期權(quán)價(jià)格的性質(zhì)金融衍生品定價(jià)理論講義

1、 第三章 期權(quán)價(jià)格的性質(zhì) 在第一章里，我們定性地討論了期權(quán)價(jià)格的性質(zhì)。我們不但描述了影響期權(quán)價(jià)格的各種因素，而且討論了在各種情況下期權(quán)的支付。在這一節(jié)里，我們將應(yīng)用無(wú)套利原理嚴(yán)格證明歐式期權(quán)價(jià)格的一些重要的性質(zhì)。需要強(qiáng)調(diào)的是，我們并不對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)的未來(lái)價(jià)格的分布作任何假設(shè)。在上一章中，我們利用標(biāo)的資產(chǎn)和債券合成構(gòu)造遠(yuǎn)期合約和期貨合約，投資銀行可以利用這種方法來(lái)為遠(yuǎn)期合約和期貨合約做市及對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。同樣地，在本章中，我們利用合成構(gòu)造期權(quán)的方法來(lái)為期權(quán)做市及對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。我們僅僅研究以同一種資產(chǎn)為標(biāo)的物的看漲和看跌期權(quán)價(jià)格之間最基本的關(guān)系。本章主要內(nèi)容：美、歐式期權(quán)價(jià)格的上下界；美式期權(quán)的提前執(zhí)行；紅利對(duì)

2、期權(quán)價(jià)格的影響；看漲和看跌期權(quán)價(jià)格之間的平價(jià)關(guān)系。 我們不妨假設(shè)標(biāo)的物為某種股票，其在時(shí)間的價(jià)格為，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為，到期日為一期，即，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為（或者），按離散或者連續(xù)方式計(jì)算復(fù)利。我們以分別表示歐式看漲、美式看漲、歐式看跌、美式看跌期權(quán)在時(shí)間的價(jià)格。1期權(quán)價(jià)格的上、下界由第一章內(nèi)容，期權(quán)價(jià)格受標(biāo)的股票的價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、標(biāo)的股票的價(jià)格的方差、到期日、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和到期日之前標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期紅利六種因素的影響。1.1 上界美式或者歐式看漲期權(quán)的持有者擁有以一定價(jià)格購(gòu)買(mǎi)一份股票的權(quán)利，所以在任何情形下，期權(quán)的價(jià)值不會(huì)超過(guò)標(biāo)的股票的價(jià)格 否則，買(mǎi)入股票，賣(mài)空看漲期權(quán)就能獲得套利機(jī)會(huì)。例子：標(biāo)的股票價(jià)

3、格為30元，執(zhí)行價(jià)格為25元的看漲期權(quán)，其價(jià)格不超過(guò)30元（不管是美式還是歐式）。如果價(jià)格為40元，如何構(gòu)造套利機(jī)會(huì)？看漲期權(quán)的價(jià)格永遠(yuǎn)不會(huì)超過(guò)標(biāo)的股票的價(jià)格。即使執(zhí)行價(jià)格為零，期權(quán)永遠(yuǎn)不到期，期權(quán)的價(jià)格也至多為。甚至在這種極端情形下，期權(quán)的價(jià)格也可能比標(biāo)的股票的價(jià)格低，因?yàn)楣善庇羞x舉權(quán)，而期權(quán)沒(méi)有。美式或者歐式看跌期權(quán)的持有者擁有以執(zhí)行價(jià)格賣(mài)一份股票的權(quán)利，所以在任何情形下，期權(quán)的價(jià)值不會(huì)超過(guò)對(duì)歐式看跌期權(quán)而言，我們知道它在到期日的價(jià)格不會(huì)超過(guò)，所以否則，賣(mài)出期權(quán)，投資在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，獲得套利例子：=5%，=30元， =25元，1.2 以不支付紅利股票為標(biāo)的物的歐式期權(quán)價(jià)格的下界我們?cè)谶@里僅僅

4、關(guān)注標(biāo)的股票的價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格的影響，所以，我們可以把看漲期權(quán)在時(shí)間的價(jià)格寫(xiě)成，。下面，我們討論第一條性質(zhì)。 性質(zhì)1： (1)當(dāng)期權(quán)被執(zhí)行的概率嚴(yán)格位于0和1之間時(shí)，即，在到期日，股票價(jià)格大于執(zhí)行價(jià)格的概率嚴(yán)格位于0和1之間，上述不等式嚴(yán)格成立。 證明：我們證明嚴(yán)格不等式?？紤]如下的策略：賣(mài)空一份標(biāo)的股票，買(mǎi)一份歐式看漲期權(quán)，再以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借出。該策略的初始成本為，到期日的支付為：當(dāng) 時(shí)。因?yàn)椴呗缘钠谀┲Ц妒欠秦?fù)的，且嚴(yán)格為正的概率大于0，所以，由無(wú)套利原理，初始成本也應(yīng)該嚴(yán)格大于零。即有，>0。這個(gè)不等式等價(jià)于。 (2)最后，因?yàn)槠跈?quán)的持有者只有買(mǎi)標(biāo)的物的權(quán)利而沒(méi)有必須買(mǎi)的義務(wù)，所以期權(quán)

5、的價(jià)格是非負(fù)的。又因?yàn)榧僭O(shè)期權(quán)被執(zhí)行的概率嚴(yán)格位于0和1之間，所以期權(quán)的價(jià)格嚴(yán)格大于零，即，。這個(gè)式子與(2)式結(jié)合起來(lái)，得到我們需要的結(jié)果。# 注：（1）在性質(zhì)1中，我們是針對(duì)時(shí)間0的價(jià)格討論的，該性質(zhì)對(duì)到期日以前的任何時(shí)間均成立，只需把(1)式中角標(biāo)由0換成，并對(duì)執(zhí)行價(jià)格的折現(xiàn)作相應(yīng)的修改。 （2）通過(guò)類(lèi)似的方法，我們可以得到以不支付紅利股票為標(biāo)的物的歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下界為。 （3） 這個(gè)性質(zhì)的直觀意義在于，如果在期末必須以?xún)r(jià)格買(mǎi)一份股票，這種義務(wù)的現(xiàn)值為。當(dāng)股票價(jià)格小于執(zhí)行價(jià)格的概率嚴(yán)格位于0和1之間時(shí)，不買(mǎi)股票的權(quán)利的價(jià)值嚴(yán)格大于零。因此，歐式看漲期權(quán)的的價(jià)格嚴(yán)格大于。另一方面，由于

6、期權(quán)被執(zhí)行的概率是嚴(yán)格正的，所以，。例子：歐式看漲期權(quán)假設(shè)標(biāo)的股票的價(jià)格為55元，執(zhí)行價(jià)格為50元，期權(quán)三個(gè)月到期，三個(gè)月的簡(jiǎn)單利率為8.9%，在這3個(gè)月內(nèi)，股票不支付紅利，求歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下界，如果期權(quán)的價(jià)格為4元，如何構(gòu)造套利機(jī)會(huì)。例子：歐式看跌期權(quán)3個(gè)月到期的歐式看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為50元，股票價(jià)格為45元，三個(gè)月的簡(jiǎn)單利率為8.9%，在這3個(gè)月內(nèi)，股票不支付紅利，求歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下界，如果期權(quán)的價(jià)格為3元，如何構(gòu)造套利機(jī)會(huì)。 性質(zhì)2：歐式看漲期權(quán)的價(jià)格是其執(zhí)行價(jià)格的凸函數(shù)，即， (3)這里，。當(dāng)?shù)母怕蕠?yán)格正時(shí)，上式中的嚴(yán)格不等式成立。 證明：考慮如下的策略：買(mǎi)入份以為執(zhí)行價(jià)格的

7、歐式看漲期權(quán)，買(mǎi)入份以為執(zhí)行價(jià)格的歐式看漲期權(quán)，賣(mài)空一份以為執(zhí)行價(jià)格的歐式看漲期權(quán)。這個(gè)策略在時(shí)的成本為。不失一般性，假設(shè)。這個(gè)策略在到期日的支付為：0如果，如果，如果，0 如果，在任何情況下，支付均為非負(fù)的。因此，由無(wú)套利原理有：這即為(3)式。當(dāng)?shù)母怕蕠?yán)格正時(shí)，(3)式中的嚴(yán)格不等式成立。# 注：我們可以證明歐式看漲期權(quán)的價(jià)格是其執(zhí)行價(jià)格的減函數(shù)，從而，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格是其執(zhí)行價(jià)格的單調(diào)遞減的凸函數(shù)。例子： 在實(shí)際中，投資者投資的期權(quán)不但可以以單個(gè)證券為標(biāo)的物，也可以以上市證券形成的證券組合為標(biāo)的物。另外，投資者還可投資在期權(quán)形成的證券組合上。下面，我們比較兩種投資方式所需要的成本。 性

8、質(zhì)3：假設(shè)有種證券，以這種證券為標(biāo)的物構(gòu)成種歐式期權(quán)，它們具有相同的執(zhí)行價(jià)格。以這種證券的凸組合為標(biāo)的物，以為執(zhí)行價(jià)格的期權(quán)的價(jià)格比前面的種歐式期權(quán)以同樣的權(quán)形成的證券組合的價(jià)格低，即，這里，而是以種證券的凸組合為標(biāo)的物，以為執(zhí)行價(jià)格的期權(quán)的價(jià)格。 證明：以種證券的凸組合為標(biāo)的物，以為執(zhí)行價(jià)格的期權(quán)的終端支付為：。因?yàn)槭堑耐购瘮?shù)，由Jensen不等式得到：。而上述不等式的右端正好是種歐式期權(quán)的證券組合的終端支付。由無(wú)套利原理，我們得到：這里的不等式嚴(yán)格成立當(dāng)且僅當(dāng)存在證券和，使得以一個(gè)嚴(yán)格正的概率成立。# 假設(shè)所有個(gè)標(biāo)的證券的支付使得，以單個(gè)證券為標(biāo)的物，以為執(zhí)行價(jià)格的個(gè)期權(quán)都能同時(shí)被最優(yōu)執(zhí)行

9、，則這個(gè)期權(quán)的凸組合的價(jià)格，和下面這個(gè)期權(quán)的價(jià)格是相同的，這個(gè)期權(quán)以個(gè)標(biāo)的證券的凸組合為標(biāo)的物，以為執(zhí)行價(jià)格。但是，一旦以單個(gè)證券為標(biāo)的物的個(gè)期權(quán)中有某個(gè)不能被同時(shí)最優(yōu)執(zhí)行，則兩者的價(jià)格不會(huì)相等。作為期權(quán)的證券組合，不同于以個(gè)證券的凸組合為標(biāo)的物的期權(quán)，因?yàn)槲覀兛梢詥为?dú)執(zhí)行組合中的每個(gè)期權(quán)。所以，期權(quán)的證券組合的價(jià)格大于以個(gè)證券的凸組合為標(biāo)的物的期權(quán)的價(jià)格。例子：1.3 美式期權(quán)的下界性質(zhì)：美式看漲期權(quán)價(jià)格的下界為證明：（1） （2）不妨假設(shè)。如果，構(gòu)造套利機(jī)會(huì)：以買(mǎi)入美式看漲期權(quán)，馬上執(zhí)行，現(xiàn)金流為，凈利潤(rùn)為例子：設(shè)美式看漲期權(quán)的價(jià)格為2元，設(shè)股價(jià)為50元，執(zhí)行價(jià)格為45元，是否存在套利機(jī)會(huì)

10、？性質(zhì)：如果兩個(gè)美式看漲期權(quán)具有相同的執(zhí)行價(jià)格，相同的標(biāo)的物，則到期日越長(zhǎng)的期權(quán)，價(jià)格越高。圖：美式看漲期權(quán)價(jià)格的界性質(zhì)：美式看跌期權(quán)價(jià)格的下界為證明：例子：設(shè)美式看跌期權(quán)到期日為78天，價(jià)格為3元，執(zhí)行價(jià)格為55元，標(biāo)的股票價(jià)格為55元，是否存在套利機(jī)會(huì)？圖：美式看跌期權(quán)價(jià)格的界2提前執(zhí)行：以不支付紅利股票為標(biāo)的物的美式期權(quán) 本節(jié)的目的是證明：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行。對(duì)期權(quán)定價(jià)理論感興趣的讀者可以參考Merton在1973年的開(kāi)創(chuàng)性工作。 由于歐式期權(quán)只能在到期日?qǐng)?zhí)行，而美式期權(quán)在到期日前的任何時(shí)間都能執(zhí)行，所以，歐式期權(quán)的定價(jià)比美式期權(quán)定價(jià)容易。但是，當(dāng)標(biāo)的股票不

11、支付紅利時(shí)，我們可以證明美式看漲期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，從而美式看漲期權(quán)的價(jià)格和歐式看漲期權(quán)的價(jià)格一致。下面，我們證明這一重要的定理。定理1：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式看漲期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行。 證明：設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為，采用連續(xù)計(jì)算復(fù)利的方式；歐式和美式期權(quán)的到期日為，執(zhí)行價(jià)格均為；不支付紅利的標(biāo)的股票在時(shí)的價(jià)格為。由前面知道： (9)方程(9)對(duì)一個(gè)歐式看漲期權(quán)成立。但是，由前面的分析我們知道，和一個(gè)歐式看漲期權(quán)等價(jià)的美式看漲期權(quán)的價(jià)格總比歐式看漲期權(quán)的價(jià)格大。因此， (10)而且，如果執(zhí)行，美式看漲期權(quán)的價(jià)值是，它比小。在這種情況下，美式期權(quán)的持有者在證券市場(chǎng)上賣(mài)掉期權(quán)總會(huì)優(yōu)于提前執(zhí)行該期權(quán)。&

12、#160; 從(10)式，我們可以更合理的解釋為什么當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率上升時(shí)，看漲期權(quán)的價(jià)格會(huì)上升？假設(shè)股票的價(jià)格是50元，執(zhí)行價(jià)格是30元，期權(quán)一年到期。如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是5%，則期權(quán)價(jià)格的下限是21.46元。如果現(xiàn)在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率變?yōu)?0%，則下限增為22.85元。直觀上來(lái)說(shuō)，現(xiàn)在期權(quán)更值錢(qián)是因?yàn)闊o(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的上長(zhǎng)，使得現(xiàn)在購(gòu)買(mǎi)一年后支付一元的零息債券的價(jià)格降低。 例子：以不支付紅利股票為標(biāo)的物的美式看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為40元，股票的價(jià)格為50元，期權(quán)一個(gè)月到期。(deep in money)（1）如果投資者計(jì)劃持有股票的時(shí)間大于一個(gè)月，則馬上提前執(zhí)行不是最好的策略：支付40元的執(zhí)行價(jià)格，損失1個(gè)月利息

13、；持有股票沒(méi)有獲得紅利的優(yōu)勢(shì)；股價(jià)有可能跌到40元以下，持有期權(quán)等于持有一份保險(xiǎn)。（2）如果投資者計(jì)劃持有股票的時(shí)間小于一個(gè)月，認(rèn)為股價(jià)過(guò)高，提前執(zhí)行，再賣(mài)掉股票也不是最優(yōu)的策略，因?yàn)橘u(mài)掉期權(quán)比提前執(zhí)行的收入更大。圖：美式看漲期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的物價(jià)格的關(guān)系利率越大，到期日越長(zhǎng)，或者股票波幅越大，美式看漲期權(quán)的價(jià)格越大。 不同于美式看漲期權(quán)，即使在標(biāo)的股票不支付紅利的條件下，提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)可能是最優(yōu)的。原因在于，當(dāng)股價(jià)充分下降以后，從股價(jià)進(jìn)一步下降得到的利潤(rùn)可能比馬上執(zhí)行得到的現(xiàn)金的利息少。例子：設(shè)執(zhí)行價(jià)格為25元看跌期權(quán)，股價(jià)為1元，6個(gè)月到期，6個(gè)月的簡(jiǎn)單利率為9.5%。美式看漲期權(quán)和美式

14、看跌期權(quán)在提前執(zhí)行問(wèn)題上的不同源于看漲期權(quán)的收入是無(wú)上界的，而看跌期權(quán)的收入是有上界的。既然看漲期權(quán)無(wú)上界，等待總有可能獲得利潤(rùn)，而看跌期權(quán)有上界，所以最好提前執(zhí)行，獲取利息。例子：假設(shè)執(zhí)行價(jià)格為10元，股價(jià)為0元。馬上執(zhí)行，獲得的收入為10元，如果等待，執(zhí)行時(shí)收入最多也只為10元，而且提前執(zhí)行可以獲得利息。圖：美式看跌期權(quán)的價(jià)格與標(biāo)的物價(jià)格的關(guān)系利率越小，波幅越大，或者到期日越大，美式看跌期權(quán)價(jià)格越大。圖：歐式看跌期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的物價(jià)格的關(guān)系 3 美式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價(jià)格之間的關(guān)系 看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價(jià)格之間的平價(jià)關(guān)系僅僅對(duì)于歐式期權(quán)成立。但是，我們也可以得到以不支付紅利股票為標(biāo)的物的美式期

15、權(quán)價(jià)格之間的關(guān)系。我們?cè)O(shè)為美式看跌期權(quán)的價(jià)格，為歐式看跌期權(quán)的價(jià)格。其余的符號(hào)和這一章里一樣。因?yàn)槊朗狡跈?quán)總能在到期日以前執(zhí)行，所以，美式看跌期權(quán)價(jià)格總大于歐式看跌期權(quán)價(jià)格，即，。我們采用連續(xù)計(jì)算復(fù)利的方式。由歐式期權(quán)價(jià)格的平價(jià)關(guān)系有，從而有。因?yàn)闃?biāo)的股票不支付紅利，所以。我們得到，或者。 (12) 為了進(jìn)一步說(shuō)明與之間的關(guān)系，我們考慮： 證券組合1：一份歐式看漲期權(quán)和數(shù)量為的現(xiàn)金 證券組合2：一份美式看跌期權(quán)和一份標(biāo)的股票 兩種證券組合中的期權(quán)具有相同的執(zhí)行價(jià)格和到期日。假設(shè)證券組合1中的現(xiàn)金可以以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資。（1）如果看跌期權(quán)不提前執(zhí)行，則證券組合2在到期日的支付為。這時(shí)，證券組合1的

16、支付為。因此，證券組合1比證券組合2的價(jià)值大。（2）下面，我們假設(shè)證券組合2中的看跌期權(quán)提前執(zhí)行，例如，在時(shí)間執(zhí)行。這說(shuō)明證券組合2在時(shí)間的價(jià)值為。但是，即使證券組合1中的看漲期權(quán)無(wú)價(jià)值，證券組合1在時(shí)間的的價(jià)值為。由這兩種情況分析，我們得到，在任何情況下，證券組合1都比證券組合2的價(jià)值高。因此，我們有。因?yàn)椋?，或者。?12)與上式，我們得到。 (13)例子：以不支付紅利股票為標(biāo)的物的美式看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為20元，5個(gè)月到期，期權(quán)的價(jià)格為1.5元。假設(shè)現(xiàn)在股票的價(jià)格為19元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每年8%。由歐式期權(quán)價(jià)格之間的平價(jià)關(guān)系，對(duì)應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為 由（13）從而4紅利的影響 我們

17、在前面討論期權(quán)的價(jià)格性質(zhì)時(shí)，標(biāo)的股票均不支付紅利。下面，我們討論紅利的影響。當(dāng)標(biāo)的股票有紅利支付時(shí)，我們不能保證美式看漲期權(quán)不提前執(zhí)行。有時(shí)，美式看漲期權(quán)在紅利支付前的瞬間執(zhí)行是最優(yōu)的，因?yàn)?，紅利的支付將使得股票的價(jià)格下降，從而導(dǎo)致期權(quán)的價(jià)值下降。 下面這一定理更注重實(shí)際。我們分析當(dāng)標(biāo)的股票支付紅利時(shí)，美式看漲期權(quán)的價(jià)值會(huì)有什么變化？因?yàn)榇蠖鄶?shù)上市公司都是支付紅利的，所以期權(quán)合約的持有者應(yīng)該注意，當(dāng)標(biāo)的股票因支付紅利而價(jià)格下降時(shí)，并不能保證期權(quán)的價(jià)格不下降。 在1976年12月份的某一天，通用汽車(chē)公司的股票大約為每股75美元。以此為標(biāo)的物的看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為60美元。在第二天，通用汽車(chē)公司按

18、計(jì)劃每股分配紅利3美元。這意味著該公司的股票價(jià)格將降至約每股72美元。從(7.19)式我們知道，在分紅之前，看漲期權(quán)的價(jià)格不會(huì)低于，或者15美元。到了第二天，每人都知道公司的股票價(jià)格將下降，所以看漲期權(quán)的價(jià)格將下降（約降至12.63美元）。知道先一天期權(quán)約值15美元，第二天期權(quán)的價(jià)格將下降，作為投資者，唯一理性的行為就是在分紅之前執(zhí)行期權(quán)。 定理：當(dāng)標(biāo)的股票支付紅利時(shí)，美式看漲期權(quán)是可能提前執(zhí)行的。 證明：假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為，采用連續(xù)計(jì)算復(fù)利的方式；美式期權(quán)的到期日為，執(zhí)行價(jià)格均為；標(biāo)的股票在時(shí)的價(jià)格為，在到期日支付紅利；。在時(shí)間到期，面值為1的無(wú)息債券在時(shí)的價(jià)格為。考慮甲、乙兩種證券組合，甲證

19、券組合：以?xún)r(jià)格買(mǎi)一份歐式看漲期權(quán)，以?xún)r(jià)格購(gòu)買(mǎi)+份債券。乙證券組合：以?xún)r(jià)格買(mǎi)一份股票。下表說(shuō)明了兩種證券組合的終端支付的關(guān)系：證券組合證券組合在時(shí)間的價(jià)值證券組合在到期日的支付甲0+乙+甲、乙在的支付的關(guān)系V甲>V乙V甲=V乙在到期日，當(dāng)股票的價(jià)格小于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，期權(quán)不會(huì)被執(zhí)行，從而期權(quán)沒(méi)有價(jià)值，證券組合甲的支付為+。但是，由于，所以證券組合甲的支付大于證券組合乙的支付。另一方面，當(dāng)股票的價(jià)格大于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，證券組合甲、乙在到期日的支付相等。不管在哪種情況下，證券組合甲的支付大于或者等于證券組合乙的支付。由無(wú)套利原理，我們有：從這個(gè)式子可以得到； (11)從上式可以看出，當(dāng)紅利的規(guī)模和無(wú)風(fēng)

20、險(xiǎn)利率取恰當(dāng)?shù)闹禃r(shí)，有可能得到：這時(shí)，(11)式中期權(quán)的價(jià)值為零。但是，如果有可能提前執(zhí)行時(shí)，美式看漲期權(quán)的價(jià)值是。所以美式期權(quán)的持有者有可能提前執(zhí)行該期權(quán)。 例子：下面討論紅利對(duì)期權(quán)價(jià)格界的影響。 我們假設(shè)在期權(quán)的到期日以前，標(biāo)的股票支付的紅利的現(xiàn)值為。為簡(jiǎn)單計(jì)，我們假設(shè)紅利一次性支付。 歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價(jià)格的下界 我們定義證券組合A、B如下： 證券組合A：一份歐式看漲期權(quán)和數(shù)量為的現(xiàn)金 證券組合B：一份標(biāo)的股票在證券組合A中，如果現(xiàn)金流以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，則在到期日，這個(gè)現(xiàn)金流變?yōu)?。如果，則看漲期權(quán)在執(zhí)行，證券組合A的支付為+。如果，則看漲期權(quán)在不執(zhí)行，證券組合A的支付為。所

21、以，證券組合A在到期日的支付為。在證券組合B中，如果紅利現(xiàn)金流以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，則在到期日，這個(gè)現(xiàn)金流變?yōu)?。所以，證券組合B在到期日的支付為。無(wú)論在哪種情況下，證券組合A的到期日支付都不會(huì)小于證券組合B的到期日支付，有時(shí)，還嚴(yán)格大于B的終端支付。因此，有無(wú)套利原理，證券組合A現(xiàn)在的價(jià)值應(yīng)該大于證券組合B現(xiàn)在的價(jià)值，即， (14)或者。 (15)這是我們得到的，當(dāng)標(biāo)的股票具有紅利支付時(shí)，歐式看漲期權(quán)的下界。 接著，我們定義證券組合C和D如下： 證券組合C：一份歐式看跌期權(quán)和一份標(biāo)的股票 證券組合D：數(shù)量等于的現(xiàn)金流在證券組合C中，如果標(biāo)的股票的紅利現(xiàn)金流以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，則在到期日，這個(gè)現(xiàn)金流變?yōu)椤Ｈ绻?，證券組合C中的看跌期權(quán)在執(zhí)行，證券組合C的支付為+。如果，則看跌期權(quán)在不執(zhí)行，