第二章系統(tǒng)的數(shù)學模型

1、1 機械控制工程基礎機械控制工程基礎第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程 2.2 拉氏變換與反變換拉氏變換與反變換 2.3 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)2.4 系統(tǒng)方框圖及其簡化系統(tǒng)方框圖及其簡化2.5 反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.6 信號流圖與梅遜公式信號流圖與梅遜公式2.7 物理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)推導物理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)推導2.8 本章小結本章小結 學習重點學習重點v 簡單物理系統(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)的列簡單物理系統(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)的列寫及計算；寫及計算；（重點掌握）（重點掌握）v 了解非線性模型的線性化方法；了解非線性模型的線性化方法； v 結構圖

2、和信號流圖的變換與化簡結構圖和信號流圖的變換與化簡; ;（重點掌握）（重點掌握） v 開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的推導和計開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的推導和計算。算。1、什么是系統(tǒng)的數(shù)學模型2、研究系統(tǒng)數(shù)學模型的定義3、數(shù)學模型的表示形式4、如何建立系統(tǒng)的數(shù)學模型自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 自動控制系統(tǒng)的任務是將系統(tǒng)的輸入信號（包括控制輸入與擾動輸入）的變化，及時地、準確地、穩(wěn)定可靠地傳到系統(tǒng)的輸出端，驅(qū)動執(zhí)行機構動作，使被控量按照輸入信號的要求而變化或保持恒定。數(shù)學模型定義：數(shù)學模型定義： 描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關系的表達式。一般應根據(jù)系統(tǒng)的實際機構參數(shù)及

3、計算所要求的精度忽略一些次要因素，使模型既能反映系統(tǒng)的動態(tài)特性又能簡化分析、計算p數(shù)學模型：數(shù)學模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關系的數(shù)學表達式。量之間關系的數(shù)學表達式。p數(shù)學模型的主要形式數(shù)學模型的主要形式 ：數(shù)學模型頻域頻域時域時域LL-1Ui(S)U0(S)1/RR1CSR2I1(S)I2(S)I(S)+-U0(S)+p 建立數(shù)學模型的方法建立數(shù)學模型的方法：解析法解析法（機理分析法）（機理分析法） 根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的物理定律列寫運動方程。根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的物理定律列寫運動方程。實驗法實驗法（系統(tǒng)辨識法）（系統(tǒng)辨識法） 給系統(tǒng)施加某種測

4、試信號，記錄輸出響應，并用給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄輸出響應，并用 適當?shù)臄?shù)學模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性。適當?shù)臄?shù)學模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性。2.1.1 2.1.1 建立微分方程模型的步驟建立微分方程模型的步驟n 分析系統(tǒng)的工作原理，分析系統(tǒng)的工作原理，確定輸入量和輸出量確定輸入量和輸出量； n 將系統(tǒng)分解為各環(huán)節(jié)，建立將系統(tǒng)分解為各環(huán)節(jié)，建立各環(huán)節(jié)輸入量、輸各環(huán)節(jié)輸入量、輸 出量之間的動態(tài)聯(lián)系出量之間的動態(tài)聯(lián)系。n 消去中間變量消去中間變量，求出系統(tǒng)的微分方程。，求出系統(tǒng)的微分方程。n 標準化微分方程標準化微分方程。2.1.2 2.1.2 系統(tǒng)微分方程的列寫系統(tǒng)微分方程的列寫1、機械

5、平動系統(tǒng) 平動即直線運動，其主要元件為質(zhì)量、彈簧、阻尼器。（一）機械系統(tǒng) 機械系統(tǒng)分為平動系統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，其數(shù)學模型的建立主要應用牛頓定理來列寫。dttxdmmatf22)()(mf(t)x(t)質(zhì)量質(zhì)量Kf(t)x1(t)x2(t)f(t)彈簧彈簧dttdxdttdxCtf)()()(21)()()(21txtxKtfCf(t)x1(t)x2(t)f(t)阻尼器阻尼器x2(t)dttdxdttdxCdttdxdttdxCtf)()()()()(2121預預備備知知識識圖2-1 機械移動系統(tǒng)X1 1X解：取解：取f(t)為輸入量為輸入量, x為輸出量為輸出量22( )( )( )( )d x

6、tdx tmfKx tf tdtdt22( )( )( )( ) Kfd x tf tftf tmdt( )( )KftKx t( ) ( )fdx tf tfdt2、機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng) 旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)用途極其廣泛，其建模方法與平移系統(tǒng)非常相似。只是將平移的質(zhì)量、彈簧、阻尼器分別變成了轉(zhuǎn)動慣量、扭轉(zhuǎn)彈簧和旋轉(zhuǎn)阻尼。BJ J-粘性液體圖2-2 機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)KJ JJT例例2.22.2：下圖為在扭矩：下圖為在扭矩T T作用下的機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，包含有慣量、作用下的機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，包含有慣量、扭轉(zhuǎn)彈簧、回轉(zhuǎn)粘性阻尼。試寫出其微分方程。其中轉(zhuǎn)動慣量扭轉(zhuǎn)彈簧、回轉(zhuǎn)粘性阻尼。試寫出其微分方程。其中轉(zhuǎn)動慣量為為J J，轉(zhuǎn)

7、角為，轉(zhuǎn)角為，回轉(zhuǎn)粘性阻尼系數(shù)為，回轉(zhuǎn)粘性阻尼系數(shù)為B BJ J ，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度為，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度為K KJ J 。22kBkJBJdJTTTd tTkdTBd t 消去中間變量，整理得微分方程：( )( )JJJtBtkT 解：（二）電網(wǎng)絡系統(tǒng) 電阻、電感、電容是電路中最基本的三個元件。電氣系統(tǒng)遵循的基本定律為：基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律，并由此來建立電氣系統(tǒng)數(shù)學模型。預備預備知識知識 0)()()()(tUtUtidtdLtRiio電容兩端電壓為：01( )( )toUti t dtC解：設電路中電流為 i(t)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo整理得:例

8、例2.3 無源電器網(wǎng)如圖2-3所示， 為輸入電壓， 為輸出電壓，列寫其關于輸入輸出微分方程模型。)(tui( )ou t圖2-3uo(t)Ui(t)CLRu 機械系統(tǒng)（a）和電系統(tǒng)（b）具有相同的數(shù)學 模型，故這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。（即電系 統(tǒng)為機械系統(tǒng)的等效網(wǎng)絡）u 物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)可有相似的數(shù)學模型，同 一數(shù)學模型可以描述不同的系統(tǒng)。u 我們可以利用簡單易實現(xiàn)的系統(tǒng)（如電的系統(tǒng)）去模擬其它難于實現(xiàn)的系統(tǒng)（機械系統(tǒng)）.2.1.3 2.1.3 非線性數(shù)學模型線性化非線性數(shù)學模型線性化 嚴格地講，線性系統(tǒng)并不存在。所謂的線性系統(tǒng)，也只是在一定的范圍內(nèi)保持其線性關系。 目前，非線性系統(tǒng)理論還遠

9、遠不完善，往往在一定條件下，將描述非線性系統(tǒng)的非線性微分方程線性化處理，使其成為線性微分方程來處理。線性系統(tǒng)：滿足疊加原理非線性系統(tǒng)：不滿足疊加原理 系統(tǒng)x1(t)x2(t)y2(t)y1(t) 系統(tǒng)ax1(t) + + bx2(t)ay1(t)+by2(t) 通?？刂葡到y(tǒng)工作狀態(tài)為穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)受到各種擾動，產(chǎn)生偏差。線性化即在小偏差范圍內(nèi)用直線代替曲線，即在平衡點附近，用一次線性函數(shù)取代高次函數(shù)。ffIU0tan 化方程：線性。取增量為變量，得到得：忽略。的高次項趨于零，可以很小，則若偏差泰勒級數(shù)：xxxfyyxxxxxfxxxfyy0000200 000.! 2x1x2y系統(tǒng)對于多元函數(shù)，如

10、y=f(x1,x2)，平衡點為(y0,x10,x20)在平衡點鄰域內(nèi)進行小偏差線性化：0yyyk x 1 1）只有一個變量的非線性函數(shù)）只有一個變量的非線性函數(shù)y= fy= f（x x）線性化）線性化00220002( )1( )()()()2!xxdf xd f xyf xxxxxdxdx忽略二階以上各項，可寫成忽略二階以上各項，可寫成 )()()(000 xxdxxdfxfyx 小偏差線性化的數(shù)學處理小偏差線性化的數(shù)學處理: 0yyyk x 2 2）具有兩個自變量的非線性函數(shù)，設輸入量為具有兩個自變量的非線性函數(shù)，設輸入量為x1(t)和和x2(t) ，輸出量為，輸出量為y(t) ，系統(tǒng)正常

11、工作點，系統(tǒng)正常工作點為為y0 f(x10, x20) 。忽略二階以上各項，可寫成忽略二階以上各項，可寫成 10201102201222222110110220220221122(,)()()1()2()()()2!ffyf xxxxxxxxfffxxxxxxxxxx xx )()(),(202210112010 xxxfxxxfxxfy01122yyyKxKx .4.4阻尼：使自由振動衰減的各種摩擦和其他阻礙作用。阻尼器：安置在結構系統(tǒng)上的“特殊”構件可以提供運動的 阻力，耗減運動能量的裝置，稱之為阻尼器。 工程中常見的阻尼有各種不同的形式，如物體在介質(zhì)（空氣、水、油等）中運動時的粘滯阻尼、

12、物體沿接觸面滑動時的干摩擦阻尼等。由實驗得知：當物體以不大的速度在阻尼介質(zhì)中運動時，介質(zhì)給與物體的阻尼力近似地與物體速度的一次方成正比，而方向與速度方向相反，即FD=-c vc 稱為粘性阻尼系數(shù)單位：NS/cm 1111011110( )( )( ).( )( )( ).nnooonnnnommiiimmmmittdttdtddttdttdtddd xdxxaaaa xttdxdxxbbbb xtt 0.00121xsssxnnnnnxxsXtL有：)()(),()(stLstLXoxoXixi令： sXstxLsXstxLxxxxxxonnoimminmiii，都為零，則：，都為零，即：若系

13、統(tǒng)初始狀態(tài)為零，0.00,0.0010001已知微分方程已知微分方程: : sXbsbsbsbsXasasasaimmmmonnnn01110111.換，得：，對微分方程作拉氏變當系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時 11101110.,.mmommnninnssG sssb s bsbbXXa s a saa 令定義：當零初始狀態(tài)下時，線性定常系統(tǒng)輸出量與輸定義：當零初始狀態(tài)下時，線性定常系統(tǒng)輸出量與輸 入量的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)傳遞函數(shù)。入量的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)傳遞函數(shù)。G(s)Xi(s)Xo(s)框圖表示系統(tǒng)的變換關系：2.3.1 2.3.1 傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的幾點說明：

14、傳遞函數(shù)的幾點說明：uG(s)取決于系統(tǒng)或元件的結構和參數(shù)，與輸入量的形式（幅取決于系統(tǒng)或元件的結構和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大?。o關度與大?。o關 ；u傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律；律；u傳遞函數(shù)是復變量傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式函數(shù)，的有理真分式函數(shù)，mn，且具有復變量，且具有復變量函數(shù)的所有性質(zhì)函數(shù)的所有性質(zhì)； u一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關系，故傳遞函一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關系，故傳遞函數(shù)只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)；數(shù)只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)；u傳遞函數(shù)只適用于線性

15、定常系統(tǒng)，否則拉氏變換無法導出傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，否則拉氏變換無法導出.2.3.2 2.3.2 關于傳遞函數(shù)的幾個術語關于傳遞函數(shù)的幾個術語 11101110.mmmmnnnnsbsbsbbG ssasasaa 令令N(S)=0N(S)=0的根稱為傳遞函數(shù)的的根稱為傳遞函數(shù)的；令令D(S)=0D(S)=0的根稱為傳遞函數(shù)的的根稱為傳遞函數(shù)的。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項式稱為特征多項式，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項式稱為特征多項式， D(S)=0D(S)=0稱為稱為，極點稱為，極點稱為。根據(jù)多項式定理，傳遞函數(shù)的一般形式也可寫成：根據(jù)多項式定理，傳遞函數(shù)的一般形式也可寫成：1212()().()

16、( )( )()().()( )mmnnbsZsZsZN sG sa sPsPsPD s2.3.3 2.3.3 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)p 具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組或元件的具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組或元件的 一部分稱為一個一部分稱為一個環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) ；p 任何復雜系統(tǒng)可看做由一些基本的環(huán)節(jié)組成，控制系任何復雜系統(tǒng)可看做由一些基本的環(huán)節(jié)組成，控制系 統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有：統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有： 比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和和延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)等。等。 tt1xo(t)0 xi(t)KXo(s)X

17、i(s)z1xoz2xi 1 1、比例環(huán)節(jié)：、比例環(huán)節(jié)： KsXsXsGio txKtxio 2121)(zzkzzsNsNsGio tuituo 2R 1R 1212)(RRkRRsUsUio例例1:2 2、積分環(huán)節(jié)：、積分環(huán)節(jié)： dttxTtxio1Xo(s)Xi(s)Ts1 sFsdttfL1 TssXsXsGio1txo(t)0 xi(t)當輸入為階躍函數(shù)時：當輸入為階躍函數(shù)時： tTasXLtxsTasaTssXTssGttatuatxoooi12111,0, 00,uoR+-CRici1ui例例2：圖示放大器積分電路，：圖示放大器積分電路，Ruiidticuuuicccco11 R

18、CTRCssGsURCssUio這里拉氏變換,11dtuRcuio13 3、微分環(huán)節(jié)：、微分環(huán)節(jié)：( )( )oittxx例例3：圖示放大器微分電路。：圖示放大器微分電路。dtduCRudtduCiiiiRuioicco11 RCssGRuoR+-ici1uiCsXi(s)Xo(s)( )G ss傳函oioTKxxx微分方程：4 4、慣性環(huán)節(jié)：、慣性環(huán)節(jié)：Xi(s)Xo(s)KTs+1 1KG sTs傳遞函數(shù)，KT稱為放大系數(shù)， 稱為時間常數(shù)RuiCiuo例例4：如圖所示電路。：如圖所示電路。 )1(1)()(,1,1CsRCssUsUsGidtCuidtCiRuiooi當輸入為階躍函數(shù)時：當

19、輸入為階躍函數(shù)時： )(1111111)()(1tueTsXLtxsTssTssXsGsXTtooio1111TsRCsRCTtxo(t)0 xi(t)5 5、振蕩環(huán)節(jié)：、振蕩環(huán)節(jié)： ,22txtxtxTtxTiooo。，阻尼比；無阻尼固有頻率；振蕩環(huán)節(jié)時間常數(shù)101TTn 。，則：令2222222221,1121121nnnnsssGTTsTsTTssTsGt=0.2=0.5=101Xi(s)Xo(s)2222nnnSS例例5：如圖所示電路。：如圖所示電路。 )2,(122111222LCRCLCTsLCLCRCsLCRCsLCssUsUsGio MkfkMTskMMkfskMkkfsMss

20、FsYsGio2,122/112226 6、一階微分環(huán)節(jié)：、一階微分環(huán)節(jié)：( )( )( )oDtttTxxxii+，TDs+1Xi(s)Xo(s)( )( )( )1DsX osX iG sT s傳函；7 7、二階微分環(huán)節(jié)：、二階微分環(huán)節(jié)： 2,2oiiittttxxxx 22( )21( )sXoG ssssXi。Xi(s)Xo(s)2221ss ( )( )osisXG sesX傳遞函數(shù)8 8、延遲環(huán)節(jié)：、延遲環(huán)節(jié)：，微分方程：)()(txtxiotxo(t)0 xi(t) 延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：n 慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣慣性環(huán)節(jié)從輸入

21、開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；n 延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0 時間內(nèi)時間內(nèi),沒有輸沒有輸出，但出，但t=之后，輸出完全等于輸入。之后，輸出完全等于輸入。 Xi(s)Xo(s)se2.3.4 2.3.4 傳遞函數(shù)的標準形式：傳遞函數(shù)的標準形式：dlekkkklvbicjjjjisTsTsTssssKsG 1122 1122) 12() 1() 12() 1()( 1 1首首1 1標準型（零、極點形式）標準型（零、極點形式） niimjjpszsKsG11*)()()(2 2尾尾1

22、1標準型（典型環(huán)節(jié)形式）標準型（典型環(huán)節(jié)形式） niimjjpzKK11* 1 1首首1 1標準型（零、極點形式）標準型（零、極點形式） niimjjpszsKsG11*)()()(dlekkkklvbicjjjjisTsTsTssssKsG 1122 1122) 12() 1() 12() 1()(2 2尾尾1 1標準型（典型環(huán)節(jié)形式）標準型（典型環(huán)節(jié)形式） niimjjpzKK11*dlekkkklvbicjjjjisTsTsTssssKsG 1122 1122) 12() 1() 12() 1()(2 2尾尾1 1標準型（典型環(huán)節(jié)形式）標準型（典型環(huán)節(jié)形式） 2.4.1 2.4.1 系統(tǒng)

23、方框圖系統(tǒng)方框圖1 1、方框圖的概念、方框圖的概念 方框圖方框圖也是描述系統(tǒng)的一種數(shù)學模型，構成方框圖的也是描述系統(tǒng)的一種數(shù)學模型，構成方框圖的基本符號有四種基本符號有四種: :X(S)信號線相加點X2(S)X3(S)X1(s)_+ 環(huán)節(jié)方框G(s)X2(S)Xi(S) 分支點X3(S)X2(S)X1(S)XXX213XXX321G1H1H2YB1B2+E-X例：求圖示系統(tǒng)閉環(huán)傳函。例：求圖示系統(tǒng)閉環(huán)傳函。YHBYHBEGYBBXE2211121:,分支點相加點：解：HGHGGsXsYsGB221111)()()(消去中間變量，得：2 2、方框圖的連接形式、方框圖的連接形式G2(s)G1(s)

24、Xo(s)X(s)Xi(s) GGGGXXXXXXsGioXio2112引入中間變量 sGsGnnii1則個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，若系統(tǒng)由1）串聯(lián)連接 sniGi1Xi(s)Xo(s)簡化為：簡化為： sGsGsXsXsGsXsGsXsXsXsXsXsGiiiiio212121 sGsGnnii1則個環(huán)節(jié)并聯(lián)而成，若系統(tǒng)由2）并聯(lián)連接簡化為：簡化為：Xi(s)Xo(s) sniGi1Xo(s)Xi(s)X2(s)X1(s)G1(s)+G2(s)HX2+X1GX2+X1反饋連接：反饋連接：HsGB11)(GsGB1)(并聯(lián)環(huán)節(jié)：Xi(s)Xo(s)G(s)H(s) GHGsG13）反饋連接 注意區(qū)分反饋

25、與并聯(lián)：注意區(qū)分反饋與并聯(lián)：Xi(s)Xo(s)簡化為：簡化為：GHG1G1( )R s( )C sG2G1 G2( )R s( )C sG1( )R s( )C sG2G( )R s( )C sH( )R s( )C sG1 G2( )R s( )C s1GGH總總 結結3 3、系統(tǒng)方框圖的建、系統(tǒng)方框圖的建立立 繪制方框圖的步驟繪制方框圖的步驟例例：如圖所示無源電路網(wǎng)，設輸入端電壓：如圖所示無源電路網(wǎng)，設輸入端電壓u ui i(t(t) )，輸出端電壓為，輸出端電壓為u uo o(t(t) ,) ,畫出相應方框圖。畫出相應方框圖。解：解： 列寫各環(huán)節(jié)的微分方程，得列寫各環(huán)節(jié)的微分方程，得1

26、1iouui R1121di RitC2ouiR12i = i + ii1i2 CR1R2uiuoi(4) (3)(2)(1)11( )( )( )ioU sUsI s R1121( )( )Is RIsCs2oUsI s R( )( )12I s = Is + Is( )( )( )11iouui R1121di RitC2ouiR12i = i + i 零初始條件下，進行拉氏變換，得零初始條件下，進行拉氏變換，得由由(2)(2)式有：式有：1i011( )( )( )I sU sUsR對對(1)式進行等效變換有：式進行等效變換有： 畫出個體方框圖畫出個體方框圖由由(3)(3)式有：式有：由

27、由(4)(4)式有：式有：1/R1+-( )iU s( )oUs1( )I s11( )( )( )ioU sUsI s R(1)(2)1121( )( )Is RIsCsR1Cs1( )I s2( )Is(3)2oUsI s R( )( ) R2I s ( )oUs( )12I s = Is + Is( )( )( )+I s ( )1Is ( )2Is ( )(4) 按信號流向依次連接成整體方框圖，即系統(tǒng)按信號流向依次連接成整體方框圖，即系統(tǒng) 方框方框 圖如下圖如下 ：1/R1R1CsR2+-( )iU s( )oUs( )oUs1( )I s2( )Is( )I s?( )iU s( )

28、oUs思考：如何化簡？思考：如何化簡？1/R1R1CsR2+-( )iU s( )oUs( )oUs1( )I s2( )Is( )I s系統(tǒng)方框圖的化簡：系統(tǒng)方框圖的化簡：Step1: 串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換.1/R1R1 CsR2+-( )iU s( )oUs( )oUs1( )I s2( )Is( )I sStep2: 并聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換.1/R11+R1 CsR2-( )iU s( )oUs( )oUs1( )I s( )I sStep3: 串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換.（1+R1 Cs）R2/R1-( )iU s( )oUsStep4: 反饋環(huán)節(jié)等效變換.( )iU s( )oUs2121212RR R

29、 CsRRR R Cs4 4、方框圖的化簡、方框圖的化簡 對于復雜控制系統(tǒng)，其方框圖甚為復雜，為便于分析和計算，需將其化簡。通?；喎椒ㄓ校簂方框圖等效化簡方框圖等效化簡l利用梅遜增益法化簡利用梅遜增益法化簡2.4.2 2.4.2 方框圖的等效變換方框圖的等效變換n 思路：思路：通過變換相加點和分支點的位置來通過變換相加點和分支點的位置來實現(xiàn)的，變換中主要掌握好如下兩點：實現(xiàn)的，變換中主要掌握好如下兩點： 前向通道中各傳遞函數(shù)的乘積不變；前向通道中各傳遞函數(shù)的乘積不變； 反饋回路中傳遞函數(shù)的乘積不變；反饋回路中傳遞函數(shù)的乘積不變；n 通過等效變換將方框圖變換成具有串聯(lián)，通過等效變換將方框圖變換

30、成具有串聯(lián)，并聯(lián)和局部反饋連接的結構圖，并聯(lián)和局部反饋連接的結構圖，最終變換為最終變換為輸入量對輸出量的一個方框。輸入量對輸出量的一個方框。方框圖等效變換法則：方框圖等效變換法則：2( )R s2( )R s2( )R sGGGGG2( )Xs1/GG1( )X s3( )Xs2( )XsG1( )X sG2( )XsGG1/G3( )Xs1( )X s2( )Xs3( )Xs1( )X s3( )Xs2( )Xs1( )X s2( )Xs3( )Xs1( )X s2( )Xs3( )Xs1( )X s2( )Xs3( )Xs1( )X s3( )Xs（重點掌握）（重點掌握）例例: : 簡化如

31、圖所示系統(tǒng)方框圖。簡化如圖所示系統(tǒng)方框圖。123121232123( )1BGG GG sGG HG G HGG G+-G1-+XiG2XoG3H2H1ABC-+方法一：將相加點2后移，然后與相加點3交換；+-G1-+XiG2XoG3H2H1ABC+-G1-+XiG2XoG3H2?ABC-+-+方法二：將相加點3前移，然后與相加點2交換；+-G1-+XiG2XoG3H2H1ABC方法三：分支點A后移；+-G1-+XiG2XoG3H2H1ABC方法四：分支點B前移；-+-+方框圖化簡步驟小結：方框圖化簡步驟小結：n 確定輸入量和輸出量；確定輸入量和輸出量；n 若結構圖中有交叉連接，應運用移動規(guī)則

32、，首先若結構圖中有交叉連接，應運用移動規(guī)則，首先 將交叉連接消除，化為無交叉的多回路結構；將交叉連接消除，化為無交叉的多回路結構；n 對多回路結構，可由內(nèi)向外進行變換，直至變換對多回路結構，可由內(nèi)向外進行變換，直至變換 為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。 注意事項：注意事項：1. 1.有效輸入信號所對應的相加點盡量不要移動；有效輸入信號所對應的相加點盡量不要移動；2.2. 盡量避免相加點和分支點之間的移動。盡量避免相加點和分支點之間的移動。信號流圖是另一種表示復雜系統(tǒng)中變量之間關系的信號流圖是另一種表示復雜系統(tǒng)中變量之間關系的圖解方法。圖解方法。

33、2.6.1 2.6.1 信號流圖中的術語信號流圖中的術語 (1)(1)節(jié)點節(jié)點 表示變量或信號的點稱為表示變量或信號的點稱為節(jié)點節(jié)點，用，用“”表示，表示，在在“”旁邊注上信號的代號。旁邊注上信號的代號。(2)(2)源點源點 只有輸出的節(jié)點稱為只有輸出的節(jié)點稱為源點源點或稱為或稱為輸入節(jié)點輸入節(jié)點。它。它一般表示系統(tǒng)的輸入變量。一般表示系統(tǒng)的輸入變量。 (3)(3)匯點匯點 只有輸入的節(jié)點稱為只有輸入的節(jié)點稱為匯點匯點或稱為或稱為輸出節(jié)點輸出節(jié)點。它。它一般表示系統(tǒng)的輸出變量。一般表示系統(tǒng)的輸出變量。 (4)(4)混合節(jié)點混合節(jié)點 既有輸入又有輸出的節(jié)點稱為既有輸入又有輸出的節(jié)點稱為混合節(jié)點混

34、合節(jié)點。(5)(5)支路支路 定向線段稱為定向線段稱為支路支路，其上的箭頭表明信號的流向，其上的箭頭表明信號的流向，各支路上還標明了各支路上還標明了增益增益，即支路的傳遞函數(shù)。，即支路的傳遞函數(shù)。(6)(6)通路通路 從某一節(jié)點開始，沿支路箭頭方向經(jīng)過各相連從某一節(jié)點開始，沿支路箭頭方向經(jīng)過各相連支路到另一節(jié)點（或同一節(jié)點）構成的路徑，稱為支路到另一節(jié)點（或同一節(jié)點）構成的路徑，稱為通路通路。通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為。通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸通路傳輸（通（通路增益）。路增益）。(7)(7)前向通路前向通路 是指從源點開始并終止于匯點且與其他節(jié)點相交是指從源點開始并終止于匯點且與其他

35、節(jié)點相交不多于一次的通路，該通路的各傳輸乘積稱為不多于一次的通路，該通路的各傳輸乘積稱為前向前向通路增益通路增益。(8)(8)回路回路 如果通路的終點就是通路的起點，并且與任何如果通路的終點就是通路的起點，并且與任何其他節(jié)點相交不多于一次的通路稱為其他節(jié)點相交不多于一次的通路稱為回路回路。(9)(9)回路增益回路增益 回環(huán)中各支路傳輸?shù)某朔e稱為回環(huán)中各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路增益回路增益（或（或傳傳輸輸）。）。(10)(10)不接觸回路不接觸回路 如果一信號流圖有多個回路，各回路之間沒有如果一信號流圖有多個回路，各回路之間沒有任何公共節(jié)點，就稱為任何公共節(jié)點，就稱為不接觸回路不接觸回路，反之稱為

36、，反之稱為接觸接觸回路回路。 (11)(11)自回路自回路 只有一個節(jié)點相交的回路稱為只有一個節(jié)點相交的回路稱為自回路自回路。2. 6.2 2. 6.2 梅遜增益公式梅遜增益公式 11()nkkkGSPP式中：式中： P 系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)；系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)； Pk 第第k 條前向通道的傳遞函數(shù)；條前向通道的傳遞函數(shù)； n 從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通路數(shù)；從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通路數(shù)； 信號流圖的特征式；信號流圖的特征式； 1iijijkLLLLL L 特征式的意義為：特征式的意義為： 信號流圖中信號流圖中所有不同回路所有不同回路的傳輸之和；的傳輸之和； 每每兩個互不接觸回路兩個互不接觸回

37、路的傳輸乘積之和；的傳輸乘積之和； 每每三個互不接觸回路三個互不接觸回路的傳輸乘積之和；的傳輸乘積之和； 稱為稱為第第k條通路條通路特征式的特征式的余因子余因子，是在，是在 中除去與第中除去與第k 條前向通路相條前向通路相接觸的各回接觸的各回 路傳輸（路傳輸（即將其置零即將其置零）。）。 iLijL LijkLLLk+-G1-+XiG2XoG3H2H1G4+-+例：利用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例：利用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) XiXo1G11G2G311G4-H2-H1解：解：-1Xi(s) +G1(s)E(s)B(s)H(s)Xo(s)-N(s) +C(s) +G2(s)（圖

38、a）2.5.1 2.5.1 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 若將若將H（s）的輸出通道斷開，這時前向通道傳遞函數(shù)與）的輸出通道斷開，這時前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積反饋通道傳遞函數(shù)的乘積G1(s) G2(s) H(s)稱為該系統(tǒng)的開環(huán)稱為該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)。12( )( )( )( ) ( )( )kB SG SG S G S H SE SGk(s) 稱為稱為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。設輸入為設輸入為Xi（s），視干擾），視干擾N（s）=0，輸出為，輸出為Xoi（s）。）。Xi(s) +G1(s)H(s)Xoi(s)-N(s) +G2(s)+（圖b） 12121oiioiiiissssssssss H sGGXXXGGX2.5.2 X2.5.2 Xi i（t t）作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)）作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù) 注：注： 開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)是閉環(huán)控制系統(tǒng)的一個重要概念，它并不是閉環(huán)控制系統(tǒng)的一個重要概念，它并不是開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而是指閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。是開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而是指閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函