拉普拉斯方程的格林函數(shù)法-4(定稿)

1、第四章 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）方程）方程 的的 格林（格林（Green）函數(shù)法）函數(shù)法數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法矢矢量量微微分分算算子子）operatoraldifferentivectoroperatorHamiltonzkyjxi( 拉拉普普拉拉斯斯算算子子）（operatorLaplacezyx 2222222 uzyxukzjyixkzjyixuuu)()()(2222222 02 uuu 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 第四章第四章 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）方程的格林（）方程的格林（Green）函數(shù)法）函數(shù)法 第一章，作為本課程的基礎(chǔ)，從試探、訓(xùn)練的角度出發(fā)，對(duì)一些

2、典型方程和定解第一章，作為本課程的基礎(chǔ)，從試探、訓(xùn)練的角度出發(fā)，對(duì)一些典型方程和定解條件的導(dǎo)出，進(jìn)行了演繹。條件的導(dǎo)出，進(jìn)行了演繹。 第二、三兩章，我們較為系統(tǒng)地介紹了求解數(shù)學(xué)物理方程的三種常用方法：第二、三兩章，我們較為系統(tǒng)地介紹了求解數(shù)學(xué)物理方程的三種常用方法： 分離變量法分離變量法 行波法行波法 積分變換法積分變換法 本章，我們將介紹拉普拉斯的格林函數(shù)法。本章，我們將介紹拉普拉斯的格林函數(shù)法。 先討論涉及此類方程解的一些重要性質(zhì)先討論涉及此類方程解的一些重要性質(zhì) 再建立格林函數(shù)的概念再建立格林函數(shù)的概念 然后通過格林函數(shù)建立拉普拉斯方程第一邊值問題解的積分表達(dá)式然后通過格林函數(shù)建立拉普拉

3、斯方程第一邊值問題解的積分表達(dá)式4.1 4.1 拉普拉斯方程邊值問題的提法拉普拉斯方程邊值問題的提法 在第一章中，我們已經(jīng)從無源靜電場(chǎng)的電位分布和穩(wěn)恒場(chǎng)的溫度分布等兩個(gè)方面的問題，在第一章中，我們已經(jīng)從無源靜電場(chǎng)的電位分布和穩(wěn)恒場(chǎng)的溫度分布等兩個(gè)方面的問題，同時(shí)導(dǎo)出了三維拉普拉斯方程同時(shí)導(dǎo)出了三維拉普拉斯方程02222222 zuyuxuu作為描述穩(wěn)定的或平衡的物理現(xiàn)象之拉普拉斯方程，談它的初始條件是沒有意義的！至于邊界作為描述穩(wěn)定的或平衡的物理現(xiàn)象之拉普拉斯方程，談它的初始條件是沒有意義的！至于邊界條件，如前所述有三種類型，但應(yīng)用較為廣泛的是以下兩種邊值情況。條件，如前所述有三種類型，但應(yīng)用

4、較為廣泛的是以下兩種邊值情況。（1） 第一邊值問題第一邊值問題 在空間在空間 中某一區(qū)域中某一區(qū)域 的邊界的邊界 上，給定了連續(xù)函數(shù)上，給定了連續(xù)函數(shù) ，要求這樣一個(gè)函數(shù)，要求這樣一個(gè)函數(shù)),(zyx f ,它在閉區(qū)域它在閉區(qū)域 （或記作（或記作 ）上連續(xù)，在）上連續(xù)，在 內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普),(zyxu 拉斯方程，在拉斯方程，在 上與已知函數(shù)上與已知函數(shù) 相重合，即相重合，即 ffu 第一邊值問題也稱為第一邊值問題也稱為迪利克萊迪利克萊（Dirichlet)）問題，或簡(jiǎn)稱為問題，或簡(jiǎn)稱為迪氏迪氏問題。問題。 2.3中所討論過的問題，就是圓域內(nèi)的狄氏問題。中所

5、討論過的問題，就是圓域內(nèi)的狄氏問題。調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)談到拉普拉斯的連續(xù)解，也就是說，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉氏方程的談到拉普拉斯的連續(xù)解，也就是說，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉氏方程的 連續(xù)函數(shù)，稱為調(diào)和函數(shù)。所以，迪氏問題也可以換一種說法：在區(qū)域連續(xù)函數(shù)，稱為調(diào)和函數(shù)。所以，迪氏問題也可以換一種說法：在區(qū)域 內(nèi)內(nèi) 尋找一個(gè)調(diào)和函數(shù)，使它在邊界尋找一個(gè)調(diào)和函數(shù)，使它在邊界 上的值為已知！上的值為已知！ （2） 第二邊值問題第二邊值問題 在某光滑的閉曲面的邊界在某光滑的閉曲面的邊界 上給出連續(xù)函數(shù)上給出連續(xù)函數(shù) ，要求尋找這樣一個(gè)函數(shù)，要求尋找這樣一個(gè)函數(shù) ，它在，它在 內(nèi)部的區(qū)域內(nèi)部的區(qū)域

6、 中是調(diào)和函數(shù)，在中是調(diào)和函數(shù)，在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 上任意一點(diǎn)處的法向?qū)?shù)上任意一點(diǎn)處的法向?qū)?shù) 存在，存在， 并且等于已知函數(shù)并且等于已知函數(shù) 在該點(diǎn)的值：在該點(diǎn)的值： f),(zyxu nu ffnu 這里這里 是是 的外法向矢量。的外法向矢量。n 第二邊值問題，也稱為第二邊值問題，也稱為牛曼牛曼（Neumann）問題問題 以上兩個(gè)邊值問題，都是在邊界上以上兩個(gè)邊值問題，都是在邊界上 給定某些邊界條件，而在區(qū)域內(nèi)部求拉普拉斯方程的給定某些邊界條件，而在區(qū)域內(nèi)部求拉普拉斯方程的解，這樣的問題稱為解，這樣的問題稱為內(nèi)問題內(nèi)問題。 在應(yīng)用中，我們還會(huì)遇到迪氏問題和牛曼問題的另一種提法。例如

7、，當(dāng)確定物體的外部為穩(wěn)在應(yīng)用中，我們還會(huì)遇到迪氏問題和牛曼問題的另一種提法。例如，當(dāng)確定物體的外部為穩(wěn)恒溫度場(chǎng)時(shí)，這種情況就被歸結(jié)為：通過在區(qū)域恒溫度場(chǎng)時(shí)，這種情況就被歸結(jié)為：通過在區(qū)域 的外部，求調(diào)和函數(shù)的外部，求調(diào)和函數(shù) ，使之滿足邊界條件，使之滿足邊界條件 ，這里的，這里的 是是 的邊界，的邊界， 表示物體表面的溫度分布。像這樣的定解問題，被稱為表示物體表面的溫度分布。像這樣的定解問題，被稱為拉普拉斯的拉普拉斯的外問題外問題。fu uf 由于拉普拉斯方程的外問題是在無窮區(qū)域上給出的，所以定解問題的解是否應(yīng)該加以一定的由于拉普拉斯方程的外問題是在無窮區(qū)域上給出的，所以定解問題的解是否應(yīng)該加

8、以一定的限制呢？正好，電磁學(xué)中通?？偸羌俣ǎ簾o窮遠(yuǎn)處的電位為零！因此，在外問題中常常需要附加限制呢？正好，電磁學(xué)中通?？偸羌俣ǎ簾o窮遠(yuǎn)處的電位為零！因此，在外問題中常常需要附加以下條件以下條件（3） 迪氏外問題迪氏外問題0),(lim zyxur)(222zyxr )3 . 4( 在空間在空間 中某一區(qū)域中某一區(qū)域 的邊界的邊界 上，給定了連續(xù)函數(shù)上，給定了連續(xù)函數(shù) ，要求這樣一個(gè)函數(shù)，要求這樣一個(gè)函數(shù)),(zyx f ,它在它在 的外部區(qū)域的外部區(qū)域 內(nèi)調(diào)和，在內(nèi)調(diào)和，在 上連續(xù)，當(dāng)點(diǎn)上連續(xù)，當(dāng)點(diǎn) 趨于無窮遠(yuǎn)時(shí)趨于無窮遠(yuǎn)時(shí) 滿足（滿足（4.3），并且它在邊界），并且它在邊界 上，取所給出的函

9、數(shù)值上，取所給出的函數(shù)值 ),(zyxu ),(zyx),(zyxufnu （4） 牛曼外問題牛曼外問題 在光滑的閉曲面的邊界在光滑的閉曲面的邊界 上給出連續(xù)函數(shù)上給出連續(xù)函數(shù) ，要求尋找這樣一個(gè)函數(shù)，要求尋找這樣一個(gè)函數(shù) ，它在，它在 外部的區(qū)域外部的區(qū)域 內(nèi)是調(diào)和函數(shù)，在內(nèi)是調(diào)和函數(shù)，在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 無窮遠(yuǎn)處滿足條件（無窮遠(yuǎn)處滿足條件（4.3），而且它在），而且它在 上任意一點(diǎn)處的法向?qū)?shù)上任意一點(diǎn)處的法向?qū)?shù) 存在，并滿足存在，并滿足 f),(zyxu nu fnu 這里這里 是邊界曲面是邊界曲面 的內(nèi)法向矢量。的內(nèi)法向矢量。n （1） 第一邊值問題第一邊值問題（2） 第二邊值

10、問題第二邊值問題（3） 迪氏外問題迪氏外問題（4） 牛曼外問題牛曼外問題 下面，我們重點(diǎn)討論內(nèi)問題，所用的方法也可以用于外問題。下面，我們重點(diǎn)討論內(nèi)問題，所用的方法也可以用于外問題。xyz0光滑閉曲面（邊界）光滑閉曲面（邊界） 閉曲面閉曲面 所包圍的空間所包圍的空間 邊界邊界 + 所包圍的空間所包圍的空間 = 0M 4.2 4.2 格林格林(Green)(Green)公式公式 為了建立拉普拉斯方程解的積分表達(dá)式，需要首先推導(dǎo)出格林公式，而格林公式正是曲面為了建立拉普拉斯方程解的積分表達(dá)式，需要首先推導(dǎo)出格林公式，而格林公式正是曲面積分中高斯公式的直接推論。積分中高斯公式的直接推論。 設(shè)設(shè) 是光

11、滑的曲面是光滑的曲面 為邊界的有界區(qū)域，為邊界的有界區(qū)域， ， ， ，在，在 連連續(xù)，在續(xù)，在 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)，則有如下的高斯公式成立內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)，則有如下的高斯公式成立 ),(zyxP),(zyxQ),(zyxR 其中，其中， 是是 中的體積元；中的體積元； 是邊界是邊界 上的外法向矢量；上的外法向矢量； 是是 上的面積元。上的面積元。VdSd n VdzRyQxP)( SdznRynQxnP),cos(),cos(),cos( )6 . 4( 下面來推導(dǎo)（下面來推導(dǎo)（4.6）式的兩個(gè)推論。）式的兩個(gè)推論。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 和和 在在 上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在上

12、有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在 內(nèi)有連續(xù)的所有偏導(dǎo)內(nèi)有連續(xù)的所有偏導(dǎo)數(shù)，在（數(shù)，在（4.6）中，令）中，令),(zyxu),(zyxv zvuRyvuQxvuP ,則有則有 Vdzvuzyvuyxvux)()()( Sdznzvuynyvuxnxvu),cos(),cos(),cos( Vdzvuzyvuyxvux)()()( Sdznzvuynyvuxnxvu),cos(),cos(),cos( 因?yàn)樯鲜阶蠖艘驗(yàn)樯鲜阶蠖?Vdzvuzyvuyxvux)()()( Vdzvyvxvu)(222222 dzdydxzvzuyvyuxvxu 所以有所以有Vdvu2 dSnvudVvu 的梯度。的梯度。為為其

13、中其中uugraduzkyjxiu )(上式移項(xiàng)后，稱上式移項(xiàng)后，稱Vdvu2 dVvudSnvu 為第一為第一 Green 公式公式)7 . 4(復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則交換交換 與與 的位置，則有的位置，則有uv將（將（4.7）與（）與（4.8）式相減，得到）式相減，得到為第二為第二 Green 公式公式為第一為第一 Green 公式公式)9 . 4(dSnuvnvu)( Vduvvu)(22 Vdvu2 )7 . 4(dVvudSnvu Vduv2 dVuvdSnuv )8 . 4( 利用格林公式，我們可以推出調(diào)和函數(shù)的一些基本性質(zhì)。利用格林公式，我們可以推出調(diào)和函數(shù)的一些基本性

14、質(zhì)。),(yxu函數(shù)函數(shù)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的調(diào)和函數(shù)：在某區(qū)域上調(diào)和函數(shù)：在某區(qū)域上02222 yuxu當(dāng)它滿足拉普拉斯方程當(dāng)它滿足拉普拉斯方程。概念可推廣至高維空間概念可推廣至高維空間的“調(diào)和函數(shù)”。這個(gè)的“調(diào)和函數(shù)”。這個(gè)時(shí)，稱其為在此區(qū)域上時(shí)，稱其為在此區(qū)域上面均有應(yīng)用。面均有應(yīng)用。彈性力學(xué)、電磁學(xué)等方彈性力學(xué)、電磁學(xué)等方調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)、調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)、調(diào)和函數(shù)的一些基本性質(zhì)調(diào)和函數(shù)的一些基本性質(zhì)（1）調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式）調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式 所謂調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式，就是利用調(diào)和函數(shù)與其在所謂調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式，就是利用調(diào)和函數(shù)與其在區(qū)域邊界區(qū)域邊界 上

15、的法向?qū)?shù)，沿上的法向?qū)?shù)，沿 的積分，來取代調(diào)和函數(shù)的積分，來取代調(diào)和函數(shù)在在 內(nèi)部任意一點(diǎn)的函數(shù)值。內(nèi)部任意一點(diǎn)的函數(shù)值。 設(shè)設(shè) 是是 內(nèi)某一國(guó)定點(diǎn)，現(xiàn)在我們就來求調(diào)內(nèi)某一國(guó)定點(diǎn)，現(xiàn)在我們就來求調(diào)和函數(shù)在這一點(diǎn)的值。為此，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)和函數(shù)在這一點(diǎn)的值。為此，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)),(0000zyxM2020200)()()(111zzyyxxMMrv )10. 4(函數(shù)函數(shù) ，除了，除了 點(diǎn)之外，處處滿足拉普拉斯方程。它在研究三維拉氏方程中扮演著重要的角點(diǎn)之外，處處滿足拉普拉斯方程。它在研究三維拉氏方程中扮演著重要的角色，通常稱之為色，通常稱之為三維拉普拉斯方程的基本解三維拉普拉斯方程的基本解。

16、r10M 考慮到考慮到 在在 內(nèi)有奇異點(diǎn)內(nèi)有奇異點(diǎn) ，我們作一個(gè)以，我們作一個(gè)以 為中心，以充分小的正數(shù)為中心，以充分小的正數(shù) 為半為半徑的球面徑的球面 ，在，在 內(nèi)挖掉內(nèi)挖掉 所包圍的球域所包圍的球域 ，得到區(qū)域，得到區(qū)域 。rv1 0M 0M K K 這樣，在這樣，在 直至邊界直至邊界 上，上， 就是解析（任意次連續(xù)可微）的了。就是解析（任意次連續(xù)可微）的了。 K rv1 0M xyz0 KMVduvvu)(22 dSnuvnvu)( )9 . 4(在公式（在公式（4.9）中，）中， 被認(rèn)為是調(diào)和函數(shù)了，同時(shí)假定它在被認(rèn)為是調(diào)和函數(shù)了，同時(shí)假定它在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，再取上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

17、，再取 ，并以，并以 代替上式代替上式中的中的 ，從而得到，從而得到u rv1 K VdurruK)11(22 dSnurnru)1)1( )11. 4(因?yàn)樵谝驗(yàn)樵?內(nèi)是解析區(qū)，內(nèi)是解析區(qū)， （依據(jù)解析函數(shù)的性質(zhì)）。而在球面（依據(jù)解析函數(shù)的性質(zhì)）。而在球面 上上01,022 ru K 2211)1()1( rrrnr內(nèi)球面法方向與半徑反向內(nèi)球面法方向與半徑反向（復(fù)變函數(shù)對(duì)區(qū)域的定義）（復(fù)變函數(shù)對(duì)區(qū)域的定義）因此對(duì)第一項(xiàng)有因此對(duì)第一項(xiàng)有uudSudSnru 4411)1(222 0M xyz0 K被挖去小球后剩余部分，全部落在被挖去小球后剩余部分，全部落在 區(qū)域之中，在此區(qū)域應(yīng)用第二格林公式，

18、有區(qū)域之中，在此區(qū)域應(yīng)用第二格林公式，有 上的平均值。上的平均值。在小球面在小球面是函數(shù)是函數(shù)其中其中 uu01)1( dSnurdSnru （4.11）變成）變成.的積分值的積分值先考慮：沿內(nèi)曲面先考慮：沿內(nèi)曲面 這就是調(diào)和函數(shù)的基本積分表達(dá)這就是調(diào)和函數(shù)的基本積分表達(dá)式，它在區(qū)域式，它在區(qū)域 內(nèi)任何一點(diǎn)內(nèi)任何一點(diǎn)處的值，可以用其在邊界處的值，可以用其在邊界 上上的函數(shù)的函數(shù) 和法向?qū)?shù)和法向?qū)?shù) 的積的積分表示出來，極具廣泛的應(yīng)用價(jià)分表示出來，極具廣泛的應(yīng)用價(jià)值，是研究調(diào)和函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)。值，是研究調(diào)和函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)。 0M nu u0M xyz0 K同理，對(duì)第二項(xiàng)有同理，對(duì)第二項(xiàng)有)(4

19、11nudSnudSnur 上上的的平平均均值值。在在小小球球面面是是函函數(shù)數(shù)其其中中 nunu )(01)1( dSnurdSnru 將上面兩項(xiàng)結(jié)果代入將上面兩項(xiàng)結(jié)果代入 (4.11) 式，可得式，可得 0)(441)1(00 nuudSnurdSnruMMMM M則則有界，有界，一階連續(xù)可微，一階連續(xù)可微，為連續(xù)函數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，因?yàn)橐驗(yàn)榱盍?0)(lim),(;)(lim),(,0000 nunuzyxuMuuzyxu dSnMurrnMuMuMMMM )(1)1()(41)(000 )12. 4(（2）牛曼內(nèi)問題有解的必要條件）牛曼內(nèi)問題有解的必要條件Vduvvu)(22 dSnuvn

20、vu)( )9 . 4( xyz0 設(shè)設(shè) 是以是以 為邊界的區(qū)域?yàn)檫吔绲膮^(qū)域 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，在內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，在 上有上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在公式（一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在公式（4.9）中取）中取 ，就得到，就得到 u 1 v0 dSnu)13. 4(由此，由此，Neumann 內(nèi)問題內(nèi)問題 ),(),(0222222zyxzyxfnuzuyuxu有解的必要條件為函數(shù)有解的必要條件為函數(shù) 滿足滿足f）成立。）成立。問題有解的必要條件（問題有解的必要條件（）式，由此）式，由此立得（立得（公式中令公式中令在第二在第二證明證明4.14Neumann4.13,1Green v 事實(shí)上，這個(gè)條件也是事實(shí)上，這

21、個(gè)條件也是Neumann 問題有解的充分條件。證明見問題有解的充分條件。證明見A.H.吉洪諾夫；吉洪諾夫；A.A.薩馬爾薩馬爾斯基著斯基著數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程中冊(cè)（黃克歐等譯，人民教育出版社出版，中冊(cè)（黃克歐等譯，人民教育出版社出版，1957）。）。0 dSf)14. 4(（3）調(diào)和函數(shù)的平均值定理）調(diào)和函數(shù)的平均值定理0M xyz0 a aKdSuaMu2041)( )15. 4( dSnMurrnMuMuMMMM )(1)1()(41)(000 證明證明 由調(diào)和函數(shù)基本積分表達(dá)式由調(diào)和函數(shù)基本積分表達(dá)式)12. 4(aK定理定理 調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù) 在其定義域在其定義域 內(nèi)任意一點(diǎn)內(nèi)任意

22、一點(diǎn) 的值，等于的值，等于 以以 為球心，以為球心，以 為半徑，且完全落在為半徑，且完全落在 內(nèi)部的這個(gè)內(nèi)部的這個(gè) 球面球面 上積分的平均值。上積分的平均值。 u 0M0Ma aK只需將上式應(yīng)用球面只需將上式應(yīng)用球面 ，即，即 ，并注意，并注意aK aKar11 21)1()1(arrrn以及以及011 dSnuadSnuraaKK牛曼內(nèi)問題有解的必牛曼內(nèi)問題有解的必要條件要條件所以所以 aKdSuaMu2041)( （4）拉普拉斯方程解的唯一性問題）拉普拉斯方程解的唯一性問題現(xiàn)在，利用格林公式來討論拉普拉斯方程的唯一性問題。將證明如下結(jié)論：現(xiàn)在，利用格林公式來討論拉普拉斯方程的唯一性問題。將

23、證明如下結(jié)論：確確定定的的。差差一一常常數(shù)數(shù)而而外外也也是是唯唯一一牛牛曼曼問問題題的的解解，除除了了相相內(nèi)內(nèi)的的解解是是唯唯一一確確定定的的；在在）問問題題迪迪利利克克萊萊（)()(,Dirichlet21 CC 設(shè)設(shè) ， 是定解問題的兩個(gè)解，則它們的差是定解問題的兩個(gè)解，則它們的差 也必定是原問題，且滿足邊界也必定是原問題，且滿足邊界條件的解。對(duì)于迪氏問題，條件的解。對(duì)于迪氏問題， 滿足滿足1u2u21uuv v對(duì)于牛曼問題，對(duì)于牛曼問題， 滿足滿足v 002vv內(nèi)內(nèi)在在 )16. 4( 002nvv內(nèi)內(nèi)在在 )17. 4(內(nèi)為一常數(shù)。內(nèi)為一常數(shù)。，在，在的函數(shù)的函數(shù)滿足條件滿足條件內(nèi)恒為

24、零；內(nèi)恒為零；則在則在，若滿足，若滿足的函數(shù)的函數(shù)滿足條件滿足條件 vCvv)(4.17, )()16. 4(1以下需要證明：以下需要證明：BA交集交集內(nèi)為一常數(shù)。內(nèi)為一常數(shù)。，在，在的函數(shù)的函數(shù)滿足條件滿足條件內(nèi)恒為零；內(nèi)恒為零；則在則在，若滿足，若滿足的函數(shù)的函數(shù)滿足條件滿足條件 vCvv)(4.17, )()16. 4(1 以下需要證明：以下需要證明：Vduv2 dVuvdSnuv )8 . 4(事實(shí)上，在（事實(shí)上，在（4.8）中，?。┲?，取 ，則得，則得21uuvu dVvgreddSnvv2)(0 由條件（由條件（4.16）或（）或（4.17）得）得0)(2 dVvgred 002v

25、v內(nèi)內(nèi)在在 )16. 4( 002nvv內(nèi)內(nèi)在在 )17. 4(故在故在 內(nèi)必有內(nèi)必有 0 vgred即即Cvzvyvxv 或或0。故故，得得對(duì)于迪氏問題，由對(duì)于迪氏問題，由0v0C,0 v4.4.3 3 格林函數(shù)格林函數(shù) (Green Function) dSnMurrnMuMuMMMM )(1)1()(41)(000 )12. 4( 調(diào)和函數(shù)的基本積分表達(dá)式調(diào)和函數(shù)的基本積分表達(dá)式 0M nu u上述（上述（4.12）式說明了調(diào)和函數(shù)可以用邊界）式說明了調(diào)和函數(shù)可以用邊界 上的函數(shù)上的函數(shù) 和邊界上法方向的導(dǎo)數(shù)和邊界上法方向的導(dǎo)數(shù) ，來確，來確定定它在區(qū)域它在區(qū)域 內(nèi)任意一點(diǎn)內(nèi)任意一點(diǎn) 的

26、函數(shù)值！的函數(shù)值！ 但是，這個(gè)公式不能直接提供迪氏（但是，這個(gè)公式不能直接提供迪氏（Dirichlet) 問題或牛曼（問題或牛曼（Neumann）問題的解，因?yàn)楣﹩栴}的解，因?yàn)楣绞街校褐校杭劝思劝?u又包含了又包含了 nu對(duì)于狄氏問題而言對(duì)于狄氏問題而言已知，但已知，但 不知道不知道 u nu而對(duì)于牛氏問題而言而對(duì)于牛氏問題而言 nu已知，但已知，但 不知道不知道 u由解的唯一性知道，當(dāng)給定了由解的唯一性知道，當(dāng)給定了 之后，就不能再任意給定之后，就不能再任意給定 。所以要想從（。所以要想從（4.12）式）式中中得到如迪氏問題的解，就必須消去得到如迪氏問題的解，就必須消去 ，這就需

27、要引進(jìn)，這就需要引進(jìn)格林函數(shù)格林函數(shù)的概念。的概念。 u nu nuVduvvu)(22 dSnuvnvu)( )9 . 4(在上述第二格林公式（在上述第二格林公式（4.9）中，?。┲校?， 均為均為 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且在內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且在 上有連續(xù)一階偏上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則得導(dǎo)數(shù)，則得uv dSnvunuv)(0 )18. 4( dSnMurrnMuMuMMMM )(1)1()(41)(000 )12. 4(將（將（4.12）與（）與（4.18）相減，得）相減，得 dSnuvrrnnvuMuMMMM )41()1(41)(000 )19. 4(如果能夠選取調(diào)和函數(shù)如果能夠選取調(diào)和函數(shù) ，使

28、其滿足，使其滿足v 041MMrv )20. 4(則（則（4.19）中的）中的 項(xiàng)就被消去了，于是有項(xiàng)就被消去了，于是有 nudSvrnuMuMM)41()(00 )21. 4(dSvrnuMuMM)41()(00 )21. 4( 令令vrMMGMM 041),(0 )22. 4(則（則（4.21）式可表示為）式可表示為dSnGuMu )(0G 被稱為拉普被稱為拉普拉斯方程的格林函數(shù)拉斯方程的格林函數(shù) 討論：討論：(1) 階偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)于階偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)于 Laplace 方程的方程的 Dirichlet 問題問題如果格林函數(shù)表達(dá)式中的如果格林函數(shù)表達(dá)式中的 一經(jīng)求得，且它在閉區(qū)域一經(jīng)求得，且它在閉

29、區(qū)域 上存在連續(xù)的一上存在連續(xù)的一v )(02Mfvv內(nèi)內(nèi)在在 的解存在，那么這個(gè)解必定能夠表示成的解存在，那么這個(gè)解必定能夠表示成dSnGMfMu )()(0對(duì)于對(duì)于Poisson 方程方程 的的 Dirichlet 問題問題 )(2MfvFv內(nèi)內(nèi)在在 若存在在若存在在 上一次連續(xù)可微的解，那么這上一次連續(xù)可微的解，那么這個(gè)解必定能夠表示成個(gè)解必定能夠表示成 dVGFdSnGMfMu )()(0)23. 4()1-23. 4( 討論討論: (2) vrMMGMM 041),(0 )22. 4(從從 可知，確定這個(gè)格林函數(shù)，又必須解一個(gè)特殊的狄氏問題可知，確定這個(gè)格林函數(shù)，又必須解一個(gè)特殊的狄

30、氏問題 這樣一來，對(duì)任意函數(shù)這樣一來，對(duì)任意函數(shù) ，求解拉普拉斯方程或泊松方程的迪氏問題的解，就被轉(zhuǎn)化為，求解拉普拉斯方程或泊松方程的迪氏問題的解，就被轉(zhuǎn)化為求此區(qū)域內(nèi)的格林函數(shù)。求此區(qū)域內(nèi)的格林函數(shù)。f 04102MMrvv 內(nèi)內(nèi)在在 )24. 4( 對(duì)于一般的區(qū)域而言，求解（對(duì)于一般的區(qū)域而言，求解（4.24）決非易事。但是，（）決非易事。但是，（4.23）確乎有重要意義?。┐_乎有重要意義！dSnGMfMu )()(0)23. 4(因?yàn)椋阂驗(yàn)椋海?）格林函數(shù)只與區(qū)域有關(guān)，而與原定解問題中所給出的非齊次項(xiàng)、邊界條件都無關(guān)，只要）格林函數(shù)只與區(qū)域有關(guān)，而與原定解問題中所給出的非齊次項(xiàng)、邊界條件

31、都無關(guān)，只要 求得了某個(gè)區(qū)域中的格林函數(shù)，則由（求得了某個(gè)區(qū)域中的格林函數(shù)，則由（4.23）或（）或（4.23-1），便可解決所有這個(gè)區(qū)域的迪），便可解決所有這個(gè)區(qū)域的迪 氏邊值問題；氏邊值問題；（2）對(duì)于某些特定的區(qū)域，如球、半空間等，格林函數(shù)可以用初等方法求得。）對(duì)于某些特定的區(qū)域，如球、半空間等，格林函數(shù)可以用初等方法求得。 討論討論: (3) 格林函數(shù)在靜電學(xué)中有廣泛的應(yīng)用格林函數(shù)在靜電學(xué)中有廣泛的應(yīng)用0MM 閉曲面閉曲面 格林函數(shù)的靜電源像法或稱為鏡像法，其發(fā)源于靜電學(xué)格林函數(shù)的靜電源像法或稱為鏡像法，其發(fā)源于靜電學(xué)原理。原理。 設(shè)閉曲面設(shè)閉曲面 內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn) 處，有一個(gè)單位正電荷。

32、則它在處，有一個(gè)單位正電荷。則它在 面的內(nèi)側(cè)感應(yīng)有一定分布的密度的負(fù)電荷，而在面的內(nèi)側(cè)感應(yīng)有一定分布的密度的負(fù)電荷，而在 的外的外側(cè)分布有相應(yīng)的正電荷。（單位電荷的電量側(cè)分布有相應(yīng)的正電荷。（單位電荷的電量 q=1)0M 如果曲面如果曲面 是導(dǎo)體并接地，則外側(cè)正電荷立即消失，是導(dǎo)體并接地，則外側(cè)正電荷立即消失，且電位為零。這時(shí)，且電位為零。這時(shí)， 內(nèi)任意一點(diǎn)內(nèi)任意一點(diǎn) 的電位，將由兩種電的電位，將由兩種電荷共同作用產(chǎn)生（貢獻(xiàn)）：荷共同作用產(chǎn)生（貢獻(xiàn)）： M0410MMrM 為為位位處的正電荷，產(chǎn)生的電處的正電荷，產(chǎn)生的電一是在點(diǎn)一是在點(diǎn).v為為位位生的電生的電內(nèi)側(cè)的負(fù)電荷分布，產(chǎn)內(nèi)側(cè)的負(fù)電荷分

33、布，產(chǎn)二是在二是在 04102MMrvv 內(nèi)內(nèi)在在 )24. 4( 這就是定解問題（這就是定解問題（4.24）的解。因此這里格林函數(shù)也）的解。因此這里格林函數(shù)也就是導(dǎo)體曲面內(nèi)的電位。就是導(dǎo)體曲面內(nèi)的電位。 電像法電像法這種在像點(diǎn)處放置一虛構(gòu)的電荷，來等效替代界面上這種在像點(diǎn)處放置一虛構(gòu)的電荷，來等效替代界面上 感應(yīng)電荷所產(chǎn)生電位的方法，稱之為電像法。感應(yīng)電荷所產(chǎn)生電位的方法，稱之為電像法。4.4.4 4 兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù) (Green Function)及迪氏問題的解及迪氏問題的解 dSnGMfMu )()(0)23. 4(只要求出了它的格林函數(shù)，這個(gè)區(qū)域內(nèi)的迪氏問

34、題的解，就只要求出了它的格林函數(shù)，這個(gè)區(qū)域內(nèi)的迪氏問題的解，就能以積分形式表示出來。能以積分形式表示出來。從（從（4.23）式知，對(duì)于一個(gè)由曲面）式知，對(duì)于一個(gè)由曲面 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 ， 實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我們，對(duì)于某些特殊的區(qū)域，它的格林函數(shù)可以用電像法求得。所謂電像法實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我們，對(duì)于某些特殊的區(qū)域，它的格林函數(shù)可以用電像法求得。所謂電像法 就是：在區(qū)域就是：在區(qū)域 外，找到外，找到 關(guān)于邊界關(guān)于邊界 的像點(diǎn)的像點(diǎn) ， 然后在這個(gè)像點(diǎn)放置適當(dāng)?shù)呢?fù)電荷，然后在這個(gè)像點(diǎn)放置適當(dāng)?shù)呢?fù)電荷， 由它產(chǎn)生的負(fù)電位與由它產(chǎn)生的負(fù)電位與 點(diǎn)單位正電荷所產(chǎn)生的正電位恰好在曲面點(diǎn)單位正電荷所產(chǎn)生的正電

35、位恰好在曲面 上互相抵消。上互相抵消。 0M1M0M 由于由于 在在 內(nèi)部，它的像點(diǎn)內(nèi)部，它的像點(diǎn) 在在 的外部，所以放在的外部，所以放在 處的像電荷所產(chǎn)生的電位，處的像電荷所產(chǎn)生的電位，在在 內(nèi)部?jī)?nèi)部 正是調(diào)和函數(shù)正是調(diào)和函數(shù) ，而且依據(jù)要求，有，而且依據(jù)要求，有 0M 1M 1M v 041MMrv 故，在故，在 與與 處，兩個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)所形成的電位，就是所要求的格林函數(shù)。下處，兩個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)所形成的電位，就是所要求的格林函數(shù)。下面，將以半空間、球域?yàn)槔f明電像法的應(yīng)用。面，將以半空間、球域?yàn)槔f明電像法的應(yīng)用。1M0M4.4.1 半空間的格林函數(shù)半空間的格林函數(shù) 求解拉普

36、拉斯方程在半空間求解拉普拉斯方程在半空間 內(nèi)的迪氏問題，就是求函數(shù)內(nèi)的迪氏問題，就是求函數(shù) ，使之適合，使之適合0 z),(zyxu yxyxfuzzuyuxuz,),(0,00222222（1） 首先在像點(diǎn)處設(shè)置等量異號(hào)的虛構(gòu)電荷首先在像點(diǎn)處設(shè)置等量異號(hào)的虛構(gòu)電荷找出找出 關(guān)于關(guān)于 平面的對(duì)稱點(diǎn)平面的對(duì)稱點(diǎn) ，),(0001zyxM 0M0 z并且在該點(diǎn)置等量異電荷（單位負(fù)電荷）。這樣，并且在該點(diǎn)置等量異電荷（單位負(fù)電荷）。這樣，0M在半空間在半空間 處的處的 點(diǎn)，置單位正電荷，點(diǎn)，置單位正電荷，0 z),(0000zyxM與與 所產(chǎn)生的電位，在所產(chǎn)生的電位，在 平面上相互抵消。平面上相互抵

37、消。1M0 z),(0000zyxM),(0001zyxM ),(zyxMxyz0)25. 4(),(0MMG（2） 尋找格林函數(shù)尋找格林函數(shù) ),(0000zyxM),(0001zyxM ),(zyxMxyz0點(diǎn)產(chǎn)生的電位點(diǎn)產(chǎn)生的電位（正電荷），在（正電荷），在 MM 0041MMrq 點(diǎn)點(diǎn)產(chǎn)產(chǎn)生生的的電電位位之之外外（負(fù)負(fù)電電荷荷），在在在在MM 1141MMrq 點(diǎn)產(chǎn)生的總電位點(diǎn)產(chǎn)生的總電位在在、因此，因此，MMM101044),(0MMMMrqrqMMv 和和像像點(diǎn)點(diǎn)的的位位置置，使使當(dāng)當(dāng)選選取取在在上上半半平平面面內(nèi)內(nèi)調(diào)調(diào)和和。適適其其中中，qrqMM14 0),(0 MMv就是調(diào)和

38、函數(shù)！就是調(diào)和函數(shù)！這個(gè)這個(gè)),(0MMv)1,1()11(41),(),(1000 qrrMMvMMGMMMM其中取其中取)26. 4(（3） 求定解問題的解求定解問題的解 yxyxfuzzuyuxuz,),(0,00222222)11(41),(100MMMMrrMMG )25. 4()26. 4(軸軸的的負(fù)負(fù)向向，所所以以有有處處的的外外法法線線方方向向，是是由由于于在在平平面面）的的解解，需需計(jì)計(jì)算算為為求求得得（zOznG0,4.25 00 zzzGnG 0232020200232020200)()()()()()(41 zzzyyxxzzzzyyxxzz 232020200)()(

39、21zyyxxz )27. 4(）式式（普普拉拉斯斯的的格格林林函函數(shù)數(shù)解解公公將將這這個(gè)個(gè)格格林林函函數(shù)數(shù)代代入入拉拉4.23dSnGMfMu )()(0)23. 4(的解為的解為最后，最后，)25. 4( dxdyyxfzyyxxzzyxu),()()(21),(232020200000 0MM0R1M 4.4.2 球域的格林函數(shù)球域的格林函數(shù)設(shè)有一球心在原點(diǎn)，半徑為設(shè)有一球心在原點(diǎn)，半徑為 的球面的球面 ， R 在球內(nèi)任取一點(diǎn)在球內(nèi)任取一點(diǎn) ，連接，連接)(000 OMrM0OM并延長(zhǎng)至并延長(zhǎng)至 ，使，使 ，點(diǎn)，點(diǎn) 被稱為點(diǎn)被稱為點(diǎn)1M210RrrOMOM 1M0M 關(guān)于球面關(guān)于球面 的

40、的反演點(diǎn)反演點(diǎn)或或鏡像點(diǎn)鏡像點(diǎn)。 210R 在在 放置單位正電荷，在放置單位正電荷，在 放置放置 單位的負(fù)電荷。單位的負(fù)電荷。0M1Mq 下面，需要適當(dāng)選擇下面，需要適當(dāng)選擇 的值，使得這兩個(gè)電荷所產(chǎn)生的電位，在球面的值，使得這兩個(gè)電荷所產(chǎn)生的電位，在球面 上相互抵消。即上相互抵消。即q MMMMrqr10441 或或MMMMrrq01 其中，其中， 是球面是球面 上任一點(diǎn)。上任一點(diǎn)。),(zyxM 1 1OMr以以 表示表示 ，則，則（1）建立反演點(diǎn)）建立反演點(diǎn) 或鏡像點(diǎn)或鏡像點(diǎn))(210ROMOM 0 1 0M),(zyxM0R1M （2）尋找調(diào)和函數(shù)）尋找調(diào)和函數(shù),001MOMOMOMO

41、MM 有公共角有公共角在在與與由于由于,10 RR 例例且夾這個(gè)角的兩邊成比且夾這個(gè)角的兩邊成比 M0M1 0 R1M0從而有從而有因此有因此有,01MOMOMM 001 RrrMMMM MMMMrqr10441 0 Rq 故故因此，只要在點(diǎn)因此，只要在點(diǎn) 處放置處放置 單位的負(fù)電荷，由它所形成的電場(chǎng)，在任一點(diǎn)單位的負(fù)電荷，由它所形成的電場(chǎng)，在任一點(diǎn) 的的電位電位),(zyxM1M0 Rq MMrRv104 00MM0 0 1 R MMMMrRr100441 0M),(zyxM0R1M MMrRv104 這個(gè)電位這個(gè)電位 ，不僅在，不僅在 所圍成的球域所圍成的球域 的內(nèi)部是的內(nèi)部是調(diào)和函數(shù)！而

42、且在調(diào)和函數(shù)！而且在 上具有一次連續(xù)可微，同時(shí)上具有一次連續(xù)可微，同時(shí)在在 上滿足上滿足v 所以，球域的格林函數(shù)為所以，球域的格林函數(shù)為)1(41),(1000MMMMrRrMMG 0 （3）求解球域內(nèi)的）求解球域內(nèi)的 迪氏問題迪氏問題 ),(,02zyxfuu內(nèi)部?jī)?nèi)部在在1 ),(,02zyxfuu內(nèi)部?jī)?nèi)部在在現(xiàn)在，利用格林函數(shù)求球域內(nèi)的迪氏問題現(xiàn)在，利用格林函數(shù)求球域內(nèi)的迪氏問題的解。為此，需要計(jì)算出的解。為此，需要計(jì)算出 ，注意到，注意到 nGR cos21102200 MMr M0M 0 1M01 )1(41),(1000MMMMrRrMMG cos21112211 MMrdSnGMf

43、Mu )()(0)23. 4(從更廣泛的意義上從更廣泛的意義上,:OMr 其中其中的的夾夾角角）與與的的夾夾角角（當(dāng)當(dāng)然然也也是是與與是是OMOMOMOM10 于是于是(41),(0 MMG cos210220 cos211221 )(210R 0M),(zyxM0R1M 0 1 于是于是(41),(0 MMG cos210220 cos211221 )(210R RRRRRRGnG 234022002202302020)cos2()cos()cos2(cos41230202202)cos2(41 RRR dSnGMfMu )()(0)23. 4(代入（代入（4.23）式，可得球內(nèi)迪氏問題的解

44、）式，可得球內(nèi)迪氏問題的解dSfRRRMu2302022020)cos2(41)( 在球面在球面 上上 , 有有2222Rzyx dSfRRRMu2302022020)cos2(41)( 上式寫成球坐標(biāo)形式上式寫成球坐標(biāo)形式其中：其中：)31. 4( ddRRRRfRusin)cos2(),(4),(230202202020000 )32. 4(R M0M 0 1M01 的坐標(biāo)的坐標(biāo)為點(diǎn)為點(diǎn)0000),(M 坐標(biāo)坐標(biāo)上點(diǎn)上點(diǎn)為球面為球面MR ),( 夾角的余弦夾角的余弦與與是是OMOM0cos ）（的方向余弦為的方向余弦為000000cos,sinsin,cossin OM）（的的方方向向余余

45、弦弦為為 cos,sinsin,cossinOM)coscossin(sinsinsincoscoscos0000 )cos(sinsincoscos000 以上推導(dǎo)都是形式上的，即假定以上推導(dǎo)都是形式上的，即假定定解問題有解的條件下得到的解定解問題有解的條件下得到的解的表達(dá)式，至于（的表達(dá)式，至于（4.28)與（與（4.32）是否就是定解問題的解，尚需加是否就是定解問題的解，尚需加以驗(yàn)證。在此從略。以驗(yàn)證。在此從略。為什么要引入格林函數(shù)？為什么要引入格林函數(shù)？1.為了建立為了建立 Laplace 方程解的表達(dá)式，需要導(dǎo)出方程解的表達(dá)式，需要導(dǎo)出 Green 公式。因?yàn)樗菙?shù)學(xué)分析中線公式。因

46、為它是數(shù)學(xué)分析中線面面 積分奧積分奧高公式的直接推論。高公式的直接推論。2. 從解的形式（有限解分）入手，便于深入地進(jìn)行理論分析和研究。從解的形式（有限解分）入手，便于深入地進(jìn)行理論分析和研究。3. 以統(tǒng)一的方式，研究各類定解問題。以統(tǒng)一的方式，研究各類定解問題。4. 對(duì)于線性問題，格林函數(shù)一旦求出，就可以計(jì)算任意源的場(chǎng)。最為漂亮的是求點(diǎn)源場(chǎng)分布。對(duì)于線性問題，格林函數(shù)一旦求出，就可以計(jì)算任意源的場(chǎng)。最為漂亮的是求點(diǎn)源場(chǎng)分布。幾種方法的比較幾種方法的比較1. 行波法：廣泛應(yīng)用于無界空間的波動(dòng)問題，有一定的局限性。行波法：廣泛應(yīng)用于無界空間的波動(dòng)問題，有一定的局限性。2.分離變量法：誠(chéng)然很基本、

47、很重要?？梢詰?yīng)用于頗為廣泛類型的定解問題，但其解為無分離變量法：誠(chéng)然很基本、很重要?？梢詰?yīng)用于頗為廣泛類型的定解問題，但其解為無 窮級(jí)數(shù)，這總將帶來一些不便。窮級(jí)數(shù)，這總將帶來一些不便。3.格林函數(shù)法：直接求特解，囊括了各種定解問題。只要求出各類邊值問題相應(yīng)的格林函格林函數(shù)法：直接求特解，囊括了各種定解問題。只要求出各類邊值問題相應(yīng)的格林函 數(shù)數(shù) G , 問題迎刃而解。問題迎刃而解。內(nèi)容提要內(nèi)容提要1. 格林公式格林公式 設(shè)設(shè) 是以足夠光滑的曲面、是以足夠光滑的曲面、 為邊界的有界區(qū)域。函數(shù)為邊界的有界區(qū)域。函數(shù) 和和3R ),(zyxu),(zyxv 在在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在上具有一階

48、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在 內(nèi)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，則有內(nèi)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，則有 （1）第一格林公式：）第一格林公式： dVvudVvudSnvu2（2）第二格林公式：）第二格林公式： dVuvvudSnuvnvu)()(222. 調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)0M xyz0 KM（1）基本積分公式）基本積分公式 dSnMurrnMuMuMMMM )(1)1()(41)(000 )12. 4( dSrnMunMurMuMMMM)1()()(141)(000 0M nu u上述（上述（4.12）式說明了調(diào)和函數(shù)可以用邊界）式說明了調(diào)和函數(shù)可以用邊界 上的函數(shù)上的函數(shù) 和邊界上法方向的導(dǎo)數(shù)和邊界上法方向

49、的導(dǎo)數(shù) ，來確，來確定定它在區(qū)域它在區(qū)域 內(nèi)任意一點(diǎn)內(nèi)任意一點(diǎn) 的函數(shù)值！的函數(shù)值！)(0 M內(nèi)容提要內(nèi)容提要（2）0)( dSnMu（3）平均值公式）平均值公式0)(41)(20MRSdSMuRMu 的球面。的球面。為半徑，且完全含于為半徑，且完全含于為中心，以為中心，以是以是以其中其中 RMSMR003. 格林函數(shù)的定義格林函數(shù)的定義，且且令令0),(,41),(000 MMGvrMMGMM 克克雷雷問問題題的的格格林林函函數(shù)數(shù)。上上，拉拉普普拉拉斯斯方方程程狄狄利利稱稱為為區(qū)區(qū)域域則則 ),(0MMG滿足滿足其中其中v MMrvv041(02 內(nèi)）內(nèi)）在在4. 特殊區(qū)域上的格林函數(shù)特殊區(qū)

50、域上的格林函數(shù)（1）上半空間的格林函數(shù)）上半空間的格林函數(shù) MMMMrrMMG101141),(0 ),(),(00010000zyxMzyxM 為上半空間內(nèi)的點(diǎn)，為上半空間內(nèi)的點(diǎn)，其中其中0M xyz0 KM內(nèi)容提要內(nèi)容提要為球的半徑，為球的半徑，關(guān)于球面的反演點(diǎn)，關(guān)于球面的反演點(diǎn)，為為，為球內(nèi)的點(diǎn)為球內(nèi)的點(diǎn)其中其中RMMzyxM010000),( 2020200zyx （2）球域的格林函數(shù)）球域的格林函數(shù) MMMMrRrMMG101141),(00 5. 特殊區(qū)域上拉普拉斯方程狄利克雷問題的解特殊區(qū)域上拉普拉斯方程狄利克雷問題的解0M xyz0 KM（1）上半空間上狄利克雷問題）上半空間上

51、狄利克雷問題 yxyxfuzzuyuxuz,),(0,00222222 yxyxfuzuz,),(0,002的解為的解為 dxdyyxfzyyxxzzyxu),()()(21),(232020200000 dxdyzyyxxyxfz232020200)()(),(2 內(nèi)容提要內(nèi)容提要（2）球上狄利克雷問題）球上狄利克雷問題 ):(,),()(,0222222222RzyxzyxfuRzyxu的解為的解為dSfRRRMu2302022020)cos2(41)( 或?qū)懗汕蜃鴺?biāo)形式為或?qū)懗汕蜃鴺?biāo)形式為 ddRRRRfRusin)cos2(),(4),(230202202020000 的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，

52、上點(diǎn)上點(diǎn)是球面是球面的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，為點(diǎn)為點(diǎn)其中其中MM ),(),(0000 夾角的余弦。夾角的余弦。與與是是OMOM0cos 0M),(zyxM0R1M 0 1 內(nèi)容提要內(nèi)容提要之一：通量的定義（平面）之一：通量的定義（平面）xy0n AnAMl的的曲曲線線積積分分沿沿其其中中某某一一有有向向曲曲線線設(shè)設(shè)有有平平面面矢矢量量場(chǎng)場(chǎng)lMA, )(ldAln 的的通通量量。的的方方向向，穿穿過過曲曲線線沿沿法法矢矢叫叫做做矢矢量量場(chǎng)場(chǎng)lnMA, )(在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，設(shè)設(shè)jyxQiyxPA),(),(的的單單位位法法矢矢曲曲線線 ljynixnn),cos(),cos(jxiy),c

53、os(),cos( jldxdildyd可可表表示示為為則則通通量量 lllnxQdyPdldnAldA 準(zhǔn)備知識(shí)準(zhǔn)備知識(shí)準(zhǔn)備知識(shí)準(zhǔn)備知識(shí)之二：散度的定義（平面）之二：散度的定義（平面）點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，比比式式以以任任意意方方式式收收縮縮向向若若從從其其內(nèi)內(nèi)部部穿穿出出的的通通量量，表表示示。以以，面面積積為為它它所所包包圍圍的的平平面面區(qū)區(qū)域域?yàn)闉?，任任一一閉閉曲曲線線點(diǎn)點(diǎn)在在內(nèi)內(nèi)的的點(diǎn)點(diǎn)的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，作作一一包包含含在在設(shè)設(shè)有有平平面面矢矢量量場(chǎng)場(chǎng)MSlMMMA , )(Ml S SldASln 點(diǎn)點(diǎn)的的散散度度，即即在在限限為為矢矢量量場(chǎng)場(chǎng)之之極極限限存存在在，則則稱稱此此極極MMA)(S

54、ldASAdivlnMM limlimjyxQiyxPA),(),(這里這里1習(xí)題習(xí)題證證明明平平面面上上的的格格林林公公式式sdnvunuvdvuuvCD)()(22 公式公式平面格林平面格林證證)(GreenyQdxPddyPxQCD )(.,為為弧弧微微分分的的邊邊界界曲曲線線為為其其中中dsDC。上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)處處單單位位切切矢矢為為關(guān)關(guān)系系，設(shè)設(shè)由由第第一一、第第二二型型線線積積分分 C)cos,(cos則則上上式式可可寫寫成成sdQPyQdxPddyPxQCCD)coscos()( 現(xiàn)令現(xiàn)令xvuyxQyvuyxP),(,),(代入上式得代入上式得sdQPyQdxPddyPxQC

55、CD)coscos()( 現(xiàn)令現(xiàn)令xvuyxQyvuyxP),(,),(代代入入上上式式得得sdxvuyvudvgredugreddvuCDD coscos）式式又又可可得得的的位位置置，由由（交交換換1, vu)1()2(sdxuvyuvdvgredugredduvCDD coscos)3(式式得得）（)3(2 sdyvxvusdxuyuvduvvuCCD coscoscoscossdyvxvusdxuyuvduvvuCCD coscoscoscos的關(guān)系，有的關(guān)系，有與切矢量與切矢量注意法矢量注意法矢量 n),cos(cos,),cos(cosynxn 代入上式得代入上式得sdxnxuyn

56、yuvduvvuCD),cos(),cos( sdynyvxnxvuC),cos(),cos(sdnuvnvusdnvgredunugredvCC)( duvvuD即即sdnuvnvuC)(由此得證。由此得證。2習(xí)題習(xí)題中中解解（稱稱為為基基本本解解），其其是是二二維維拉拉普普拉拉斯斯方方程程的的驗(yàn)驗(yàn)證證ru1ln2020)()(yyxxr寫成極坐標(biāo)形式寫成極坐標(biāo)形式將將證證0u )0(01122222rurrurru rruln1ln22221)1(,0,1rrruurru 代入方程代入方程0,01122右邊右邊左邊左邊rr).)()()()(0,),(),(01ln20202000zzyy

57、xxrLaplaceuyxyxrru方方程程解解中中的的作作用用拉拉普普拉拉斯斯其其作作用用、地地位位同同在在三三維維，滿滿足足的的任任何何點(diǎn)點(diǎn)處處即即在在注注 DC1z 1l 設(shè)想，將設(shè)想，將 所圍成的區(qū)域（孤立奇點(diǎn)就在其中）挖去，所圍成的區(qū)域（孤立奇點(diǎn)就在其中）挖去，1l閉二通區(qū)域閉二通區(qū)域 上解析。引一條割線連通內(nèi)、外境界線，使二通上解析。引一條割線連通內(nèi)、外境界線，使二通得到一個(gè)有得到一個(gè)有“孔孔”的閉區(qū)域的閉區(qū)域 ，即所謂的二通區(qū)域，即所謂的二通區(qū)域 ， 在這個(gè)在這個(gè) )(zf區(qū)域變成單通區(qū)域。區(qū)域變成單通區(qū)域。D1z 既然既然 在挖去奇點(diǎn)后的在挖去奇點(diǎn)后的)(zf 二通區(qū)域解析，那

58、么對(duì)于割成后二通區(qū)域解析，那么對(duì)于割成后 閉單通區(qū)域內(nèi)解析。于是閉單通區(qū)域內(nèi)解析。于是A0)( AHGFABEDCBAzdzfBCDEFGH即即1l BAzdzf)( 1)(lzdzf ABzdzf)(l lzdzf)(0 亦即亦即 1)(lzdzf lzdzf)(0 以上按區(qū)域邊界正向規(guī)定：沿邊界線行進(jìn)，區(qū)域總在左邊。以上按區(qū)域邊界正向規(guī)定：沿邊界線行進(jìn)，區(qū)域總在左邊。3習(xí)題習(xí)題分分表表達(dá)達(dá)式式建建立立二二維維調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)的的積積試試?yán)糜闷狡矫婷娓窀窳至止绞剑?)(2102DMRDMu于任一點(diǎn)于任一點(diǎn)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)，對(duì)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)，對(duì)在在，設(shè)，設(shè)，習(xí)題，習(xí)題由習(xí)題由習(xí)題解解

59、為心，為心，作以，作以之外，之外，內(nèi)，除內(nèi)，除在在公式中，取公式中，取在平面在平面0000,1lnGreenMvMDMMv 用平面格林公式，得用平面格林公式，得及及內(nèi)，對(duì)內(nèi)，對(duì)在在為半徑，其邊界為為半徑，其邊界為vuDDC ,0sdrnunurdruurMMMMCCMMDDMM)1ln1ln()1ln1(ln0000/ ，故有，故有內(nèi)，內(nèi)，因?yàn)樵谝驗(yàn)樵?1ln/0MMrDD sdrnunursdrnunurdurMMMMCMMMMCDDMM)1ln1ln)1ln1(ln1ln00000/ 11)ln()ln(1ln,0000MMMMMMMMrrrrnrC 上上因?yàn)樵谝驗(yàn)樵诠噬鲜接叶说诙?xiàng)積分故

60、上式右端第二項(xiàng)積分，且且 ln1ln0MMr D D C0MxyMC02vv sdrnunursdrnunurdurMMMMCMMMMCDDMM)1ln1ln)1ln1(ln1ln00000/ CCMMMMCsdusdnusdrnunur11ln)1ln1ln00 11)ln()ln(1ln,0000MMMMMMMMrrrrnrnC 上上因?yàn)樵谝驗(yàn)樵诠噬鲜接叶说诙?xiàng)積分故上式右端第二項(xiàng)積分，且且 ln1ln1ln0MMr運(yùn)運(yùn)用用積積分分中中值值定定理理)(12)(2lnMunMu （在在邊邊界界上上），于于是是有有其其中中 DMM,sdrnunurdurMMMMCDDMM)1ln1(ln1ln