機械振動學習題解答(一).

1、機械振動學機械振動學習題解答（一）習題解答（一）2013-04-1914 一簡諧振動頻率為10 Hz，最大速度為4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。解：解：簡諧振動的位移速度速度幅值加速度加速度幅值由題意，所以，圓頻率圓頻率振幅周期最大加速度( )sin()nx tAt( )cos()nnx tAt2( )sin()nnx tAt maxnxA2maxnxAmax10 Hz, 4.57 m/snfxmax0.072734 mnxA1/0.1 snTf22maxmax287.14 m/snnxAx220nnf16 一臺面以一定頻率作垂直正弦運動，如要求臺面上的物體保持與臺面接觸，則臺面

2、的最大振幅可有多大？解：解：對物體受力分析要使物體保持與臺面接觸，必須N 0 ，即所以又由于所以x mgNmxNmgmgmx2maxnxA2/nAg物體物體臺面臺面maxxg17 計算兩簡諧運動 和 之和。其中 。如發(fā)生拍的現(xiàn)象，求其振幅和拍頻。解：解：當 時，拍振的振幅為2X，拍頻為 （不是（不是 ）課本p.6tXxcos12cosxXt1222cos()cos()22xxXtt122cos()cos2xxXtt可變振幅可變振幅12=80=4510cos(2)cos(80)Xxxtt例：當，時，2f振幅為10拍頻為2Hz拍的周期為0.5s（不是（不是1s）400.511.52-1001010

3、cos(2) t可變振幅拍振的振幅為 （假設X2較?。?，拍頻為補充補充 若兩簡諧運動振幅和頻率都不同：12121222122122coscos()coscoscoscos()cos2coscos2coscos22xxxXtXtXtXtXtXtXXtXttXXXtt4f振幅為13拍頻為1Hz122( )2cos2A tXXXtmaxmin22AAX可變振幅可變振幅00.511.52-130131212=80=485 3 10cos(2) cos(80)XXxxtt例：當，時，3 10cos(2) t22 如圖所示，長度為 L、質(zhì)量為 m 的均質(zhì)剛性桿由兩根剛度為 k 的彈簧系住，求桿繞O點微幅振

4、動的微分方程。解解：（：（力法力法）假設桿順時針偏轉(zhuǎn)了角，則桿受到重力 mg 和彈簧彈力 F 產(chǎn)生的力矩（均為逆時針方向）,其中F為兩邊彈簧彈力之和由動量矩定理得又由于上式可化簡為2sin2LFkmgFiiJT2cossin322mLLLFmg 1cos,sin0223kLmgm （能量法能量法）設系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為0。當桿順時針偏轉(zhuǎn)角時勢能動能由能量守恒原理化簡得cos122sin2212LmgLkU23221221mLJV032sin222 mLLmgkL0223kLmgm 0)(VUdtd列系統(tǒng)微分方程的一般步驟列系統(tǒng)微分方程的一般步驟力法力法1）設系統(tǒng)相對于平衡位置發(fā)生了廣義位

5、移x（或）；2）分析系統(tǒng)受到的所有力 （或力矩 ）；3）由牛頓第二定律 （或動量矩定理 ）列方程。能量法能量法1）設系統(tǒng)相對于平衡位置發(fā)生了廣義位移x（或）；2）寫出系統(tǒng)勢能U（包括重力勢能mgh和彈簧彈性勢能 ），動能V= （或 ），耗散能P：3）由能量守恒原理 列方程。iF()0dUVPdtiTiiFmxiiTJ212kx212mx 212J2dPcxdt 25 求圖示彈簧質(zhì)量滑輪系統(tǒng)的振動微分方程。解解：（：（力法力法）靜平衡時有： （為彈簧的伸長量）假設彈簧相對于平衡位置伸長x，則圓盤沿逆時針方向轉(zhuǎn)過x/r角質(zhì)量m圓盤M聯(lián)立得mgFxM, rkmgk mxmgF2()2MrxFrk x

6、rr02kxxmM 考慮考慮 若假設彈簧相對于平衡位置縮短x，會如何？FF（能量法能量法）設系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為0，當彈簧相對于平衡位置伸長x時勢能動能由能量守恒原理化簡得221221221221kxmgxkxkxmgxkxkUmxM, rk22122221xmrxMrV0)(VUdtd02kxxmM kmg靜平衡關(guān)系注意：重物和彈簧滿足可見，計算勢能時，若系統(tǒng)靜平衡時已有彈簧可見，計算勢能時，若系統(tǒng)靜平衡時已有彈簧發(fā)生靜變形，則參與靜平衡的質(zhì)量的重力勢能發(fā)生靜變形，則參與靜平衡的質(zhì)量的重力勢能恰好與彈簧靜變形的彈性勢能抵消，可以不寫。恰好與彈簧靜變形的彈性勢能抵消，可以不寫。解解：（：

7、（力法力法）靜平衡時（假設此時彈簧被壓縮，即m3的力矩大于m1的力矩）假設L2桿順時針旋轉(zhuǎn)角由動量矩定理化簡得 232434343322112433222211cLLLkLLkLLgmgLmgLmLLmLmLm26 圖示系統(tǒng)垂直放置，L2桿處于鉛垂位置時系統(tǒng)靜平衡，求系統(tǒng)作微振動的微分方程。（剛性桿質(zhì)量忽略）TJ 1143433gLmLLkLLgm222221122334322340m Lm LmLLcLm gLk LL注：阻尼元件的耗散能等于阻尼力所做的功，即注：阻尼元件的耗散能等于阻尼力所做的功，即所以所以（能量法能量法）設系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為0勢能動能耗散能由能量守恒原理化簡得22

8、3cLPdtd0PVUdtd222221122334322340m Lm LmLLcLm gLk LL0 xPcxdx2dPdP dxcx xcxdtdxdt m1和和m3參與靜平衡，參與靜平衡，重力勢能抵消了彈重力勢能抵消了彈簧靜變形的勢能。簧靜變形的勢能。2221122334111()()() 222Vm Lm LmLL234221() (1 cos )2Uk LLm gL27 求圖示系統(tǒng)的振動微分方程。（剛性桿質(zhì)量忽略）解解：（：（能量法能量法）設系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為0動能勢能由能量守恒原理化簡得2221221122r aUkkrb0)(VUdtdm1參與靜平衡，重力勢能抵消了彈簧

9、參與靜平衡，重力勢能抵消了彈簧k1和和k2靜變形的勢能。靜變形的勢能。2222221 1122 220aJMrm rkrk rb圓盤轉(zhuǎn)動圓盤轉(zhuǎn)動圓盤平動圓盤平動質(zhì)量塊平動質(zhì)量塊平動211 求圖所示系統(tǒng)對于廣義坐標 x 的等效剛度。解解：對小車m沿x方向施加作用力F，使小車產(chǎn)生位移x。則彈簧k1伸長 ，彈簧k2伸長 。小車受力其中所以等效剛度cosx/ax b112222222cos/ /Fk xF bF ak ax b aFk xab22212/cos/ekFxkk ab12cosFFF2FF2FF1F2212 一質(zhì)量為 m、長度為 L 的均勻剛性桿，在距左端O為 nL 處設一支承點，如圖所示

10、。求桿對O點的等效質(zhì)量。解解：設彈簧k以速度 發(fā)生變形，則桿的質(zhì)心的運動速度為于是系統(tǒng)動能：而等效系統(tǒng)的動能：由Ve=V，得繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動隨質(zhì)心平動x 2222211111 2222 1222ccmLxnVJmxmxnLn21 22LcnLnxxxnLn212eeVm x21113emmnn 213 如圖所示，懸臂梁長度為L，彎曲剛度為EI，質(zhì)量不計。求系統(tǒng)的等效剛度和等效質(zhì)量。解解：當懸臂梁在自由端受到彎曲力F時，自由端的位移為 ，所以懸臂梁自由端的等效剛度為333kLEIEIkbkkbkkek3333/LEIEIFLFxFbk而系統(tǒng)的等效剛度相當于懸臂梁的等效剛度與彈簧k串聯(lián)系統(tǒng)的等效質(zhì)量em

11、m33FLxEI計算系統(tǒng)等效剛度、等效質(zhì)量的方法計算系統(tǒng)等效剛度、等效質(zhì)量的方法1）計算等效剛度的原則是利用等效前后系統(tǒng)彈性勢能不變。但通常只需根據(jù)剛度的定義即可算出。即：在質(zhì)量上施加外力F，使其發(fā)生位移x，則ke=F/x。2）計算等效質(zhì)量的原則是利用等效前后系統(tǒng)動能不變。即：令彈簧以速度 發(fā)生變形，3）計算系統(tǒng)等效剛度時，也可“分部”計算，即：把系統(tǒng)分成幾個部分，計算每部分的等效剛度，再把各個剛度串聯(lián)或并聯(lián)起來。x 31 如圖所示，設桿a和桿b為質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣矩可忽略的剛性桿，并能在圖示平面內(nèi)自由移動和轉(zhuǎn)動。求質(zhì)量m上、下振動的固有頻率。解解：在a點施加豎直作用力Fa，使其產(chǎn)生位移xa，并設此

12、時k1變形x1，k2變形x2。由桿a受到的力矩平衡，知 。所以a點等效剛度12/ 2axxx1 12222121222122114/ 2/ 2aaaFk xk xk xkkkxxxk xkx33123111111144aakkkkkk1 122k xk xka與k3串聯(lián)后的等效剛度為b點的等效剛度計算與a點類似：于是質(zhì)量m的固有頻率/nbkm3412341111114444bakkkkkkk33 如圖所示，一長度為L、質(zhì)量為m的均勻剛性桿鉸接在O點，并以彈簧和粘性阻尼器支承。求：(1) 系統(tǒng)作微振動的微分方程；(2) 系統(tǒng)的無阻尼固有頻率；(3) 系統(tǒng)的臨界阻尼。解解：(1)（力法） 化簡得

13、(2) (3)根據(jù)臨界阻尼時的條件 得到注意：臨界阻尼是指阻尼元件注意：臨界阻尼是指阻尼元件c的的臨界值，不是系統(tǒng)阻尼項的臨界值。臨界值，不是系統(tǒng)阻尼項的臨界值。35 如圖所示，質(zhì)量為 m1的重物懸掛在剛度為 k 的彈簧上并處于靜平衡位置，質(zhì)量為 m2的重物從高度為 h 處自由降落到m1 上而無彈跳，求系統(tǒng)的運動規(guī)律。解解：系統(tǒng)的運動規(guī)律為簡諧振動：且系統(tǒng)位于平衡位置處的彈簧伸長量所以系統(tǒng)的初始位移，即m1單獨懸掛時的彈簧伸長量減去平衡位置處彈簧伸長量而系統(tǒng)的初始速度可根據(jù)兩物體接觸瞬間所滿足的動量定理得到m2m1k210m gcxk kmmghmxc21220221mmk12/mmg k 21202mghmmx52 一振動系統(tǒng)具有下列參數(shù)：質(zhì)量m = 17.5kg，彈簧剛度k = 70.0 N/cm，粘性阻尼系數(shù)c = 0.70 Ns/cm。求：(1)阻尼比；(2)有阻尼固有頻率；(3)對數(shù)衰減率；(4)任意二相臨振幅比值。解解：(1) (2) (3) (4)1 . 070005 .17270,2cccmkcc)/(9 .195 .17700001. 0121sradnd631. 021211.879nnxex54 帶粘性阻尼的單自由度系統(tǒng)，等效質(zhì)量m = 5 kg，等效剛度k = 10 kN/m，其任意兩相鄰振幅比為1：