武漢大學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)

1、會(huì)計(jì)學(xué)1武漢大學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)武漢大學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 2. 2.動(dòng)力荷載動(dòng)力荷載：荷載大小、方向、作用點(diǎn)隨時(shí)間迅速變化的荷載，它引起結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也隨時(shí)間迅速變化。 在動(dòng)力荷載作用下各支點(diǎn)的加速度及相應(yīng)的慣性力不可忽略，成為結(jié)構(gòu)荷載的重要組成部分。 靜力荷載靜力荷載是動(dòng)力荷載的一種特殊形式，它是緩慢加到結(jié)構(gòu)上的荷載，它的大小、方向、作用點(diǎn)是隨時(shí)間不變或緩慢變化。 1. 1.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的任務(wù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的任務(wù)：研究在動(dòng)荷載下結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度與穩(wěn)定性的科學(xué)。 動(dòng)力荷載與靜力荷載的概念是相對(duì)的，它與結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性（自振頻率）有關(guān)，如圖1-1所示荷載，當(dāng) 秒時(shí)，對(duì)于柔性結(jié) 構(gòu)（如自振周期 秒）為動(dòng)荷載，對(duì)于剛性結(jié)構(gòu)

2、（如 秒）為靜力荷載。0t10T0.05T5 在靜力荷載的作用下，結(jié)構(gòu)各質(zhì)點(diǎn)沒有加速度或加速度很小，加速度產(chǎn)生的慣性力與靜力荷載本身相比可略去不計(jì)。 4.本課程主要內(nèi)容：?jiǎn)巫杂啥?、多自由度、無限自由度結(jié)構(gòu)體系在各種動(dòng)荷載下的時(shí)域響應(yīng)分析、頻域響應(yīng)分析、(非)線性響應(yīng)分析，以及它們的動(dòng)力特性（自振頻率、振型和阻尼比）。 1.1.簡(jiǎn)諧周期荷載簡(jiǎn)諧周期荷載 具有偏心質(zhì)量的m的電機(jī)以角速度 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其慣性力的豎向和水平分量為：(/ )rad s22( )cos,( )sinxyP tmrtP tmrt2.2.沖擊荷載沖擊荷載氣錘打樁、發(fā)射火箭的反推力等。作用時(shí)間 很短， 很大，如圖1-3。maxP4

3、.4.爆炸荷載爆炸荷載各種爆炸引起的沖擊波（如圖1-5）。5.5.周期性非簡(jiǎn)諧荷載周期性非簡(jiǎn)諧荷載螺旋槳對(duì)船的推進(jìn)力（如圖1-6）。3.3.突加荷載突加荷載 荷載突然加載結(jié)構(gòu)上，此后保持不變，如吊車制動(dòng)（見圖1-4）。7.7.脈動(dòng)風(fēng)荷載（隨機(jī)）脈動(dòng)風(fēng)荷載（隨機(jī)）作用在建筑物上的脈動(dòng)風(fēng)壓(如圖1-8）。6.6.地震荷載（隨機(jī)）地震荷載（隨機(jī)）基底運(yùn)動(dòng)引起水塔的動(dòng)力反應(yīng)（如圖1-7）。 在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析過程中，將結(jié)構(gòu)上連續(xù)分布的質(zhì)量化為一系列的質(zhì)量點(diǎn)或質(zhì)量塊，能大大地簡(jiǎn)化計(jì)算，并達(dá)到工程所需要的精度。這種方法叫集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法，所建立起來的體系為多自由度體系。所謂自由度自由度即彈性體系在一切可能

4、的變形中，決定其所有質(zhì)點(diǎn)位置所需要的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目。 在計(jì)算結(jié)構(gòu)體系的自由度時(shí)，一般桿柱的軸向剛度很大，可忽略其變形，質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度亦可忽略不計(jì)。試判斷下列各結(jié)構(gòu)的自由度： 當(dāng)彈性體系的自由度確定以后，描述各個(gè)自由度隨時(shí)間變化的方程為運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程，建立運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程以后，通過時(shí)域或頻域的運(yùn)算求解，即可得到運(yùn)動(dòng)方程。運(yùn)動(dòng)微分方程的建立通常有如下兩種方法：1.1.利用牛頓第二定律或達(dá)朗貝爾原理建立運(yùn)動(dòng)微分方程或力的平衡方程利用牛頓第二定律或達(dá)朗貝爾原理建立運(yùn)動(dòng)微分方程或力的平衡方程。 1)由牛頓第二定律 求得某一質(zhì)點(diǎn)在某一運(yùn)動(dòng)方向的微分方程：mxkxcx 、,;kcFkx Fc

5、x（圖1-9） 2)達(dá)朗貝爾原理：0gckFFF0mxcxkxgFmx 2.2.利用拉格朗日方程或哈密頓原理得到運(yùn)動(dòng)微分方程利用拉格朗日方程或哈密頓原理得到運(yùn)動(dòng)微分方程從能量角度建立方程，避免了復(fù)雜的矢量變換。1)拉氏方程： 對(duì)于保守體系：L為拉氏函數(shù)，T、V為體系的動(dòng)、勢(shì)能，q為廣義坐標(biāo)、 為廣義力。 對(duì)非保守體系： ，2)哈氏方程： 為非保守力做的功 ()/0,;LLddtLTVqq()/TTddtQqq22110ttncttLdtW dtQncW 彈性體系由于各種干擾離開平衡位置，去掉干擾后，體系將發(fā)生自由振動(dòng)。結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)為衰減振動(dòng)衰減振動(dòng)（如圖1-10）。 造成衰減振動(dòng)的原因是阻尼

6、力引起了振動(dòng)能量的耗散。形成阻尼的原因有一下幾點(diǎn)： 1) 1)結(jié)構(gòu)體系材料的內(nèi)摩擦結(jié)構(gòu)體系材料的內(nèi)摩擦將振動(dòng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能消失在介質(zhì)中。無內(nèi)摩擦?xí)r （如圖1-11）。材料變形時(shí)的能量在卸載時(shí)完全恢復(fù)，為無能量損耗的理想振動(dòng)狀態(tài)。E（圖1-10）（圖1-11）（圖1-12） 有內(nèi)摩擦?xí)r，結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)的應(yīng)力變化如圖1-12，可以看出應(yīng)變總是滯后于應(yīng)力，形成滯變回線滯變回線，回線面積為為一個(gè)應(yīng)力循環(huán)中單位體積材料所耗散的能量。令 即最大變形能。 為滯變回線所圍面積， 為材料的耗散系數(shù)材料的耗散系數(shù)，例如鋼混的耗散系數(shù)為0.3 。00/ 2U U/U U 2 2）結(jié)構(gòu)體系周圍介質(zhì)對(duì)振動(dòng)的阻力（水、空氣

7、）3 3）節(jié)點(diǎn)、支座、連接產(chǎn)生的摩擦力。4 4）基礎(chǔ)、地基振動(dòng)耗散的能量，主要是土壤的內(nèi)摩擦力耗散的能量。 單自由度體系分析起來既簡(jiǎn)單又具有普遍意義，他能揭示振動(dòng)的一般規(guī)律，是一種理想模型。利用廣義坐標(biāo)可以將任何線性體系的強(qiáng)迫振動(dòng)化為一個(gè)單自由度系或一系列單自由度問題來研究。2 21 1 不計(jì)阻尼時(shí)的自由振動(dòng)不計(jì)阻尼時(shí)的自由振動(dòng) 如圖2-1，由牛頓第二定律得: 由達(dá)朗貝爾原理得： 為剛度系數(shù)，是使質(zhì)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)方向產(chǎn)生單位位移所需外力。 為柔度系數(shù)，是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向單位力產(chǎn)生的位移。11mur u11()()0mur u 110 (2 1. )mur ua11r11111/r 式 為二階常系數(shù)齊次線

8、性微分方程，由高等數(shù)學(xué)知識(shí)： 從而：式中，(2 1.b)1212( )cossin( )cossinu tAtAtu tAtAt 000, (0); (0)tuv uu時(shí)；1020/AuAv則：，；( )cos()u tAt220000(/)arctanvAuvu，； 可化為：式中， 為圓頻率。202 1.buu(2 1. )a110 (2 1. )mur ua11/rm注意：1）自振頻率與初始條件無關(guān)。 2）振幅與初始條件及自振頻率有關(guān)。 3）剛度大，頻率大；質(zhì)量大頻率小。 彈性體系的自由振動(dòng)為周期性振動(dòng)，每秒振動(dòng)的次數(shù)為自振頻率：11111111222rfTmm2f，故可將 看為2 秒內(nèi)的

9、振動(dòng)次數(shù)。例例1. 1.如圖2-2，求水平振動(dòng)的自振頻率。 解：此為并聯(lián)體系11331212122EIEIrHH113312111224222rEIEIfmmHmH例例2. 2.如圖2-3，求自振頻率。2 3圖311112122)EI2323EIaaaaaaa（ 解： 1111122EIfmama 例例3. 3.如圖2-4，板均質(zhì)，質(zhì)量m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，方柱EI，求其在平面內(nèi)扭振頻率。2(/6)ma24圖 解： 如圖2-3.a，產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力為： 故：2113312224222EIaEIaraHH1131114422rEIfJmH扭24.a圖而平動(dòng)頻率： 可見扭轉(zhuǎn)頻率是平動(dòng)頻率的 倍。事

10、實(shí)上：113114822rEIfmmH平3弱軸向平動(dòng)頻率強(qiáng)軸向平動(dòng)頻率0時(shí)（上分支）， 當(dāng) 1），動(dòng)力放大系數(shù)主要依賴于荷載達(dá)到其最大值的增加速度和荷載降為零的減小速度。具有足夠持續(xù)時(shí)間的單階荷載產(chǎn)生的動(dòng)力放大系數(shù)趨于2，反之則小于2。 （2）對(duì)于持續(xù)時(shí)間短的荷載，如t/T=1，動(dòng)力放大系數(shù)主要依賴于荷載的沖量和結(jié)構(gòu)本身的頻率，與荷載的大小及隨時(shí)間的變化關(guān)系很小。 舉例說明如下：如右圖，當(dāng) 時(shí)：1tt0sp0pt 0001sin12222sincoscossintttu tp ttdmttPdpdmTTTT 0012222coscossinsinttttu tPdpdmTTTT 1 2 3 1

11、23矩形、三角形、正弦形0.4D21t /T11( )( )( )( )0m u ty tu tu t11( )( )( )( )mu tu tu tmy t 把 當(dāng)為已知的地震荷載。( )my tm u tEI 當(dāng)荷載p(t) 復(fù)雜時(shí)，特別是p(t)由實(shí)驗(yàn)或?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)給出，無解析表達(dá)式，此時(shí)杜哈梅積分只能用數(shù)值方法求解。令( )( )cos,.itypein 令： n個(gè)tiy C1c2c3c4c5c2345216圖 由于： 則：221( )pjpTitTjpCp t edtT 221()( )22pjpTitjpTjC TCp t edt ( )() ()jitjjjUtH iCe頻域算法的一

12、般步驟為：( )( )( )()P tCU tH i 二.數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法離散傅里葉變換離散傅里葉變換（DFT） 1012/0j kNitkjjNik Njjp tCeCe 三三. .數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法快速傅里葉變換快速傅里葉變換（FFT） FFT法在60年代發(fā)展起來，大大提高了計(jì)算速度， 現(xiàn)已制成軟件在工程中廣泛應(yīng)用。 1 . 1 .分析過程分析過程 杜哈梅積分和數(shù)域積分的分析方法都是用了疊加原理，只適用于線性體系，即反應(yīng)過程中體系的特性保持不變。當(dāng)體系受到大的干擾力時(shí)（如地震力）體系發(fā)生了大的變形，為非線性體系，這時(shí)體系剛度K(t)為時(shí)間函數(shù)（圖2-17）。硬KT軟（常見）隨

13、振幅變化2 17圖 非線性分析的基本方法非線性分析的基本方法逐步積分法：逐步積分法：取一系列短時(shí)增量 ，在每個(gè) 的起點(diǎn)和終點(diǎn)建立動(dòng)力平衡方程，體系的基本特性在每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)為常量。其非線性的特性在每個(gè)時(shí)間間隔的起點(diǎn)由所求得的體系的位移、速度來決定，每個(gè)時(shí)間間隔 終點(diǎn)的速度和位移作為下一個(gè)間隔計(jì)算時(shí)的初始條件，如此往復(fù)，求得全部時(shí)間的響應(yīng)。 2.平衡的增量方程 非線性體系，如圖2-18：對(duì)任一瞬時(shí)t，作用力質(zhì)量m上的各個(gè)力可建立如下平衡方程： cft kft p t gft( )U t218圖 gkcftftftp t u tu tdt kft u t u t kft tgk t是隨t變化的剛度

14、 cft cft u t u tu tdt u t tgc t是 隨時(shí) 間 變 化 的 阻 尼 p t p ttttt 對(duì)于下一瞬時(shí)，平衡方程為：二式相減得到: 即為運(yùn)動(dòng)方程的增量形式。 gckfttfttfttp tt gckftftftp t 式中： gckftm u tftc tu tftk tu t、 m u tc tu tk tu tp t 3 逐步積分法：基本假定：1）在時(shí)間 內(nèi)加速度是線性變化的。 2）體系的阻尼、剛度在 時(shí)間內(nèi)保持不變。 u t u t u tttttu tt (0)u tu tu ttt 對(duì) 積分 u ttttu tt u t u t 2()2u tu tu

15、tu tttttu tt u t u t u t 2326du tu tu tu tu tt對(duì) 積分 u tu tu tu tu tu t 將上述表達(dá)式中的加速度、速度增量，用位移增量及速度、加速度增量表示（可認(rèn)為此過程為線性轉(zhuǎn)換）： 2663#u tu tu tu ttt 33*2tu tu tu tu tt轉(zhuǎn)到步驟1 1. 1.加速度計(jì)與位移計(jì)加速度計(jì)與位移計(jì) 1 1）. .加速度計(jì)的原理加速度計(jì)的原理m11 y t2 19圖 二、二、 隔振隔振 1 1、 積極隔振（主動(dòng)隔振）積極隔振（主動(dòng)隔振）msinsptFRk u tm 0sinytAtk0.050.111210221圖0max1m

16、ax210210為靜荷載引起的位移 3 3、 用共振法確定阻尼用共振法確定阻尼 3.1 多自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程與結(jié)構(gòu)特性矩陣 單自由度體系實(shí)際上是一種理想模型，適用于質(zhì)量集中于一點(diǎn)的彈性體和可用一個(gè)廣義坐標(biāo)來定義其運(yùn)動(dòng)的剛性體系。 如果體系存在多個(gè)集中質(zhì)量，或剛性體系的運(yùn)動(dòng)必須用多個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)參數(shù)來定義，則必須建立多自由度體系模型來描述體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 多自由度體系即離散參數(shù)體系，其自由度通常對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)上（集中質(zhì)量）點(diǎn)的位移，對(duì)于剛體體系也可對(duì)應(yīng)于一組廣義位移模式。 本章主要研究前者，實(shí)際結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移曲線是連續(xù)變化的。 當(dāng)用一組離散點(diǎn) 的位移 來表示時(shí)，應(yīng)注意：nuuuu21, 1）.原則上

17、離散點(diǎn)的設(shè)置是任意的，但實(shí)際上點(diǎn)的分布必須與結(jié)構(gòu)的主要物理特性（質(zhì)量的分布、變形的狀態(tài)）相符。 2）原則上離散點(diǎn)越多越精確，實(shí)際上有幾個(gè)乃至十幾個(gè)集中質(zhì)量即可達(dá)到很好的精度。 2多自由度體系的彈性特性 多自由度的彈性特性，可以由剛度法或柔度法來描述，以簡(jiǎn)支梁為例。 3 1圖 32圖 3 3 多自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程多自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程 多自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程可由平衡條件建立，考慮有多個(gè)集中質(zhì)量的簡(jiǎn)支梁(如圖3-3）：1m2m1Kf1Jf1Cf1P33圖 式中四部分分別為：慣性力、阻尼力、彈性恢復(fù)力、外荷載。 4、軸向壓力效應(yīng) 軸向壓力將對(duì)結(jié)構(gòu)的剛度產(chǎn)生影響，特別是當(dāng)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大變形時(shí)，這種影響

18、不能忽略。34圖 5、剛度矩陣與質(zhì)量矩陣 （1）剛度矩陣 多自由度體系將結(jié)構(gòu)分隔成在有限個(gè)結(jié)點(diǎn)處相互連續(xù)的離散單元體系，通過分析單個(gè)單元的彈性特性并適當(dāng)?shù)氐印⒓?，就可得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。 如果結(jié)構(gòu)單元都是等截面直桿，可方便地用結(jié)構(gòu)靜力學(xué)的形常數(shù)得帶其單元?jiǎng)偠取５珜?duì)于變截面，可由如下方法建立單元?jiǎng)偠龋?221xxxl 23332xxxll 124lxlxx34圖 對(duì)于等截面梁，此方法所得單元?jiǎng)偠染仃嚍榫_值；對(duì)于變截面桿由于插值函數(shù)產(chǎn)生的誤差，此式求得的單元?jiǎng)偠认禂?shù)為近似值，但將桿分為足夠多個(gè)有限單元時(shí)，計(jì)算精度仍較理想。 當(dāng)結(jié)構(gòu)的全部有限單位的剛度系數(shù)求得后，適當(dāng)疊加單元?jiǎng)偠饶艿玫秸麄€(gè)

19、結(jié)構(gòu)的剛度。 （2 2）質(zhì)量矩陣）質(zhì)量矩陣 集中質(zhì)量矩陣3 5圖 如圖3-5.由靜力學(xué)方法，將連續(xù)分布的質(zhì)量向單元兩端的節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)化，形成集中質(zhì)量矩陣。 任一部分向兩端結(jié)點(diǎn)分配后，其質(zhì)量中心應(yīng)保持不變。 12000000000000nmmmm 一致質(zhì)量矩陣一致質(zhì)量矩陣3 6圖 為 方向單位加速度引起的 方向上的等效結(jié)點(diǎn)慣性力，從物理意義講，它為等效質(zhì)量影響系數(shù) ，即： AP3u1u13m13APm 注意：?jiǎn)挝坏囊恢沦|(zhì)量矩陣形成后，可以用從單元?jiǎng)偠染仃嚱⒔Y(jié)構(gòu)剛度矩陣相同的方法，建立結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣。 一致質(zhì)量矩陣不是對(duì)角矩陣，動(dòng)力分析和計(jì)算量比集中質(zhì)量矩陣大得多。 6. 6.阻尼矩陣和荷載向量阻尼矩

20、陣和荷載向量 注意：受結(jié)構(gòu)形式等因素的影響，C難以準(zhǔn)確確定，由在實(shí)際中由實(shí)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)直接確定結(jié)構(gòu)的振型阻尼比。 單位阻尼矩陣被確定后，可用與上述剛度矩陣和質(zhì)量矩陣相同的方法確定結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣。 (2) (2)荷載向量荷載向量 靜力等效法計(jì)算節(jié)點(diǎn)力向量靜力等效法計(jì)算節(jié)點(diǎn)力向量l( )q t37圖利用對(duì)稱性計(jì)算下圖梁的頻率振型2題ll分別用剛度法、柔度法計(jì)算其自振頻率、振型3題第2、3題可留作本章第三節(jié)作業(yè)。 3.2.1 3.2.1概述概述 對(duì)于多自由度體系，其動(dòng)力特性包括自振頻率、阻尼和振型自振頻率、阻尼和振型（單自由度體系動(dòng)力特性只有頻率和阻尼）。 多自由度體系在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)可以通過振

21、型分解法化為一系列單自由度體系反應(yīng)的迭加，因此，求多自由度體系（自由振動(dòng)）的動(dòng)力特性是分析其動(dòng)力反應(yīng)的必要步驟動(dòng)力特性是分析其動(dòng)力反應(yīng)的必要步驟。 一般多自由度體系的阻尼矩陣很難直接得到，且對(duì)其自振頻率與振型的影響很小，故可分析無阻尼自由度體系的頻率和振型，用于故可分析無阻尼自由度體系的頻率和振型，用于多自由體系動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算。多自由體系動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算。 3.2.2 3.2.2 用柔度法分析多自由度體系的自由振動(dòng)用柔度法分析多自由度體系的自由振動(dòng)38圖 故有變形方程：1 1 11221211 12122222mum uumum uu 或?qū)憺椋? 1 11122121 1212222200muum

22、umum uu 可設(shè)其解的形式為：1122sinsinuAtuAt 代入變形方程得：1 11121221211222200mAmAmAmA 例：如右圖，求其振型及自振方程。/3l/3l/3l11121112221211()()mm12335.6922.00EIEImlml 自由振動(dòng)的解為：111111222221112222( )sin()sin()( )sin()sin()u tAtrAtru tAtrAtr對(duì)于任意多個(gè)自由度體系可用同樣的方法求解。1111sin()sin()jjjnjnjjnjjnuAtuAt對(duì)對(duì)n n個(gè)自由度體系的求解與兩自由度完全類似，此處簡(jiǎn)述如下個(gè)自由度體系的求解與

23、兩自由度完全類似，此處簡(jiǎn)述如下：1 1 111221211 1212222221 11222000nnnnnnnnnnnnnmuum um umum uum umum um uu1122sinsinsinnnuAtuAtuAt0Q 12n 12iiniAAA、假設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為： 11 1121212121222211220000nnnnnnnnnnAmmmAmmmmmmAQA 即：代入得到初始條件 3.2.3 3.2.3 剛度條件分析多自由度體系的自由振動(dòng)剛度條件分析多自由度體系的自由振動(dòng) 1. 1.動(dòng)力特性分析動(dòng)力特性分析39圖 現(xiàn)分析兩層框架（不計(jì)阻尼），如圖3-9。3 9圖 對(duì)于任意多個(gè)自

24、由度體系可用同樣方法求解，此處從略。 2、自由度的縮減靜定凝聚法 用剛度法建立自由振動(dòng)方程，常碰到轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的縮減問題。通常集中質(zhì)量在平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力偶很小，可忽略不計(jì)，但在彎曲變形的同時(shí)又存在節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，不可忽略。3 10圖 3.2.4 3.2.4 對(duì)稱性的利用對(duì)稱性的利用 一切對(duì)稱結(jié)構(gòu)的振動(dòng)都可以分為對(duì)稱與反對(duì)稱兩部分，利用對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性分析。/3l/3l/3l/3l/6l正對(duì)稱/6l/3l反對(duì)稱正對(duì)稱反對(duì)稱正對(duì)稱反對(duì)稱作業(yè)：作業(yè)：ll分別用剛度法、柔度法計(jì)算其自振頻率、振型 利用對(duì)稱性計(jì)算下圖梁的頻率振型 振型的正交性可以由功的互等定理導(dǎo)出。如圖3-11：211iimA

25、2ninimA3 11圖 由振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性，可導(dǎo)出振型關(guān)于剛度的正交性。由振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性，可導(dǎo)出振型關(guān)于剛度的正交性。 2 2、多自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的解耦、多自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的解耦正則變換正則變換*2*( )2(3)iiiiiiip tqqqM.* ( )Mqcqkqp t 3 3、阻尼正交的條件、阻尼正交的條件 4 4、振型迭加法、振型迭加法/3l/3l/3l3 12圖 1 1、stodolastodola法法矩陣迭代法矩陣迭代法 不斷調(diào)整振型假定形狀，直至接近真實(shí)的振動(dòng)形式，進(jìn)而計(jì)算振型頻率。 2 2、HolzerHolzer法法鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)（傳遞矩陣）法鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)（傳遞矩

26、陣）法 不斷調(diào)整假定頻率，直至接近真實(shí)的頻率，并求得振型。 3 3、RayleighRayleigh與與Rayleigh-Rayleigh-BitzBitz法法 例例3. 3.如圖2-4，板均質(zhì)，質(zhì)量m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，方柱EI，求其在平面內(nèi)扭振頻率。2(/6)ma24圖 解： 如圖2-3.a，產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力為： 故：2113312224222EIaEIaraHH1131114422rEIfJmH扭24.a圖而平動(dòng)頻率： 可見扭轉(zhuǎn)頻率是平動(dòng)頻率的 倍。事實(shí)上：113114822rEIfmmH平3弱軸向平動(dòng)頻率強(qiáng)軸向平動(dòng)頻率扭轉(zhuǎn)向頻率 相應(yīng)的單自由度阻尼振動(dòng)方程為： 式中， 振幅包絡(luò)線： 頻率 與實(shí)際不符。11(1)0muir u1( )titu tz ee22111111122 、；max1tuZ e（隨時(shí)間衰減曲線） 2. 2.米克里斯達(dá)德理論（米克里斯達(dá)德理論（MyklestadMyklestad）改進(jìn)的復(fù)變阻尼理論 由于阻尼的作用，應(yīng)變的相位比應(yīng)力相位落后 ， 為阻尼常數(shù)。 由此得到振動(dòng)方程：( )0( )itt e（變幅值、變頻率） ( )0( )itiieEt eE ee（包含彈性應(yīng)力和阻尼應(yīng)力）1110( )is titmue r uu tz ee 1. 1.響應(yīng)分析響應(yīng)分析由 代入微分方程得： 令： 120cos