解不等式(知識點、題型詳解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上不等式的解法1、一元一次不等式方法：通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟化為的形式，若,則；若,則；若,則當時，；當時，。【例1-1】（1）解：此時，因為的符號不知道，所以要分：=0，>0, <0這三種情況來討論.由原不等式得>1, 當=0時， 0>1.所以，此時不等式無解. 當>0時， >, 當<0時，<.【例1-2】已知不等式與不等式同解，解不等式。解：， 的解為 中 解 由題意 代入所求： 要注意：當一元一次不等式中未知數(shù)的系數(shù)是字母時，要分未知數(shù)的系數(shù)等于0、大于0、小于0這三種情況來討論.2、一元二次不等

2、式的解集（聯(lián)系圖象）。尤其當和時的解集你會正確表示嗎？基本步驟： 把二次項系數(shù)化為正 求對應的一元二次方程的根（先考慮十字相乘法，不能因式分解的再考慮用求根公式） 利用二次函數(shù)的圖像（下圖，三個“二”的關系）求出對應的解集，用集合或區(qū)間表示設,是方程的兩實根，且，則其解集如下表：二次函數(shù)、方程或或RRR【例2-1】解下列關于的不等式：(1) 22-3-5>0； (2) 32-4-10； (3) 2-2+10； (4) 2-2+1>0； (5) 2-2+3>0； (6) 2-2+30.解析：（1）（2）代表判別式大于0的一元二次不等式的題目.只不過（1）對應的一元二次方程容易因

3、式分解求兩根，（2）就不容易用十字相乘法因式分解，此時需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式來求兩根.（3）（4）代表判別式等于0的一元二次不等式的題目.（5）（6）代表判別式小于0的一元二次不等式的題目.（1）因為對此不等式對應的一元二次方程2-3-5=0因式分解得(2-5)(+1)=0. 所以該方程的兩根為：1=,或2=-1.又因為此不等式對應的一元二次函數(shù)=22-3-5的拋物線開口向上， 所以，根據(jù)“大于在兩邊，小于在中間”的原理，可以直接寫出不等式22-3-5>0的范圍： >，或<-1； （2）與上題解法類似.32-4-1=0的判別式D=42-4×

4、;3×(-1)=28>0, 一元二次方程32-4-1=0有兩個不同的實數(shù)根為 1=, 或2=. 此不等式中的取值范圍是 ； （3）2-2+1=0的判別式D=0. 2-2+1=0有兩個相等的實數(shù)根， 1=2=1.所以，根據(jù)“大于在兩邊，小于在中間”的原理，不等式2-2+10中的取值范圍是 11,即=1；（4）與（3）類似分析，可知不等式2-2+1>0中的取值范圍是>1，或<1,即1； （5）因為方程2-2+3=0的判別式D<0.所以方程2-2+3=0沒有實數(shù)根.此時，就不能根據(jù)“大于在兩邊，小于在中間”的原理了，這時，可以用配成完全平方式的方法.2-2+3

5、=2-2+1+2=+2>0，不等式2-2+3>0中的取值范圍是 R；（6）與（5）類似分析，可知 不等式2-2+30中的取值范圍是空集.【例2-2】解下列關于的不等式：解析：這是與一元(一)二次不等式有關的含有參數(shù)的不等式題型，?？嫉挠袃煞N形式：易因式分解求根的形式和不易（能）因式分解求根的形式. 解這類題的關鍵是：把參數(shù)以正確的情況來分類討論，然后再用解一元一（二）次不等式的基本方法來做.（3）式對應的方程不易因式分解求出根，判別式的符號不能確定，并且2的系數(shù)含有參數(shù). 這說明對應方程根的情況不能確定，該不等式也不一定為一元二次不等式. 綜合上述分析，我們應以2的系數(shù)為0以及判別

6、式為0時，得出的參數(shù)值作為討論的依據(jù). 求出的參數(shù)把數(shù)軸分為幾部分，相應的就分幾種情況來討論.由上面的分析，我們就容易知道討論的依據(jù)了.    總結：對于這種類型中易因式分解求出兩根的題型，我們先因式分解求出兩根，然后再以兩根的大小來進行分類討論；當不易因式分解求出兩根時，我們應以2的系數(shù)為0以及判別式為0時，得出的參數(shù)值作為討論的依據(jù).求出的參數(shù)把數(shù)軸分為幾部分，相應的就分幾種情況來討論，在每一種情況里就變成了解基本的不等式的題型.注意：每一種情況的內(nèi)部既不能取交集，所有情況的結果也不能取并集，最終結果只能分類回答！要與前面所講述的題型中“一種情況內(nèi)部

7、取交集，把所有情況的結果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集”的原則進行區(qū)別和聯(lián)系.3、簡單的一元高次不等式的解法：數(shù)軸穿根法：基本步驟：將不等式右邊化為，左邊分解成若干個一次因式或二次不可分因式的積. 把每個因式的最高次項系數(shù)化為正數(shù). 將每個一次因式的根從小到大依次標在數(shù)軸上. 從右上方依次通過每個點畫出曲線，遇到奇次因式的根對應的點，曲線穿過數(shù)軸； 遇到偶次因式的根對應的點，曲線不穿過數(shù)軸，仍在數(shù)軸同側迂回. 即規(guī)律“奇穿偶不穿”. 根據(jù)曲線就可以知道函數(shù)值符號變化規(guī)律.【例3-1】解下列關于的不等式：解析：這種類型的不等式如果用上述的方法1，分類討論可以做出來，但是比較復雜，而且易出

8、現(xiàn)錯誤.所以，常用數(shù)軸表根法(又稱零點分段法)來做這類題.所謂數(shù)軸標根法，就是用一條曲線代替列表討論，這條曲線雖不能準確表達出函數(shù)的圖象，但能體現(xiàn)出函數(shù)值的符號變化規(guī)律即：曲線與軸的交點將軸分成若干區(qū)域，曲線在軸上方所對應區(qū)間內(nèi)的值，使函數(shù)值大于0 ；曲線在軸下方所對應區(qū)間內(nèi)的值，使函數(shù)值小于0 ；曲線與軸的交點所對應的值，使 函數(shù)值等于0.按照上述的方法，易解出以上各題.參考答案：4. 分式不等式的解法：一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母?；静襟E：（1）標準化：移項、通分使右邊為0，即>0(或<0)； 0(或0)的形式，（2）轉化為整式

9、不等式（組）（3）分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解?！纠?-1】解下列關于的不等式：（1）. 解析：這種題型的基本做法是化為一元一次不等式組或一元二次不等式來解.（1）方法1：原不等式等價于 .從而再利用一元一次不等式組的解法得到原不等式中的的范圍為1<<4； 方法2：原不等式等價于(+1)(4)>0.從而再利用一元二次不等式的解法得到原不等式中的的范圍為1<<4；比較這兩種方法，可以看出方法2運算的較快一點，而且不容易出錯.（2）與（1）類似兩種方法都可以用.只不過，要注意分母不能為0.現(xiàn)在只用方法2來解: 原式等價于，因此，原不等

10、式中的的范圍為（3）首先要移項、通分，變?yōu)椋?）式的形式，然后再用做（2）的方法來做.注意：因為分母的正負不知道，所以不能兩邊同時乘以分母！原式等價于總結：這種題型要注意兩點：（1）要注意分母不能為0.（2）當不等號后面是不為0的式子（常數(shù)或關于未知數(shù)的式子），并且分母的正負不知道時，不能不等式兩邊同時乘以分母，而只能移項、通分，變?yōu)榛镜男问絹碜?【例4-2】關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為_.5.含絕對值不等式的解法題型一：形如與型的不等式的解法.【公式法】【例5-1】解下列關于的不等式：（1）|2-1|<5； （2）|2-1|>11； （3）|2-1|>0；

11、（4）|2-1 |0； （5）|2-1 |< -1； (6) |2-1 |-1.解析：在形如|+b|>c(或c）以及|+b|<c(或c）類型的絕對值不等式中（其中,b,c為常數(shù)，且0），（1）（2）代表常數(shù)c大于0的題型，（3）（4）代表常數(shù)c等于0的題型；（5）（6）代表常數(shù)c小于0的題型. 總結：解這類絕對值不等式常用教材上給出的公式：但是，我們要知道，當<0,或=0時，這兩個公式也可以用.  一般地，當絕對值后的常數(shù)大于0時，用公式；當絕對值后的常數(shù)小于或等于0時，直接用“任何式子的絕對值不小于0”來解更好.題型二：形如或 【公式法】【例5-2】解下列關

12、于的不等式： 解析：因為這種形式還是含有絕對值的不等式，所以仍然可以用思路“討論去絕對值”來解.對于題（4），我們還可以用公式法去絕對值，變成一元二次不等式組來解. 總結：對于含有絕對值符號的題目，討論去絕對值是一個基本的、重要的思路！要注意：一種情況內(nèi)部取交集，把所有情況的結果取并集，最后得到的才是不等式的解集.當只含有一個絕對值符號的式子內(nèi)是關于的一次或者二次的式子時，如果不等號后面的式子是常數(shù)，還可以用公式法去絕對值來解.題型三：形如c<|<d或c|d類型的絕對值不等式題型（其中，b，c，d為常數(shù)，且0）【“零點分區(qū)間法”分類討論、公式法】【例5-3】 解下列關于的不等式：解

13、析：這種類型的不等式基本的解法是化為上述最基本的絕對值不等式（組）來解，但是，如果用初中的知識點討論去絕對值來解，則會有意想不到的收獲.總結：解與絕對值有關的題目的一個非常重要的思路是“討論去絕對值”，在去掉絕對值后，這樣就可以變?yōu)樽罨镜念}型來做了. 要注意：一種情況內(nèi)部取交集，所有情況的結果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集. 這類題中常考的是題（1）的形式，對于這種形式的題目，還可以進一步簡化解題步驟. 如題（1）還可以直接得出：！題型四：形如|± |c+d| <(或=)e或|± |c+d| >(或=)e形式的絕對值（不）等式題型的解法總結（其中，b，

14、c，d，e為常數(shù)，且0,c0）【根據(jù)絕對值的幾何意義， 或數(shù)形結合思想方法】【例5-4】 解下列關于的（不）等式：解析：這是含有兩個絕對值符號的（不）等式，并且（不）等號后面為常數(shù)的題型.這種題型的基本解法有兩種：討論去絕對值和利用絕對值的幾何意義來解. 方法二，利用絕對值的幾何意義：.如：.對于（2）（3）（4）這三題，以上兩種方法都可以用，讀者可以自己試著做一做.參考答案：.總結：在解這種題型時，分類討論去絕對值的原則是：令絕對值內(nèi)的式子為0時，所得到的值把數(shù)軸分為幾部分，與此相對應我們就分幾種情況來討論. 要注意：一種情況內(nèi)部取交集，把所有情況的結果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集

15、.利用絕對值的幾何意義來解這類題時，一定要牢記：.比較這兩種方法，我們可知：利用絕對值的幾何意義來解這類題,相對要好一點.題型五：形如|± |c+d| <(或=)或|± |c+d| >(或=)類型的絕對值不等式題型解法總結（其中，b，c，d，e，為常數(shù)，且，c，e0）.【例5-5】解下列關于的不等式： 解析：這類題與上一類題的共同點在于：都含有兩個絕對值符號. 不同之處在于：這類題的（不）等號后是關于的式子，而不是常數(shù)了. 所以，解這種類型的題目，仍然可以用分類討論去絕對值的方法. 但是，此時不易用絕對值的幾何意義來解這類題了.對于（2）（3）兩題，利用同樣的方

16、法易做出.參考答案： .總結：這種類型的絕對值不等式的主要解法是分類討論去絕對值的方法. 這種方法也是解所有與絕對值有關的題目的基本方法. 同樣，要注意：一種情況內(nèi)部取交集，把所有情況的結果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集.題型六、形如| 方法：兩邊平方【例5-6】若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_。6、含指數(shù)不等式：方法 利用函數(shù)的單調(diào)性（） 利用函數(shù)的圖像【例6】 解下列關于的不等式： （1）2>4； (2) ； (3) 5=1； (4) ； (5) 5<7.解析：這是與指數(shù)函數(shù)有關的（不）等式的題型.解決這類題的基本思路是：把常數(shù)化成同底的指數(shù)形式. &#

17、160;   （ 2 ） 解析 這是一個指數(shù)不等式，基本解法是化為同底的指數(shù)形式，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉化為整式不等式. 原不等式即，也就是x2-2x-8<0，解得-2<x<4.故原不等式的解集為x| -2<x<4.(3) 原不等式 由      由   總結：解與指數(shù)函數(shù)有關的(不)等式的基本原則是：1. 把不等式兩邊化成同底的指數(shù)形式. 常用對數(shù)的定義：.2. 然后根據(jù)底的范圍，利用單調(diào)性（為等式時，省略這一步）化原不等式為基本的一元一次

18、不等式或一元二次不等式來解.7、含對數(shù)不等式：方法：1、化為同底，再利用函數(shù)的單調(diào)性；2、利用函數(shù)圖象【例7】解下列關于的不等式： . （5）解析：與對數(shù)有關的（不）等式的解法和上一題型類似. 都是要把常數(shù)化為同底的形式，然后再利用單調(diào)性列出基本的不等式來解. 只不過，解與對數(shù)有關的不等式時，需要注意真數(shù)一定要考慮到大于0.（5）解析 這是一個對數(shù)不等式，基本解法是化為同底的對數(shù)形式，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉化為整式不等式.原不等式變形為.所以，原不等式.故原不等式的解集為. 總結：解這種類型的不等式，首先要利用公式：N=log把常數(shù)化成同底的對數(shù)形式，然后根據(jù)單調(diào)性變原不等式為基本的不等式

19、來解. 最后，別忘記對數(shù)的真數(shù)一定要大于0.8、三角不等式：利用函數(shù)的圖像或是三角函數(shù)線【例8】解下列關于的不等式： .解析：本題型是與各種三角函數(shù)有關的（不）等式的題型，解這種題型時一定要記住各種三角函數(shù)對應的圖象和特殊角的三角函數(shù)值. 如果不是一個三角函數(shù)式的形式，要先化成一個三角函數(shù)式的形式然后再做. (3)  原式等價于       總結：（1）解這種題型時一定要牢記各種三角函數(shù)的圖象, 特殊角的三角函數(shù)值, k.（2）如果不是一個三角函數(shù)式的形式，要先化成一個三角函數(shù)式的形式然后再做.化成一個三角函數(shù)式常

20、用輔助角公式：. （3） 選擇哪一個周期不影響答案的正確性，但實際做題時主要選擇原點附近的一個周期，并且使?jié)M足條件的答案形式盡量簡單（例如: 能用一個不等式組表示解集時，就不要用更多的不等式組來表示）.9、含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論是關鍵”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應求并集. 【例9-1】解：當時，原不等式化為，得； 當時，原不等式化為，得； 當時，原不等式化為，得； 當時，原不等式化為，得； 當時，原不等式化為，得 綜合上面各式，得原不等式的解

21、集為： 【例9-2】關于的不等式的解集為，求的解集。解：由題意得：，且 則不等式與不等式組同解 得所求解集為【例9-3】記關于的不等式的解集為，不等式的解集為（I）若，求；（II）若，求正數(shù)的取值范圍() 當=3時，由 易求出P=.() 由解絕對值題目的基本方法得：Q=.【例9-3】已知且，關于的不等式的解集是，解關于的不等式的解集。解：關于的不等式的解集是，或 原不等式的解集是。提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值。10、已知不等式的解集求參數(shù)的取值范圍【例10-1】若不等式的解集為（1，2），則實數(shù)a等于（ ）A8 B2 C4 D8解析 原不等式兩邊平方后可化為a2x2+4ax-32<0，由題意知-1和2是方程a2x2+4ax-32=0的兩個根，所以-1+2=，且-2=，解之得a=-4，選C.【例10-2 】 不等式的解集為，則a=_.解析 ，因為解集為，所以1-a>0且，解得a=. 【例10-3】