南京理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計ppt課件

1、第八章第八章 正交實驗設(shè)計正交實驗設(shè)計(experiment design )8.1 要素要素(factor)與程度與程度(level)因此如何合理地安排實驗，如何對實驗的結(jié)果進展科因此如何合理地安排實驗，如何對實驗的結(jié)果進展科學(xué)的分析，就成為人們非常關(guān)懷的問題。在工農(nóng)業(yè)消學(xué)的分析，就成為人們非常關(guān)懷的問題。在工農(nóng)業(yè)消費的推進下，這方面的實際和研討構(gòu)成了統(tǒng)計學(xué)的一費的推進下，這方面的實際和研討構(gòu)成了統(tǒng)計學(xué)的一個重要分支個重要分支實驗設(shè)計，并得到了廣泛的運用。實驗設(shè)計，并得到了廣泛的運用。我們遇到的實踐問題，普通都是比較復(fù)雜的，包含有我們遇到的實踐問題，普通都是比較復(fù)雜的，包含有多種要素，各個要

2、素又有不同的形狀，它們相互交錯多種要素，各個要素又有不同的形狀，它們相互交錯在一同。為了尋求適宜的消費條件，就要對各種要素在一同。為了尋求適宜的消費條件，就要對各種要素以及各個要素的不同形狀進展實驗。以及各個要素的不同形狀進展實驗。例例811 提高某種農(nóng)藥收率的實驗提高某種農(nóng)藥收率的實驗?zāi)侈r(nóng)藥廠消費某種農(nóng)藥，根據(jù)消費閱歷，發(fā)現(xiàn)影響某農(nóng)藥廠消費某種農(nóng)藥，根據(jù)消費閱歷，發(fā)現(xiàn)影響農(nóng)藥收率的要素有農(nóng)藥收率的要素有4個，每個要素都有兩種形狀，詳個，每個要素都有兩種形狀，詳細如下：細如下：A反響溫度：反響溫度： 60 80 B反響時間：反響時間： 2.5小時小時 3.5小時小時C配比某兩種原料之比配比某兩

3、種原料之比:D真空度真空度: 500毫米汞柱毫米汞柱 600毫米汞柱毫米汞柱1A2A1B2B121.1 11.2 1CC1D2D我們通常稱影響實驗?zāi)康牡囊貫橐蜃樱覀兺ǔ７Q影響實驗?zāi)康牡囊貫橐蜃?，用大寫字母用大寫字母A A，B B，C C，表示；表示；能夠處于的形狀稱為程度，用該字母加上足標(biāo)能夠處于的形狀稱為程度，用該字母加上足標(biāo)表示。表示。例如，例如， ， 表示因子表示因子A A的第一，第二，的第一，第二，程度等。程度等。我們把實驗中需求思索多個因子，而每個因子我們把實驗中需求思索多個因子，而每個因子又有多個程度有待調(diào)查的實驗問題稱為多因子又有多個程度有待調(diào)查的實驗問題稱為多因子實驗問題

4、。實驗問題。 1A2A例例8.1.18.1.1就是四個兩程度的因子實驗問題。就是四個兩程度的因子實驗問題。 我們希望經(jīng)過實驗處理的問題是：我們希望經(jīng)過實驗處理的問題是：1找出各因子對目的的影響規(guī)律，哪個因子是主找出各因子對目的的影響規(guī)律，哪個因子是主要的，哪個是次要的？哪些因子除了各自的單獨作要的，哪個是次要的？哪些因子除了各自的單獨作用外，它們之間還產(chǎn)生綜合效果？這種綜合效果有用外，它們之間還產(chǎn)生綜合效果？這種綜合效果有多大？對目的的影響，綜合效果是主要的，還是因多大？對目的的影響，綜合效果是主要的，還是因子的單獨作用是主要的？子的單獨作用是主要的？2 選出各因子的一個程度來組合成比較適宜的

5、選出各因子的一個程度來組合成比較適宜的消費條件，以下通稱最優(yōu)消費條件，這里的最優(yōu)是消費條件，以下通稱最優(yōu)消費條件，這里的最優(yōu)是對實驗所調(diào)查的因子和程度而言。對實驗所調(diào)查的因子和程度而言。上面的問題對例上面的問題對例8.1.1來說，從四個因子的每個因來說，從四個因子的每個因子的兩個程度中選一個程度的一切搭配共有子的兩個程度中選一個程度的一切搭配共有 種，顯然，一切種，顯然，一切16種能夠搭配都進展實驗，再經(jīng)種能夠搭配都進展實驗，再經(jīng)過實驗結(jié)果的處置就可以獲得問題的圓滿處理。過實驗結(jié)果的處置就可以獲得問題的圓滿處理。能否只作其中一小部分實驗，經(jīng)過分析就可以能否只作其中一小部分實驗，經(jīng)過分析就可以獲

6、得問題的圓滿處理呢？在比較復(fù)雜的多因子獲得問題的圓滿處理呢？在比較復(fù)雜的多因子實驗中，這個問題就更突出了。實驗中，這個問題就更突出了。例如調(diào)查的因子有九個，每個因子有三個程度，例如調(diào)查的因子有九個，每個因子有三個程度，那么這一實驗問題中，一切能夠的搭配有那么這一實驗問題中，一切能夠的搭配有 種，要逐個進展實驗，顯然是不能夠?qū)崿F(xiàn)。種，要逐個進展實驗，顯然是不能夠?qū)崿F(xiàn)。1968339(1)一切能夠搭配的實驗次數(shù)與實踐可行的實驗次數(shù)之間的矛盾。(2)實踐所作少數(shù)實驗與要求全面掌握內(nèi)在規(guī)律之間的矛盾。為理處理第一類矛盾，要求必需合理地設(shè)計和安排實驗，以便為理處理第一類矛盾，要求必需合理地設(shè)計和安排實驗

7、，以便經(jīng)過盡能夠少的實驗次數(shù)，就可抓住主要矛盾。經(jīng)過盡能夠少的實驗次數(shù)，就可抓住主要矛盾。為處理第二類矛盾，要求我們對實驗結(jié)果作科學(xué)的分析，透過為處理第二類矛盾，要求我們對實驗結(jié)果作科學(xué)的分析，透過景象看本質(zhì)，認(rèn)識內(nèi)在的規(guī)律，為處理問題提供可靠的根據(jù)。景象看本質(zhì)，認(rèn)識內(nèi)在的規(guī)律，為處理問題提供可靠的根據(jù)。因此多因子實驗問題的突出矛盾是：因此多因子實驗問題的突出矛盾是：下面引見的正交實驗設(shè)計方法就是一種研討多因子實下面引見的正交實驗設(shè)計方法就是一種研討多因子實驗問題的重要數(shù)學(xué)方法。它主要運用正交表這一工具驗問題的重要數(shù)學(xué)方法。它主要運用正交表這一工具來進展整體設(shè)計、綜合比較、統(tǒng)計分析。來進展整體

8、設(shè)計、綜合比較、統(tǒng)計分析。它運用正交表從一切能夠搭配中一下就挑出假它運用正交表從一切能夠搭配中一下就挑出假設(shè)干必需的實驗，然后再用統(tǒng)計分析方法對實設(shè)干必需的實驗，然后再用統(tǒng)計分析方法對實驗結(jié)果進展綜合處置，處理問題。目前實驗設(shè)驗結(jié)果進展綜合處置，處理問題。目前實驗設(shè)計已在冶金、化工、橡膠、紡織、醫(yī)藥衛(wèi)生等計已在冶金、化工、橡膠、紡織、醫(yī)藥衛(wèi)生等方面得到了有效的運用。方面得到了有效的運用。 假設(shè)被調(diào)查的假設(shè)被調(diào)查的n個因子都取三個程度，那么稱為個因子都取三個程度，那么稱為 因子實驗問題。因子實驗問題。n2n3mn32 多因子實驗的分類。多因子實驗的分類。在調(diào)查在調(diào)查A，B，C，D，等等n個因子對

9、目的個因子對目的y的的作用時，假設(shè)每個因子都取兩個程度，那么稱作用時，假設(shè)每個因子都取兩個程度，那么稱為為 因子實驗問題。因子實驗問題。假設(shè)被調(diào)查的因子有假設(shè)被調(diào)查的因子有n+m個，其中，其中個，其中，其中n個因個因子取兩程度，子取兩程度，m個因子取三程度，那么稱為個因子取三程度，那么稱為因子實驗問題。因子實驗問題。8.2 正交表正交表正交表是實驗設(shè)計中合理安排實驗，并對數(shù)據(jù)正交表是實驗設(shè)計中合理安排實驗，并對數(shù)據(jù)進展統(tǒng)計分析的主要工具。進展統(tǒng)計分析的主要工具。正交表用符號正交表用符號 表示。表示。“ L 代表正交表，代表正交表，“ p 表示表中的行數(shù)，即要作的實驗次數(shù)，表示表中的行數(shù)，即要作

10、的實驗次數(shù)，“ m 表示表中有表示表中有m列，即最多允許安排的因列，即最多允許安排的因子個數(shù)，子個數(shù)，“ n 表示程度數(shù)。表示程度數(shù)?？梢宰C明：可以證明：n，m，p滿足滿足)(mpnL1) 1(pnm 列號實驗號 1 2 3 11 1 121 2 232 1 242 2 1)2(34L 表稱為正交表是由于它具有以下兩個性質(zhì)：1整齊可比性 每一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。2平衡搭配性 恣意兩列中，將同一橫行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對時，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相等。這里有序數(shù)對共有四種：1，1，1，22，1，2，2，且它們各出現(xiàn)一次。凡滿足上述兩個性質(zhì)的表就稱為正交表。)2(34L 正交表還有如下性質(zhì)

11、：正交表還有如下性質(zhì)：3正交表的任兩行或任兩列交換，它仍是正交表。正交表的任兩行或任兩列交換，它仍是正交表。4某一列中各數(shù)碼作對換或輪換，它仍是正交表。某一列中各數(shù)碼作對換或輪換，它仍是正交表。8.3 正交實驗設(shè)計正交實驗設(shè)計1、 實驗方案的制定實驗方案的制定表表8.3.1 正交表正交表)2(78L列號列號實驗實驗A1B2 3C4 5 6D71111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112在表在表8.3.1的各因子列中，在數(shù)字的各因子列中，在數(shù)字“1和和“2中的位置分中的位置分別填上各該因子的別填上各該因子的1程度

12、和程度和2程度，就得到一張實驗方案程度，就得到一張實驗方案表，如下：表，如下：列號實驗A1B小時2C3D4Resulty1602.51.1/1500862602.51.2/1600953603.51.1/1600914603.51.2/1500945802.51.1/1600916802.51.2/1500967803.51.1/1500838803.51.2/160088 在測得在測得8個數(shù)據(jù)后，如何科學(xué)地分析這些數(shù)據(jù)，從而得出個數(shù)據(jù)后，如何科學(xué)地分析這些數(shù)據(jù)，從而得出正確的結(jié)論，這是實驗設(shè)計的重要步驟。在比較中要鑒別的內(nèi)正確的結(jié)論，這是實驗設(shè)計的重要步驟。在比較中要鑒別的內(nèi)容是：容是：1

13、在在4個因子中，那些因子對收率的影響大，那些因子個因子中，那些因子對收率的影響大，那些因子對收率的影響?。繉κ章实挠绊懶?？2 假設(shè)某個因子對實驗數(shù)據(jù)的影響大，那么它取哪個程假設(shè)某個因子對實驗數(shù)據(jù)的影響大，那么它取哪個程度對提高收率最有利？度對提高收率最有利？第一個問題要在比較第一個問題要在比較4個因子中獲得處理，第二個問題要在個因子中獲得處理，第二個問題要在比較每個因子的兩個程度中獲得處理。先處理第二個問題。比較每個因子的兩個程度中獲得處理。先處理第二個問題。2、綜合比較、綜合比較直觀分析法直觀分析法例如，對因子例如，對因子A反響溫度，怎樣比較它的兩反響溫度，怎樣比較它的兩個程度對收率的影響？

14、個程度對收率的影響？這里做了這里做了8次實驗，直接從這次實驗，直接從這8個數(shù)據(jù)中兩兩比較個數(shù)據(jù)中兩兩比較是不行的，由于這是不行的，由于這8個實驗條件沒有兩個是一樣個實驗條件沒有兩個是一樣的，沒有比較的根底。的，沒有比較的根底。假設(shè)把這假設(shè)把這8個實驗數(shù)據(jù)適當(dāng)組合起來，便會發(fā)現(xiàn)個實驗數(shù)據(jù)適當(dāng)組合起來，便會發(fā)現(xiàn)某種可比性，這就是正交設(shè)計特具的綜合可比性。某種可比性，這就是正交設(shè)計特具的綜合可比性。1A以因子以因子A為例。為例。A的的1程度程度 出如今上表中的第出如今上表中的第14號實驗中，這四個實驗收率的平均數(shù)是號實驗中，這四個實驗收率的平均數(shù)是 5 .91)94919586(41)(414321

15、1yyyyA2A5 .89)88839691(41)(4187652yyyyAA的的2程度程度 出如今上表中的第出如今上表中的第58號實驗中，號實驗中，這四個實驗收率的平均數(shù)是這四個實驗收率的平均數(shù)是 和 就具有可比性，由于在條件 下的四次實驗中，因子B、C、D皆取遍兩種程度，而且兩種程度出現(xiàn)的次數(shù)一樣，各為2次；同樣，在條件 下的四次實驗中，因子B、C、D也皆取遍兩種程度，而且兩種程度出現(xiàn)的次數(shù)一樣，各為2次。1A2A1A2A即對于在即對于在 下的四次實驗和下的四次實驗和 下的四次實驗來說，下的四次實驗來說，雖然其它條件雖然其它條件B、C、D在變動，但這種變動是在變動，但這種變動是“平等的，

16、所以平等的，所以 和和 之間差別反映了之間差別反映了A的兩的兩個程度的不同，由于個程度的不同，由于 1A2A1A2A025 .895 .9121 AA所以說因子所以說因子A 取取 時平均收率較高。時平均收率較高。同樣可以比較因子同樣可以比較因子B、C、D的兩個程度的好壞，的兩個程度的好壞，各項計算都可以在正交表上進展，非常簡便。各項計算都可以在正交表上進展，非常簡便。1A表 頭設(shè)計AB C D實驗結(jié)果列號實驗 1 2 3 4 5 6 711111111862111222295312211229141222211945212121291621221219672211221838221211288

17、366368 351 359358356 373 36591.592.0 87.75 89.7589.589.0 93.25 91.252.03.0 -5.5 -1.5jjTT21iy411jjTT jT2422jjTTjT1我們從表的最后一行的正負可以看出我們從表的最后一行的正負可以看出,1A2A1B2B2C1C2D1D2211DCBA因子因子A取取 比比 時收率高；時收率高；因子因子B取取 比比 時收率高；時收率高；因子因子C取取 比比 時收率高；時收率高；因子因子D取取 比比 時收率高；時收率高；因此在只思索因子單獨作用的情況下，因此在只思索因子單獨作用的情況下，可選擇可選擇 作為最優(yōu)消

18、費條件。作為最優(yōu)消費條件。直觀上容易看出，一個因子對實驗的結(jié)果影響大，直觀上容易看出，一個因子對實驗的結(jié)果影響大，就是主要的。所謂影響大，就是這因子的不同程度就是主要的。所謂影響大，就是這因子的不同程度的平均收率之間的差別大。相反，一個因子對實驗的平均收率之間的差別大。相反，一個因子對實驗的影響小，就是次要的。即這因子的不同程度的平的影響小，就是次要的。即這因子的不同程度的平均收率之間的差別小。從表的最后一行的絕對值的均收率之間的差別小。從表的最后一行的絕對值的大小可見，因子大小可見，因子C的兩個程度之間的差別最大，是的兩個程度之間的差別最大，是主要矛盾。其次是因子主要矛盾。其次是因子B和因子

19、和因子A，再次是因子，再次是因子D。留意：當(dāng)實驗范圍或?qū)嶒灄l件發(fā)生改動時，矛盾的留意：當(dāng)實驗范圍或?qū)嶒灄l件發(fā)生改動時，矛盾的主要和非主要方面可以相互轉(zhuǎn)化。主要和非主要方面可以相互轉(zhuǎn)化。如今，我們在如今，我們在A、B、C、D四個因子中，來分清主四個因子中，來分清主次，抓住主要矛盾，即處理開場時提出的問題次，抓住主要矛盾，即處理開場時提出的問題 。8.4 8.4 交互作用交互作用 (interaction) (interaction)一、交互作用定義一、交互作用定義普通在一個實驗里，不僅各個因子在起作用，普通在一個實驗里，不僅各個因子在起作用，而且因子之間有時會結(jié)合起來影響某一目的，而且因子之間有

20、時會結(jié)合起來影響某一目的，這種作用稱為交互作用。這種作用稱為交互作用。例例841 某消費隊對土地大體一樣的四塊大豆某消費隊對土地大體一樣的四塊大豆實驗田，用不同的方式施用氮肥實驗田，用不同的方式施用氮肥N和磷肥和磷肥P，結(jié)果第一塊不加氮、磷肥，平均畝產(chǎn)，結(jié)果第一塊不加氮、磷肥，平均畝產(chǎn)400斤；第二塊只加斤；第二塊只加6斤氮肥，平均畝產(chǎn)斤氮肥，平均畝產(chǎn)430斤；第三斤；第三塊只加塊只加4斤磷肥，平均畝產(chǎn)斤磷肥，平均畝產(chǎn)450斤；第四塊只加斤；第四塊只加6斤斤氮肥，氮肥，4斤磷肥，平均畝產(chǎn)斤磷肥，平均畝產(chǎn)560斤。列表如下：斤。列表如下：01P42P01N62N P磷肥N氮肥4004504305

21、60從表中看出，只加從表中看出，只加4斤磷肥，畝產(chǎn)添加斤磷肥，畝產(chǎn)添加50斤，只加斤，只加6斤氮斤氮肥，畝產(chǎn)添加肥，畝產(chǎn)添加30斤，而氮、磷肥都加，畝產(chǎn)添加斤，而氮、磷肥都加，畝產(chǎn)添加160斤。斤。這闡明，增產(chǎn)的這闡明，增產(chǎn)的160斤除了氮肥的單獨效果斤除了氮肥的單獨效果30斤和磷肥的斤和磷肥的單獨效果單獨效果50斤以外，還有它們結(jié)合起來所發(fā)生的影響，而斤以外，還有它們結(jié)合起來所發(fā)生的影響，而560400430400450400 =1603050=80斤斤就反映了這種結(jié)合起來的影響。在正交實驗設(shè)計中，把就反映了這種結(jié)合起來的影響。在正交實驗設(shè)計中，把這個值的一半稱為這個值的一半稱為N和和P的交

22、互作用，記為的交互作用，記為NP。即。即在正交實驗設(shè)計中，把這個值的一半稱為在正交實驗設(shè)計中，把這個值的一半稱為N和和P的交互的交互作用，記為作用，記為NP。即。即408021 PN按此方法，我們可以計算出例按此方法，我們可以計算出例8.1.1中因子中因子A和和B的交的交互作用，計算如下：互作用，計算如下：601A802AhB5 . 21221yy 265yy hB5 . 32243yy 287yy AB1278345611()()22yyyyyyyy785634121212222222yyyyyyyyyyyy因子因子A 和因子和因子B的交互作用的交互作用AB就等于將上式乘以就等于將上式乘以

23、1/2 ，即，即 1278345611()()5.044AByyyyyyyy 1368245711()()0.544A Cyyyyyyyy 1458327611()()1.544B Cyyyyyyyy 同樣可以算出同樣可以算出AC，BC如下：如下：二、交互作用列因子間的交互作用可在正交表因子間的交互作用可在正交表 上直接算出。上直接算出。例如例如AB的值，可看出恰好是表第的值，可看出恰好是表第3列列“1對應(yīng)的對應(yīng)的y值減去值減去“2 對應(yīng)的對應(yīng)的y值的平均。值的平均。也就是說，假設(shè)因子也就是說，假設(shè)因子A放在第放在第1列，因子列，因子B放在第放在第2列，列，那么第那么第3列就是它們的交互作用列

24、就是它們的交互作用AB。參照上面的算式和正交表參照上面的算式和正交表 ，可見，可見A與與C的交的交互作用互作用AC就是第就是第5列，列，B與與C的交互作用的交互作用BC就是第就是第6列。列。8.4.1就是對應(yīng)于就是對應(yīng)于 的交互作用表。的交互作用表。)2(78L)2(78L)2(78L表表8.4.1 兩列間的交互作用表兩列間的交互作用表78(2)L 列 號列號123 4 567 1325476 216745 37654 4123 532 61從從8.4.2 可看出因子可看出因子A、B的交互作用很大，超越的交互作用很大，超越A、B單獨對收率的影響，我們應(yīng)著重思索單獨對收率的影響，我們應(yīng)著重思索A

25、B，為此，為此，根據(jù)表根據(jù)表8.4.2算出算出A、B之間四種搭配下的平均值如之間四種搭配下的平均值如下表下表8.4.31A2A1B2181295862187296912B218529491217128883 AB從上表可見，從上表可見，A、B之間的最好搭配是之間的最好搭配是 。前面我們只根據(jù)各因子對收率的單獨作用而選定前面我們只根據(jù)各因子對收率的單獨作用而選定最優(yōu)消費條件最優(yōu)消費條件 ，根據(jù)上面的分析，應(yīng)，根據(jù)上面的分析，應(yīng)改成改成 。這個實驗條件在所安排的這個實驗條件在所安排的8次實驗中是沒有的。但次實驗中是沒有的。但經(jīng)過分析，好的消費條件將不會漏掉。經(jīng)過分析，好的消費條件將不會漏掉。這是我

26、們利用了正交表特具的綜合可比性，選做這是我們利用了正交表特具的綜合可比性，選做一組一組8次有代表性的實驗，對每個因子的一切次有代表性的實驗，對每個因子的一切程度全面進展了優(yōu)選的緣故。程度全面進展了優(yōu)選的緣故。12BA2211DCBA2212DCBAiyjT1jT2jjTT21表頭設(shè)計ABABCACBCD實驗結(jié)果列號實驗 1 2 3 4 5 6 711111111862111222295312211229141222211945212121291621221219672211221838221211288366368352351361359359 3583563723733633653652.0

27、3.0-5.0-5.5-0.5-1.5-1.5三、三、 正交表設(shè)計和直觀分析的優(yōu)缺正交表設(shè)計和直觀分析的優(yōu)缺陷陷 優(yōu)點優(yōu)點: 利用正交表挑選一部分有代表的實驗，減少實利用正交表挑選一部分有代表的實驗，減少實驗次數(shù)；利用正交表進展整體設(shè)計，可以同時做驗次數(shù)；利用正交表進展整體設(shè)計，可以同時做一批實驗，縮短了實驗的周期；一批實驗，縮短了實驗的周期；只需作少量的計算，就可獲得重要的信息，可只需作少量的計算，就可獲得重要的信息，可直接比較各因子，還可比較因子間交互作用對目直接比較各因子，還可比較因子間交互作用對目的的影響，從而選出最優(yōu)條件。的的影響，從而選出最優(yōu)條件。缺陷：不能給出誤差的估計，從而也就

28、無法知缺陷：不能給出誤差的估計，從而也就無法知道分析的精度。道分析的精度。四、自在度和正交表的選用原那么四、自在度和正交表的選用原那么 1選表和表頭設(shè)計選表和表頭設(shè)計 正交實驗設(shè)計在制定實驗方案中，正交實驗設(shè)計在制定實驗方案中，首先必需根據(jù)實踐情況，確定因子、因子的程首先必需根據(jù)實踐情況，確定因子、因子的程度以及需度以及需 要調(diào)查的交互作用；要調(diào)查的交互作用；選取一張適當(dāng)?shù)恼槐?，把因子和需求調(diào)查的交選取一張適當(dāng)?shù)恼槐?，把因子和需求調(diào)查的交互作用合理安排到正交表的表頭上?；プ饔煤侠戆才诺秸槐淼谋眍^上。正交表的選用是很靈敏的，沒有嚴(yán)厲的規(guī)定，必需正交表的選用是很靈敏的，沒有嚴(yán)厲的規(guī)定，必需詳

29、細問題詳細分析?？勺裾盏囊粭l原那么是：要調(diào)詳細問題詳細分析?？勺裾盏囊粭l原那么是：要調(diào)查的因子及交互作用的自在度總和必需不大于所選查的因子及交互作用的自在度總和必需不大于所選正交表的總自在度。正交表的總自在度。2、自在度的計算、自在度的計算1正交表的總自在度 =實驗次數(shù)1； 正交表每列的自在度 =此列程度數(shù)12因子A的自在度 =因子A的程度數(shù)1； 因子A、B間的交互作用的自在度總f列fAfBABAfff3、普通表頭設(shè)計的根本步驟、普通表頭設(shè)計的根本步驟1首先思索交互作用不可忽略包括一時不知首先思索交互作用不可忽略包括一時不知能否忽略的因子，按不可混雜的原那么，將這能否忽略的因子，按不可混雜的原

30、那么，將這些因子及交互作用在表頭上排妥。些因子及交互作用在表頭上排妥。2再將其他可以忽略交互作用的那些因子恣意再將其他可以忽略交互作用的那些因子恣意安排在剩下的各列上。安排在剩下的各列上。顯然同一個實驗問題，即使用同一張正交表，表顯然同一個實驗問題，即使用同一張正交表，表頭設(shè)計也可以不一樣，對例頭設(shè)計也可以不一樣，對例8.1.1 如下的表頭設(shè)計：表如下的表頭設(shè)計：表8.4.3表 頭表 頭設(shè)計設(shè)計ACACBABBCD列列 號號1234567雖然和前面的表頭設(shè)計不一樣，實際證明這將不雖然和前面的表頭設(shè)計不一樣，實際證明這將不影響最終的分析結(jié)果，即判別因子和交互作用所影響最終的分析結(jié)果，即判別因子和

31、交互作用所起影響的大小以及最優(yōu)消費條件的選取是一樣的。起影響的大小以及最優(yōu)消費條件的選取是一樣的。8.5 程度數(shù)相等的多因子實驗設(shè)計和分析程度數(shù)相等的多因子實驗設(shè)計和分析一、 因子的實驗設(shè)計及其直觀分析法 例例851 在例在例8.1.1中在實際根底上明確要調(diào)查中在實際根底上明確要調(diào)查四個因子四個因子A、B、C、D和交互作用和交互作用AB，而交互作，而交互作用用AC和和BC希望在不添加實驗次數(shù)的情況下能照希望在不添加實驗次數(shù)的情況下能照顧思索。顧思索。計算一下自在度，總的自在度為計算一下自在度，總的自在度為41+11=5，即最，即最少需用少需用 來安排實驗方案，做來安排實驗方案，做8次實驗。次實

32、驗。)2(78Ln21首先思索要調(diào)查交互作用的因子A 和B，將A 放在第1列，B放在第2列，由 的交互作用表得AB占第3列。)2(78L2再思索要照顧到交互作用的因子再思索要照顧到交互作用的因子C，我們將，我們將C放在第放在第4列，這時列，這時AC占第占第5列，列，BC占第占第6列，列，仍有仍有7列空著可以放因子列空著可以放因子D，于是得表，于是得表8.4.3的表頭的表頭設(shè)計。將設(shè)計。將A、B、C、D所在列抽出來就是實驗方所在列抽出來就是實驗方案。案。假設(shè)在例假設(shè)在例8.1.1中，交互作用中，交互作用AB，AC，AD，BC，BD，CD都要經(jīng)過實驗調(diào)查，我們還是都要經(jīng)過實驗調(diào)查，我們還是選用表選

33、用表 ，并將，并將A放第放第1列，列，B放第放第2列，列，C放第放第4列，列，D放第放第7列。列。)2(78L表 頭表 頭設(shè)計設(shè)計 CD BDAD ABABCACBCD列列 號號1234567交互作用間產(chǎn)生混雜，這種表頭設(shè)計是不合理的。交互作用間產(chǎn)生混雜，這種表頭設(shè)計是不合理的。能不能重新設(shè)計以防止這種混雜景象發(fā)生呢？計算能不能重新設(shè)計以防止這種混雜景象發(fā)生呢？計算一下自在度可知，一下自在度可知， 共有共有8-1=7個自在度，如今個自在度，如今要調(diào)查要調(diào)查4個因子和個因子和6對交互作用，故自在度的總和為對交互作用，故自在度的總和為41+61=10，)2(78L表頭設(shè)計ABABCACBC DAD

34、BD CD 列號123456789101112131415顯然顯然, ,我們是用添加實驗次數(shù)為代價來防止混雜的。我們是用添加實驗次數(shù)為代價來防止混雜的。凡是可以忽略的交互作用要盡量剔除，以便用較小凡是可以忽略的交互作用要盡量剔除，以便用較小的正交表來制定實驗方案。而那些交互作用可以忽的正交表來制定實驗方案。而那些交互作用可以忽略必需依賴實際閱歷和專業(yè)知識來判別。略必需依賴實際閱歷和專業(yè)知識來判別。 )2(1516L可見可見 包容不了這個多因子實驗問題，只需選包容不了這個多因子實驗問題，只需選用更大的正交表如用更大的正交表如 才干防止這種混雜景象，才干防止這種混雜景象，所做的表頭設(shè)計如下：所做的

35、表頭設(shè)計如下：)2(1516L)2(78L二、 因子的實驗設(shè)計及其直觀分析法n3例例851 研討氯乙醇膠在各種硫化系統(tǒng)下的性能，需研討氯乙醇膠在各種硫化系統(tǒng)下的性能，需求調(diào)查的因子及程度如下：求調(diào)查的因子及程度如下：程度因子一二三A補強劑耐磨碳黑噴霧碳黑50502525B防老劑NBCRD4010222C硫化系統(tǒng)二鹽基亞磷酸鉛四氧化三鉛HMDAC#1351.5551.5根據(jù)專業(yè)知識，交互作用可全部忽略。根據(jù)專業(yè)知識，交互作用可全部忽略。 1根據(jù)正交表，進展表頭設(shè)計。根據(jù)正交表，進展表頭設(shè)計。由于由于A、B、C都是三程度因子，應(yīng)選用三程度正交表，三都是三程度因子，應(yīng)選用三程度正交表，三程度正交表與

36、二程度正交表的重要區(qū)別：它的每兩列的交互程度正交表與二程度正交表的重要區(qū)別：它的每兩列的交互作用是另外兩列，而不是一列。這是由于，三程度正交表每作用是另外兩列，而不是一列。這是由于，三程度正交表每列的自在度為列的自在度為2，而兩列的交互作用的自在度等于兩列的自，而兩列的交互作用的自在度等于兩列的自在度相乘，即在度相乘，即22=4所以要占兩個三程度列。有表可查。所以要占兩個三程度列。有表可查。在本例中，選三個三程度因子在正交表中占三列，在本例中，選三個三程度因子在正交表中占三列，將將A、B分別放在第分別放在第1，2列，由于列，由于AB可忽略，所以可忽略，所以改放其它因子，將因子改放其它因子，將因

37、子C放在第放在第3列上，得：列上，得：表頭設(shè)表頭設(shè)計計ABC 列列 號號1234)3(49L2實驗設(shè)計與實驗結(jié)果實驗方案如下，實驗結(jié)果一列數(shù)值越接近零越好。實驗方案如下，實驗結(jié)果一列數(shù)值越接近零越好。 列列 號號 實驗號實驗號A1B2C3123456789111222333123123123123231312詳細計算在正交表上直接進展，見表詳細計算在正交表上直接進展，見表8.5.1333jjTT322jjTT113jjTTjR表頭設(shè)計表頭設(shè)計ABC 實驗結(jié)果實驗結(jié)果列號列號實驗號實驗號1234123456789111222333123123123123231312123312231-7.25-

38、5.48-5.35-5.40-4.42-5.90-4.68-5.90-5.63T1j-18.08-17.33-19.05 T=-50.01T2j-15.72-15.80-16.51T3j-16.21-16.88-14.45-6.03-5.78-6.35-5.24-5.27-5.50-5.40-5.63-4.82(極差極差)2.361.534.6 8.6 方差分析方差分析對于多因子實驗，實驗結(jié)果差別是：對于多因子實驗，實驗結(jié)果差別是：由于各因子程度變化所引起由于各因子程度變化所引起實驗誤差包括未加控制或無法控制的因子的實驗誤差包括未加控制或無法控制的因子的變化所引起。變化所引起。方差分析的目的就

39、在于將實驗誤差所引起的結(jié)果與方差分析的目的就在于將實驗誤差所引起的結(jié)果與實驗條件的改動即各因子不同的程度變化所引實驗條件的改動即各因子不同的程度變化所引起的結(jié)果差別區(qū)分開來，以便能抓住問題的本質(zhì)。起的結(jié)果差別區(qū)分開來，以便能抓住問題的本質(zhì)。還要將影響實驗結(jié)果的主要因子和次要因子區(qū)分開還要將影響實驗結(jié)果的主要因子和次要因子區(qū)分開來，以便集中研討幾個主要因子。來，以便集中研討幾個主要因子。例例861 某一種抗菌素的發(fā)酵培育基由黃豆餅粉、蛋某一種抗菌素的發(fā)酵培育基由黃豆餅粉、蛋白、葡萄糖、碳源白、葡萄糖、碳源1號、號、 、 、無機鹽、無機鹽1號等組成。現(xiàn)計劃對其中五個成分的最適配比，以及最號等組成。

40、現(xiàn)計劃對其中五個成分的最適配比，以及最適裝量，按三種程度進展實驗，并將其中兩個成分黃適裝量，按三種程度進展實驗，并將其中兩個成分黃豆餅粉與蛋白合并為一個因子，這樣構(gòu)成一個五因子豆餅粉與蛋白合并為一個因子，這樣構(gòu)成一個五因子三程度實驗。三程度實驗。A黃豆餅粉蛋白黃豆餅粉蛋白 ：0.5+0.5, ：1+1, : 1.5+1.5B葡萄糖葡萄糖 ：4.5 ：6.5 ：8.5C ( ) ：0. ：0.01 ：0.03D碳源碳源1號號() ：0.5 ：1.5 ：2.5E裝量裝量(毫升毫升/250毫升三角瓶毫升三角瓶) ：30 ：60 ：9042POKH3CaCO1A2A3A1B2B3B42POKH1C2C

41、3C1D2D3D1E2E3E表頭表頭設(shè)計設(shè)計ABABABCACACEAEAED 列列 號號12345678910111213此外還需調(diào)查交互作用此外還需調(diào)查交互作用AB、AC、AE。總自在度為總自在度為53-1+33-13-1=22，為此查表為此查表 ，它有，它有26個自在度，可選它個自在度，可選它來進展表頭設(shè)計的嘗試。得到了一張實現(xiàn)這一方來進展表頭設(shè)計的嘗試。得到了一張實現(xiàn)這一方案的實驗結(jié)果。案的實驗結(jié)果。)3(1327L表表8.6.1 實驗方案與結(jié)果實驗方案與結(jié)果42POKH列 號125811試試 驗驗結(jié)結(jié) 果果 因子實驗號黃豆餅粉蛋白黃豆餅粉蛋白 A葡萄糖葡萄糖 BC裝量裝量(毫升毫升/

42、250毫升毫升)E碳源碳源1號號() D10.5+0.54.50300.568.920.5+0.54.50.01601.554.030.5+0.54.50.03902.537.040.5+0.56.50602.565.556789101112131415161718192021222324252627 0.5+0.50.5+0.50.5+0.50.5+0.50.5+0.51+11+11+11+11+11+11+11+11+11.5+1.51.5+1.51.5+1.51.5+1.51.5+1.51.5+1.51.5+1.51.5+1.51.5+1.5 6.56.58.58.58.54.54.54

43、.56.56.56.58.58.58.54.54.54.56.56.56.58.58.58.50.010.0300.010.0300.010.0300.010.0300.010.0300.010.0300.010.0300.010.0390309030603060906090309030603060906090309030600.51.51.52.50.50.51.52.52.50.51.51.52.50.50.51.52.52.50.51.51.52.50.575.047.680.568.4380692.5115.090.086.397.1117.098.5113.079.569.0110.

44、091.285.8115.5129.565.5.573.3表8.6.2 計算表)3(1327L表頭設(shè)計ABABABCACACEAEAED 實驗結(jié)果y 列號 實驗號123456789101112131111111111 0.692111122222 0.543111133333 0.374122211122 0.665122222233 0.756122233311 0.487133311133 0.818133322211 0.689133333322 0.391021231231 0.931121232312 1.151221233123 0.901322311232 0.861422312313 0.971522313121 1.171623121233 0.991723122311 1.131823123122 0.801931321321 0.692031322132 1.102131323213 0.912232131322 0.862332132133 1.162432133211 1.302533211323 0.662633212131 1.382733213212 0.73假設(shè)還用直觀分析法，就有以下兩個問題：假設(shè)還用直觀分析法，就有以下兩個問題：由于沒有對實驗的誤差進展估計，故無法分清某個因子的三由于沒有對