用初等變換求逆矩陣學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1用初等變換求逆矩陣用初等變換求逆矩陣(j zhn)第一頁，共11頁。定理1：設(shè)A是n階方陣(fn zhn)，則如下的命題等價：（1）A是可逆的 ；（2）AE，E是n階單位矩陣；（3）存在(cnzi)n階初等矩陣12,lP PP12.lAPPP使（4）A可經(jīng)過有限次初等變換化為E.證明1 （1）（2）易證明(見書上證明)（2）（3） 因為A E，APPEPPPlrr 121再由矩陣那么，把E變?yōu)锳的初等變換lPPP21,即有：lPPPA21 等價的對稱性，有 E A 。所對應(yīng)的初等矩陣為，所以 第1頁/共11頁第二頁，共11頁。（3）（4）lPPPA21 ，由 有 11121lPP P

2、AE由于(yuy) 11121,lPPP仍是初等矩陣，上式說明(shumng)對A 實施有限(yuxin)次初等行變換可化為E， 列的情形類似可得。（4）（1）設(shè)A可經(jīng)有限次初等行變換可化為E，則存在初等矩陣12,lQ QQ，使12lQQQ AE由于初等矩陣12,lQ QQ可逆，所以A可逆。證畢。第2頁/共11頁第三頁，共11頁。分析(fnx): A 可逆 )(21為初等矩陣ilPPPPA1111PPAl)(1為初等矩陣ilQQQ AQQl1EBQQl1BA1)()(11BAEBAQQl上式表明(biomng): 若 )()(XEBAr, 則 A 可逆, 且 X 即為AX = B 的解 X =

3、 A1B. 特別(tbi), 若 )()(1 AEEAr即如何求 X = A1B ? 左側(cè)的意義： 對A、B 作相 同的行變換 11lQQA即有 第3頁/共11頁第四頁，共11頁。 2152327300210011A，試用(shyng)初等變換法求.1 A解： 2152327300210011 1000010000100001 13123,rrrr142rr 2130324000100011 1002010300110001 23214,rrrr243rr 2100320000100001 1031014100110012 43rr 3200210000100001 0141103100110

4、012 342rr 1000210000100001 2121103100110012第4頁/共11頁第五頁，共11頁。 342rr 1000210000100001 2121103100110012 4) 1(r 1000210000100001 2121103100110012 432rr 1000010000100001 2121321100110012所以(suy) 1A 2121321100110012第5頁/共11頁第六頁，共11頁。 1111145212142121B問B是否(sh fu)可逆？解法(ji f)1. 1111145212142121 100001000010000

5、1 3230369096902121 10010102001400012314rr 0000369096902121100102001400013131若可逆，求其逆陣 B 1。13122,4rrrr14rr 可見(kjin)B不可逆不可能化為 單位陣第6頁/共11頁第七頁，共11頁。1111145212142121B1111145212142121B000132323234323132332332301312,rccc14cc B不可逆一、二兩行(lin xn)相同 ！第7頁/共11頁第八頁，共11頁。332340022021332340010110.010312022,AXAAX其中解:

6、原方程(fngchng)變形為 AXEA)(110110312302022021)(AEA32rr 122rr 234rr 312100010110022021312100 ) 1(3r第8頁/共11頁第九頁，共11頁。312100010110022021212rr 31210062200130201032rr 可見(kjin) A E 可逆, 且AEAX1)(312302622注: 若要求(yoqi) CAY 解解思考: 設(shè) A, B 可逆, 如何解矩陣(j zhn)方程 AXB=C ?方法一：r)(CA)(1CAEY注意：這個 r2 是新的結(jié)果1, CAY有有CAY 由由方法二：CAY 由由CAY ）有（有（,CYA 即有即有,第9頁/共11頁第十頁，共11頁。1. 矩陣(j zhn)的初等變換與初等矩陣(j zhn) 2. 用初等變換法求矩陣(j zhn)的逆 : 作業(yè) P64. 25(1), （2）注意: 初等矩陣可逆, 其逆矩陣為同類型初等矩陣 用初等矩陣右乘 A 對A 作列變換 )()(1AEEAr3. 用初等變換法求