數(shù)據(jù)模型決策02規(guī)劃擴(kuò)展2

1、目 標(biāo) 規(guī) 劃 前面的線性規(guī)劃問(wèn)題，研究的都是只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，若干個(gè)約束條件的最優(yōu)決策問(wèn)題然而現(xiàn)實(shí)生活中，衡量一個(gè)方案的好壞標(biāo)準(zhǔn)往往不止一個(gè)，而且這些標(biāo)準(zhǔn)之間往往不協(xié)調(diào)，甚至是相互沖突的例如，在資源的最優(yōu)利用問(wèn)題中，除了考慮所得的利潤(rùn)最大，還要考慮使生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好，勞動(dòng)生產(chǎn)率高，對(duì)市場(chǎng)的適應(yīng)性強(qiáng)等等目標(biāo)規(guī)劃正是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上為適應(yīng)這種復(fù)雜的多目標(biāo)決策的需要，而發(fā)展起來(lái)的某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，現(xiàn)有的資源及兩種產(chǎn)品的技術(shù)消耗定額、單位利潤(rùn)如表所示試確定計(jì)劃期內(nèi)的生產(chǎn)計(jì)劃，使利潤(rùn)最大，同時(shí)廠領(lǐng)導(dǎo)為適應(yīng)市場(chǎng)需求，希望盡可能擴(kuò)大甲產(chǎn)品的生產(chǎn)，減少乙產(chǎn)品的生產(chǎn)，同時(shí)考慮這些問(wèn)題，就

2、形成多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題 產(chǎn)品的資源、技術(shù)消耗定額、單位利潤(rùn)表 甲（每件）乙（每件）現(xiàn)有資源 鋼 材 （ kg ）9.243600木 材 ( m3 )452000設(shè)備負(fù)荷（臺(tái)小時(shí)）3103000單位產(chǎn)品利潤(rùn) (元)70120 1122132Max 70120Max Min yxxyxyx121212129.243600452000s.t.3103000,0 xxxxxxxx設(shè) 分別是計(jì)劃期內(nèi)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為 21,xx 對(duì)于多目標(biāo)問(wèn)題，線性規(guī)劃很難為其找到最優(yōu)方案極有可能出現(xiàn)：就是說(shuō)很難找到一個(gè)方案使所有目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，實(shí)踐中，人們轉(zhuǎn)而采取“不求最好，但求滿(mǎn)意”的策略，在線性規(guī)

3、劃的基礎(chǔ)上建立一種新的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法目標(biāo)規(guī)劃 最優(yōu)解實(shí)際上是使所有目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)值，如圖所示. 0 目標(biāo) 2 目標(biāo) 1 R x1 x2 目標(biāo)1和2都達(dá)到最優(yōu)1決策變量與偏差變量決策變量與偏差變量 決策變量也稱(chēng)控制變量，用 x1、x2、xn 表示 在多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題中，由于目標(biāo)之間存在沖突，我們可以設(shè)想降低目標(biāo)要求，即從實(shí)際出發(fā)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、歷史資料或市場(chǎng)的需求、上級(jí)部門(mén)的任務(wù)下達(dá)等來(lái)給每個(gè)目標(biāo)確定一個(gè)希望達(dá)到的 , (i =1，2，m)一般說(shuō)來(lái)，這些值的確定并不要求十分精確或嚴(yán)格，允許決策的實(shí)際值大于或小于我們稱(chēng)實(shí)現(xiàn)值與目標(biāo)值的差距為偏差變量用 表示 iidd 和目標(biāo)規(guī)劃中的基本概念實(shí)際操作中，當(dāng)

4、目標(biāo)值確定時(shí)，所做的決策只可能出現(xiàn)以下三種情況：即由 所構(gòu)成的3種不同組合表示的含義：iidd 和id第i個(gè)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)值超出目標(biāo)值的部分，稱(chēng)為正偏差變量 第i個(gè)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)值不足目標(biāo)值的差距，稱(chēng)idmiddii, 2, 10和為負(fù)偏差變量規(guī)定并且無(wú)論發(fā)生哪種情況均有:0ddii 在上例中，若提出目標(biāo)y1的期望值e1= 45000元，y2的期望值e2=250件，y3的期望值 e3=200件，則可引入偏差變量 （i =1，2，3）, 表示利潤(rùn)超過(guò)45000元的數(shù)量，而 則表示利潤(rùn)距45000元還差的數(shù)量, 表示甲產(chǎn)品產(chǎn)量超過(guò)250件的部分，這樣可把三個(gè)目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為約束方程iidd ,dd2d0d,

5、d,d,d,d,d200ddx250ddx45000ddx120 x7033221133222111211122122Max 70120Max Min yxxyxyx 前面通過(guò)確定各目標(biāo)的、引入偏差變量，把，從而并入原約束條件中，我們稱(chēng)這類(lèi)為 也稱(chēng)為它對(duì)應(yīng)于線性規(guī)劃中的約束條件（如資源、客觀條件約束等）。 對(duì)于滿(mǎn)足絕對(duì)約束和目標(biāo)約束的所有解，從決策者角度看，從而目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)就可它有三種基本表現(xiàn)形式： 要求恰好達(dá)到目標(biāo)值的，即正、負(fù)偏差變量都要盡可能小 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)為： 要求不能超過(guò)目標(biāo)值的，即允許達(dá)不到目標(biāo)值，但即使超過(guò)，一定要越小越好構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)為： 要求超過(guò)目標(biāo)值的，即允許超過(guò)目標(biāo)值

6、，但即使不足，一定要使缺少量越少越好構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)為 這樣根據(jù)各個(gè)目標(biāo)的不同要求，確定出,Min ()iji jZddMin iiZddMin iZdMin iZd123Min Zddd1211122233121212127012045000 250 200s.t. 9.2436004520003103000,0,0,(1,2,3)iixxddxddxddxxxxxxx xddi123Min Zddd如上例中的目標(biāo)函數(shù)可表示為 其完整的目標(biāo)規(guī)劃模型為d （1）實(shí)際問(wèn)題中，目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)之間有先后緩急之區(qū)別決策者往往有一些要求第一位達(dá)到的目標(biāo)要求第一位達(dá)到的目標(biāo)，我們賦予它，在它實(shí)現(xiàn)的前提下再去解

7、決要求第二位達(dá)到的要求第二位達(dá)到的目標(biāo)目標(biāo)依次把第二位達(dá)到的目標(biāo)賦予 ，并規(guī)定，不同的優(yōu)先因子代表著不同的優(yōu)先級(jí) （2）權(quán)重表示在評(píng)價(jià)過(guò)程中，是被評(píng)價(jià)對(duì)象的不同側(cè)面的重要程度的定量分配，對(duì)各評(píng)價(jià)因子在總體評(píng)價(jià)中的作用進(jìn)行區(qū)別對(duì)待。打個(gè)比方說(shuō), 一件事情, 你給它打100分, 你的老板給它打60分, 如果平均, 則是(100+60)/2=80分. 但因?yàn)槔习逭f(shuō)的話分量比你重, 所以老板的權(quán)重是2, 你是1, 這時(shí)求平均值就是加權(quán)平均了, 結(jié)果是(100*1 + 60*2)/(1+2)=73.3分, 顯然向你的老板那里傾斜了 因此在目標(biāo)規(guī)劃中，為了進(jìn)一步區(qū)別具有相同優(yōu)先級(jí)的多個(gè)目標(biāo)，則可分別賦予它

8、們不同的權(quán)系數(shù)i (i可取一確定的非負(fù)實(shí)數(shù))，根據(jù)目標(biāo)的重要程度而給它們賦值，重要的目標(biāo)，賦值較大，反之i值就小如果在例1中，我們把利潤(rùn)視作第一位要求達(dá)到的目標(biāo)，甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分配視作第二位要求達(dá)到的目標(biāo)，并且“甲的產(chǎn)量越大越好”這個(gè)目標(biāo)要比“乙的產(chǎn)量越小越好”的目標(biāo)重要，權(quán)重分別為10和2，則目標(biāo)函數(shù)為：11223Min (102)ZPdPdd 由上面分析看到，目標(biāo)規(guī)劃比起線性規(guī)劃來(lái)適應(yīng)面要靈活得多它可同時(shí)考慮多個(gè)目標(biāo)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)約束，給決策方案的選擇帶來(lái)很大的靈活性并且由于目標(biāo)規(guī)劃中劃分優(yōu)先級(jí)和權(quán)系數(shù)的大小，使決策者可根據(jù)外界條件變化，通過(guò)調(diào)整目標(biāo)優(yōu)先級(jí)和權(quán)系數(shù)，求出不同方案以供選擇但

9、是，用目標(biāo)規(guī)劃來(lái)處理問(wèn)題也存在困難，主要表現(xiàn)在構(gòu)造模型時(shí)需事先擬定目標(biāo)值、優(yōu)先級(jí)和權(quán)系數(shù)，而這些信息來(lái)自人的主觀判斷，往往帶有模糊性，很難定出一個(gè)絕對(duì)的數(shù)值 通過(guò)上面分析，上例中問(wèn)題的模型為11223Min (102)ZPdPdd1211122233121212127012045000 250 200s.t. 9.2436004520003103000,0,0,(1,2,3)iixxddxddxddxxxxxxx xddi例2：某公司準(zhǔn)備停產(chǎn)現(xiàn)有的三種產(chǎn)品,生產(chǎn)三種新產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示。公司最高管理層的三名成員對(duì)該項(xiàng)目分別支持三個(gè)截然不同的目標(biāo):總利潤(rùn)不得少于1.25億元,員工水平保持現(xiàn)有

10、的4000員,投資資金不得多于550萬(wàn)元。首席執(zhí)行官同意所有三個(gè)目標(biāo)都是重要的，并居中調(diào)停來(lái)評(píng)價(jià)它們的重要性。因素新產(chǎn)品的單位貢獻(xiàn)目標(biāo)總利潤(rùn)(百萬(wàn)元)12915125雇用水平(百人)53440資本投資(百萬(wàn)元)0.50.70.85.5投資資金目標(biāo)員工水平目標(biāo)總利潤(rùn)目標(biāo)設(shè)x1,x2,x3代表三種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量目標(biāo)1:z1=12x1+9x2+15x3目標(biāo)3:z3=5x1+7x2+8x3目標(biāo)2:z2=5x1+3x2+4x3在例2中，由于Z1 的目標(biāo)值為 125,正、負(fù)偏差為 ,則目標(biāo)1可以轉(zhuǎn)換為目標(biāo)約束，即：4043522321ddxxx5587533321ddxxx)3 . 2 . 1( 0,jd

11、djj 1251591211321ddxxx 同樣，由于 Z240， Z355 則有 11,dd接著分析例2 ：首席執(zhí)行官意識(shí)到同時(shí)實(shí)現(xiàn)三個(gè)目標(biāo)不太現(xiàn)實(shí),因此他對(duì)三個(gè)目標(biāo)的相對(duì)重要性作出了評(píng)價(jià):重要性排序:目標(biāo)1；目標(biāo)2的后半部分(避免減少員工)；目標(biāo)3；目標(biāo)2的前半部分(避免增加員工)。 各個(gè)目標(biāo)偏離的加權(quán)總和各個(gè)目標(biāo)偏離的加權(quán)總和= 5（低于目標(biāo)（低于目標(biāo)1的數(shù)量）的數(shù)量）+2（超過(guò)目標(biāo)（超過(guò)目標(biāo)2的數(shù)量）的數(shù)量） +4（低于目標(biāo)（低于目標(biāo)2的數(shù)量）的數(shù)量）+3（高于目標(biāo)（高于目標(biāo)3的數(shù)量）的數(shù)量）1d因素新產(chǎn)品的單位貢獻(xiàn)目標(biāo)權(quán)重長(zhǎng)期利潤(rùn)(百萬(wàn)元)129151255雇用水平(百人)534=

12、402(+),4(-)資本投資(百萬(wàn)元)0.50.70.85.532d2d3d 目標(biāo)函數(shù)為：目標(biāo)函數(shù)為：5 +2 +4 +3)3 . 2 . 1( 0 , 0,5587540435 125159123425min3213332122321213213221jddxxxddxxxddxxxddxxxddddZjj目標(biāo)規(guī)劃模型為：若在例2中公司會(huì)議提出下列要求： 1、人事部門(mén)認(rèn)為大量的人員解雇會(huì)產(chǎn)生極壞的社會(huì)影響,一個(gè)非常高的優(yōu)先級(jí)應(yīng)該用來(lái)避免超額員工的出現(xiàn)； 2、財(cái)務(wù)部門(mén)認(rèn)為超過(guò)550萬(wàn)元的資金投入是非常困難的,一個(gè)非常高的優(yōu)先級(jí)應(yīng)該用來(lái)避免出現(xiàn)超額投資的情況；試建立目標(biāo)規(guī)劃模型。 因素新產(chǎn)品的

13、單位貢獻(xiàn)目標(biāo)權(quán)重與優(yōu)先級(jí)長(zhǎng)期利潤(rùn)(百萬(wàn)元)129151255(第二優(yōu)先級(jí))雇用水平(百時(shí))53440402(+,第一優(yōu)先級(jí))4(-,第二優(yōu)先級(jí))資本投資(百萬(wàn)元)0.50.70.85.53(第一優(yōu)先級(jí))分析：題目有兩個(gè)目標(biāo)層次，包含三個(gè)目標(biāo)值。 第一優(yōu)先級(jí)：有兩個(gè)要求:即甲 ，乙 ，權(quán) 重分別為2,3。32 dd)32( 321ddP第二優(yōu)先級(jí)：)45(212ddP目標(biāo)規(guī)劃模型為：)3 . 2 . 1( 0, 0,5587540435 12515912)45()32(min321333212232121321212321jddxxxddxxxddxxxddxxxddPddPZjj注意:上述優(yōu)先

14、級(jí)模型中只有第一優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)實(shí)現(xiàn)后 才考慮第二優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).) 3 . 2 . 1( 0 ., 0,5587540435 1251591232min32133321223212132132jddxxxddxxxddxxxddxxxddZjj上述模型的求解過(guò)程:1:先實(shí)現(xiàn)第一優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)偏離值最小化假設(shè)上述模型的最優(yōu)解中 bdad32,) 3 . 2 . 1( 0 ., 0,5587540435 1251591245min3213233321223212132121jddxxxbdadddxxxddxxxddxxxddZjj上述模型的求解過(guò)程:2:實(shí)現(xiàn)第二優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)偏離值最小化 增加約束

15、條件:即在進(jìn)行第二優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)偏離值最小化 的過(guò)程中必須滿(mǎn)足剛才獲得的最小偏差建立目標(biāo)規(guī)劃模型的步驟1） 根據(jù)問(wèn)題所提出的各目標(biāo)與條件，確定各目標(biāo)的、引入偏差變量，把，列出目標(biāo)約束與絕對(duì)約束；2） 給各級(jí)目標(biāo)賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子 ，對(duì)同一優(yōu)先級(jí)的各目標(biāo)，按重要程度不同賦予相應(yīng)的權(quán)系數(shù) ；kPi3）根據(jù)決策者的要求，各目標(biāo)按三種情況取值： 恰好達(dá)到目標(biāo)值，取 ； 允許超過(guò)目標(biāo)值，取 ； 不允許超過(guò)目標(biāo)值，取 然后構(gòu)造一個(gè)由優(yōu)先因子、權(quán)系數(shù)與偏差變量組成的、要求iiddidid由于目標(biāo)規(guī)劃是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上建立，所以?xún)煞N規(guī)劃模型結(jié)構(gòu)沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，解法也類(lèi)似形式上的區(qū)別主要在于： 線性規(guī)劃只能處理一

16、個(gè)目標(biāo)，而目標(biāo)規(guī)劃能統(tǒng)籌兼顧地處理關(guān)系，以求得切合實(shí)際需求的解； 線性規(guī)劃是求滿(mǎn)足所有約束條件的最優(yōu)解，而目標(biāo)規(guī)劃是要在目標(biāo)或約束條件下找到； 線性規(guī)劃的約束條件是不分主次地同等對(duì)待，而目標(biāo)規(guī)劃可根據(jù)實(shí)際需要 求解下面目標(biāo)規(guī)劃: 11223312112112122231233412Min 51060 ( )2 0 ( )s.t4 4 36 ( )68 48 ( ),0,0,(1, 2, 3)iiZPdP dP dxxlxxddlxxddlxxddlx xddi將約束方程以直線形式畫(huà)在圖上，只使用決策變量（即 ），偏差變量在畫(huà)直線時(shí)去掉；直線畫(huà)好后，在該直線上標(biāo)出目標(biāo)函數(shù)中與該直線相關(guān)的偏差變量

17、增大時(shí)直線的平移方向（用垂直于直線的箭頭來(lái)反映）如下圖。 xx ,11223312112112122231233412Min 51060 ( )2 0 ( )s.t4 4 36 ( )68 48 ( ),0,0,(1, 2, 3)iiZPdP dPdxxlxxddlxxddlxxddlx xddi1d2d3dl1l2l3l4oABCDEFx1x2這個(gè)區(qū)域內(nèi)的任一點(diǎn)均是該問(wèn)題的滿(mǎn)意解，可使目標(biāo)函數(shù) zmin 由于C、D、E、F 坐標(biāo)分別為(6, 3)、(9, 0)、(8，0)、(4.8 , 2.4)， 故滿(mǎn)意解可表示為：).,.( ).,.(),(),(),(),(xx其中：),(,ii 這種滿(mǎn)

18、足所有目標(biāo)要求的情況，即： ，在實(shí)際中并不多見(jiàn)，很多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題只能滿(mǎn)足前面幾級(jí)目標(biāo)要求 0minz 線性規(guī)劃是在可行解域內(nèi)尋找某一點(diǎn)，使單個(gè)目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值（最大值或最小值）而目標(biāo)規(guī)劃是在可行域內(nèi)，首先尋找到一個(gè)使P1級(jí)目標(biāo)均滿(mǎn)足的區(qū)域R1，然后R1中尋找一個(gè)使P2級(jí)目標(biāo)均滿(mǎn)足或盡最大可能滿(mǎn)足的區(qū)域R2（ R1），再在R2中尋找一個(gè)滿(mǎn)足P3的各目標(biāo)的區(qū)域R3（R2R1），,如此下去，直到尋找到一個(gè)區(qū)域Rk ( Rk-1 R1 )，滿(mǎn)足Pk 級(jí)的各目標(biāo)，這個(gè)，如果，它只能滿(mǎn)足P1 , ，Pi 級(jí)目標(biāo)，而無(wú)法進(jìn)一步改進(jìn)，當(dāng)然，此時(shí)或許有低于Pi 級(jí)目標(biāo)被滿(mǎn)足，這純屬巧合 由決策變量繪畫(huà)所有約束條件

19、的直線圖形，偏差 變量以平移直線的方法加以考慮 重復(fù)第3、4步過(guò)程，直到解區(qū)域Ri 減少到一點(diǎn)或 滿(mǎn)足了所有k個(gè)級(jí)別的目標(biāo)為止，此時(shí)Rk 即為最 優(yōu)解區(qū)域，其中的任何一點(diǎn)均為目標(biāo)規(guī)劃滿(mǎn)意解 對(duì)P1級(jí)的各目標(biāo)，確定解區(qū)域R1對(duì)下一個(gè)優(yōu)先級(jí)別Pi 級(jí)各目標(biāo)，確定它的最優(yōu)解 空間Ri ，但必須是Ri Ri-1 ( i = 2, 3, ) 在這個(gè)過(guò)程中，如果某解區(qū)域Ri 減小到一點(diǎn)，則 結(jié)束，因?yàn)榇藭r(shí)沒(méi)有進(jìn)一步改進(jìn)的可能11223312111122221233312Min 10 ( )2 26 ( ) 2 6 ( ),0,0,(1,2,3)iiZPdP dPdxxddlxxddlxxddlx xddil1x1x2o1d2d3dl2l3(10, 0)AB考慮考慮P2 級(jí)目標(biāo)