彈性力學(xué)總復(fù)習(xí)

1、1-2 1-2 彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念基本概念：基本概念： 外力、應(yīng)力、形變、位移。外力、應(yīng)力、形變、位移。1. 外力外力體力、面力體力、面力（材力：集中力、分布力。）（材力：集中力、分布力。）(1) 體力體力 彈性體內(nèi)彈性體內(nèi)單位體積單位體積上所受的外力上所受的外力彈力彈力:（內(nèi)容）（內(nèi)容）彈性體在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變彈性體在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、位移等分布規(guī)律。形、位移等分布規(guī)律。 （任務(wù)）（任務(wù)）解決彈性體的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。解決彈性體的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。 (2) 面力面力 作用于物體表面作用于物體表面單位面積單位面積上的外力上的外力2

2、. 應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)力：應(yīng)力：由外力引起的在由外力引起的在 P點(diǎn)的某一面上內(nèi)力分布集度點(diǎn)的某一面上內(nèi)力分布集度應(yīng)力分量應(yīng)力分量應(yīng)力的法向分量應(yīng)力的法向分量 正應(yīng)力正應(yīng)力應(yīng)力的切向分量應(yīng)力的切向分量 剪應(yīng)力剪應(yīng)力單位單位:與面力相同與面力相同MPa (兆帕)(2) 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過一點(diǎn)通過一點(diǎn)P 的各個(gè)面上應(yīng)力狀況的集合的各個(gè)面上應(yīng)力狀況的集合 稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：面的應(yīng)力：xzxyx,y面的應(yīng)力：面的應(yīng)力：yzyxy,z面的應(yīng)力：面的應(yīng)力：zyzxz,xyyxxyzyyz剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理應(yīng)力符號的意義：應(yīng)力符號的意義：xzzx第第1個(gè)下標(biāo)個(gè)下標(biāo)

3、 x 表示表示所在面的法線方向；所在面的法線方向；第第2個(gè)下標(biāo)個(gè)下標(biāo) y 表示表示的方向的方向.應(yīng)力應(yīng)力正負(fù)號正負(fù)號的規(guī)定：的規(guī)定：正應(yīng)力正應(yīng)力 拉為正，壓為負(fù)。拉為正，壓為負(fù)。剪應(yīng)力剪應(yīng)力 坐標(biāo)坐標(biāo)正面正面上，與坐標(biāo)正向一致時(shí)為正；上，與坐標(biāo)正向一致時(shí)為正；坐標(biāo)坐標(biāo)負(fù)面負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時(shí)為正。上，與坐標(biāo)正向相反時(shí)為正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx與材力中剪應(yīng)力與材力中剪應(yīng)力正負(fù)號正負(fù)號規(guī)定的區(qū)別：規(guī)定的區(qū)別：xyxyxyxyxyyxxy規(guī)定使得單元體順時(shí)的剪應(yīng)力規(guī)定使得單元體順時(shí)的剪應(yīng)力為為正，反之為負(fù)。正，反之為負(fù)。yxxy在用在用應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓時(shí)

4、必須此規(guī)定求解問題時(shí)必須此規(guī)定求解問題3. 形變形變形變形變 物體的形狀改變物體的形狀改變xyzO（1）線段長度的改變）線段長度的改變（2）兩線段間夾角的改變。）兩線段間夾角的改變。PBCAzxy用線（正）應(yīng)變用線（正）應(yīng)變度量度量用剪應(yīng)變用剪應(yīng)變度量度量（剪應(yīng)變（剪應(yīng)變兩垂直線段夾角兩垂直線段夾角（直角）（直角）的改變量）的改變量）三個(gè)方向的線應(yīng)變：三個(gè)方向的線應(yīng)變：三個(gè)平面內(nèi)的剪應(yīng)變：三個(gè)平面內(nèi)的剪應(yīng)變：zyx,zxyzxy,(1) 一點(diǎn)形變的度量一點(diǎn)形變的度量應(yīng)變的正負(fù)：應(yīng)變的正負(fù)：線應(yīng)變：線應(yīng)變： 伸長伸長時(shí)為時(shí)為正正，縮短縮短時(shí)為時(shí)為負(fù)負(fù)；剪應(yīng)變：剪應(yīng)變： 以直角以直角變小時(shí)為正變小

5、時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)變大時(shí)為負(fù)；彈性力學(xué)問題：彈性力學(xué)問題：已知已知外力、物體的形狀和大?。ㄟ吔纾?、材料特性（外力、物體的形狀和大?。ㄟ吔纾?、材料特性（E、）、約束條件）、約束條件等，求解等，求解應(yīng)力、應(yīng)變、位移應(yīng)力、應(yīng)變、位移分量分量。需建立三個(gè)方面的關(guān)系：需建立三個(gè)方面的關(guān)系：（1）靜力學(xué)關(guān)系：）靜力學(xué)關(guān)系：應(yīng)力應(yīng)力與與體力、面力體力、面力間的關(guān)系；間的關(guān)系；（2）幾何學(xué)關(guān)系：）幾何學(xué)關(guān)系：形變形變與與位移位移間的關(guān)系；間的關(guān)系；（3）物理學(xué)關(guān)系：）物理學(xué)關(guān)系：形變形變與與應(yīng)力應(yīng)力間的關(guān)系。間的關(guān)系。3. 平面問題的求解平面問題的求解問題：問題： 已知：外力（體力、面力）、邊界條件，已知：外

6、力（體力、面力）、邊界條件，求：求：xyyx,xyyx,vu, 僅為僅為 x y 的函數(shù)的函數(shù)需建立三個(gè)方面的關(guān)系：需建立三個(gè)方面的關(guān)系：（1）靜力學(xué)關(guān)系：）靜力學(xué)關(guān)系：（2）幾何學(xué)關(guān)系：）幾何學(xué)關(guān)系：（3）物理學(xué)關(guān)系：）物理學(xué)關(guān)系：形變形變與與應(yīng)力應(yīng)力間的關(guān)系。間的關(guān)系。應(yīng)力應(yīng)力與與體力、面力體力、面力間的關(guān)系；間的關(guān)系；形變形變與與位移位移間的關(guān)系；間的關(guān)系；建立邊界條件：建立邊界條件： 平衡微分方程平衡微分方程 幾何方程幾何方程 物理方程物理方程（1）應(yīng)力邊界條件；）應(yīng)力邊界條件；（2）位移邊界條件；）位移邊界條件；二、平面問題的基本方程二、平面問題的基本方程（1）平衡微分方程）平衡微分

7、方程00YyxXyxyxyyxx（2-2）（假定：假定：小變形、小變形、連續(xù)性、均勻性）連續(xù)性、均勻性）（2）幾何方程）幾何方程yuxvyvxuxyyx（2-9）（假定：假定：小變形、小變形、連續(xù)性、均勻性）連續(xù)性、均勻性）（3）物理方程）物理方程)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2(2-15)（平面應(yīng)力）（平面應(yīng)力）(2-16)1(12yxxExyxyE)1 (2)1(12xyyE（平面應(yīng)變）（平面應(yīng)變）（假定：假定：小變形、連續(xù)性、均勻性、線彈性、各向同性）小變形、連續(xù)性、均勻性、線彈性、各向同性）三、平面問題的基本求解方法及基本方程三、平面問題的基本求解方法及基本方程思路：思

8、路：（1）按位移求解）按位移求解以位移以位移u、v為基本未知量，在所有基本方程中消去其余為基本未知量，在所有基本方程中消去其余6個(gè)量，個(gè)量，得到以位移表示的基本方程，從中求出得到以位移表示的基本方程，從中求出 u、v，再由幾何方程、，再由幾何方程、物理方程求出其余未知量。物理方程求出其余未知量。基本方程：基本方程：021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（2-20）位移表示的平位移表示的平衡方程衡方程vvuuss,YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122（2-21）（2-17）位移表示的應(yīng)位移表示的應(yīng)力邊界條件力邊界條

9、件位移邊界條件位移邊界條件（2）按應(yīng)力求解）按應(yīng)力求解思路：思路： 以應(yīng)力以應(yīng)力 為基本未知量，將基本方程用只有為基本未知量，將基本方程用只有 的的3個(gè)方程，從中求出個(gè)方程，從中求出 ，再由物理方程、幾何方程求出，再由物理方程、幾何方程求出其余未知量。其余未知量。xyyx,xyyx,xyyx,基本方程：基本方程：00YyxXyxyxyyxx（2-2）平衡方程平衡方程yYxXxyyx)1 ()(2222（2-23）相容方程相容方程基本控制方程基本控制方程（平面應(yīng)力情形）（平面應(yīng)力情形）vvuuss,（2-17）YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18）位移邊界條件位移邊界條件應(yīng)

10、力邊界條件應(yīng)力邊界條件邊值條件邊值條件（3）兩類平面問題物理方程的互相轉(zhuǎn)換：）兩類平面問題物理方程的互相轉(zhuǎn)換：平面平面應(yīng)力應(yīng)力問題問題平面平面應(yīng)變應(yīng)變問題問題E21E1平面平面應(yīng)變應(yīng)變問題問題平面平面應(yīng)力應(yīng)力問題問題E2)1 ()1 (E1（4）邊界條件）邊界條件vvuuss（2-17）YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18） 位移邊界條件位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件)(uS)(S)(SSSu3. 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 求解方法求解方法),(yx（1） 逆解法逆解法（1）根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等）

11、，假設(shè)各種滿足相容方程（假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的）的(x,y) 的形式；的形式；（2） 主要適用于主要適用于簡單邊界條件簡單邊界條件的問題。的問題。然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-26），求出），求出 （具有待（具有待定系數(shù)）；定系數(shù)）；xyyx,（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來考察這些應(yīng)力函數(shù)），來考察這些應(yīng)力函數(shù)(x,y) 對對應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y) 可以求可以求解什么問題。解什么問題。（2）半逆解法半逆解法（1）根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件（幾何形狀、

12、受力特點(diǎn)、邊界條件等），（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量假設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)形式的某種函數(shù)形式 ；xyyx,（2）根據(jù)根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及的關(guān)系及 ，求，求出出(x,y) 的形式；的形式；xyyx,04（3）最后利用式（最后利用式（2-26）計(jì)算出）計(jì)算出 并讓其滿足邊界條件和并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。位移單值條件。xyyx, 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法數(shù)理方程中分離變量法。四、關(guān)于平面問題的變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）四、關(guān)于平面問題的變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）yxxyxyyx22222（2-22）yYx

13、Xxyyx)1 ()(2222（2-23）（2-24）(平面應(yīng)力情形平面應(yīng)力情形)(平面應(yīng)變情形平面應(yīng)變情形)yYxXyxyx11)(22220)(2222yxyx（2-25）024422444yyxx(2-27)形變表示的形變表示的相容方程相容方程應(yīng)力表示的應(yīng)力表示的相容方程相容方程應(yīng)力函數(shù)表示應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程的相容方程(基本形式基本形式)(常體力情形常體力情形)適用情形適用情形： 小變形、任意小變形、任意彈塑彈塑性材料性材料。(常體力情形常體力情形)（5）按應(yīng)力求解的）按應(yīng)力求解的應(yīng)力函數(shù)法應(yīng)力函數(shù)法基本方程：基本方程：024422444yyxx(2-27)(2-26)（1）對多連體

14、問題，還須滿足位移單值條件。）對多連體問題，還須滿足位移單值條件。04vvuuss,（2-17）YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18）位移邊界條件位移邊界條件應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件應(yīng)力函數(shù)表示應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程的相容方程應(yīng)力函數(shù)表示應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量的應(yīng)力分量Yyxy22Xxyx22yxxy2（對常體力情形）（對常體力情形）說明：說明：（2）應(yīng)力函數(shù)確定方法：逆解法、半逆解法。）應(yīng)力函數(shù)確定方法：逆解法、半逆解法。要點(diǎn)：要點(diǎn)：（1）極坐標(biāo)中平面問題的基本方程：）極坐標(biāo)中平面問題的基本方程： 平衡微分方程、幾何方程、物理方程、平衡微分方程、幾何方程、物理方程、相容

15、方程、邊界條件。相容方程、邊界條件。（2）極坐標(biāo)中平面問題的求解方法及應(yīng)）極坐標(biāo)中平面問題的求解方法及應(yīng)用用應(yīng)用：應(yīng)用： 圓盤、圓環(huán)、厚壁圓筒、楔形體、半無限圓盤、圓環(huán)、厚壁圓筒、楔形體、半無限平面體等的應(yīng)力與變形分析。平面體等的應(yīng)力與變形分析。彈性力學(xué)平面問題極坐標(biāo)求解的基本方程：彈性力學(xué)平面問題極坐標(biāo)求解的基本方程：平衡微分方程：平衡微分方程：（41）rr1rrrr0rk021krrrrr幾何方程：幾何方程：rurrurrur1ruruurrr1（42）物理方程：物理方程：)(1rrE)(1rErrrEG)1 (21（43）(平面應(yīng)力情形平面應(yīng)力情形)邊界條件：邊界條件：位移邊界條件：位移

16、邊界條件： ,rsruuuus應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：rsrsrkmlkmlssr彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)求解歸結(jié)為彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)求解歸結(jié)為:小結(jié)：小結(jié)：（1） 由問題的條件求出滿足式（由問題的條件求出滿足式（46）的應(yīng)力函數(shù)）的應(yīng)力函數(shù)),(r0112222224rrrr（46）（2） 由式（由式（45）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：rr,22r22211rrrrrrr1（45）（3） 將上述應(yīng)力分量將上述應(yīng)力分量rr,滿足問題的邊界條件：滿足問題的邊界條件：位移邊界條件：位移邊界條件： ,rsruuuus應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：rsrsrkmlkmlssruu

17、r,為邊界上已知位移，為邊界上已知位移，kkr,為邊界上已知的面力分量。為邊界上已知的面力分量。（位移單值條件）（位移單值條件）barqbaraqabrb222222221111baqbaraqabrb222222221111（4-14）（1）若：）若：0, 0aqa,brqbq( 二向等壓情況二向等壓情況)（2）若：）若：)0(0abqq而arqabrb112222aqabrb112222)0(（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）)0(（拉應(yīng)力）（拉應(yīng)力）r（3）若：）若：)0( , 0baqqbrqbara222211bqbara222211)0()0(（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）r（4）若：

18、）若：)0(aqb 具有圓形孔道的無限大彈性體。具有圓形孔道的無限大彈性體。arqabrb112222aqabrb112222arqra22aqra22rr邊緣處的應(yīng)力：邊緣處的應(yīng)力：aqaq3. 斜方向應(yīng)變公式的應(yīng)用斜方向應(yīng)變公式的應(yīng)用（1） 已知一點(diǎn)的應(yīng)變已知一點(diǎn)的應(yīng)變 ，可計(jì)算任意方向的，可計(jì)算任意方向的應(yīng)變應(yīng)變 。 的最大值、最小值。主應(yīng)變、主應(yīng)的最大值、最小值。主應(yīng)變、主應(yīng)變方向等。變方向等。xyyx,NN（2）已知一點(diǎn)任意三方向的應(yīng)變已知一點(diǎn)任意三方向的應(yīng)變 ，可求得，可求得該點(diǎn)的應(yīng)變分量該點(diǎn)的應(yīng)變分量 。321,NNNxyyx,xyyxNxyyxNxyyxNmlmlmlmlmlm

19、l332323322222221121211xy453N1N2N若若 用用45應(yīng)變花測構(gòu)件表面應(yīng)變：應(yīng)變花測構(gòu)件表面應(yīng)變：2233 ml0, 111ml1,022ml2132NNNxy1Nx2Nyxyyx,120120120若若 用用120應(yīng)變花測構(gòu)件表面應(yīng)變，即：應(yīng)變花測構(gòu)件表面應(yīng)變，即：xy1N2N3N求得該點(diǎn)的應(yīng)變分量求得該點(diǎn)的應(yīng)變分量:321,NNNxyyx,作為作業(yè)！作為作業(yè)！xyyx,)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2例例7 圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。水壩

20、的應(yīng)力邊界條件。左側(cè)面：左側(cè)面：0, 1ml0YXYlmXmlsxysysxysx)()()()(代入應(yīng)力邊界條件公式代入應(yīng)力邊界條件公式0hxxyhxxy右側(cè)面：右側(cè)面：0, 1ml0,YyX代入應(yīng)力邊界條件公式，有代入應(yīng)力邊界條件公式，有00hxxyhxx上端面：上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：方向力等效：dxyhhy0)(sinP對對O點(diǎn)的力矩等效：點(diǎn)的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx注意：注意：xyy,必須按正向假設(shè)！必須按正向假設(shè)！yPxyyx上端面：上端面：

21、（方法（方法2）取圖示微元體，取圖示微元體，0yFdxyhhy0sin0Pdxhhyy0sinP 0OMxdxyhhy00sin2hPxdxyhhy0)(sin2hP 0 xFdxyhhyx00cosPdxyhhyx0)(cosP可見，與前面結(jié)果相同?？梢姡c前面結(jié)果相同。注意：注意：xyy,必須按正向假設(shè)！必須按正向假設(shè)！由微元體的平衡求得，由微元體的平衡求得，0arr0arr0brr0brr00badr00bardrMrdrba000badrPdrbar000bardrPdrba000bardrMrdrba00arr0arr0brr0brr0arr0arr0brr0brrrrrrrrrra

22、0000r01800180r0cossincos0Padarrarr0sincossin0Padarrarr00adaarr0 xF0yF0OM0000r01800180rrra0sincos0adarrarr0cossin0adarrarr00Madaarr0 xF0yF0OM取半徑為取半徑為 a 的半圓分析，由其平衡得：的半圓分析，由其平衡得：作作 業(yè)業(yè)補(bǔ)充題：補(bǔ)充題： 列寫下列平面問題的應(yīng)力邊界條件。列寫下列平面問題的應(yīng)力邊界條件。2-1 2-1 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題1. 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題(1) 幾何特征幾何特征xyyztba 一個(gè)方向的尺寸比另兩

23、個(gè)一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。btat , 平板平板如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等(2) 受力特征受力特征外力外力（體力、面力）和（體力、面力）和約束約束，僅，僅平行于板面作用平行于板面作用，沿沿 厚度厚度 方向不變化。方向不變化。xyyztba(3) 應(yīng)力特征應(yīng)力特征如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為為xy 平面，垂直于中面的任一直線平面，垂直于中面的任一直線為為 z 軸。軸。由于板面上不受力，由由于板面上不受力，由02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 軸

24、方向不變。軸方向不變。0z0zx可認(rèn)為可認(rèn)為整個(gè)薄板的整個(gè)薄板的各點(diǎn)各點(diǎn)都有：都有：由剪應(yīng)力互等定理，有由剪應(yīng)力互等定理，有0zy0yzzy0 xzzx結(jié)論：結(jié)論：平面應(yīng)力問題只有三個(gè)應(yīng)力分量：平面應(yīng)力問題只有三個(gè)應(yīng)力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy應(yīng)變分量、位移分量也僅為應(yīng)變分量、位移分量也僅為 x、y 的函數(shù)，與的函數(shù)，與 z 無關(guān)。無關(guān)。2. 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題(1) 幾何特征幾何特征水壩水壩滾柱滾柱厚壁圓筒厚壁圓筒 一個(gè)方向的尺寸比另一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸兩個(gè)方向的尺寸大得多大得多，且且沿長度方向幾何形狀和沿長度方向幾

25、何形狀和尺寸不變化尺寸不變化。 近似認(rèn)為無限長近似認(rèn)為無限長(2) 外力特征外力特征 外力外力（體力、面力）（體力、面力）平行于橫截面平行于橫截面作作用，且用，且沿長度沿長度 z 方向不變化方向不變化。 約束約束 沿長度沿長度 z 方向不變化方向不變化。(3) 變形特征變形特征 如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為 xy 面，任一縱線為面，任一縱線為 z 軸。軸。 設(shè)設(shè) z方向?yàn)闊o限長，則方向?yàn)闊o限長，則, u, x, x沿沿 z 方向都不變化，方向都不變化，僅為僅為 x，y 的函數(shù)。的函數(shù)。任一橫截面均可視為對稱面任一橫截面均可視為對稱面水壩水壩因?yàn)槿我粰M截面均可視為

26、對稱面，則有因?yàn)槿我粰M截面均可視為對稱面，則有0w所有各點(diǎn)的位移矢量都平行于所有各點(diǎn)的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。 平面位移問題平面位移問題0z0yzzy0 xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題注：注：(1)平面應(yīng)變問題中平面應(yīng)變問題中0z但是，但是，0z)(yxz(2)平面應(yīng)變問題中應(yīng)力分量：平面應(yīng)變問題中應(yīng)力分量：)0(,zyzxxyzyx 僅為僅為 x y 的函數(shù)。的函數(shù)。 如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問

27、題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題非平面問題非平面問題彈性力學(xué)平面問題的基本理論彈性力學(xué)平面問題的基本理論小結(jié)小結(jié)一、兩類平面問題及其特征一、兩類平面問題及其特征名名 稱稱平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量位位 移移應(yīng)應(yīng) 變變應(yīng)應(yīng) 力力外外 力力幾何形狀幾何形狀xyyx,0zxyz)(yxzExyyx,0zxyz0zxyyx,0zxyz0zxyyx,0zxyz)(yxzvu,0wvu,0w體力、面力的作用面都平行于體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不變化。平面，且沿板厚不變化。體力、面力的作用面都平行于體力、面力的作用面都平行于

28、xoy平面，且沿平面，且沿 z 向不變化。向不變化。z 方向的尺寸遠(yuǎn)方向的尺寸遠(yuǎn)小小于板面內(nèi)的于板面內(nèi)的尺寸（等厚度薄平板）尺寸（等厚度薄平板）z 方向的尺寸遠(yuǎn)方向的尺寸遠(yuǎn)大大于于xoy平面平面內(nèi)的尺寸（等截面長柱體）內(nèi)的尺寸（等截面長柱體）六、其它六、其它（1）常體力情況下簡化）常體力情況下簡化將將體力體力轉(zhuǎn)化為等效的轉(zhuǎn)化為等效的面力面力：mYyYYlXxXX（2）任意斜面的應(yīng)力、主應(yīng)力、主方向、最大）任意斜面的應(yīng)力、主應(yīng)力、主方向、最大最小剪應(yīng)力計(jì)算。最小剪應(yīng)力計(jì)算。（3）任意方向的正應(yīng)變計(jì)算。）任意方向的正應(yīng)變計(jì)算。xyyxNlmml22xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(

29、22222122xyyxyxyxyxyx2211tan,tan221minmaxmax、 min 的方向與的方向與1 （ 2 ）成成45。2.圣維南原理圣維南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物體的若把物體的一小部分邊界上的面力一小部分邊界上的面力，變換為分布，變換為分布不同但不同但靜力等效的面力靜力等效的面力，則，則近處近處的應(yīng)力分布將有的應(yīng)力分布將有顯著改變，而顯著改變，而遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)所受的影響可忽略不計(jì)。PPPP/2P/2APAPAP2.應(yīng)力邊界條件的列寫與圣維南原理的應(yīng)用應(yīng)力邊界條件的列寫與圣維南原理的應(yīng)用YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18） 圣維南原理：圣維南原理： 若把物體的若把物體的一小部分邊界上的面力一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但，變換為分布不同但靜力等效的面力靜力等效的面力，則，則近處近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)所受的影響可忽略不計(jì)。注意事項(xiàng)：注意