2021年全國統(tǒng)一新高考數(shù)學(xué)試卷(浙江卷)

1、2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設(shè)集合，則ABCD2已知，為虛數(shù)單位），則AB1CD33已知非零向量，則“”是“”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的體積（單位：是AB3CD5若實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值是ABCD6如圖，己知正方體，分別是，的中點，則A直線與直線垂直，直線平面B直線與直線平行，直線平面C直線與直線相交，直線平面D直線與直線異面，直線平面7已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是ABCD9已知，函數(shù)

2、若，成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是A直線和圓B直線和橢圓C直線和雙曲線D直線和拋物線10已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，則ABCD二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。11我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）若直角三角形直角邊的長分別為3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則12已知，函數(shù)若，則13已知多項式，則；14在中，是的中點，則；15袋中有4個紅球，個黃球，個綠球現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則，16已知橢

3、圓，焦點，若過的直線和圓相切，與橢圓的第一象限交于點，且軸，則該直線的斜率是，橢圓的離心率是三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18（14分）設(shè)函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在，上的最大值19（15分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，分別為，的中點，（）證明：；（）求直線與平面所成角的正弦值20（15分）已知數(shù)列的前項和為，且（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)數(shù)列滿足，記的前項和為若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

4、目要求的。1設(shè)集合，則ABCD【思路分析】直接利用交集的定義求解即可因為集合，所以故選：【歸納總結(jié)】本題考查了集合交集的運算，解題的關(guān)鍵是掌握集合交集的定義，屬于基礎(chǔ)題2已知，為虛數(shù)單位），則AB1CD3【思路分析】利用復(fù)數(shù)相等的定義求解即可因為，即，由復(fù)數(shù)相等的定義可得，即故選：【歸納總結(jié)】本題考查了復(fù)數(shù)相等定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3已知非零向量，則“”是“”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【思路分析】分別從充分性和必要性進行判斷，由充分條件與必要條件的定義，即可得到答案由，可得，則，即，所以可以推出，故“”是“”的必要條件由可得，由于向量，是非零向

5、量，所以推不出，綜上所述，“”是“”的必要不充分條件故選：【歸納總結(jié)】本題考查了充分條件與必要條件的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的基本概念和基本運算，屬于基礎(chǔ)題4某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的體積（單位：是AB3CD【思路分析】由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體為直四棱柱，底面四邊形為等腰梯形，由已知三視圖求得對應(yīng)的量，再由棱柱體積公式求解由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為直四棱柱，底面四邊形為等腰梯形，且，等腰梯形的高為，則該幾何體的體積故選：【歸納總結(jié)】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題5若實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值是ABCD【思路分

6、析】思路一：由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案思路二.由于可行域是三角形區(qū)域，所以可求出三角形三個頂點坐標代入目標函數(shù)中，其中最小的值就是本題答案。解法一：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，化目標函數(shù)為，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最大，有最小值為故選：解法二：（李健老師補解）三角形可行域的三個頂點坐標由方程組，即得三個頂點，所以，則最小值為故選：【歸納總結(jié)】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題6如圖，己知正方體，分別是，的中點，則A直線與直線垂直，直線平面B直線與直線平行，直線平面C直線與直線相

7、交，直線平面D直線與直線異面，直線平面【思路分析】通過證明直線平面，是的中位線，可判斷；根據(jù)異面直線的判斷可知與直線是異面直線，可判斷；根據(jù)異面直線的判斷可知直線與直線是異面直線，可判斷；由，可知不與平面垂直，可判斷連接，如圖：由正方體可知，平面，由題意知為的中位線，又平面，平面，平面對；由正方體可知、都與平面相交于點，平面，直線、都與直線是異面直線，、錯；，不與平面垂直，不與平面垂直，錯故選：【歸納總結(jié)】本題考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理與性質(zhì)，考查了邏輯推理核心素養(yǎng)，屬于中檔題7已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是ABCD【思路分析】可以判斷所求函數(shù)為奇函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性可

8、排除選項，；利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷選項，由圖可知，圖象關(guān)于原點對稱，則所求函數(shù)為奇函數(shù)，因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故選項錯誤；函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故選項錯誤；函數(shù)，則對恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項錯誤故選：【歸納總結(jié)】本題考查了函數(shù)圖象的識別，解題的關(guān)鍵是掌握識別圖象的方法：可以從定義域、值域、函數(shù)值的正負、特殊點、特殊值、函數(shù)的性質(zhì)等方面進行判斷，考查了直觀想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題9已知，函數(shù)若，成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是A直線和圓B直線和橢圓C直線和雙曲線D直線和拋物線【思路分析】利用等比中項的定義得到，代入解析式中整理化簡，可得，分兩種情況分別求

9、解軌跡方程，由此判斷軌跡即可函數(shù)，因為，成等比數(shù)列，則，即，即，整理可得，因為，故，即，所以或，當時，點的軌跡是直線；當，即，因為，故點的軌跡是雙曲線綜上所述，平面上點的軌跡是直線或雙曲線故選：【歸納總結(jié)】本題考查了等比中項的應(yīng)用，動點軌跡方程的求解，要掌握常見的求解動點軌跡的方法：直接法、定義法、代入法、消參法、交軌法等等，屬于中檔題10已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，則ABCD【思路分析】由題意首先整理所給的遞推關(guān)系式，得到數(shù)列的通項的范圍，然后結(jié)合求和公式裂項即可確定前100項和的范圍由題意可得：，由累加法可得，從而，由累乘法得，當取等號，故選：【歸納總結(jié)】本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式及

10、其應(yīng)用，數(shù)列求和與放縮的技巧等知識，屬于難題二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。11我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）若直角三角形直角邊的長分別為3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則25【思路分析】利用勾股定理求出直角三角形斜邊長，即大正方形的邊長，由，求出，再求出直角三角形直角邊的長分別為3，4，直角三角形斜邊的長為，即大正方形的邊長為5，則小正方形的面積，故答案為：25【歸納總結(jié)】本題考查了三角形中的幾何計算和勾股定理，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題12已知，函數(shù)

11、若，則2【思路分析】利用分段函數(shù)的解析式，先求出的值，進而求出，列出方程，求解的值即可因為函數(shù)，所以，則（2），解得故答案為：2【歸納總結(jié)】本題考查了函數(shù)的求值問題，主要考查的是分段函數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的值確定使用哪一段解析式求解，屬于基礎(chǔ)題13已知多項式，則5；【思路分析】思路1.利用通項公式求解的系數(shù)，即可求出的值；利用賦值法，令，即可求出的值思路2.用楊輝三角解。解法一：即為展開式中的系數(shù)，所以；令，則有，所以故答案為：5；10解法二：（李健老師補解）由楊輝三角可知：，所以由得，故【歸納總結(jié)】本題考查了二項展開式的通項公式的運用以及賦值法求解系數(shù)問題，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)

12、題14在中，是的中點，則；【思路分析】在、和中用余弦定理即可解決此題在中：，解得：或（舍去）點是中點，在中：，；在中：故答案為：；【歸納總結(jié)】本題考查余弦定理應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題15袋中有4個紅球，個黃球，個綠球現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則1，【思路分析】根據(jù)取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，得到關(guān)于，的方程，然后求出，的值，得到的值；先確定的可能取值，求出相應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望的計算公式求解即可由題意，又一紅一黃的概率為，所以，解得，故；由題意，的可能取值為0，1，2，所以，所以故答案為：1；【歸納總結(jié)】

13、本題考查了古典概型的概率，組合數(shù)公式的應(yīng)用，離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量期望，其概率模型是超幾何分布，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題16已知橢圓，焦點，若過的直線和圓相切，與橢圓的第一象限交于點，且軸，則該直線的斜率是，橢圓的離心率是【思路分析】思路1.由直線與圓相切，可得圓心到直線的距離與半徑相等，由此可求出直線的斜率，利用斜率與相等，得到與之間的關(guān)系，再求出離心率思路2.由于離心率只與橢圓形狀有關(guān)，可設(shè)出值，由特值法求出離心率。解法一：依題如圖：直線斜率不存在時，直線與圓不相切，不符合題意；由直線過，設(shè)直線的方程為，直線和圓相切，圓心到直線的距離與半徑相等，解得，將代入，可得點坐標

14、為，故答案為：解法二：（李健老師補解）設(shè)，結(jié)合圖，,，則，即，即直線的斜率是，所以，即，由勾股定理得，則，即，.【歸納總結(jié)】本題考查了橢圓、圓的簡單幾何性質(zhì)，以及點到直線的距離公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，是中檔題17.已知平面向量、滿足，記平面向量在、方向上的投影分別為、，在方向上的投影分別為，則的最小值是 .【思路分析】將問題背景特殊化，可取，則，由得即，又平面向量在、方向上的投影分別為、可設(shè)，則，即在方向上的投影分別為.即.由柯西不等式有.當且僅當，即時，等號成立.【歸納總結(jié)】本題主要考查平面向量概念、數(shù)量積及其幾何意義、柯西不等式，需要學(xué)生熟練運算，是中檔題.三、解答題：本大題共5小題，

15、共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18（14分）設(shè)函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在，上的最大值【思路分析】（）由，可得，然后利用周期公式求出周期；（），由，得到的取值范圍，再利用整體法求出的最大值函數(shù)，（輔助角公式），（）函數(shù)，則最小正周期為；（）函數(shù)，因為，所以，所以當，即時，【歸納總結(jié)】本題考查了三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，涉及求解函數(shù)的周期以及最值問題，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題19（15分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，分別為，的中點，（）證明：；（）求直線與平面所成角的正弦值【思路分析】（）由已知求解三角形可得，結(jié)合，可得平面，進一步得到；（）由（）證明平面，由

16、已知求解三角形可得，取中點，連接，以為坐標原點，分別以、為、軸建立空間直角坐標系，求出的坐標及平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值（）證明：在平行四邊形中，由已知可得，由余弦定理可得，則，即，又，平面，而平面，；（）解：由（）知，平面，又平面，平面平面，且平面平面，且平面，平面，連接，則，在中，可得，又，在中，求得，取中點，連接，則，可得、兩兩互相垂直，以為坐標原點，分別以、為、軸建立空間直角坐標系，則，2，0，又為的中點，平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則故直線與平面所成角的正弦值為【歸納總結(jié)】本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與

17、思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求直線與平面所成的角，是中檔題20（15分）已知數(shù)列的前項和為，且（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)數(shù)列滿足，記的前項和為若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍【思路分析】（）首先利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列為等比數(shù)列，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得數(shù)列的通項公式；（）首先錯位相減求得的值，然后分離參數(shù)利用恒成立的結(jié)論分類討論即可求得實數(shù)的取值范圍（）由 可得，兩式作差，可得：，所以數(shù)列 是以為首項，為公比的等比數(shù)列，其通項公式為：（）由，得，兩式作差可得：，則據(jù)此可得 恒成立，即 恒成立時不等式成立；時，由于時，故；時，而，故：；綜上可得，【歸納總結(jié)】本題主要考查由遞推關(guān)系式求數(shù)列

18、的通項公式的方法，錯位相減求和的方法，數(shù)列中的恒成立問題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題21如圖，已知為拋物線的焦點，是拋物線的準線與軸的交點，且(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)過點的直線與交拋物線于，兩點，若斜率為2的直線與直線，軸依次交于，且滿足，求直線在軸上截距的取值范圍【思路分析】(1)根據(jù)點的特性求出值，寫出拋物線的方程（2）將轉(zhuǎn)化為得出關(guān)于直線在軸上截距的不等式，解不等式求出范圍。(1)，故，故拋物線的方程為：(2)設(shè)：，直線：，由題設(shè)可得且由可得，故，故，故又：，由可得，同理，由可得，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或故直線在軸上的截距的范圍為或或【歸納總結(jié)】本題主要考查拋物線的性質(zhì)和方程求法、直線方程和兩直線交點坐標求法、弦長公式、不等