經(jīng)典競賽幾何題

1、絕密啟用前2022年05月17日張朋松的初中數(shù)學組卷試卷副標題考試范圍：xxx;考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一總分得分考前須知：1 答題前填寫好自己的、班級、考號等信息2 請將答案正確填寫在答題卡上第I卷選擇題請點擊修改第I卷的文字說明評卷人 得分一 解答題共50小題1. ABC是等邊三角形，D是BC邊上的一個動點點 D不與B, C重 合 ADF是以AD為邊的等邊三角形，過點F作BC的平行線交射線AC于 點E,連接BF.1如圖 1,求證： AFBA ADC;2請判斷圖1中四邊形BCEF的形狀，并說明理由；3假設D點在BC邊的延長線上，如圖2,其它條件不變，請問2中2. 在厶ABC中

2、，AH丄BC于H，D，E，F(xiàn)分別是BC, CA, AB的中點如下列圖.求證：/ DEF玄 HFE3在 ABC中，/ B=60°, / A,/ C的角平分線AE, CF相交于點O,1如圖1,假設AB=BC求證：OE=OF2如圖2,假設ABMBC,試判斷線段OE與OF是否相等，并說明理由.4.如圖,在厶ABC中,BD是/ ABC的平分線,在厶ABC外取一點E,使得/ A的平分線AD交BC于D,過B作BE垂/ BAC=60, / BDC=120 ,求證：AD=BDCD.題 答 內(nèi) 線 訂 裝 在 要 不 請EAB=/ ACB AE=DC并且線段ED與線段AB相交，交點記為K,問線段EK 與

3、DK有怎樣的大小關(guān)系？并說明理由.7如圖 ABC, D是厶ABC內(nèi)的一點，延長 BA至點E,延長DC至點F,使 得AE=CF G，H，M分別為BD, AC, EF的中點，如果G，H，M三點共線，8如圖，在正方形 ABCD中，取AD, CD的邊的中點E, F,連接CE BF交 于點G,連接AG,試判斷AG與AB是否相等，并說明理由.9.如圖，設點 M是等腰RtAABC的直角邊AC的中點，AD丄BM于E, AD 交BC于D.求證：/ AMB=Z CMD請用兩種不同的方法證明10.如圖，在四邊形 ABCD中, AD=BC E F分別是DC及AB的中點，射線 FE與AD及BC的延長線分別交于點H及G.

4、試猜測/ AHF與/BGF的關(guān)系， 并給出證明.提示：假設猜測不出/ AHF與/ BGF的關(guān)系，可考慮使四邊形 ABCD為特殊 情況.如果給不出證明，可考慮下面作法，連結(jié) AC,以F為中心，將 ABC 旋轉(zhuǎn)180°,得到 ABP.11.如圖，D為仏ABC中線AM的中點，過M作AB、AC邊的垂線，垂足分 別為P、Q,過P、Q分別作DP、DQ的垂線交于點N.1求證:PN=QN;2求證：MN丄BC.12. 在 ABC中，D為AB的中點，分別延長 CA CB到點E、F,使DE=DF, 過E、F分別作CA CB的垂線相交于P，設線段PA PB的中點分別為M、N.求證：厶DEMA DFN;/ P

5、AEW PBF.題 答 內(nèi) 線 訂 裝 在 要 不 請13. 如圖：AB/ DC,/ BAD和/ADC的平分線相交于點 E,過點E的直 線分別交AB DC于B、C兩點.猜測線段AD、AB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并 證明.14. 如圖， ABC中，AB=BC=CA D、E、F分別是AB、BC CA的中點,G是BC上一點， DGH是等邊三角形.求證：EG=FHABE G C15. 如圖，CD是RTABC斜邊上的高，/ A的平分線交CD于H,交/BCD的平分線于G，/ ABC=90.點E是CD的中點，過點E作CD的垂線交AB于點P,交CB的延長線于點M .點F在線段ME 上，且滿足 CF=AD MF=

6、MA.1假設/ MFC=120，求證：AM=2MB;2試猜測/ MPB與/ FCM數(shù)量關(guān)系并證明.17.如圖，在 ABC中AC>BC, E、D分別是 AC、BC上的點，且/ BAD=ZABE, AE=BD 求證：/ BADp/ C.18A, C, B在同一條直線上， ACE BCF都是等邊三角形，BE交CF于N, AF交CE于M , MG丄CN,垂足為G.求證：CG=NG19.如下列圖，在 ABC中，/ ABC=2Z C, AD為BC邊上的高，延長 AB到E 點，使BE=BD過點D、E引直線交AC于點F,請判定AF與FC的數(shù)量關(guān)系，20.如圖,腰三角形,連接MN, ABC是邊長為I的等邊

7、三角形， BDC是頂角/ BDC=120的等 以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N, 形成一個三角形，求證： AMN的周長等于2.A題 答 內(nèi) 線 訂 裝 在 要 不 請21. 如圖，在四邊形 ABCD中，AC平分/ BAD, CE1 AB于E,且AB+AD求證：/ B與/ D互補.22. 如圖， ABC 中，/ A=90°, AB=AC / 仁/ 2, CEL BD 于 E.求證:23. AD是厶ABC的角平分線，M是BC的中點，F(xiàn)M/ AD交AB的延長線于F,交AC于E1求證：CE=BF2探索線段CE與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.24 .如

8、圖，AD 是厶 ABC的中線，AB=AE AC=AF / BAE=Z FAC=90.判斷線段AD與EF數(shù)量和位置關(guān)系.25. 如圖，四邊形ABCD中，BC=DC對角線AC平分/ BAD,且AB=21, AD=9,BC=DC=10 求 AC 的長.26. 如圖，線段AB的同側(cè)有兩點 C D滿足/ ACB=/ ADB=60 , Z ABD=90DBC 求證：AC=AD.27. 如圖，正方形 ABDE和 ACFG是以厶ABC的AB AC為邊的正方形，P、Q為它們的中心，M是BC的中點，試判斷MP、MQ在數(shù)量和位置是有什么關(guān)28.如圖，在 ABC中，AD為/BAC的平分線，BP丄AD，垂足為 P.AB

9、=5, BP=2, AC=9.試說明/ ABC=3/ ACB題 答 內(nèi) 線 訂 裝 在 要 不 請29.如圖，在 ABC中，/ B=90°, M為AB上一點，使得 AM=BC, N為BC它們交于點0,1求：/ A0C的度數(shù);2求證：AC=AE+CD.31. 如圖， ABC中AB>AC, P是角平分線 AD上任一點，求證：AB-32. 如圖，在 ABC中，D為BC的中點，點E、F分別在邊AC AB上，并且/ABE=Z ACF，BE CF交于點0.過點0作OP丄AC, 0Q丄AB，P、Q為垂 足.求證：DP=DQ33. 如圖厶 ABC中，AB=AC / ABD=60，且/ ADB=

10、90Z BDC，求證:34. 如圖，點 C在線段 AB上, DA丄AB, EB丄AB, FC丄AB,且 DA=BC EB=ACFC=AB Z AFB=51°,求Z DFE度數(shù).35如圖， ABC是等腰直角三角形，/ C=90°,點M、N分別是邊AC和BC的中點，點D在射線BM上，且BD=2BM.點E在射線NA上，且NE=2NA36.如圖， ABC中，BD為/ ABC的平分線；1假設/ A=100o，/ C=50,求證：BC=BAAD;2假設/ BAC=100，Z C=40,求證：BC=BBAD.37.如圖， ABC中，/ ACB=90，/ CAD=30，AC=BC=AD 求

11、證：BD=CD題 答 內(nèi) 線 訂 裝 在 要 不 請的值.38 .如下列圖，在 ABF 中， BC=CE=EJF / BACK CAD=Z DAE=45，求汁39.如圖，過厶ABC的頂點A,在/ BAC內(nèi)部任意作一條射線，過 B C 分別作此射線的垂線段 BD CE, M為BC邊中點.求證：MD=ME.OO線線OO訂號 考訂O級 班O裝校 學裝OO外內(nèi)OO40.，如圖，在正方形 ABCD中,DH丄AF于點H,交AC于點G, DH延長線交AB于點E_-求證：0違隨.41.：在 ABC中，/ A=90°, AB=AC D 為 AC中點，AE丄BD于 E,延E為AB中點,CD=2EC43.

12、如圖，在 ABC中，BD=CD AG平分/ DAC, BF丄AG,垂足為H,與AD 交于E,與AC交于F,過點C的直線CM交AD的延長線于 M，且/ EBD=ZMCD, AC=AM. 求證：DEfCF題 答 內(nèi) 線 訂 裝 在 要 不 請44如圖，BE CF是厶ABC的高，它們相交于點 0,點P在BE上，Q在CF 的延長線上且BP=AC CQ=AB1求證： ABPA QCA2AP和AQ的位置關(guān)系如何，請給予證明.45. 如圖，在厶ABC中，/ACB=90，CD丄AB于D，AF平分/ BAC交CD于E， 交BC于 F，EG/ AB交BC于G,說明BG=CF的理由.46. 在厶ABC中，/ ACB

13、=90, D是AB上一點，M是CD的中點，假設/ AMD= / BMD，求證：/ CDA=2/ ACD.47. 如圖，：四邊形 ABCD中，AD=BC E、F分別是DC、AB的中點, 直線EF分別與BC AD的延長線相交于 G、H.求證：/ AHF=Z BGF線48.如圖，在等腰直角 ABC中，AD=AE AF丄BE交BC于點F,過F作FG丄CD交BE延長線于G,求證：BG=AI+FG.RFC49. ABC / C=90°, AC=BC M 為 AC中點，延長 BM 到 D,使 MD=BM;N為BC中點，延長NA到E,使AE=NA 連接ED,求證：ED± BD.50.如圖，

14、在 ABC中，/ BAC=90, AB=AC D是厶ABC內(nèi)一點，且/ DAC=BD=BA題 答 內(nèi) 線 訂 裝 在 要 不 請2022年05月17日張朋松的初中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一 解答題共50小題1. ABC是等邊三角形，D是BC邊上的一個動點點 D不與B, C重 合 ADF是以AD為邊的等邊三角形，過點F作BC的平行線交射線AC于 點E,連接BF.1如圖 1,求證： AFBA ADC;2請判斷圖1中四邊形BCEF的形狀，并說明理由；3假設D點在BC邊的延長線上，如圖2,其它條件不變，請問2中 結(jié)論還成立嗎？如果成立，請說明理由.【分析】1利用有兩條邊對應相等并且夾角相等的兩個三角

15、形全等即可證明厶 AFBA ADC;2四邊形BCEF是平行四邊形，因為 AFBA ADC,所以可得/ ABFN C=60°，進而證明/ ABFN BAC,那么可得到FB/ AC,又BC/ EF,所以四邊形 BCEF是平行四邊形；3易證 AF=AD, AB二AC / FADN BAC=60,可得/ FAB=/ DAC,即可證 明厶AFBA ADC;根據(jù) AFBA ADC 可得/ ABFN ADC,進而求得/ AFB= / EAF,求得BF/ AE,又BC/ EF,從而證得四邊形BCEF是平行四邊形.【解答】證明：1.上ABC和厶ADF都是等邊三角形， AF=AD, AB=AC / FA

16、D=/ BAC=60 ,又/ FAB=/ FAD- / BAD , / DAC=/ BAC-Z BAD,/ FAB=Z DAC在厶AFB和厶ADC中, ZBAK=ZCAB輕二AC AFBAADCSAS;2由得 AFBA ADC,/ ABFN C=60. 又/ BACK C=60,/ ABFN BAC, FB/ AC,又 BC/ EF,四邊形BCEF是平行四邊形;3成立，理由如下： ABC和 ADF都是等邊三角形， AF=AD, AB二AC / FAD玄 BAC=60 ,又/ FABN BAC-Z FAE / DACN FAD-/ FAE/ FAB=Z DAC,在厶AFB和厶ADC中,rAF=A

17、D ZBAF=ZCAD,tAB-AC AFBAADCSAS;Z AFB=Z ADC.又 tZ ADC+Z DAC=60 , Z EAF+Z DAC=60 , Z ADC=Z EAF, Z AFB=Z EAF, BF/ AE,又 BC/ EF,四邊形BCEF是平行四邊形.【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行 四邊形的判定，熟練掌握性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵.2. 在厶ABC中,AH丄BC于H , D , E, F分別是BC, CA AB的中點如下列圖.求證：Z DEF=Z HFEEF/ BC,又因為/ HFE和/ FHB, / DEF和/ CDE分別為一組平行線的對角，

18、所以相等；轉(zhuǎn)化成求證/ FHBN CDE【解答】證明：E, F分別為AC, AB的中點， EF/ BC,根據(jù)平行線定理，/ HFEN FHB,Z DEFK CDE 同理可證/ CDEK B,/ DEFK B.又 AH丄BC,且F為AB的中點， HF=BF/ B=Z BHF,/ HFEN B=Z DEF即/ HFEN DEF.【點評】此題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，直角三角形 中斜邊的中線為斜邊邊長的一半.3. 在 ABC中，/ B=60°, / A,Z C的角平分線AE, CF相交于點0,1如圖1,假設AB=BC求證：0E=0F2如圖2,假設ABM BC,試判斷線段0

19、E與0F是否相等，并說明理由.【分析】1可證明 ACFA CAE再由角平分線的性質(zhì)得出/ 0ACN 0CA 從而得出0E=0F2過點0作0H丄AC, 0M丄BC, 0N丄AB,垂足分別為 H, M , N,連接0B根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及逆定理可推得點 0在/B的平分線上，從而得出/ OBN=Z 0BM=3° ,由得出/ OEM=Z OFN,能證明RtA OFN Rt OEM，貝U OE=OF成立.【解答】證明：11vZ B=60°, AB=BC./ A=Z C=60, AECF分別平分/ A,Z C,/ OAC=Z OCA=30,OA=OC ACFA CAEASA,.A

20、E=CFOE=OF2過點O作OH丄AC, OM丄BC, ON丄AB ,垂足分別為 H , M , N ,連接OB.點O在/ A, / C的平分線上，ON=OH, OH=OM,從而 OM=ON ,點O在/ B的平分線上1分/ OBN=Z OBM=3° , ON=OM 2 分又/OE心/噸/ A/ OFN=Z/ A+Z C180° 60° 4Z A=604- Z A. Z OEM=Z OFN. 2 分 RtAOFN RtAOEMAAS , 1 分 OE=OF 1 分3圖2召【點評】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，注意一 題多解以及方法的簡單性.4.

21、 如圖，在 ABC中，BD是Z ABC的平分線，在 ABC外取一點E,使得ZEAB=/ ACB AE=DC并且線段ED與線段AB相交，交點記為K,問線段EK與DK有怎樣的大小關(guān)系？并說明理由.證明 EAMA DCFS得出DH=DF進而【解答】解：結(jié)論：EK=DK2分理由：過點E作EI丄AB,過點D作DH丄AB于H, DF丄BC于F, 在厶EAI和厶DCF中三酣B二/蚯B,陋二 CD EAMA DCFAAS, 2 分 EI=DF2 分 BD是/ABC的平分線， DH=DF, 2 分 DH=E|在厶EKI和厶DKH中，'ZEKIZDKH燈旣ZDHK二,leh=ei EKMA DKHAAS

22、,2 分 EK=DK2 分【點評】此題主要考查了三角形全等證明方法，根據(jù)題意作出EI丄AB, DH丄AB,從而利于全等證明是解決問題的關(guān)鍵.5. 如圖，AC=BC / C=90°, / A的平分線AD交BC于D,過B作BE垂 直AD于E,求證：BE= AD.【分析】延長AC、BE交于點M，易證得厶ACD BCM,可得AD二BM, 可證得 AEMA AEB可得EM=BE即BM=2BE，由即可得結(jié)論.【解答】解：如圖，延長AC BE交于點M ,vZ A的平分線AD, BE垂直AD于E,/ MAE=Z BAE Z AEM=Z AEB=90 ,v AE=AE AEMAAEBASA， EM二B

23、E 即 BM=2BE；vZ A 的平分線 AD , AC=BC Z C=90 ,Z CAD=Z DAB=22.5 ° Z ABC=45 ,v BE垂直AD于E, Z DABZ ABC+Z DBE=90 ,即Z DBE=22.5, Z CAD=Z DBE又 v AC=BC 且Z ACBN BCM=90 , ACDA BCMASA, AD二BM；由得AD=2BE【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.6. 如圖, AB=AC Z BAC=60 , Z BDC=120 ,求證：AD=BDCD.【分析】先

24、延長DB,使BE=CD連接AE, BC,根據(jù)條件得出A, B, D, C四點共圓，得出/ ACB=/ ADE,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出厶ABC是等 邊三角形，在 ABE和厶ACD中，根據(jù)SAS得出厶ABEAACD,得出 ADE 是等邊三角形，得出 AD=DE再根據(jù)DE=BDBE,即可證出AD=BD+CD.【解答】解：延長DB,使BE=CD連接AE, BC,/BAG/ACD+/ BDOZ ABD=360 , / BAC=60,/ BDC=120,/ ABD+/ ACD=180, A, B, D, C四點共圓，/ ACB=Z ADE,/ ABD+/ ABE=180,/ ABE=Z ACD, AB

25、=AC ABC是等邊三角形，/ ACB=60,/ ADE=60,在厶ABE和厶ACD中，ZABE>ZACDBECD 5 ABEA ACD : SAS , AE=AD, ADE是等邊三角形, AD=DE DE=BDBE,-AD=BDCD.【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識點是等邊三角形 的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意作 出輔助線.7如圖 ABC, D是厶ABC內(nèi)的一點，延長 BA至點E,延長DC至點F,使 得AE=CF G, H, M分別為BD, AC, EF的中點，如果G, H, M三點共線，【分析】由三角形的中位線得，MS/ AE,

26、MS=】AE, HS/CF, HS= CF,由得HS=SM 從而得出/ SHM=Z SMH,那么得出/ TGHN THG, GT=TH 最后不難看出AB=CD【解答】證明：取BC中點T, AF的中點S,連接GT, HT, HS, SM, GHM分別為BD, AC, EF的中點， MS/ AE, MSAE, HS/ CF, HS= CF, GT/ CD , HT/ AB, GT= CD, HT= AB, GT/ HS, HT/ SM , / SHM=Z TGH, / SMH=Z THG,/ TGH=Z THG GT=TH AB=CD【點評】此題考查了三角形的中位線定理以及平行線的性質(zhì).8如圖，在

27、正方形 ABCD中，取AD, CD的邊的中點E, F,連接CE BF交 于點G,連接AG,試判斷AG與AB是否相等，并說明理由.【分析】延長CE BA交于P,易證BCF可得/ CFB" DEC,即可求得CELBF,進而可以求證 PA0A PBC,可得PA=AB根據(jù)直角三角形斜 邊中線等于斜邊一半性質(zhì)即可解題.【解答】解：延長CE BA交于P,C序V二AFABrEE=CK在 CDEffiA BCF 中,ZCDE 二上 BCF,BCF SAS/ CFB=/ DECvZ FCG/DEC=90,/ FCG/ CFB=90,CE± BF, PA0A PBCPB BC2' A是

28、PB的中點，即 AB=LPB,2 RTA BPG中,AG= PB.2 AG=AB【點評】此題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應角相等的性 質(zhì)，此題中求證 CDEA BCF是解題的關(guān)鍵.9.如圖，設點 M是等腰RtA ABC的直角邊 AC的中點，AD丄BM于E, AD交BC于 D.求證：z/ AMB=Z CMD請用兩種不同的方法證明使得CF丄AC,得出/ ABM=Z DAC，再根據(jù)AB=AC CF丄 AC,得出 ABMA CAF,從而證出/ BMA=Z F, AM=CF,再根據(jù)所給的條件得出 FCDA MCD,即可得出/ AMB=Z F=Z CMD;法2先作/ BAC的平分線交BM于N

29、 ,得出/ ABN=Z CAE再根據(jù)/ BAN=/ C=45 , AB=AC 證出 BANA ACD,得出 AN=CD,證出 NAMA DCM,即可得出/ AMB=Z CMD.【解答】證明：法1如圖，延長AD至F,使得CF丄AC, AB丄AC, AD丄BM,/ ABM=Z DAC,又 AB=AC CF丄AC, ABMA CAF,/ BMA=Z F, AM=CF,vZ BCA=Z BCF=45 , AM=CM=CF DC=DC FCDA MCD ,/ AMB=Z F=Z CMD;法2AD交BM于E,作/ BAC的平分線交BM于N, AEL BM, BA丄 AC,/ ABN=Z CAEvZ BAN

30、=Z C=45, AB=AC BANA ACD. AN=CD,vZ NAM= Z C=45, AM=MC NAMDCM,Z AMB=Z CMD.【點評】此題考查了解等腰直角三角形；解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形, 再根據(jù)解等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判斷與性質(zhì)進行解答即可.10.如圖，在四邊形 ABCD中, AD=BC E F分別是DC及AB的中點，射線 FE與AD及BC的延長線分別交于點H及G.試猜測Z AHF與ZBGF的關(guān)系， 并給出證明.提示：假設猜測不出Z AHF與Z BGF的關(guān)系，可考慮使四邊形 ABCD為特殊 情況.如果給不出證明，可考慮下面作法，連結(jié) AC,以F為中心，將 A

31、BC 旋轉(zhuǎn)180°,得到 ABP.【分析】方法一：連AC,取其中點為M，連EM和FM,根據(jù)三角形的中位 線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得 EM / AD, 2EM=AD,同理FM / BC, 2FM=BC再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得/ AHF=Z MEF,兩直線平 行，內(nèi)錯角相等可得/ BGF=Z MFE,從而得證；方法二：作法，連結(jié) AC,以F為中心，將 ABC旋轉(zhuǎn)180°,得到 ABP,根 據(jù)獨角戲互相平分的四邊形的平行四邊形可得 APBC是平行四邊形，根據(jù)平 行四邊形對邊相等可得AP=BC=AD連結(jié)AP,根據(jù)等邊對等角可得/ APD=Z ADP,根據(jù)三角形的

32、中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF/ DP根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得/ AHF=Z ADP,根據(jù)兩邊互相平行的兩個 角相等或互補可得/ BGF=/ APD,然后等量代換即可得證.【解答】答：/ AHF=/ BGF.證明：方法一：連 AC,取其中點為M，連EM和FM, EM是厶ACD的中位線， EM/ AD, 2EM=AD,同理 FM/ BC, 2FM=BC EM=FM,/ MEF=/ MFE,/ AHF=/ MEF,/ BGF=/ MFE,/ AHF=/ BGF；方法二：作法，連結(jié) AC,以F為中心，將 ABC旋轉(zhuǎn)180°,得到 ABP, F是AB的中點， APBC是

33、平行四邊形， AP=BC=AD連結(jié) AP,那么/ APD=/ ADP, EF > CDP的 中位線， EF/ DP,/ AHF=Z ADP, GF/ DP, GB/ AP,/ BGF=Z APD,【點評】此題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，難點 在于作輔助線構(gòu)造出三角形的中位線.11.如圖，DABC中線AM的中點，過M作AB AC邊的垂線，垂足分別為P、Q,過P、Q分別作DP、DQ的垂線交于點N.1求證：PN=QN;2求證：MN丄BC.【分析】1要證明PN=QN只有證明這兩條線段所在的三角形全等就可以 了，連接DN,利用斜邊直角邊對應相等的兩個三角形全等就可以了.2A

34、BPM和厶CQM是直角三角形，由條件知道 MB=CM,取BM、CM的 中點S T,連接PS QT可以得到PS=QT利用角的關(guān)系證明/ SPN=/ TQN, 再證明 SPNATQN,從而得到NS=NT利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì) 證明MN丄BC.【解答】證明：1方法一：連接DNV DABC中線AM的中點 AD=MD, MB=CMV MP丄 AB, MQ 丄 AC/ APM=Z AQM=9° APM、A AMQ是直角三角形 PD=-AM, QDjAM2 2 PD=QD RtADPN RtADQN HL NP=PQ方法二：V MP丄 AB, MQ 丄 AC/ APM=Z AQM=9

35、76; ,所以/ APM+Z AQM=18°，所以四邊形APMQ為圓內(nèi)接四邊形.V D為AM的中點，二PD, DQ為以D為圓心的四邊形APMQ內(nèi)接圓的半徑.V PN丄 PD, QN丄QD, PN, NQ為圓的兩條切線， PN=NQ2取 BM、CM 的中點 S T,連接 SP SN TQ TNSP=rBM-MC=TQ/ SPN=90 -Z BPS / NPM=9° -Z B-Z DPA=90 -Z B-Z BAM=90 - / AMC=9° -Z DMQ -Z QMT=9° -Z DQM -Z MQT=Z TQN SPNA TQN.SN=TNvSM=TM.

36、NM 丄 BCA【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等 于斜邊的一半，等腰三角形的判定與性質(zhì).12在 ABC中，D為AB的中點，分別延長 CA、CB到點E、F,使DE=DF, 過E、F分別作CA CB的垂線相交于P,設線段PA PB的中點分別為M、N. 求證：厶DEMA DFN;/ PAE=/ PBF.【分析】要證 DEMA DFN,由D、M、N分別是AB、AP、BP的中點,所以 EM=-AP=DN, FN所以DM=BP, DN=AP,再有過E、F分別作CA、CB的垂線相交于P，BP=DM.又 DE=DF所以厶 DEMA DFN.由得/ EMD=/ FND,由/ A

37、MD=/ BND=/ APB所以/ AME=/ BNF,那么 / PAE吉180° / AME/ PBF吉180° / BNF即/ PAE/ PBF.【解答】證明：如圖，在 ABP中， D、M、N分別是AB AP、BP的中點, DM=BP, DN=-AP,又 PE±AE, BF丄 PF EMAP=DN, FN=-BP=DM, DE=DF DEMADFNSSS;由結(jié)論 DEMA DFN可知/ EMD=Z FND,v DM / BP, DN / AP,/ AMD=Z BND=Z APB,/ AME=Z BNF又 v PEI AE, BF丄 PF, AEP和 BFP都為

38、直角三角形，又M , N分別為斜邊PA與PB的中點， AM=EM二二AP, BN=NF丄BP,2 2/ MAE=Z MEA,Z NBF=Z NFB,/ PAE= 180° / AME/ PBF= 180° / BNF即/ PAE/ PBF,【點評】此題考查了線段之間的關(guān)系，和全等三角形的判定和性質(zhì)，同學們 應該熟練掌握.13. 如圖：AB/ DC, / BAD和/ADC的平分線相交于點 E ,過點E的直 線分別交AB DC于B、C兩點.猜測線段AD、AB、DC之間的數(shù)量關(guān)系,并【分析】在AD上截取AF=AB連接EF,根據(jù)SASffiA BAEA FAE推出/B=/ EFA求

39、出/ C=/ EFD,證厶CDEA FDE推出DC=DF即可得出答案.答: AD=ABhDC,證明：在AD上截取AF=AB連接EF,v AE 平分/ BAF,/ BAEK FAE在 BAE和厶FAE中Zbae=Zfae BAEA FAE SAS,/ B=Z EFA AB/ DC,/ B+Z C=180,vZ EFDfZ EFA=180,Z C=Z EFDv DE 平分Z CDA Z CDE=Z FDE在厶 CDEftA FDE中rZCZEFD ZCDE>ZFDE CDEA FDEAAS , DC=DF AD=AF+DF=ABfDC.【點評】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，

40、角平分線定 義等知識點的應用，關(guān)鍵是能正確作輔助線.14. 如圖， ABC中，AB=BC=CA D、E、F分別是AB、BC CA的中點, G是BC上一點， DGH是等邊三角形.求證：EG=FH【分析】連接DE、DF，根據(jù)三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，可證明 DEG DFH,即可得結(jié)論.【解答】證明：連接DE、DF,如圖D、E、F是各邊中點， DE平行且等于亠AC, DF平行且等于1 BC,2 2 AB=BC=CA./ A=Z B=Z C=60, DE=DF, / EDFW DFAW C=60等邊 DHG,.DG=DH / HDG=60 = Z EDF/ EDF- / FDG=/ HDG-

41、Z FDQ 即/ 仁/ 2 ,. DEGA DFHSAS ,.FH=EG【點評】此題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，涉及到三角形中位線定理、 等邊三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握三角形全等判定方法是解題的關(guān)鍵.15. 如圖,CD是RTAABC斜邊上的高,/ A的平分線交CD于H ,交/ BCD的平分線于G,求證：HF/ BC.【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)作輔助線連接 FE進而證得HCEF是菱形從而證得.【解答】證明：連接FE, CD是RtAABC斜邊上的高，./ A=/ DCB又 AE平分/ A , CF平分/ BCD,./ DCF/ DAE,又/ AHD=/ CHE / ADH=90度，/ CGE=

42、90度，在三角形ACF中, AE是高，中線，角平分線， CF丄 HE, CG=FG CH=FH CE=EF CF是厶CHE的高，中線，角平分線， CH=CE CH=HF=EF=CE四邊形HCEF是菱形，【點評】此題考查了角平分線性質(zhì)以及其應用，問題有一定難度.16. ：如圖，在四邊形 ABCD中, AD/ BC,Z ABC=90.點E是CD的中 點，過點E作CD的垂線交AB于點P,交CB的延長線于點M .點F在線段 ME 上，且滿足 CF=AD MF=MA.1假設/ MFC=120，求證：AM=2MB;2試猜測/ MPB與/ FCM數(shù)量關(guān)系并證明.AD/ACBMP=Z FMD=Z【分析】1連接

43、MD，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可 得MD=MC,然后利用 邊邊邊證M明厶MFC與厶MAD全等，根據(jù)全等三角 形對應角相等可得/ MAD=Z MFC,根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出/ BAD,然后求出/ BAM=30 ,然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜 邊的一半證明；2丨根據(jù)全等三角形對應角相等和軸對稱的性質(zhì)可得/DMA,然后用/ BMP表示出/ FCM,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式整理即可得解.【解答】1證明：連接MD ,點E是CD的中點，ME丄D, MD=MC,在 MFC 與 MAD 中，叮 “ i,ICF=AD MFCA MAD SSS,/ MA

44、D=Z MFC=120 , AD/ BC,Z ABC=90,/ BAD=180 -Z ABC=180 -90°90°,/ BAM=Z MAD -Z BAD=120 - 90°30°,vZ ABM=90 , AM=2MB;2解：2 Z MPB+Z FCM=180 .理由如下：由1可知Z BMP=Z FMD=Z DMA, vZ FCM=Z ADM=Z DMC=2Z BMP,Z BMP丄Z FCM,2 ，vZ ABC=90, Z MPB+Z BMP=90 , Z MPB+1 Z FCM=90 ,2【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到

45、兩 端點的距離相等的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu) 造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.17. 如圖，在 ABC中AC>BC, E、D分別是 AC BC上的點，且Z BAD=ZABE AE=BD【分析】作/OBF=Z OAE交AD于F,由條件用“ASAT判定 AOEABOF,所以 AE=BF 再有條件 AE=BD得 BF=BD 所以/ BDF=Z BFD,再利用三角形的外角關(guān)系證得/ BOF=Z C ,又因為/ BOF=/ BAC+Z ABE=2/BAD,所以：Z BAD= Z C.【解答】證明：作Z OBF=/ OAE交AD于F ,vZ BAD=Z ABE, OA=OB又Z

46、 AOE=Z BOF, AOEA BOFASA. AE=BFvAE=BD BF=BDZ BDF=Z BFD.vZ BDF=Z C+Z OAE,Z BFD=Z BOF+Z OBF, Z BOF=Z C.vZ BOF=Z BAD+Z ABE=2/ BAD,【點評】此題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)， 常用的判斷方法為：SAS SSSAAS ASA常用到的性質(zhì)是：對應角相等，對應邊相等.在證明中還要注意圖形中隱藏條件的挖掘如：此題中的對頂角Z AOE=Z BOF.18. A, C, B在同一條直線上， ACE BCF都是等邊三角形，BE交CF于N, AF交CE于 M , MG丄CN,垂足為G.求證：C

47、G=NG得到MC=MN,有條件MG垂直于NC而得到結(jié)論.得到/ AFC/ ABE 再證 FMCA BNC【解答】證明： ACE BCF都是等邊三角形, AC=EC FC=BC / ACE=/ BCF=60, / ECN=60,/ BCE/ ACF, ACFA ECB / AFC/ ABE,/ FCM=/ BCN=60 , CF=CB FMCA BNC,CM=CN/ ECN=60 , CNMN是等邊三角形, CM=MN , MG 丄 NC,【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，通過兩次全等得到 GC=GNMC=MN ,通過MG垂直于NC得到結(jié)論.19. 如下列圖，在 ABC中，/ ABC=2/ C

48、, AD為BC邊上的高，延長 AB到E 點，使BE=BD過點D、E引直線交AC于點F,請判定AF與FC的數(shù)量關(guān)系，【分析】根據(jù)等邊對等角可得/ E=Z BDE然后根據(jù)三角形的一個外角等于 與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出/ ABC=2/ BDE從而求出/ C=Z BDE再求 出/ C=/ CDF然后根據(jù)等角對等邊求出DF=FC再根據(jù)等角的余角相等求出/ CAD=/ ADF,根據(jù)等角對等邊求出 DF=AF即可得到AF=FC【解答】解：AF=FC理由如下： BE=BD/ E=/ BDE/ ABC=Z E+/ BDE=2/ BDE / ABC=2/ C，/ C=/ BDE又/ BDE=/ CDF，/ C

49、=/ CDF， DF=FC AD為BC邊上的高，/ CDF+/ADF=/ ADC=90，/ C+/ CAD=180 - 90°90° ,/ CAD=/ ADF, DF=AF AF=FC【點評】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，熟 記性質(zhì)與判定并準確識圖是解題的關(guān)鍵.20. 如圖， ABC是邊長為I的等邊三角形， BDC是頂角/ BDC=120的等 腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，形成一個三角形， 求證： AMN的周長等于2.【分析】可在AC延長線上截取CMi=BM,得RtA BDM RtACD

50、Mi,得出邊 角關(guān)系，再求解厶MDNA MiDN,得MN=NMi，再通過線段之間的轉(zhuǎn)化即 可得出結(jié)論.【解答】證明：如圖，在AC延長線上截取CMi=BM， ABC是等邊三角形， BDC是頂角/ BDC=120的等腰三角形，/ ABC=Z ACB=60，Z DBC=Z DCB=30，/ ABD=Z ACD=90,/ DCMi=90° BD=CD在 BDM和厶CDMi中，rSD=CD眄二鈕 BDMA CDMi SAS，得 MD=MiD，Z MDB=Z MiDC,/ MDMi=i20°-Z MDB+Z MiDC=i2C°,/ NDMi=6C°在厶MDN和厶Mi

51、DN中， DM 二 IgD1 ?ldn=dm MDNMiDNSAS, MN=NMi, 故厶 AMN 的周長=AM+MN+AN=AM+AN+NMi=AM+AMi=ABAC=2【點評】此題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠通過線段之間 的轉(zhuǎn)化進而求解一些簡單的結(jié)論.21. 如圖，在四邊形 ABCD中，AC平分/ BAD, CEL AB于E,且AE=【分析】可在AB上截取AF=AD,可得 ACFA ACD,得出/AFCK D,再 由線段之間的關(guān)系A(chǔ)EAB+AD得出BC=CF進而通過角之間的轉(zhuǎn)化即可£得出結(jié)論.【解答】證明：在AB上截取AF=AD,連接CF, AC平分/ BAD,/

52、BACK CAD,又 AC=AC ACFAACDSAS , AF=AD, / AFCK D , AE= AB+AD， EF=BE又 v CEL AB, BC=FC/ CFBK B ,/ B+D=Z CFBfZ AFC=180 ,即/ B與/ D互補.【點評】此題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的判定及 性質(zhì)問題，能夠熟練運用三角形的性質(zhì)求解一些簡單的計算、證明問題.22. 如圖， ABC中，/ A=90°, AB=AC / 仁/2, CEL BD于 E.求證: BD=2CE【分析】延長CE、BA交于F,根據(jù)角邊角定理，證明BEC進而得到CF=2CE勺關(guān)系.再證明/ ACFW 1根據(jù)角邊角定理證明 ACFAABD, 得到BD=CF至此問題得解.【解答】證明：如圖，延長CE BA交于F.v CE± B