半導(dǎo)體器件物理12章量子力學(xué)初步

1、第一章：半導(dǎo)體材料就其導(dǎo)電性而然，半導(dǎo)體材料的導(dǎo)電性能介于金屬和絕緣體之間。半導(dǎo)體基本可以分為兩類：位于元素周期表IV族的元素半導(dǎo)體和化合物半導(dǎo)體。大部分化合物半導(dǎo)體材料是族和V族元素化合而成的。表是元素周期表的一部分，包含了最常見的半導(dǎo)體元素。表1.2給出了較為常用的某些半導(dǎo)體材料。表1.1部分半導(dǎo)體元素周期表（元素半導(dǎo)體材料）硼（B）碳（C）鋁（AL）硅（Si）磷（P）鎵（Ga）鍺（Ge）砷（As）銦（In）銻（Sb）表1.2半導(dǎo)體材料元素半導(dǎo)體化合物半導(dǎo)體Si 硅AlP 磷化鋁Ge 鍺AlAs 砷化鋁GaP 磷化鎵GaAs 砷化鎵InP 磷化銦由一種元素組成的半導(dǎo)體稱為元素半導(dǎo)體，如Si

2、和Ge。硅是制作半導(dǎo)體器件和集成電路最常用的半導(dǎo)體材料。由兩種或兩種以上半導(dǎo)體元素組成的半導(dǎo)體稱為化合物半導(dǎo)體，如GaAs或GaP是由族和族元素化合而成的。其中GaAs是應(yīng)用最為廣泛的一種化合物半導(dǎo)體材料，它具有較高的載流子遷移率，因此一般應(yīng)用在制作高速器件或高速集成電路的場合。和價電子硅是用于制作半導(dǎo)體器件和集成電路的重要材料之一，它具有金剛石晶格結(jié)構(gòu)，是IV族元素；鍺也具有金剛石晶格結(jié)構(gòu)，也是IV族元素。其它化合物半導(dǎo)體材料如砷化鎵具有閃鋅礦晶格結(jié)構(gòu)。由于硅是主流集成電路工藝普遍使用的半導(dǎo)體材料，所以我們主要研究該材料的物理特性。無限多的硅原子按一定規(guī)律在三維空間上的集合就形成硅晶體（通常

3、是形成單晶體結(jié)構(gòu)）是什么因素導(dǎo)致硅原子的集合能夠形成特定的硅晶格結(jié)構(gòu)？統(tǒng)計物理學(xué)給出了答案：熱平衡系統(tǒng)的總能量總是趨于達到某個最小值。原子間價鍵的作用使它們“粘合”在一起形成晶體。原子間的相互作用傾向于形成滿價殼層。元素周期表中的族元素Si和Ge，其原子序數(shù)是14，包圍著硅原子有3個電子殼層，最外層殼層上有4個價電子，需要另外4個價電子來填滿該殼層。當(dāng)硅原子組成晶體時，最外層殼層上的4個價電子與緊鄰的硅原子的最外層4電子組成共價鍵。大量的硅、鍺原子組成晶體靠的是共價鍵的結(jié)合。圖1.1a顯示了有4個價電子的5個無相互作用的硅原子，圖1.1b顯示了硅原子共價鍵的二維視圖。中間的那個硅原子就有8個被

4、共享的價電子，因此它是穩(wěn)定的。其它4個硅原子有3個價鍵是懸空的，沒有形成穩(wěn)定的共價鍵。硅半導(dǎo)體材料的價鍵是共價鍵，空著的價鍵有兩個作用：一是能夠與更多的硅原子結(jié)合形成更大的硅晶體；二是由于硅晶體不能無限大，因此其表面必然形成懸掛鍵，懸掛鍵的存在對其后講述的MOSFET的閾值電壓大小有著密切的聯(lián)系。價電子：原子周圍的最外層的非飽和電子稱為價電子。我們知道原子的最外層電子層上如果有2個或8個電子，通常稱為飽和層。惰性元素氦（He）氖（Ne）原子的最外層分別有2個電子和8個電子，因此氦、氖原子的最外層電子不是價電子。元素周期表中的I族元素，外層有1個價電子，在與其它元素結(jié)合時，容易失掉該電子而成為帶

5、1個正電荷的離子；元素周期表中的VII族元素，外層有7個價電子，在與其它元素結(jié)合時，容易得到1個電子而成為帶1個負電荷的離子。1.2固體中的缺陷和半導(dǎo)體的摻雜不同的固體材料有著各自固定的晶格結(jié)構(gòu)，自然界中不存在完整晶格結(jié)構(gòu)的固體材料，也不可能人工制造出完美晶格結(jié)構(gòu)的固體，它們或多或少會存在著一定的缺陷；這些缺陷的存在破壞了完美晶格的幾何周期性，同時也改變了材料的電學(xué)特性。1.類型所有晶體都有一類缺陷是原子的熱振動。理想的單晶固體其原子都位于晶格的特定位置，這些原子以一定的距離與其它原子彼此分開。由于熱效應(yīng)的因素，晶體中的原子具有一定的熱能，溫度越高熱能越大，它是溫度的函數(shù)。具有熱能的原子會在晶

6、格的平衡處產(chǎn)生隨機振動，隨機熱振動又會引起原子間距的隨機波動，輕微地破壞了晶體中原子的完美幾何排列。 晶體中的另一類缺陷稱為點缺陷，點缺陷分為填隙缺陷和空位缺陷。我們已經(jīng)知道，理想的單晶晶格中，原子是按完美的周期性排列的。但實際的晶體中，某些特定晶格格點上的原子可能會缺失，這種缺陷稱為空位缺陷；如圖1.2a所示。在其它位置，原子可能位于晶格格點之間，這種缺陷稱為填隙缺陷；如圖1.2b所示。缺陷晶體中存在空位和填隙缺陷時，不僅原子排列的完整性受到破壞，而且理想的原子間的化學(xué)鍵也被打亂，靠的足夠近的空位或填隙原子會在兩個缺陷間發(fā)生相互作用，這都將改變材料的電學(xué)特性。 點缺陷的特征包含單個原子或單個

7、原子位置。在單晶的形成過程中，還會出現(xiàn)更為復(fù)雜的缺陷。當(dāng)一整列的原子從正常的晶格位置缺失時，就會出現(xiàn)線缺陷。這種缺陷還可以形象地稱為線錯位。如圖1.3。和點缺陷一樣，線錯位也破壞了正常晶格的幾何周期性和晶體中理想的原子鍵。線錯位也會改變材料的電學(xué)特性。半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)類型上面講述的在固體中的缺陷，對制作器件的半導(dǎo)體材料不會帶來任何好處，因此，在制作半導(dǎo)體材料的過程中應(yīng)采取某種方法（比如提純技術(shù)）盡量減少其缺陷密度。以達到符合制作半導(dǎo)體器件的材料質(zhì)量要求。半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)不應(yīng)完全被看成是對材料性能的破壞。嚴格地講，人為地控制摻雜元素和摻雜濃度，以提高半導(dǎo)體材料的電性能，對制作半導(dǎo)體器件或電路

8、只會帶來更大的好處。由于制備半導(dǎo)體材料的純度不夠，或在制備材料過程中及器件的制造中引起的雜質(zhì)沾污，是我們不希望的，應(yīng)該嚴格加以控制。實際中的半導(dǎo)體材料的缺陷密度應(yīng)該控制在103cm-2以下。如果缺陷密度過高，則不能生產(chǎn)出質(zhì)量良好的半導(dǎo)體器件。晶體中空位缺陷所在的位置，一般由替位雜質(zhì)占據(jù)。其原因是替位雜質(zhì)的原子半徑與被替代材料的原子半徑比較接近，同時它們的原子殼層結(jié)構(gòu)比較近似。如硅、鍺是族元素，、元素的硼、磷、砷符合替代雜質(zhì)的特征，所以、元素在硅、鍺中都是替位雜質(zhì)；填隙缺陷所在的位置一般由填隙雜質(zhì)占據(jù)。填隙雜質(zhì)的特征是原子的半徑一般比較小，如鋰離子和鈉離子，所以它們在硅、鍺、砷化鎵中是填隙雜質(zhì)。

9、填隙雜質(zhì)會給半導(dǎo)體材料的性能帶來極為有害破壞，由于原子半徑小很多，在外加電場時，會在晶格的間隙中按電場漂移，而電離后的替位雜質(zhì)不會隨電場移動。二氧化硅中的填隙雜質(zhì)的漂移會使半導(dǎo)體器件尤其是MOS器件的閾值電壓發(fā)生漂移。因此填隙雜質(zhì)是有害雜質(zhì)。單位體積中的雜質(zhì)原子數(shù)稱為雜質(zhì)濃度，通常用它表示半導(dǎo)體晶體中雜質(zhì)的含量。受主雜質(zhì)和施主雜質(zhì)向族元素的硅中摻入元素硼，一個硼占據(jù)著硅原子的位置。硼原子有三個價電子，當(dāng)它與周圍的4個硅原子形成共價鍵時，還缺少一個電子，由于庫侖力的作用，它趨向于從附近的硅原子奪取一個價電子，于是在硅晶體的共價鍵中產(chǎn)生一個空位的價鍵，空位的價鍵產(chǎn)生一個帶正電的空穴。而硼原子接受一

10、個電子后成為帶負電的硼離子（B-）,稱為負電中心。同樣，帶負電的硼離子和帶正電的空穴也存在著靜電引力，所以這個空穴受到硼離子的束縛，在硼離子附近運動，不過，由于硼離子對這個空穴的束縛力很弱，只需很少的能量就可以使空穴掙脫這個束縛，成為在晶體共價鍵中自由運動的導(dǎo)電空穴。而硼原子成為一個帶負電的硼離子，它是一個不能移動的負電中心。因為，元素雜質(zhì)在硅、鍺中趨于接受電子而產(chǎn)生帶正電的導(dǎo)電空穴，所以稱它們是受主雜質(zhì)（也叫P型雜質(zhì)）?？昭⊕昝撌苤麟s質(zhì)束縛的過程稱為受主電離，電離的受主雜質(zhì)帶一個負電荷，同時釋放一個帶正電的空穴，未電離的受主雜質(zhì)呈電中性。使空穴掙脫受主雜質(zhì)束縛成為導(dǎo)電空穴所需的能量稱為受主雜

11、質(zhì)的電離能。用表示，實驗測量表明，族元素雜質(zhì)在硅、鍺中電離能的測量值。元素雜質(zhì)在硅、鍺中電離能的測量值(單位：eV)族元素族雜質(zhì)元素硼 B鋁 Al鎵 Ga銦 In硅Si鍺Ge向族元素的硅中摻入族元素磷（P），一個磷原子占據(jù)了硅原子的位置，磷原子有5個價電子，其中的4個價電子與周圍的4硅原子形成共價鍵，還剩余一個價電子。同時磷原子所在處也多余一個正電荷，成為帶一個正電荷磷離子（P+）中心。（硅原子去掉價電子會變成帶4個正電荷的硅離子，磷原子去掉價電子會變成帶5個正電荷的磷離子）。所以，磷離子替代硅原子后，其效果是形成了一個正電中心（P+）和一個多余的電子，這個多余的價電子就被束縛在正電中心的附近

12、，但這種束縛作用要比共價鍵的束縛作用弱很多，很小的能量就可以使它掙脫束縛，成為導(dǎo)電電子在晶格中自由運動。這時的磷原子就成了少了一個價電子的磷離子（P+）,它是一個不能移動的正電荷中心。元素雜質(zhì)在硅、鍺中趨于釋放電子而產(chǎn)生帶負電的導(dǎo)電電子，所以稱它們是施主雜質(zhì)（也叫N型雜質(zhì)）。電子掙脫施主雜質(zhì)束縛的過程稱為施主電離，電離的施主雜質(zhì)帶一個正電荷，同時釋放一個帶負電的電子，同樣，未電離的施主雜質(zhì)呈電中性。使電子掙脫施主雜質(zhì)束縛成為導(dǎo)電電子所需的能量稱為施主雜質(zhì)的電離能。用表示，實驗測量表明，族雜質(zhì)元素在硅、鍺中的電離能很小，在硅中約為0.040.05eV，在鍺中約為0.01eV，比硅、鍺的禁帶寬度小

13、很多。表1.4為族元素雜質(zhì)在硅、鍺中電離能的測量值。表1.4 元素雜質(zhì)在硅、鍺中電離能的測量值(單位：eV)族元素族雜質(zhì)元素磷P砷 As銻Sb硅Si鍺Ge26492739第二章：固體量子理論初步通常情況下，我們會立即講述半導(dǎo)體器件的工作原理及器件特性。但為了更深入地理解半導(dǎo)體器件的電流電壓特性，有必要了解晶體中電子在不同勢函數(shù)的條件下的狀態(tài)和行為。為此，在這一章中我們有兩個任務(wù)需要完成，確定晶格中電子的特性；確定晶體中大量電子的統(tǒng)計特性。因此，有必要簡要介紹量子力學(xué)有關(guān)基礎(chǔ)知識，以便更準確地預(yù)測固體中電子的行為特點。這一章我們主要討論的內(nèi)容：1. 主要討論跟半導(dǎo)體材料和器件物理相關(guān)的量子 力學(xué)

14、。2. 介紹量子力學(xué)的某些結(jié)果，包括能量的量子化（或能量的非連續(xù)性）以及概率（可能性）的概念。3. 研究半導(dǎo)體的能帶理論。4. 討論和研究電子的能量函數(shù)量子態(tài)密度。5. 研究Fermi-Dirac分布函數(shù)描述一個電子占據(jù)一個量子態(tài)的可能性（概率）。量子力學(xué)中的三個基本原理分別是：能量的量子化原理波粒二象性原理不確定原理光電效應(yīng)實驗證實了光的經(jīng)典理論與實驗結(jié)果存在矛盾。根據(jù)光的經(jīng)典物理學(xué)理論，假如一束單色光照射在某種材料的清潔表面，只要照射光的強度足夠大，電子就會克服該材料的功函數(shù)從表面發(fā)射出去，（被光照射后，材料中的電子獲得能量而逃逸材料表面的電子稱為光電子）而與照射光的頻率無關(guān)。換句話說，照

15、射光的光強小于某一值，就不會產(chǎn)生光電子。而實驗的結(jié)果是：在恒定光強的照射下，光電子最大動能與照射光的頻率成正比（線性關(guān)系），其照射光的頻率低于時，將不會產(chǎn)生光電子；如果將照射光的頻率固定而改變光強，則光電子的發(fā)射效率就會改變，但光電子的最大動能保持不變。實驗結(jié)果如圖2.1所示。光電實驗的結(jié)果表明：產(chǎn)生光電子的數(shù)量跟照射光的光強有關(guān)。照射光的頻率固定，光電子最大動能恒定；光強固定，低于某種頻率，則不會產(chǎn)生光電子，高于頻率，則會產(chǎn)生光電子，且光電子的最大動能與照射光的頻率成正比。1900年，Planck發(fā)現(xiàn)了從加熱物體表面發(fā)出的熱輻射能量是不連續(xù)的，即所謂的量子。這些量子的能量為,其中為輻射頻率，

16、為Planck常數(shù)。1905年，Einstein提出了光也是由粒子組成的假說，具有粒子性的光稱為光子，光子的能量也是，從而解釋了光電效應(yīng)。具有足夠能量的光子，可以從材料的表面激發(fā)出電子。電子逸出材料表面吸收的最小能量稱為此種材料的功函數(shù)。而光子將超出功函數(shù)的能量轉(zhuǎn)化為光電子的動能。光電效應(yīng)的本質(zhì)體現(xiàn)了光子的不連續(xù)性和光子的粒子性。光電子的最大動能可以表示為：式中的為入射光的能量，是電子逸出材料表面需要的最小能量，即功函數(shù)。光子的能量與波長成反比，波長越短，能量越高。在光電效應(yīng)中，光波表現(xiàn)出粒子的特性。1924年，DeBroglie提出了存在物質(zhì)波的假說。他認為既然波具有粒子的特性，那么粒子也應(yīng)

17、該具有波的特性。這就是德布羅意的波粒二相性原理。光子的動量可以表示為：式中的是光子的波長，于是德布羅意假設(shè)將粒子的波長表示為：式（2.3）中，用普朗克常數(shù)除以粒子動量定義的波長稱為德布羅意波長。1927年，海森堡提出了不確定原理，最初也是為了描述較小的粒子，它用于描述那些不能精確確定狀態(tài)的亞原子粒子。不確定原理的觀點認為，同一粒子不可能同時確定其坐標(biāo)（或位置）和動量；如果粒子動量的不確定程度是,而其坐標(biāo)的不確定量為，則不確定關(guān)系為： 式中的稱為修正的普朗克常數(shù)。該關(guān)系式也適合角坐標(biāo)和角動量。不確定原理的第二個觀點認為，同一粒子不可能同時確定其能量和具有此能量的時間點；如果粒子能量的不確定程度是

18、,而其時間的不確定量為，則不確定關(guān)系為：不確定原理可以理解為：當(dāng)同時測量粒子的動量與坐標(biāo)或同時測量粒子的能量與時間時，就會出現(xiàn)一定的偏差，然而由于修正的普朗克常數(shù)是個很小的量，因此，不確定原理只適應(yīng)于那些尺寸較小的亞原子粒子。根據(jù)不確定原理，既然我們無法確定一個電子的準確坐標(biāo)，那么我們就可以理解為電子出現(xiàn)在某個坐標(biāo)的概率。要確定某個電子出現(xiàn)在某個坐標(biāo)或某個量子態(tài)的概率，就需要了解概率函數(shù)，接下來將要討論的薛定諤方程可以幫助我們理解概率函數(shù)所表達的物理意義。越來越多的有關(guān)電磁波和粒子的實驗結(jié)果無法用經(jīng)典力學(xué)定律解釋，因此，需要一種修正的力學(xué)理論。1926年，薛定諤提出了一種稱為波動力學(xué)的理論，它

19、結(jié)合了普朗克的量子化原理和德布羅意的波粒二相性原理?；诓６嘈栽砗筒▌永碚摼涂梢悦枋鼍w中電子的運動。粒子的波動理論由下述的薛定諤方程描述。上式中的為波函數(shù)，是粒子所在勢場的勢函數(shù)，并且與時間無關(guān)；粒子的質(zhì)量，?？梢宰C明具有如下形式的解：上式表明：總的波函數(shù)是位置有關(guān)的函數(shù)和時間有關(guān)的函數(shù)的乘積。滿足（2.6）式的一維薛定諤方程。將）式進行分離變量可得與時間無關(guān)的靜態(tài)薛定諤方程上式中的是粒子的總能量，跟位置無關(guān)，是一個常量。（2.9）式的解：該式與位置無關(guān)的具有角頻率為的自由粒子經(jīng)典的波函數(shù)類似。（自由粒子的波函數(shù)是）。整個波函數(shù)可以表示為：波函數(shù)最終用來描述晶體中電子的狀態(tài)，有必要弄清

20、波函數(shù)的物理意義。之前我們討論過，總的波函數(shù)是位置有關(guān)的函數(shù)和時間有關(guān)的函數(shù)的乘積，并且具有復(fù)數(shù)的形式，見（2.11）式。因此，它并不能代表現(xiàn)實的物理量。1926年，Max Born提出了一種假說，認為函數(shù)是表示某一時刻在與之間發(fā)現(xiàn)粒子的概率，或稱為概率密度函數(shù)。定義為：其中，是的共軛函數(shù)。因此，是與時間無關(guān)的概率密度函數(shù)。經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的顯著差別在于：經(jīng)典力學(xué)中，粒子或物體的位置（或坐標(biāo)）可以被精確確定，而在量子力學(xué)中，只能確定粒子在某個坐標(biāo)的概率。因此，準確理解粒子出現(xiàn)的概率，對理解其后將要討論的晶體中電子占據(jù)量子態(tài)的概率很有幫助。波函數(shù)的邊界條件由于是概率密度函數(shù)，因此，對單個粒子來

21、說在時刻，整個空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率是100。即對上式積分進行歸一化，并將積分的上下限作為邊界條件，可以確定波函數(shù)各項的系數(shù)。 量子力學(xué)指出，如果粒子的能量和勢能函數(shù)在定義的區(qū)間內(nèi)均為有限值，則要求波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)符合以下條件： 1必須有限、單值和連續(xù)。 2.必須有限、單值和連續(xù)。 3.必須有限。上述的三個條件是由定態(tài)的一維薛定諤方程（2.8）式得到的。如果粒子的總能量和勢能函數(shù)在任何位置均為有限值，根據(jù)（2.8）式，波函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)必須有限，就意味著其一階導(dǎo)數(shù)必須連續(xù)、有限和單值；有限的一階導(dǎo)數(shù)意味著其函數(shù)本身必須連續(xù)、有限和單值。如果在空間的某些特定區(qū)域勢函數(shù)是無窮大，一階導(dǎo)數(shù)可以不連續(xù)，

22、但其它邊界條件仍需要滿足。利用薛定諤波動方程求解粒子的波函數(shù)，能夠確定粒子的狀態(tài)。首先使用薛定諤方程求解空間中自由電子的運動狀態(tài)。自由電子是不受任何外力作用的粒子，它所在勢場的勢函數(shù)為常量，其自身的總能量大于勢函數(shù)，即。為簡單起見，我們不妨假設(shè)，那么根據(jù)式（2.8），可以將與時間無關(guān)的薛定諤方程寫成：該微分方程的解是：與時間有關(guān)的解是：完整的波函數(shù)表達式為：該結(jié)果表示，空間中自由粒子的運動表現(xiàn)為行波，第一項表示為沿方向的波，第二項表示為沿方向的波。系數(shù)A和B由邊界條件確定。一維情況下，行波的表達式也可以寫成：其中為波數(shù)，比較式（2.18）和式（2.19）兩式可得：所以：根據(jù)德布羅意的波粒二相性

23、原理，自由粒子的波長還可以寫成：可以說，自由粒子的能量、動量和波長都有明確的定義。假設(shè)某一時刻有一個沿方向運動的粒子，則描述方向的行波變式（2.19）中的,因此粒子的行波表達式變?yōu)椋焊怕拭芏群瘮?shù)是一個與位置坐標(biāo)無關(guān)的常量，這意味著具有明確動量定義的自由粒子在空間任意位置出現(xiàn)的概率相等，這個結(jié)論與海森堡的不確定原理是一致的，即準確的動量對應(yīng)不準確的位置。用薛定諤方程求出的自由粒子的能量符合愛因斯坦光子能量為的假說，并符合德布羅意的波粒二相性原理。對處在無限深勢阱中的粒子求解薛定諤方程，可以確定粒子的運動狀態(tài)。無限深勢阱中的粒子問題是束縛態(tài)粒子的典型粒子。無限深勢阱的模型如圖2.5所示，其勢函數(shù)是

24、位置的函數(shù)。假設(shè)E為粒子的總能量，且E為有限值。則I區(qū)和III區(qū)中波函數(shù)必須為零。因為粒子不可能穿越無限深勢阱，所以在I區(qū)和III區(qū)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為零。在II區(qū)，與時間無關(guān)的薛定諤方程可以寫成：方程的解是：其中：利用邊界條件：可得：在處，有：符合式（2.30）的解是：其中為正整數(shù)。參數(shù)n為量子數(shù)。根據(jù)歸一化條件可以求出系數(shù)求解上式積分可得：最終，與時間無關(guān)的波函數(shù)表達式為：此表達式為駐波表達式，代表電子處在無限深勢阱中?？梢哉f，行波代表自由粒子；駐波代表束縛態(tài)粒子。由式（2.27）和式（2.31）可知：于是，粒子的總能量可以寫為：由于K是分離值，相應(yīng)的能量E也為分離值。這個結(jié)論意味著束縛態(tài)粒子

25、能量的量子化，也就是說，粒子的能量只能是特定的分離值。計算：處在寬度為12的無限深勢阱中電子最低的兩個能級；如果電子由第二能級跳到第一能級，發(fā)射出光子的波長為多大？解：電子的質(zhì)量；勢阱寬度；修正的普朗克常數(shù)現(xiàn)在我們要考慮單電子或氫原子中的勢函數(shù)，在經(jīng)典的Bohr理論中，較重的帶正電的質(zhì)子核被一個較輕的帶負電的電子所包圍。質(zhì)子和電子由庫侖力形成的勢函數(shù)可以表示為：其中電子電量，為真空介電常數(shù)，是質(zhì)子與電子的徑向距離。由于勢函數(shù)為球?qū)ΨQ，因此在球坐標(biāo)中的與時間無關(guān)的薛定諤方程為：對上述的薛定諤方程，在量子力學(xué)中有詳細的求解過程，我們只關(guān)注感興趣的結(jié)果：1. 電子能量的量子化：其中n是主量子數(shù)且為正

26、整數(shù)，n=1，2，3.由于無窮遠處，勢函數(shù)趨于零，電子的總能量小于引力勢能，電子被束縛在原子核的周圍，因此電子的總能量為負值。負值的能量意味著電子是束縛態(tài)粒子，束縛態(tài)的電子具有分離的能量，即能量的量子化。有關(guān)是量子數(shù)是。分別稱為角動量量子數(shù)和磁量子數(shù)（注意磁量子數(shù)不要跟電子的靜止質(zhì)量混淆）。主量子數(shù)、角動量量子數(shù)、磁量子數(shù)三者不是相互獨立的而是相互關(guān)聯(lián)的，三者之間具有如下關(guān)系：每一組量子數(shù)對應(yīng)電子可能占據(jù)的一個量子態(tài)。3.波動方程的解可以用的形式表示。對于最小的能量狀態(tài)，波函數(shù)表示為：作為球?qū)ΨQ函數(shù)，等于經(jīng)典原子論中的波爾半徑。徑向的概率密度函數(shù)，是指電子出現(xiàn)在離核某個距離的概率。對應(yīng)最低能量

27、狀態(tài)的徑向密度函數(shù)描繪在圖2.10a中。與經(jīng)典的波爾理論相同，最大概率出現(xiàn)在半徑處。研究了球?qū)ΨQ概率函數(shù)，我們就可以構(gòu)造核外電子云或能量殼層的概念，以代替分立的粒子軌道。球?qū)ΨQ的次低能級的概率密度函數(shù)對應(yīng)著，見圖2.10b，該圖顯示的是第二能量殼層的概念，第二能量殼層的半徑大于第一能量殼層的半徑。圖中表明，電子存在于該殼層的概率很小。例題：氫原子第一至第三軌道對應(yīng)的電子能級。元素周期表初始部分是根據(jù)單電子原子模型和另外兩個概念得出的。第一個概念是電子具有量子化的本征角動量（電子自旋），電子自旋是由量子數(shù)s確定，它的值為或。到現(xiàn)在，我們已經(jīng)有了4個量子數(shù)，即和。第二個概念是泡利不相容原理。泡利不

28、相容原理指出：在任意給定的系統(tǒng)（原子、分子或晶體）中，同一個量子態(tài)不可能容納兩個電子。對原子來說，同一個量子數(shù)組不可能容納兩個電子。根據(jù)單電子原子薛定諤方程的解，以及電子自旋和泡利不相容原理，就可以建立元素周期表。隨著原子中電子數(shù)量的增多，電子間的相互作用增強，因此，元素周期表的結(jié)果會逐漸偏離使用這個方法得出的結(jié)論。 表2.1列出了周期表中的前十種元素。對于氫，電子有一個對應(yīng)的最低能級，根據(jù)試（2.40），量子數(shù)和，電子可以處于或兩個自旋狀態(tài)之一；因此，的能量殼層具有兩個量子態(tài)。氦的兩個電子處于的最低能量態(tài)，在狀態(tài)，所有電子自旋狀態(tài)和最低能量殼層都被填滿。元素的化學(xué)特性主要由價電子決定，由于氦

29、的價電子殼層被填滿，因此氦一般不容易與其它元素發(fā)生化學(xué)反應(yīng)。第三個元素是鋰，有三個電子，其中有一個電子必須進入的能量殼層。當(dāng)時，可能是0或1，而當(dāng)時，可能是；當(dāng)時，可能是；加上電子的自旋或。因此就有8中可能的量子態(tài)。氖有10個電子，兩個在的能量殼層，另外8個在的能量殼層，第二能量殼層也是滿的，因此氖也是惰性元素。圖3.1a顯示的是獨立的、無相互作用氫原子的電子最低能量狀態(tài)的徑向概率密度函數(shù)，圖3.1b顯示的是兩個距離較近的原子的電子最低能量狀態(tài)的徑向概率密度函數(shù)。雙原子的電子波函數(shù)相互交疊，表明兩個電子有相互作用，相互作用的結(jié)果導(dǎo)致一個分立的量子化能級分裂成兩個分立能級，如圖3.1c所示，一個

30、分立態(tài)變成兩個態(tài)的分裂符合泡利不相容原理。如果以某種方法將最初相距較遠的氫原子聚集在一起，那么最初的量子化能級就會分裂為分立的能帶。這種效果如圖3.1d所示。圖中的代表晶體平衡狀態(tài)時的原子間距。在平衡狀態(tài)原子間距處，存在能量允帶，允帶中的能量也是分立的。泡利不相容原理指出，原子聚集所形成的系統(tǒng)無論大小如何變化，都不會改變量子態(tài)的總數(shù)。由于任何兩個電子都不會有相同的量子數(shù)，因此一個分立的能級必須分裂為一個能帶，以保證每個電子占據(jù)獨立的量子態(tài)。2.2.7允帶中能量分布的準連續(xù)性和禁帶一個能級所能夠容納的量子態(tài)數(shù)量相對較少，為了安置晶體中所有的電子，就要求允帶中存在很多能級。舉例來說，假設(shè)一個系統(tǒng)具

31、有個單電子原子，同時在平衡狀態(tài)處的允帶寬度為。為簡單起見，我們認為系統(tǒng)中的每個電子占據(jù)一個獨立的能級，如果分立的能量狀態(tài)是等間距的，那么每個能級的能量間隔是，這種能量的差距是很小的，因此，通常認為允帶的能量分布是準連續(xù)的。從下面的例子中可以看到，能態(tài)間的能量差別的確很小。對有規(guī)律的周期性排列的原子組成的晶體，并假設(shè)每個原子都包含不止一個原子。設(shè)想晶體中的電子處于原子的能級上。如果晶體中的原子相距很遠，那么相鄰原子殼層上的電子就不會相互影響（準確地說，即便有相互影響，也能保證自己的電子被束縛在自己的周圍），因而電子各自占據(jù)原先屬于自己的分立能級。當(dāng)原子相互靠近使得相鄰原子的最外殼層有交疊時，最外

32、殼層上的電子就會相互作用，導(dǎo)致該殼層的能級分裂成允許的能帶（即允帶）。如果將原子進一步靠近，則次內(nèi)層上的電子也會相互作用并分裂成允帶。最終，如果原子間的間距足夠小，在最里層的電子也開始相互作用并使分裂成允帶。這種分立能級的分裂被定性地表示在圖3.3中。平衡時，如果原子間相互作用距離為，那么在附近，電子可能占據(jù)的允帶就會被禁帶隔開。能帶分裂以形成允帶和禁帶是單晶材料能帶理論的基礎(chǔ)。圖3.4a表示的是單個硅原子的電子分布。硅原子的14個電子中的10個電子都處于靠近核的深層能級，其余的4個價電子受核的束縛較弱，圖3.4b顯示了硅的能帶分裂，因為兩個較深的電子殼層是被電子填滿的，而且受核的束縛緊密，所

33、以，我們只考慮能級上的價電子。其中態(tài)對應(yīng)，每個原子含有2個量子態(tài)。在時，這兩個量子態(tài)被兩個電子占據(jù)。而態(tài)對應(yīng)，每個原子含有6個量子態(tài)。余下的兩個電子只占據(jù)這6個量子態(tài)中的兩個，有4個量子態(tài)是空的未被電子占據(jù)。隨著原子相互作用間距的減小，和態(tài)會相互作用并產(chǎn)生交疊，在平衡的原子間距處，能帶再次分裂，使每個原子的4個量子態(tài)處于較低能帶，其它4個量子態(tài)處于較高能帶。絕對零度時，電子處于最低能態(tài)，因此較低能帶（也稱價帶）的所有態(tài)都被電子填滿，而較高的能帶（也稱導(dǎo)帶）的所有態(tài)都是空的。價帶頂和導(dǎo)帶底間隙能量稱為禁帶寬度。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)定性地討論了晶體中允帶和禁帶形成的原因。在其后的討論中我們會看到，

34、這些能帶形成的原因與晶體的電學(xué)特性息息相關(guān)。鍵模型再次強調(diào)，我們最感興趣的是半導(dǎo)體器件的電流電壓特性，現(xiàn)在我們需要研究固體中電的傳導(dǎo)，因為這與我們剛剛討論過的能帶理論有關(guān)。下面我們開始討論電子在不同允帶中的運動。半導(dǎo)體中的能帶由價帶、導(dǎo)帶和禁帶組成。T=0K時，每個硅原子周圍由8個價電子，而這些價電子都處于最低能態(tài)，并以共價鍵結(jié)合。圖3.4b顯示了形成的硅晶體使分立的能態(tài)分裂成允帶。在T=0K時，處于最低能帶的4N態(tài)（價帶）都被價電子填滿。而此時較高能帶（導(dǎo)帶）則完全空著。隨著溫度的升高T0K，一些價帶上的電子可能獲得足夠的熱能（大于價鍵的結(jié)合能），從而打破共價鍵并躍入導(dǎo)帶。圖3.13a用二維

35、示意圖表示了這種共價鍵斷裂效應(yīng)，圖3.13b用能帶模型示意圖表示了同樣的效果。注意：無論何種情況禁帶中都不會有電子。半導(dǎo)體是處于電中性的，一旦帶負電的電子離開原來共價鍵的位置，就會在價帶中的同一位置產(chǎn)生帶正電的“空狀態(tài)”，這個“空狀態(tài)”就等效帶正電的“空穴”。隨著溫度的升高，越來越多的共價鍵被打破，更多的電子躍入導(dǎo)帶，同時在價帶中就會隨著產(chǎn)生更多的相同數(shù)量空穴。和分別表示導(dǎo)帶底能量和價帶頂?shù)哪芰?。為帶隙能量。由于電流是電荷的流動產(chǎn)生的，因此需要研究半導(dǎo)體中電荷受外力作用下的移動，通常稱這些電荷為載流子。一種類型的電荷是電子，它帶負電。在半導(dǎo)體中，我們最感興趣的是導(dǎo)帶底中的少量電子。由于電子是帶

36、電粒子，導(dǎo)帶中電子的凈漂移會產(chǎn)生凈的漂移電流。如果對粒子施加外力，粒子就會移動，粒子的能量必然增加。這種效果可以表示為這里的是施加的外力，是粒子運動的距離，是運動速度，是增加的能量。如果外力施加在導(dǎo)帶底的電子上，電子就會進入導(dǎo)帶中空著的能態(tài)，表現(xiàn)為電子的移動。因此外力可以使電子增加能量，進而使其產(chǎn)生凈動量。電子的運動產(chǎn)生的漂移電流密度可以表示為這里的電子電量，是導(dǎo)帶中單位體積的電子數(shù)量，這里用求和代替單位體積以使電流密度為，可以看到式（2.44）表示的電流密度直接跟電子的運動速度相關(guān)，也就是說，電流與在晶體中運動的電子有關(guān)?？紤]圖3.13a所示的共價鍵二維示意圖，當(dāng)一個價電子躍遷到導(dǎo)帶，就會產(chǎn)

37、生帶正電的“空狀態(tài)”。當(dāng)時，所有價電子都有可能獲得熱能，如果價電子獲得少量熱能，就有可能跳到空著的狀態(tài)，價電子移動到空態(tài)，這可看作是帶正電荷的空態(tài)其自身的運動。，同時產(chǎn)生一個新的空狀態(tài)的交替移動。價電子填補空狀態(tài)的運動等效于價帶中正電荷的移動。現(xiàn)在晶體中就有了第二種重要的可以形成電流的帶正電載流子，這種載流子我們稱其為“空穴”。它也是一種符合牛頓力學(xué)定律的經(jīng)典粒子。 價帶中電子運動產(chǎn)生的漂移電流密度可以寫成上式中的求和范圍指的是被電子填滿的所有態(tài)，由于求和范圍幾乎涵蓋了整個價帶，需要考慮的狀態(tài)數(shù)量極其龐大，因而這樣的求和極其不方便。于是上式還可以寫成如果能帶完全是滿的，那么全部的有效狀態(tài)將會被

38、電子占據(jù)，此時，即便是有外力的作用，不會有“空著的”狀態(tài)等著電子來填補。因此，滿帶中的電子將不會產(chǎn)生凈的漂移電流。既有根據(jù)式（2.46），近乎全滿的價帶上，電子產(chǎn)生的漂移電流密度可以寫成這里的跟空著的狀態(tài)有關(guān)。上式完全等效于帶正電荷的空態(tài)形成的電流密度。剛才我們討論的價帶中的“空態(tài)”（每個這樣的態(tài)可以提供一個正電荷）也可以看作是能帶近乎被填滿后電子的凈移動。價帶中帶正電的粒子密度等于“空著的”能態(tài)密度。這種帶正電的新粒子我們稱之為“空穴”。一般來講，晶體中電子的運動不同于空間中的自由電子。附加的外力、晶體中帶正電的粒子或質(zhì)子和其它帶負電的電子產(chǎn)生的內(nèi)力會影響電子在晶體中的運動，還有其它如聲子的

39、聲波也會影響電子的運動。例如在真空管被電場加速的電子，只受到外電場的作用。如果在半導(dǎo)體兩端施加電場，由于半導(dǎo)體中的電子運動不僅會受到體內(nèi)正負電荷的相互作用，同時受到外電場力的作用。因此，真空管中電子的運動肯定不同于電子在晶體中的運動。如果某粒子的靜止質(zhì)量為、它所受到的合力為，則有如下關(guān)系上式中的分別表示作用在晶體中粒子上的外力和內(nèi)力，是粒子的加速度。由于考慮所有內(nèi)力極其困難，我們將其寫成這里的加速度只跟外力有關(guān)，是粒子的有效質(zhì)量，實際上，它既考慮了粒子的質(zhì)量又考慮了內(nèi)力的效應(yīng)得出的等效質(zhì)量。分別觀察在盛滿水和在盛滿油中自由下落的同種玻璃彈球的現(xiàn)象，可以幫助我們理解有效質(zhì)量的概念。通過將晶體中電

40、子的有效質(zhì)量與關(guān)系聯(lián)系起來的進一步分析，將會得到導(dǎo)帶底附近的電子具有正的有效質(zhì)量；價帶中的空穴具有正的有效質(zhì)量。2.2.9金屬、半導(dǎo)體、絕緣體由能帶理論可知，如果導(dǎo)帶中完全沒有電子或價帶中完全由電子填滿，在外加電場的情況下，導(dǎo)帶和價帶都不會有載流子的移動，也就不會產(chǎn)生電流。這種能帶全滿或全空的材料就是絕緣材料。絕緣體的帶隙能量通常,甚至更高。實際上在室溫下，絕緣體中的導(dǎo)帶沒有電子而價帶中充滿了電子。由于絕緣體的帶隙能量很大，因此很難用加熱的方法產(chǎn)生可導(dǎo)電的電子和空穴。因此電阻率非常大。半導(dǎo)體的帶隙能量在上下。較低的帶隙能量意味著在時，有少量電子獲得能量從價帶躍遷到導(dǎo)帶，同時在價帶中產(chǎn)生同等數(shù)量

41、的空穴，在外加電場時少量的電子和空穴在晶體中作定向運動形成電流。但由于參與導(dǎo)電的載流子數(shù)量有限，所以表現(xiàn)為具有中等大小的電阻率。從能帶的觀點看，在室溫下，價帶中有少量空穴和導(dǎo)帶中有少量電子占據(jù)的材料稱為半導(dǎo)體。金屬材料的能隙遠小于半導(dǎo)體材料的能隙；電阻率更低的金屬材料的導(dǎo)帶和價帶有可能是交疊的。由于能隙較小，室溫下有更多的電子從價帶躍遷到導(dǎo)帶，使導(dǎo)帶被電子部分填滿或價帶完全填滿，在外加電場時有更多的載流子沿電場方向移動而形成電流,所以金屬材料表現(xiàn)為更低的電阻率。自由電子的狀態(tài)密度函數(shù)我們知道，電流是由電荷的定向流動產(chǎn)生的。所以確定半導(dǎo)體中參與導(dǎo)電的電子和空穴數(shù)量是必須解決的問題。根據(jù)泡利不相容

42、原理，給定的一個量子態(tài)只能被一個電子占據(jù)。所以確定參與導(dǎo)電的載流子數(shù)量就變成了確定與能量有關(guān)的量子態(tài)數(shù)量。在討論能級被分裂成允帶和禁帶時曾經(jīng)指出，允帶實際上是由一系列分立的能級組成，只是這些分立的能級差別極其微小，可以看成是能量的準連續(xù)分布。我們需要確定一個與能量有關(guān)的能量密度函數(shù)，來計算參與導(dǎo)電的電子和空穴濃度。為了用一個能量密度函數(shù)確定有效量子態(tài)密度，需要一個近似的數(shù)學(xué)模型。電子可以相對自由的在半導(dǎo)體的導(dǎo)帶中運動，但它仍被限定在晶體中。我們首先討論一個被束縛在三維無限勢阱中的電子，而這個勢阱就代表晶體。無限勢阱的定義：假定晶體的晶包是邊長為的正立方體，根據(jù)一維無限勢阱的結(jié)果（見式2.35）

43、外推可以得到：其中和為正整數(shù)，我們可以畫出空間有效量子態(tài)。和的函數(shù)圖，每一個點代表不同的和對應(yīng)的有效量子態(tài)?；虻恼撝稻哂邢嗤哪芰?，代表相同的能量狀態(tài)。因為或的負值都不代表獨立的量子態(tài)，所以僅用空間的正坐標(biāo)八分之一個球體就可以確定有效量子態(tài)密度，如圖3.24b所示。在方向，兩個量子態(tài)的距離是將這個結(jié)果推廣到三維空間的情形，一個量子態(tài)占有的空間是由于空間中體積微分是，如圖3.24b所示。所以空間的量子態(tài)密度的微分為其中因子“2”代表每個量子態(tài)有兩個自旋狀態(tài)?！?/8”代表計算的是和的正值。上式還可以簡化為該式給出的量子態(tài)密度，實際上是關(guān)于動量的函數(shù)，其中的動量用代替。我們還可以將量子態(tài)密度函數(shù)

44、用能量表示。對自由粒子來說，能量和的關(guān)系是將和的表達式帶入式（2.56）就可以得出能量范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)將帶入式（2.58）可化成上式給出了體積為的晶體且能量為范圍內(nèi)的量子態(tài)總數(shù)。所以單位體積單位能量的量子態(tài)密度為上式表明，隨著自由粒子能量的增大或降低，量子態(tài)密度也會相應(yīng)的增多和減少。E的指數(shù)應(yīng)該是3/2和空穴的狀態(tài)密度函數(shù)前面討論了被束縛在三維無限勢阱中質(zhì)量為的電子模型，利用了該模型得到了有效量子態(tài)密度的一般表達式?，F(xiàn)在我們將要利用這種模型得到的有效量子態(tài)密度的一般表達式，將其推廣到半導(dǎo)體中，從而分別導(dǎo)出導(dǎo)帶和價帶中的量子態(tài)密度的一般表達式。我已經(jīng)知道自由電子的能量與動量的關(guān)系是對于半導(dǎo)體來說

45、，我們感興趣的是導(dǎo)帶底和價帶頂附近的能量分布，假設(shè)將導(dǎo)帶底能量的最小值定義為，我們可以在極值附近用泰勒級數(shù)表示導(dǎo)帶底附近電子能量的表達式。由于極值附近，很小，保留級數(shù)的前兩項由于在導(dǎo)帶底附近所以有導(dǎo)帶底附近電子的行為類似于自由電子，只是用代替了，用電子的有效質(zhì)量代替了自由電子的質(zhì)量。所以我們可以將導(dǎo)帶中的電子看成是具有質(zhì)量為及初始能量為的“自由電子”。如果我們將價帶頂附近能量的最大值定義為類似的分析可以導(dǎo)出，將式（2.65）和式（2.66）與式（2.61）相比較，可以看出等式的右邊具有相同的形式。我們用類比的方法可以得到導(dǎo)帶底附近電子的有效狀態(tài)密度為上式在滿足有效，隨著導(dǎo)帶中電子能量的降低，其有效量子態(tài)數(shù)量也會降低。價帶頂附近空穴的有效狀態(tài)密度為上式在滿足有效，隨著價帶中空穴能量的增大，其有效量子態(tài)數(shù)量也會降低。由于無論何種情況禁帶中都不會有電子，因此禁帶中即如果電子和空穴的有效質(zhì)量相等，那么函數(shù)和將以對稱。在涉及大量粒子時，我們感興趣的只是這些粒子的作為一個整體的統(tǒng)計學(xué)狀態(tài)，而不是單個粒子的狀態(tài)。例如，處于容器中的氣體會對器壁產(chǎn)生一定的壓力。這種壓力實際上是由各個氣體分子撞擊容器壁產(chǎn)生的平均統(tǒng)計效果，但我們并不會關(guān)注單個微小的粒子的狀態(tài)。同理，晶體的電學(xué)特性也是由大量電子的統(tǒng)計學(xué)狀態(tài)決定的。在晶體中確定粒