簧，這時(shí)剛度矩陣為解：解：B kp mkkkp mkkkp m2220202()2740342222m pkm pk m p特征矩陣為特征矩陣為可得到頻率方程可得到頻率方程Mechanical and Structural Vibration例例 題題ppkmpkm12223200719227808,.,.ppkmpkm12300848116676,.,.解出得到三個(gè)固有頻率ppp

14、123,Badjkk kp mkp mkp mk222222()()()分別代入的第三列歸一化后，得到三個(gè)主振型 AAA121100001000010000100000280806404100001780803904 .,.,.Mechanical and Structural Vibration例例 題題 AAA121100001000010000100000280806404100001780803904 .,.,.這種振型是與零固有頻率對(duì)應(yīng)的稱之為這種振型是與零固有頻率對(duì)應(yīng)的稱之為零振型零振型。剛度矩。剛度矩陣陣 是半正定系統(tǒng)。而且，在其運(yùn)動(dòng)方向上系統(tǒng)的是半正定系統(tǒng)。而且，在其運(yùn)動(dòng)方向上

15、系統(tǒng)的外力的合力為零，是動(dòng)量守恒系統(tǒng)。外力的合力為零，是動(dòng)量守恒系統(tǒng)。 K 0Mechanical and Structural Vibration例例 題題 例例 有三個(gè)具有質(zhì)量的小球，置于一根張緊的鋼絲上如圖所有三個(gè)具有質(zhì)量的小球，置于一根張緊的鋼絲上如圖所示。假設(shè)鋼絲中的拉力示。假設(shè)鋼絲中的拉力FT很大，因而各點(diǎn)的橫向位移不會(huì)使很大，因而各點(diǎn)的橫向位移不會(huì)使拉力有明顯的變化。設(shè)拉力有明顯的變化。設(shè)m1= m2= m3= m ，尺寸如圖所示，試用，尺寸如圖所示，試用位移方程求該系統(tǒng)的固有頻率和主振型。位移方程求該系統(tǒng)的固有頻率和主振型。 解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣是解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣是 M mmm

16、000000其柔度矩陣可按柔度影響系數(shù)求出其柔度矩陣可按柔度影響系數(shù)求出Mechanical and Structural Vibration例例 題題1121311311T11TlFlF首先僅在首先僅在m1質(zhì)量處施加水平單位力質(zhì)量處施加水平單位力F=1m1位移是m2位移是m3位移是畫(huà)出畫(huà)出m1的受力圖。根據(jù)平衡條件，得的受力圖。根據(jù)平衡條件，得Tl4311m1TTFlFl431,423211311121由圖中三角形的幾何關(guān)系可解出由圖中三角形的幾何關(guān)系可解出112131Mechanical and Structural Vibration例例 題題3212421234TFl寫出柔度矩陣寫出柔

17、度矩陣系統(tǒng)的特征矩陣為系統(tǒng)的特征矩陣為222T210001000132124212341pppFmlpIMLL 322422321pT4FmlMechanical and Structural Vibration得頻率方程，即得得頻率方程，即得例例 題題L 0()()28802求出各根，按遞降次序排列求出各根，按遞降次序排列 1232 2222 22(),()于是得到系統(tǒng)的固有頻率于是得到系統(tǒng)的固有頻率mlFpmlTpmlFpTT4)22(21,2,4)22(21232221Mechanical and Structural Vibration例例 題題為求系統(tǒng)的主振型，先求出為求系統(tǒng)的主振型

18、，先求出adjL的第一列的第一列)4(42)3(24)3)(4(adj222L AAA123121101121 ,321,代入各階主振型各階主振型歸一化Mechanical and Structural Vibration 第第4 4章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration4.2.1 主振型的正交性主振型的正交性4.2.2 主振型矩陣與正則振型矩陣主振型矩陣與正則振型矩陣 4.2.3 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)主坐標(biāo)和正則坐標(biāo) Mechanical and Structural Vibration4.2.1主振型的正交性n自由度的振

19、動(dòng)系統(tǒng)，具有自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，具有n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階階主振型。且這些主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩主振型。且這些主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。陣的正交性。 AAij,ppij, iiip MAAK2 jjjp MAAK2對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 ()AiT兩邊左乘兩邊左乘轉(zhuǎn)置，然后右乘轉(zhuǎn)置，然后右乘 Aj ()()AK AAMAiTjiiTjp2 ()()AKAAMAiTjjiTjp2 ()()ppijiTj220AMA相減相減 ijppij ()AM AiTj 0 ()AK AiTj 0Mechanical and Structural Vibra

20、tion4.2.1主振型的正交性表明，對(duì)應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，即關(guān)于質(zhì)量表明，對(duì)應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，即關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振主振型的正交性型的正交性。還可以證明，。還可以證明，零固有頻率對(duì)應(yīng)的主振型也零固有頻率對(duì)應(yīng)的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交必定與系統(tǒng)的其它主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。 ()AM AiTj 0 ()AK AiTj 0ijij ()AMAiTiiM (), , ,AK AiTiiKin 12 3 Ki稱為第稱為第i階階主剛度主剛度或第或第i階階模態(tài)剛

21、度模態(tài)剛度；Mi稱為第稱為第i階階主質(zhì)量主質(zhì)量或第或第i階階模態(tài)質(zhì)量模態(tài)質(zhì)量。 pKMiniiTiiTiii212 3()(), , ,( )AK AAMA令j = i,Mechanical and Structural Vibration4.2.1主振型的正交性 由于主振型的正交性，不同階的主振動(dòng)之間不存在動(dòng)能由于主振型的正交性，不同階的主振動(dòng)之間不存在動(dòng)能的轉(zhuǎn)換，或者說(shuō)不存在慣性耦合。同樣可以證明第的轉(zhuǎn)換，或者說(shuō)不存在慣性耦合。同樣可以證明第i階固有階固有振動(dòng)的廣義彈性力在第振動(dòng)的廣義彈性力在第j階固有振動(dòng)的微小位移上的元功之階固有振動(dòng)的微小位移上的元功之和也等于零，因此和也等于零，因此不

22、同階固有振動(dòng)之間也不存在勢(shì)能的轉(zhuǎn)不同階固有振動(dòng)之間也不存在勢(shì)能的轉(zhuǎn)換，或者說(shuō)不存在彈性耦合換，或者說(shuō)不存在彈性耦合。 對(duì)于每一個(gè)主振動(dòng)來(lái)說(shuō)，它的動(dòng)能和勢(shì)能之和是個(gè)常數(shù)。對(duì)于每一個(gè)主振動(dòng)來(lái)說(shuō)，它的動(dòng)能和勢(shì)能之和是個(gè)常數(shù)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)主振動(dòng)內(nèi)部的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)主振動(dòng)內(nèi)部的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，但各階主振動(dòng)之間不會(huì)發(fā)生能量的傳遞。化，但各階主振動(dòng)之間不會(huì)發(fā)生能量的傳遞。 從能量的觀點(diǎn)看，從能量的觀點(diǎn)看，各階主振動(dòng)是互相獨(dú)立的各階主振動(dòng)是互相獨(dú)立的，這就是主，這就是主振動(dòng)正交性的物理意義。振動(dòng)正交性的物理意義。 Mechanical and Structural Vib

23、ration4.2.2主振型矩陣與正則振型矩陣 以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個(gè)以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個(gè)nn階方陣，稱此階方陣，稱此方陣為方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即，即 AAAAPnnnnnnnAAAAAAAAA()12111212122212AMAMAKAKPTPPPTPP根據(jù)主振型的正交性，可以導(dǎo)出主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)根據(jù)主振型的正交性，可以導(dǎo)出主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)MPnMMM12KPnKKK12主質(zhì)量矩陣主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣主剛度矩陣Mechanical and Structural Vibration4.2.2主振型矩陣與正則振型矩陣 使使M

24、P由對(duì)角陣變換為單位陣由對(duì)角陣變換為單位陣 將主振型矩陣的各列除以其對(duì)應(yīng)主質(zhì)量的平方根，即將主振型矩陣的各列除以其對(duì)應(yīng)主質(zhì)量的平方根，即 AANiiPiM( )1這樣得到的振型稱為這樣得到的振型稱為正則振型正則振型。 ()AMANiTNjijij10 ()AKANiTNjipijij20正則振型的正交關(guān)系是正則振型的正交關(guān)系是第第i階正則振型階正則振型第第i階固有頻率階固有頻率 Mechanical and Structural Vibration4.2.2主振型矩陣與正則振型矩陣 以各階正則振型為列，依次排列成一個(gè)以各階正則振型為列，依次排列成一個(gè)nn階方陣，稱此方陣階方陣，稱此方陣為為正則

25、振型矩陣正則振型矩陣，即，即 AAAANNNNnNNNnNNNnNnNnNnnAAAAAAAAA()12111212122212222212111nNTNNTNpppPAKAIMAA由正交性可由正交性可導(dǎo)出正則矩導(dǎo)出正則矩陣兩個(gè)性質(zhì)陣兩個(gè)性質(zhì)譜矩陣譜矩陣 Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo) 在一般情況下，具有有限個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛在一般情況下，具有有限個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都不是對(duì)角陣。因此，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中既有動(dòng)力度矩陣都不是對(duì)角陣。因此，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中既有動(dòng)力偶合又有靜力偶合。對(duì)于偶合又有靜力

26、偶合。對(duì)于n自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，有可能選自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，有可能選擇這樣一組特殊坐標(biāo)，使方程中不出現(xiàn)偶合項(xiàng)亦即質(zhì)量矩陣和擇這樣一組特殊坐標(biāo)，使方程中不出現(xiàn)偶合項(xiàng)亦即質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是對(duì)角陣，這樣每個(gè)方程可以視為單自由度問(wèn)題，剛度矩陣都是對(duì)角陣，這樣每個(gè)方程可以視為單自由度問(wèn)題，稱這組坐標(biāo)為稱這組坐標(biāo)為主坐標(biāo)或模態(tài)坐標(biāo)主坐標(biāo)或模態(tài)坐標(biāo)。由前面的討論可知，主振型矩陣由前面的討論可知，主振型矩陣AP與正則振型矩陣與正則振型矩陣AN，均可，均可使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換成為對(duì)角陣。因此，可利用使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換成為對(duì)角陣。因此，可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，以尋

27、求主坐標(biāo)或正主振型矩陣或正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，以尋求主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)。則坐標(biāo)。Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo) 1. 主坐標(biāo)主坐標(biāo)首先用主振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，即首先用主振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，即xA xPP主坐標(biāo)矢量主坐標(biāo)矢量 xA xPP xA xAAAPPnPPPnxxx()1212 xxxxxxnPPnPn12122AAA( )!xA xA xA xiniiPiPinPn112212 3, , ,這組坐標(biāo)變換的物理意義，可由展開(kāi)式看出這組坐標(biāo)變換的物理意義，可由展開(kāi)式看出Mechanical and Structural

28、 Vibration4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo) 原物理坐標(biāo)的各位移值，都可以看成是由原物理坐標(biāo)的各位移值，都可以看成是由n個(gè)主振型按一個(gè)主振型按一定的比例組合而成。定的比例組合而成。新坐標(biāo)新坐標(biāo)xA xA xA xiniiPiPinPn112212 3, , ,比例因子比例因子 系統(tǒng)各坐標(biāo)值正好與第一階主振型相等，即每個(gè)主坐標(biāo)的系統(tǒng)各坐標(biāo)值正好與第一階主振型相等，即每個(gè)主坐標(biāo)的值等于各階主振型分量在系統(tǒng)原物理坐標(biāo)中占有成分的大小。值等于各階主振型分量在系統(tǒng)原物理坐標(biāo)中占有成分的大小。xxinPPi1102 3,(, , )xA1如果令如果令則可得則可得Mechanical and Struct

29、ural Vibration4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo) 將式將式MA xKA x0PPPP xA xPPxA xPP MxKx 0A MA xA KA x0PTPPPTPP APTM xK x0PPPP 由主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)由主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)前乘以前乘以由于主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣都是對(duì)角陣，所以方程式中無(wú)由于主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣都是對(duì)角陣，所以方程式中無(wú)偶合，且為相互獨(dú)立的偶合，且為相互獨(dú)立的n個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)微分方程。即個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)微分方程。即M xK xinipiiPi(, , , )012 3 第第i階階主質(zhì)量或模態(tài)質(zhì)量主質(zhì)量或模態(tài)質(zhì)量第第i階階主剛度或模態(tài)剛度主剛度或模態(tài)剛度第第i

30、階主質(zhì)量階主質(zhì)量Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo) 由物理坐標(biāo)到模態(tài)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，是方程解耦的數(shù)學(xué)過(guò)程由物理坐標(biāo)到模態(tài)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，是方程解耦的數(shù)學(xué)過(guò)程。從物理意義上講，是從從物理意義上講，是從力的平衡力的平衡方程變?yōu)榉匠套優(yōu)槟芰科胶饽芰科胶夥匠痰姆匠痰倪^(guò)程。在物理坐標(biāo)系統(tǒng)中，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣一般是非過(guò)程。在物理坐標(biāo)系統(tǒng)中，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣一般是非對(duì)角陣，使運(yùn)動(dòng)方程不能解耦。而在模態(tài)坐標(biāo)系統(tǒng)中，第對(duì)角陣，使運(yùn)動(dòng)方程不能解耦。而在模態(tài)坐標(biāo)系統(tǒng)中，第i 個(gè)模態(tài)坐標(biāo)代表在位移向量中第個(gè)模態(tài)坐標(biāo)代表在位移向量中第i階主振型（模態(tài)振型）所階主

31、振型（模態(tài)振型）所作的貢獻(xiàn)。作的貢獻(xiàn)。任何一階主振型的存在，并不依賴于其他主振任何一階主振型的存在，并不依賴于其他主振型是否同時(shí)存在。這就是模態(tài)坐標(biāo)得以解耦的原因型是否同時(shí)存在。這就是模態(tài)坐標(biāo)得以解耦的原因。因此，。因此，位移響應(yīng)向量是各階模態(tài)貢獻(xiàn)的位移響應(yīng)向量是各階模態(tài)貢獻(xiàn)的疊加疊加的結(jié)果，而不是模態(tài)的結(jié)果，而不是模態(tài)耦合的結(jié)果。耦合的結(jié)果。各階模態(tài)之間是不耦合的各階模態(tài)之間是不耦合的。 Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo) 2. 正則坐標(biāo)正則坐標(biāo)用正則振型矩陣用正則振型矩陣AN進(jìn)行坐標(biāo)變換，設(shè)進(jìn)行坐標(biāo)變換，設(shè) xA xNNMA x

32、KA x0NNNN MxKx 0正則坐標(biāo)矢量正則坐標(biāo)矢量ANTA MA xA KA x0NTNNNTNN前乘以前乘以 xP x0NN2 xp xN iiN i20(, , , )in 12 3 由正則振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)由正則振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo) 例例 試求前例圖示系統(tǒng)中的主試求前例圖示系統(tǒng)中的主振型矩陣和正則振型矩陣。振型矩陣和正則振型矩陣。 AAAAP().123100001000010000187330727411007250920470902115由質(zhì)量矩陣由質(zhì)量矩陣 ，可求出主質(zhì)量矩陣，可求出

33、主質(zhì)量矩陣M m100010002MA MAPPTPmmm1710140001972600023010.解：將在前例中求得的各階主解：將在前例中求得的各階主振型依次排列成方陣，得到主振振型依次排列成方陣，得到主振型矩陣型矩陣Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo) 于是，可得各階正則振型于是，可得各階正則振型 AAAAAAAAANNNMmMmMm111122223333102418107120106592.以各階正則振型為列，寫出正則振型矩陣以各階正則振型為列，寫出正則振型矩陣ANm1024180712006592045300517907

34、256060670335301394.Mechanical and Structural Vibration4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo) K k210121011PA K A2012670001272600031007NTNkm.由剛度矩陣由剛度矩陣可求出譜矩陣可求出譜矩陣 xP x0NN2.xkmxxkmxxkmxNNNNNN112233012670127260310070可寫出以正則坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程可寫出以正則坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程展開(kāi)式為展開(kāi)式為Mechanical and Structural Vibration 第第4 4章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)Mechanical a

35、nd Structural Vibration在前面的討論中，曾假設(shè)系統(tǒng)的固有頻率均不相等，而每個(gè)固在前面的討論中，曾假設(shè)系統(tǒng)的固有頻率均不相等，而每個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)一個(gè)主振型。但復(fù)雜系統(tǒng)中也會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以有頻率對(duì)應(yīng)一個(gè)主振型。但復(fù)雜系統(tǒng)中也會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上頻率相等或相近的情形，這時(shí)相對(duì)應(yīng)的主振型就不能唯一地上頻率相等或相近的情形，這時(shí)相對(duì)應(yīng)的主振型就不能唯一地確定。確定。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，假設(shè)頻率方程有二重根。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，假設(shè)頻率方程有二重根。ppp120 1201MAAKp可寫出可寫出 A1 A2 )(210AAKKAba AAA012ab線性組合線性組合說(shuō)明對(duì)應(yīng)于說(shuō)明對(duì)應(yīng)于p0的

36、主振型的主振型不能唯一地確定不能唯一地確定 兩個(gè)任意常數(shù)兩個(gè)任意常數(shù) 2202MAAKp 220120MAAMbpap )(2120AAMbap 020MApMechanical and Structural Vibration 當(dāng)系統(tǒng)具有重根時(shí)，其等固有頻率的主振型要根據(jù)各振型當(dāng)系統(tǒng)具有重根時(shí)，其等固有頻率的主振型要根據(jù)各振型間的正交性來(lái)確定。間的正交性來(lái)確定。 例例 圖示系統(tǒng)是由兩個(gè)質(zhì)量均為圖示系統(tǒng)是由兩個(gè)質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)與一無(wú)重剛桿組成，的質(zhì)點(diǎn)與一無(wú)重剛桿組成，且兩質(zhì)點(diǎn)又分別與彈簧常數(shù)為且兩質(zhì)點(diǎn)又分別與彈簧常數(shù)為k的彈簧相連。試求該系統(tǒng)的固的彈簧相連。試求該系統(tǒng)的固有頻率及主振型。有頻率

37、及主振型。Mechanical and Structural Vibration解：以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)解：以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)x1, x2 。寫出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為寫出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為 M mm00K kk00得到特征矩陣得到特征矩陣BKMpkp mkp m22200得到頻率方程得到頻率方程kp mkp m22000解出系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率，是重根。解出系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率，是重根。 ppkm12Mechanical and Structural Vibration 2200adjmpkmpkB求出特征矩陣的伴隨矩陣求出特征矩陣的伴隨矩陣并將

38、兩個(gè)固有頻率代入該矩陣的任一列，結(jié)果是兩個(gè)元素全為并將兩個(gè)固有頻率代入該矩陣的任一列，結(jié)果是兩個(gè)元素全為零。因此，在重根的情況下無(wú)法用伴隨矩陣零。因此，在重根的情況下無(wú)法用伴隨矩陣adjB 確定主振型。確定主振型。 需由正交化求得。由觀察系統(tǒng)的振動(dòng)現(xiàn)象可知，剛桿具有兩種運(yùn)動(dòng)需由正交化求得。由觀察系統(tǒng)的振動(dòng)現(xiàn)象可知，剛桿具有兩種運(yùn)動(dòng)即平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。因此可假設(shè)即平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。因此可假設(shè) AA121111,然后用兩振型關(guān)于然后用兩振型關(guān)于M、K的的正交性來(lái)校核正交性來(lái)校核Mechanical and Structural Vibration 1 1001121100112012mmmmmmiiTi,()

39、,滿足 AMA 1 100110012mmT,()顯然滿足 AMA是該系統(tǒng)的一組正交主振型是該系統(tǒng)的一組正交主振型 AA12和需要指出的是，這種相互獨(dú)立正交的需要指出的是，這種相互獨(dú)立正交的主振型組可以有無(wú)窮多組。就好象在主振型組可以有無(wú)窮多組。就好象在平面幾何中，一個(gè)圓有無(wú)窮多組相互平面幾何中，一個(gè)圓有無(wú)窮多組相互垂直的二個(gè)直徑一樣。圖所示，為另垂直的二個(gè)直徑一樣。圖所示，為另一組相互正交的主振型，即一組相互正交的主振型，即 AA121001,Mechanical and Structural Vibration例例 圖所示的系統(tǒng)中，各個(gè)質(zhì)量只圖所示的系統(tǒng)中，各個(gè)質(zhì)量只沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)沿鉛

40、垂方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)k1= k2= k3= k， m1= M，m2= m3= m4= m，試求系，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。統(tǒng)的固有頻率和主振型。MxKx0解：解：其中其中MKMmmmkkkkkkkkkk0000000000003000000,Mechanical and Structural VibrationBKM p2300000002222kMpkkkkkmpkkmpkkmp由特征矩陣由特征矩陣建立頻率方程為建立頻率方程為MpkmpkmpmMkmp2222130()()()pppkmpMm kMm123403,()Mechanical and Structural VibrationBKM

41、 p2由特征矩陣由特征矩陣2 3222222()()adj()()kmpk kmpk kmpk kmpBppMmmMk124203, AA141 1 1 131 1 1 TTmM，求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列Mechanical and Structural Vibration ()KM A0p222 kMmAAAA3111100010001000000012223242求與重根對(duì)應(yīng)的主振型求與重根對(duì)應(yīng)的主振型 ()3012223242MmAAAA 0)(0)(2421MAAMAATT 0302423222124232221mAmAmAAMmmAmAmAMA按第

42、一行展開(kāi)按第一行展開(kāi)同時(shí)應(yīng)滿足同時(shí)應(yīng)滿足正交化正交化 A120 AAA2232420 21222423AAA A2021 1TMechanical and Structural Vibration 02)(03)(0)(0)3(343332323433323134343332313134333231mAmAmAmAmAmAAMmmAmAmAMAAAAAmMTTTMAAMAAMAA A331 A3001 1T同理，可得到滿足第三階主振型的關(guān)系式同理，可得到滿足第三階主振型的關(guān)系式 031A 0343332AAA 02343332mAmAmA A230 A431Mechanical and Str

43、uctural Vibration 第第4 4章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration已知已知n自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程M xK x0 xxxx( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )00000000012012xxxxxxnTnT當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)，系統(tǒng)的初始位移與初始速度為時(shí)，系統(tǒng)的初始位移與初始速度為求系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)。求系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)。求解的方法是：先利用主坐標(biāo)變換或正則坐標(biāo)變換，將系統(tǒng)的方求解的方法是：先利用主坐標(biāo)變換或正則坐標(biāo)變換，將系統(tǒng)的方

44、程式轉(zhuǎn)換成程式轉(zhuǎn)換成n個(gè)獨(dú)立的單自由度形式的運(yùn)動(dòng)微分方程；然后利用個(gè)獨(dú)立的單自由度形式的運(yùn)動(dòng)微分方程；然后利用單自由度系統(tǒng)求解自由振動(dòng)的理論，求得用主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)表單自由度系統(tǒng)求解自由振動(dòng)的理論，求得用主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)；最后，再反變換至原物理坐標(biāo)求出示的響應(yīng)；最后，再反變換至原物理坐標(biāo)求出n自由度無(wú)阻尼系自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng).。本節(jié)只介紹用正則坐標(biāo)變換求解的方法。本節(jié)只介紹用正則坐標(biāo)變換求解的方法。 Mechanical and Structural VibrationM xK x0 xA xNN0 NNxpx2 由單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的理論，得到關(guān)于對(duì)初

45、始條件的響應(yīng)為由單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的理論，得到關(guān)于對(duì)初始條件的響應(yīng)為), 3 , 2 , 1(sin)0(cos)0(nitppxtpxxiiiNiiNiNxA xNNxA xNN1A MAINTNAA MNNT1xA MxNNTxA M xxA MxNNTNNT( ) ( )0000Mechanical and Structural Vibration nNNNnNNNNNxxx2121AAAxAx系統(tǒng)的響應(yīng)是由各階振型疊加得到的，本方法又稱系統(tǒng)的響應(yīng)是由各階振型疊加得到的，本方法又稱振型疊加法振型疊加法對(duì)于半正定系統(tǒng)，有固有頻率對(duì)于半正定系統(tǒng)，有固有頻率 pi = 0 xN i 0 xxxt

46、N iN iN i( )( )00系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動(dòng)振型系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動(dòng)振型 nNnNNNNNxxxAAA2211Mechanical and Structural Vibration 例例 在前例中，設(shè)初始條件是在前例中，設(shè)初始條件是 求系統(tǒng)的響應(yīng)。求系統(tǒng)的響應(yīng)。 xx( ), ( )0000000aTT解：已求出系統(tǒng)的正則振型解：已求出系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣矩陣和質(zhì)量矩陣AMNmm1024180712006592045300517907256060670335301394100010002.,0)0(MxAxTNN ( )xA Mx0NNT00002000100011394. 0725

47、6. 06592. 03353. 05179. 07120. 06067. 04530. 02418. 0am6592. 07120. 02418. 0amMechanical and Structural Vibrationxa mp txa mp txa mp tNNN112233024180712006592.cos.cos.cos得到用正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)得到用正則坐標(biāo)表示的響應(yīng) xAAANNNNNNxxx112233xxxap tap tap t123123005850109501469050690368700919043450478300919 .cos.cos.cos求出系統(tǒng)對(duì)初始

48、條件的響應(yīng)求出系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)mkpmkpmkp7609. 1,1281. 1,3559. 0321其中其中Mechanical and Structural Vibration 例例 三圓盤裝在可以在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的軸上。它們對(duì)轉(zhuǎn)三圓盤裝在可以在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的軸上。它們對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為I，各段軸的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)均為，各段軸的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)均為 ，軸重，軸重不計(jì)。若已知運(yùn)動(dòng)的初始條件不計(jì)。若已知運(yùn)動(dòng)的初始條件k0000000TT，解：系統(tǒng)的位置可由三圓盤的解：系統(tǒng)的位置可由三圓盤的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 確定，確定，123，IIIkkkkkkk000000020000123123求系統(tǒng)

49、對(duì)初始條件的響應(yīng)。求系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)。運(yùn)動(dòng)微分方程是運(yùn)動(dòng)微分方程是求主振型求主振型Mechanical and Structural VibrationIIIkkkkkkk000000020000123123B kp Ikkkp Ikkkp I222020B ()()kp Ik p Ip I224230ppkIpkI12303,寫出特征方程寫出特征方程得到系統(tǒng)的頻率方程得到系統(tǒng)的頻率方程解出三個(gè)固有頻率解出三個(gè)固有頻率Mechanical and Structural VibrationppkIpkI12303,三個(gè)固有頻率三個(gè)固有頻率22222)()(2(adjkIpkkkIpkIpkB

50、求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列將各頻率依次代入，即得各階主振型將各頻率依次代入，即得各階主振型 AAA( ),123111101121 Mechanical and Structural Vibration AAA( ),123111101121 AP111102111各階主振型各階主振型將三階主振型為列，依次排列組成主振型矩陣將三階主振型為列，依次排列組成主振型矩陣MA MAPPTPIIII111101121000000111102111300020006ANI16231202231求出主質(zhì)量矩陣求出主質(zhì)量矩陣求出正則振型，進(jìn)一步建立正則振型矩陣求出正則振型，進(jìn)

51、一步建立正則振型矩陣Mechanical and Structural VibrationAA MNNTI16222303121NNTNNI( )( )0000062311010AA求系統(tǒng)初始條件的正則坐標(biāo)表示求系統(tǒng)初始條件的正則坐標(biāo)表示NNNNNNtItpp tIpp tpp tIpp t112222223333330303606( )( )sinsin( )sinsinMechanical and Structural Vibration 332211NNNNNNAAA求出響應(yīng)為求出響應(yīng)為0000T，若初始條件為若初始條件為求系統(tǒng)的響應(yīng)求系統(tǒng)的響應(yīng)0102)0(01INNA000)0(01

52、NNAtpIN2cos0102tpptppttppttpptppt3322333322sin1sin32sin12sin1sin326Mechanical and Structural Vibration0102)0(01INNA由于初始條件與第二階主振型一致，所以，系統(tǒng)將以第二固有頻由于初始條件與第二階主振型一致，所以，系統(tǒng)將以第二固有頻率率p2作諧振動(dòng)。作諧振動(dòng)。 ANNIIp tp t16231202231201010122coscos000)0(01NNAtpIN2cos0102Mechanical and Structural Vibration 第第4 4章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多

53、自由度系統(tǒng)的振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration4.6.1 主振型分析法主振型分析法4.6.2 正則振型分析法正則振型分析法 Mechanical and Structural Vibration4.6.1主振型分析法fFsintfKxxM 設(shè)設(shè)n自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)受到激振力的作用自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)受到激振力的作用它們?yōu)橥活l率的簡(jiǎn)諧函數(shù)。則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為它們?yōu)橥活l率的簡(jiǎn)諧函數(shù)。則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為為了求系統(tǒng)對(duì)此激振力的響應(yīng)，現(xiàn)采用主振型分析法和正為了求系統(tǒng)對(duì)此激振力的響應(yīng)，現(xiàn)采用主振型分析法和正則振型分析法。則振型分析法。利用利用主坐標(biāo)變換

54、主坐標(biāo)變換或或正則坐標(biāo)變換正則坐標(biāo)變換使方程解偶的分析方法，使方程解偶的分析方法，稱為稱為正規(guī)模態(tài)法或?qū)嵞B(tài)分析法正規(guī)模態(tài)法或?qū)嵞B(tài)分析法。 Mechanical and Structural Vibration4.6.1主振型分析法xA xPPM xK xqPPPPP 利用主坐標(biāo)變換利用主坐標(biāo)變換MxKxf qA fA FQPPTPTPttsinsinM xK xQtiPiiPiPisinin12 3, , ,QA FPPT以主坐標(biāo)表示的受迫振動(dòng)方程式，它是一組以主坐標(biāo)表示的受迫振動(dòng)方程式，它是一組n個(gè)獨(dú)立的單自個(gè)獨(dú)立的單自由度方程，即由度方程，即同單自由度無(wú)阻尼受迫振動(dòng)一樣，設(shè)其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是

55、與激振力同單自由度無(wú)阻尼受迫振動(dòng)一樣，設(shè)其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是與激振力同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)，即同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)，即xBtPiPisinin 12 3, , ,Mechanical and Structural Vibration4.6.1主振型分析法BQKMQMpQPiPiiiPiiiiPi222()in12 3, , ,M xK xQtiPiiPiPisinxBtPiPisinttTPPPsindiagsinFaABx faAAxAxTPPPPdiag iiiiiKMMp11222()返回原物理坐標(biāo)返回原物理坐標(biāo)這就是系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激振力的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。上述方法即為這就是系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激振力的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。上述方法即為主

56、振型主振型分析法分析法。FAaQaBTPPPdiagdiag Mechanical and Structural Vibration4.6.2正則振型分析法 xA xNN xP xqNNN2qAfQNNTNtsinQA FNNTMxKxf 將正則坐標(biāo)變換的關(guān)系式由正則振型的正交條件可得到解偶的運(yùn)動(dòng)微分方程sinxp xQtNiiNiNi2in12 3, , ,xBtNiNisinBQpQpinNiNiiiNiii2222112 3, , ,可寫成n個(gè)獨(dú)立的方程FAQBTNNNdiagdiag ttTNNNsindiagsinFABx tTNNNNsindiagFAAxAx 返回原物理坐標(biāo)fFs

57、intMechanical and Structural Vibration4.6.2正則振型分析法 可以看出，當(dāng)激振力的頻率等于系統(tǒng)固有頻率中任何一個(gè)時(shí)，可以看出，當(dāng)激振力的頻率等于系統(tǒng)固有頻率中任何一個(gè)時(shí)，以上二式的分母都將為零，這時(shí)振幅將會(huì)無(wú)限增大，即系統(tǒng)以上二式的分母都將為零，這時(shí)振幅將會(huì)無(wú)限增大，即系統(tǒng)發(fā)生共振。與單自由度系統(tǒng)不同，發(fā)生共振。與單自由度系統(tǒng)不同，n自由度系統(tǒng)一般有自由度系統(tǒng)一般有n個(gè)固個(gè)固有頻率，因此可能出現(xiàn)有頻率，因此可能出現(xiàn)n次共振?？梢宰C明，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生共次共振?？梢宰C明，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)，譬如振時(shí)，譬如 ，這時(shí)第，這時(shí)第i階主共振的振幅會(huì)變得十分大，階主共振的振

58、幅會(huì)變得十分大，稱系統(tǒng)發(fā)生了第稱系統(tǒng)發(fā)生了第i階共振，且系統(tǒng)在第階共振，且系統(tǒng)在第i階共振時(shí)的振動(dòng)形態(tài)階共振時(shí)的振動(dòng)形態(tài)接近于第接近于第i階主振型。階主振型。 piBQpQpinNiNiiiNiii2222112 3, , ,BQKMQMpQPiPiiiPiiiiPi222()Mechanical and Structural Vibration4.6.2正則振型分析法 例例 在圖示的三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，物塊質(zhì)量均為在圖示的三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，物塊質(zhì)量均為m，且，且，kkkk kk F tFt F tFt F t123411223230,;( )sin,( )sin,( )試求系統(tǒng)的穩(wěn)

59、態(tài)響應(yīng)。解：設(shè)取廣義坐標(biāo)解：設(shè)取廣義坐標(biāo)x1、 x2、 x3 如圖所示。如圖所示。MxKxf( )t系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為Mechanical and Structural Vibration4.6.2正則振型分析法 tFtFsin)(11MxKxf( )t由線性系統(tǒng)的疊加原理，先分別計(jì)算系統(tǒng)在由線性系統(tǒng)的疊加原理，先分別計(jì)算系統(tǒng)在F1(t)和和F2(t)單獨(dú)單獨(dú)作用下的響應(yīng)，然后再將兩部分疊加起來(lái)，最后得到系統(tǒng)對(duì)作用下的響應(yīng)，然后再將兩部分疊加起來(lái)，最后得到系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)激勵(lì) f (t)的響應(yīng)。的響應(yīng)。MKfmmmkkkkkkktFtFt,( )sinsin202033012t

60、FtF3sin)(220)(3tFMechanical and Structural Vibration4.6.2正則振型分析法 pkmpkmpkm122232075312444838020.,.,.ANm1058780736903283074030328105914032630590907375. xxqNNNppp12223200現(xiàn)在求出系統(tǒng)的固有頻率和正則振型矩陣現(xiàn)在求出系統(tǒng)的固有頻率和正則振型矩陣?yán)谜齽t坐標(biāo)變換得到以正則坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程利用正則坐標(biāo)變換得到以正則坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程Mechanical and Structural Vibration4.6.2正則振型分析法