專題五：二元一次方程組

1、二元一次方程（組）二元一次方程（組） 結(jié)合近幾年中考試題分析結(jié)合近幾年中考試題分析, ,二元一次方程組的內(nèi)容考查主二元一次方程組的內(nèi)容考查主要有以下特點：要有以下特點： 1.1.命題內(nèi)容為二元一次方程組的概念、二元一次方程組命題內(nèi)容為二元一次方程組的概念、二元一次方程組的解法、二元一次方程組的實際應用的解法、二元一次方程組的實際應用, ,命題方式以選擇題、填命題方式以選擇題、填空題為主空題為主. . 2. 2.命題熱點為二元一次方程組的解法及應用命題熱點為二元一次方程組的解法及應用, ,并考查二元并考查二元一次方程組與一次函數(shù)相結(jié)合的綜合性題目一次方程組與一次函數(shù)相結(jié)合的綜合性題目. . 1.

2、 1.二元一次方程組的概念及解法是一次方程組概念及解二元一次方程組的概念及解法是一次方程組概念及解法的基礎法的基礎, ,因此因此, ,應首先掌握二元一次方程的有關概念及其解應首先掌握二元一次方程的有關概念及其解的意義的意義, ,掌握列二元一次方程來表示一些量之間的關系的方法掌握列二元一次方程來表示一些量之間的關系的方法. . 2. 2.二元一次方程組的解法及應用是中考熱點之一，所以二元一次方程組的解法及應用是中考熱點之一，所以應加強對此知識點的訓練應加強對此知識點的訓練, ,同時同時, ,也要加強對二元一次方程組也要加強對二元一次方程組與一次函數(shù)相結(jié)合的題目的訓練與一次函數(shù)相結(jié)合的題目的訓練.

3、 .1.二元一次方程(組)(1)二元一次方程：含有_未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是_的整式方程兩個1(2)二元一次方程組：含有兩個未知數(shù)的兩個_方程所組成的一組方程一次(3)二元一次方程組的解：二元一次方程組各個方程的公共解【例【例1 1】(2009(2009山東中考山東中考) )若關于若關于x x、y y的二元一次方程組的二元一次方程組 的解也是二元一次方程的解也是二元一次方程2x+3y=62x+3y=6的解，則的解，則k k的值為的值為 ( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【思路點撥【思路點撥】xy5kxy9k34344343【自主解答【自主解答】

4、選選B.B.由方程組得由方程組得2x2x14k14k，y y-2k-2k，代入，代入2x+3y=62x+3y=6，得，得14k-6k=614k-6k=6，解得，解得3k.41.(20111.(2011益陽中考益陽中考) ) 二元一次方程二元一次方程x-2y=1x-2y=1有無數(shù)多個解，下有無數(shù)多個解，下列四組值中不是該方程的解的是列四組值中不是該方程的解的是( )( )(A)(A) (B) (B)(C) (D)(C) (D)【解析【解析】選選B.B.把四個選項逐一代入方程，選項把四個選項逐一代入方程，選項B B不能使方程成不能使方程成立立. .x01y2 x1y1x1y0 x1y1 2.(20

5、112.(2011涼山中考涼山中考) ) 下列方程組中是二元一次方程組的是下列方程組中是二元一次方程組的是 ( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)【解析【解析】選選D.D.根據(jù)二元一次方程組的定義判定：根據(jù)二元一次方程組的定義判定：A A是二元二次是二元二次方程組，方程組，B B是分式方程組，是分式方程組，C C是三元一次方程組，只有是三元一次方程組，只有D D滿足二滿足二元一次方程組的定義元一次方程組的定義. .xy1xy25x2y31y3x2xz013xy5x5xy7233.(20093.(2009杭州中考杭州中考) ) 已知已知 是方程是方程2x-ay=32

6、x-ay=3的一個解的一個解, , 那么那么a a的值是的值是( )( )(A)1 (B)3 (C)-3 (D)-1(A)1 (B)3 (C)-3 (D)-1【解析【解析】選選A.A.由題意由題意, ,得得2+a=3, 2+a=3, 所以所以a=1.a=1.x1y1 4.(20104.(2010萊蕪中考萊蕪中考) )已知已知 是二元一次方程組是二元一次方程組 的解，則的解，則2m-n2m-n的算術平方根為的算術平方根為( )( )(A)4 (B)2 (C) (D)(A)4 (B)2 (C) (D)2 2【解析【解析】選選B.B.由題意可得由題意可得 ，解得，解得m=3,n=2,m=3,n=2,

7、則則2m-n=42m-n=4，所以，所以2m-n2m-n的算術平方根為的算術平方根為2.2.x2y1mxny8nxmy12mn82nm12基礎拓展 中考指導P28例2二元一次方程組的解法二元一次方程組的解法1.1.代入法解二元一次方程組的步驟代入法解二元一次方程組的步驟 (1)(1)選取一個系數(shù)較簡單的二元一次方程變形，用含有一個未選取一個系數(shù)較簡單的二元一次方程變形，用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)；知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)；(2)(2)將變形后的方程代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得將變形后的方程代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；到一個一元一次方程；(3

8、)(3)解這個一元一次方程，求出未知數(shù)的值；解這個一元一次方程，求出未知數(shù)的值； (4)(4)將求得的未知數(shù)的值代入將求得的未知數(shù)的值代入(1)(1)中變形后的方程中，求出另中變形后的方程中，求出另一個未知數(shù)的值；一個未知數(shù)的值； (5)(5)用用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解；聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解； (6)(6)最后檢驗求得的結(jié)果是否正確最后檢驗求得的結(jié)果是否正確( (代入原方程組中進行檢驗，代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊右邊方程是否滿足左邊右邊).).2.2.加減法解二元一次方程組的步驟加減法解二元一次方程組的步驟 (1)(1)利用等式的基本性質(zhì)，將原方程組

9、中某個未知數(shù)的系數(shù)化利用等式的基本性質(zhì)，將原方程組中某個未知數(shù)的系數(shù)化成相等或相反數(shù)的形式；成相等或相反數(shù)的形式； (2)(2)再利用等式的基本性質(zhì)將變形后的兩個方程相加或相減，再利用等式的基本性質(zhì)將變形后的兩個方程相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程; ;(3)(3)解這個一元一次方程，求出未知數(shù)的值；解這個一元一次方程，求出未知數(shù)的值； (4)(4)將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任何一個方程中，將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任何一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；求出另一個未知數(shù)的值； (5)(5)用用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組

10、的解；聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解； (6)(6)最后檢驗求得的結(jié)果是否正確最后檢驗求得的結(jié)果是否正確( (代入原方程組中進行檢驗，代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊右邊方程是否滿足左邊右邊).).【例【例2 2】(2010(2010衢州中考衢州中考) )解方程組解方程組【思路點撥【思路點撥】根據(jù)代入消元法或加減消元法的步驟，可以用根據(jù)代入消元法或加減消元法的步驟，可以用代入消元法，也可以用加減消元法代入消元法，也可以用加減消元法. .【自主解答【自主解答】方法一：由方法一：由，得，得y=2x-3 y=2x-3 把把代入代入，得，得3x+2x-3=7.x=2.3x+2x-3=7.x

11、=2.把把x=2x=2代入代入，得，得y=1.y=1.方程組的解是方程組的解是2xy3 3xy7 x2,y1.方法二：方法二：，得，得5x=10.x=25x=10.x=2，把把x=2x=2代入，得代入，得4-y=3.y=1.4-y=3.y=1.方程組的解是方程組的解是x2.y15.(20105.(2010百色中考百色中考) )二元一次方程組二元一次方程組 的解是的解是( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D) (C) (D) 【解析【解析】選選A.A.把兩式相加，得把兩式相加，得3x=33x=3，x=1x=1，把，把x=1x=1代入第一個代入第一個方程得方程得1+3y=4,1+3y

12、=4,解得解得y=1, .y=1, .x3y42x3y1 x1y1x1y1 x2y2 x2y1 x1y16.(20116.(2011江西中考江西中考) )方程組方程組 的解是的解是_._.【解析【解析】 , ,+ +得得3x=12,3x=12,解得解得x=4,x=4,代入代入得得y=-3,y=-3,所以原方程組的解是所以原方程組的解是答案答案: :2xy5xy72xy5 xy7 x4.y3 x4y3 7.(20117.(2011懷化中考懷化中考) )解方程組：解方程組：【解析【解析】 + +，得，得6x=12,6x=12,解得解得x=2,x=2,將將x=2x=2代入代入得，得，y=2y=2原方

13、程組的解為原方程組的解為x3y8.5x3y4x3y8 5x3y4 x2.y2基礎拓展 中考指導P28例1（1）解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：）解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當一次函數(shù)值為當一次函數(shù)值為 時，求相應的自變量的值；從時，求相應的自變量的值；從圖象上看，這相當于已知直線圖象上看，這相當于已知直線 確定它與確定它與 軸交點的軸交點的 坐標坐標xykxb考點考點3：一次函數(shù)與方程（組）一次函數(shù)與方程（組）0橫橫（2）每個二元一次方程組都對應兩個一次函數(shù)，）每個二元一次方程組都對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線，從于是也對應兩條直線，從“數(shù)數(shù)”的角度看，解的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值

14、時兩個方程組相當于考慮自變量為何值時兩個 相相等，以及這個值是多少；從等，以及這個值是多少；從“形形”的角度看，的角度看，解方程組相當于確定兩條直線解方程組相當于確定兩條直線 的坐標的坐標.函數(shù)值函數(shù)值交點交點 例例3、（、（2008.海南中考）如圖，直線海南中考）如圖，直線 的交的交點坐標為點坐標為 . A、（、（4,-2） B、（、（2,-4）C、（、（-4,2） D、（、（3,-1）12ll、22kyx1、（、（2009.莆田中考）正比例函數(shù)莆田中考）正比例函數(shù) 與反比例函與反比例函數(shù)數(shù) 在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則當當 時時x的取值范

15、圍的取值范圍11yk x1y2y6、（、（2009.臺州中考）如圖，直線臺州中考）如圖，直線 ：yx+1與直線與直線 ：y=mx+n相交于點相交于點P（1,b） （1）求）求b的值的值（2）不解關于）不解關于x、y方程方程組組 ，請，請你直接寫出它的解你直接寫出它的解（3）直線）直線 ：y=nx+m是是否也經(jīng)過點否也經(jīng)過點P？請說明理由？請說明理由2l1yxymxn3l1l基礎拓展 中考指導P29例34 4、整體代入思想在方程組中的應用、整體代入思想在方程組中的應用對有些數(shù)學問題，若從整體上考慮，則容易接觸到問題的實對有些數(shù)學問題，若從整體上考慮，則容易接觸到問題的實質(zhì)，得到出乎意料的簡便解法

16、質(zhì)，得到出乎意料的簡便解法. .因此因此, ,我們應將注意力和著眼我們應將注意力和著眼點多放在問題的整體上點多放在問題的整體上. .在用代入法解方程組時，就是把含有在用代入法解方程組時，就是把含有x(yx(y) )的代數(shù)式作為一個整體代入另一個方程中，這里就運用的代數(shù)式作為一個整體代入另一個方程中，這里就運用到整體代入思想到整體代入思想. .【例】解方程組【例】解方程組【思路點撥【思路點撥】【自主解答【自主解答】+ + +整理得整理得x+y+zx+y+z=5=5, ,- -, ,得得z=4,z=4,- -，得，得x=-1 , x=-1 , - -得得y=2.y=2.方程組的解為方程組的解為xy

17、1 yz6 .zx3 x1y2 .z4 1.(20091.(2009內(nèi)江中考內(nèi)江中考) )若關于若關于x x、y y的方程組的方程組 的解是的解是 則則m-nm-n為為( )( )(A)1 (B)3 (C)5 (D)2(A)1 (B)3 (C)5 (D)2【解析【解析】選選D.D.把把 代入代入x+myx+my=n=n得得2+m=n,2+m=n,則則m-nm-n=-2,=-2,因此因此|m-n|m-n|=2.|=2.2xymxmynx2,y1x2y12.(20112.(2011泉州中考泉州中考) )已知已知x x、y y滿足方程組滿足方程組 , ,則則x-yx-y的的值為值為_._.【解析【解

18、析】 , ,方程方程- -得得x-y=1.x-y=1.答案：答案：1 12xy5x2y42xy5 x2y4 1.(20101.(2010蘇州中考蘇州中考) )方程組方程組 的解是的解是( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)【解析【解析】選選D.D.把把 代入方程組代入方程組 成立成立, ,故選故選D.D.xy122xy5x1y2 x2y3 x2y1x2y1 x2y1 xy12xy52.(20092.(2009桂林中考桂林中考) )已知已知 是二元一次方程組是二元一次方程組 的解，則的解，則a-ba-b的值為的值為( )( )(A)1 (B)-1 (C)2 (D)3

19、(A)1 (B)-1 (C)2 (D)3【解析【解析】選選B.B.由題意由題意, ,得得 , ,解得解得 , ,所以所以a-b=-1.a-b=-1.x2y1axby7axby12ab72ab1a2b33.(20083.(2008隨州中考隨州中考) )已知方程組已知方程組 的解滿足的解滿足x+yx+y=3,=3,則則k k的值為的值為( )( )(A)10 (B)8 (C)2 (D)-8(A)10 (B)8 (C)2 (D)-8【解析【解析】選選B.B.把方程組中的兩個方程相加，得把方程組中的兩個方程相加，得3x+3y=k+1,3x+3y=k+1,又又x+yx+y=3,=3,x2yk2xy1k1

20、xy.3k13,k8.34.(20104.(2010珠海中考珠海中考) )方程組方程組 的解是的解是_._.【解析【解析】把兩式相加，得把兩式相加，得3x=183x=18，x=6x=6，把，把x=6x=6代入第一個方程代入第一個方程得得y=5y=5，所以，所以答案：答案：xy112xy7x6.y5x6y55.(20105.(2010欽州中考欽州中考) )解方程組：解方程組：【解析【解析】 + +得得:6x:6x3, ,3, ,把把 代入代入，得，得: :方程組的解是方程組的解是2xy2.4xy12xy2 ,4xy1 1x21x212y2,y1,21x.2y1考點誤區(qū)加分錦囊解決符號的錯誤關鍵是

21、正確應用等式性質(zhì)，分清加(減)項及項的符號二元一次方程組的應用二元一次方程組的應用列二元一次方程組解應用題的步驟列二元一次方程組解應用題的步驟 (1)(1)弄清題意和題目中的數(shù)量關系，用字母弄清題意和題目中的數(shù)量關系，用字母( (如如x x、y)y)表示題目表示題目中的兩個未知數(shù)；中的兩個未知數(shù)； (2)(2)找出能夠表示應用題全部含義的兩個相等關系；找出能夠表示應用題全部含義的兩個相等關系； (3)(3)根據(jù)兩個相等關系列出代數(shù)式，從而列出兩個方程并組成根據(jù)兩個相等關系列出代數(shù)式，從而列出兩個方程并組成方程組；方程組；5(4)(4)解這個二元一次方程組，求出未知數(shù)的值；解這個二元一次方程組，

22、求出未知數(shù)的值； (5)(5)檢驗所得結(jié)果的正確性及合理性；檢驗所得結(jié)果的正確性及合理性； (6)(6)寫出答案寫出答案. . 【例【例3 3】(2010(2010郴州中考郴州中考) )受氣候等因素的影響，今年某些農(nóng)受氣候等因素的影響，今年某些農(nóng)產(chǎn)品的價格有所上漲產(chǎn)品的價格有所上漲. .張大叔在承包的張大叔在承包的1010畝地里所種植的甲、畝地里所種植的甲、乙兩種蔬菜共獲利乙兩種蔬菜共獲利13 80013 800元元. .其中甲種蔬菜每畝獲利其中甲種蔬菜每畝獲利1 2001 200元，元，乙種蔬菜每畝獲利乙種蔬菜每畝獲利1 5001 500元元. .則甲、乙兩種蔬菜各種植了多少則甲、乙兩種蔬菜

23、各種植了多少畝？畝？【思路點撥【思路點撥】【自主解答【自主解答】設甲、乙兩種蔬菜的種植面積分別為設甲、乙兩種蔬菜的種植面積分別為x x畝、畝、y y畝，畝，依題意可得：依題意可得：解這個方程組得解這個方程組得答：甲、乙兩種蔬菜的種植面積分別為答：甲、乙兩種蔬菜的種植面積分別為4 4畝、畝、6 6畝畝. .xy101 200 x1 500y13 800，x4.y68.(20108.(2010嘉興中考嘉興中考) )根據(jù)以下對話，可以求得小紅所買的筆根據(jù)以下對話，可以求得小紅所買的筆和筆記本的價格分別是和筆記本的價格分別是( )( )(A)0.8(A)0.8元元/ /支，支，2.62.6元元/ /本

24、本 (B)0.8(B)0.8元元/ /支，支，3.63.6元元/ /本本(C)1.2(C)1.2元元/ /支，支，2.62.6元元/ /本本 (D)1.2(D)1.2元元/ /支，支，3.63.6元元/ /本本【解析【解析】選選D.D.設一支筆設一支筆x x元，一本筆記本元，一本筆記本y y元，由題意得元，由題意得 解得解得5x10y4210 x5y30，x1.2.y3.69.(20109.(2010江西中考江西中考) )某班有某班有4040名同學去看演出，購買甲、乙名同學去看演出，購買甲、乙兩種票共用去兩種票共用去370370元，其中甲種票每張元，其中甲種票每張1010元，乙種票每張元，乙種

25、票每張8 8元元. .設購買了甲種票設購買了甲種票x x張，乙種票張，乙種票y y張，由此可列出方程組：張，由此可列出方程組：_._.【解析【解析】有兩個相等關系：有兩個相等關系：甲、乙兩種票共甲、乙兩種票共4040張；張；兩種兩種票的總價為票的總價為370370元元. .答案：答案：xy4010 x8y37010.(201010.(2010本溪中考本溪中考) )彩色和單色的兩種地磚鋪地，彩色地磚彩色和單色的兩種地磚鋪地，彩色地磚1414元元/ /塊，單色地磚塊，單色地磚1212元元/ /塊，若單色地磚的數(shù)量比彩色地磚塊，若單色地磚的數(shù)量比彩色地磚的數(shù)量的的數(shù)量的2 2倍少倍少1515塊，買兩

26、種地磚共用了塊，買兩種地磚共用了1 3401 340元，設購買彩元，設購買彩色地磚色地磚x x塊，單色地磚塊，單色地磚y y塊，則根據(jù)題意可列方程組為塊，則根據(jù)題意可列方程組為_._.【解析【解析】由單色地磚的數(shù)量比彩色地磚的數(shù)量的由單色地磚的數(shù)量比彩色地磚的數(shù)量的2 2倍少倍少1515塊得塊得y=2x-15,y=2x-15,由買兩種地磚共用了由買兩種地磚共用了1 3401 340元得元得14x+12y=1 340.14x+12y=1 340.答案：答案：y2x1514x12y1 34011.(201111.(2011株洲中考株洲中考) )食品安全是老百姓食品安全是老百姓關注的話題，在食品中添

27、加過量的添加關注的話題，在食品中添加過量的添加劑對人體有害，但適量的添加劑對人體劑對人體有害，但適量的添加劑對人體無害且有利于食品的儲存和運輸無害且有利于食品的儲存和運輸. .某飲料某飲料加工廠生產(chǎn)的加工廠生產(chǎn)的A A、B B兩種飲料均需加入同兩種飲料均需加入同種添加劑，種添加劑，A A飲料每瓶需加該添加劑飲料每瓶需加該添加劑2 2克，克，B B飲料每瓶需加該添飲料每瓶需加該添加劑加劑3 3克，已知克，已知270270克該添加劑恰好生產(chǎn)了克該添加劑恰好生產(chǎn)了A A、B B兩種飲料共兩種飲料共100100瓶，問瓶，問A A、B B兩種飲料各生產(chǎn)了多少瓶？兩種飲料各生產(chǎn)了多少瓶？【解析【解析】設設A A飲料生產(chǎn)了飲料生產(chǎn)了x x瓶，瓶，B B飲料生產(chǎn)了飲料生產(chǎn)了y y瓶，依題意得：瓶，依題意得：解得：解得：答：答：A A飲料生產(chǎn)了飲料生產(chǎn)了3030瓶，瓶，B B飲料生產(chǎn)了飲料生產(chǎn)了7070瓶瓶. .xy100,2x3y270 x30.y707.(20107.(2010宜賓中考宜賓中考) )為了拉動內(nèi)需，全國各地汽