高考物理 解題方法之極限思維法和極值法素材

1、課 題1.極限思維法和極值法教學(xué)目的靈活運(yùn)用極限思維法和極值法解題 教學(xué)內(nèi)容考點(diǎn)知識清單如何應(yīng)用極限法解決問題 應(yīng)用極限思維法時，特別要注意到所選取的某段物理過程研究的物理量的變化應(yīng)是單一的。如增函數(shù)或減函數(shù)。但不能在所選過程中既包含有增函數(shù)，又包含有減函數(shù)的關(guān)系，這種題目的解答是不能應(yīng)用極限法的。因此，在解題時，一定要先判定物理量間的變化關(guān)系是否為單調(diào)變化。若物理量間的變化關(guān)系為單調(diào)變化，可假設(shè)某種變化的極端情況，從而得出結(jié)論或作出判斷。 極限法常見用于解答定性判斷題和選擇題，或者在解答某些大題時，用極限法確定“解題方向”。在解題過程中，極限法往往能化難為易，達(dá)到“事半功倍”的效果?！镜湫屠?/p>

2、題】 例1. 如圖所示電路中，當(dāng)可變電阻R的阻值增大時（ ） A. A、B兩點(diǎn)間的電壓U增大 B. A、B兩點(diǎn)間的電壓U減小 C. 通過R的電流I增大 D. 通過R的電流I減小 分析： 可變電阻R的變化范圍在零到無窮大之間連續(xù)變化。當(dāng)R=0時，A、B間短路，此時U=0，；當(dāng)時，R斷路，?？梢?，當(dāng)R的阻值增大時，U增大而I減小，因此A、D選項(xiàng)正確。 點(diǎn)撥： 以上問題，若采用常規(guī)解法，必須先分析題中所給條件，再根據(jù)物理規(guī)律寫出物理量間的關(guān)系，列出函數(shù)表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)知識予以判斷解答，過程復(fù)雜，需要時間較多，顯然不能適應(yīng)高考時短時間內(nèi)快速解題的要求。而象題中這樣運(yùn)用“極限法”解題，通過尋找極端情況使

3、解題過程的主要因素或物理量的發(fā)展趨勢迅速顯露出來，簡單明了，避免了復(fù)雜的推理運(yùn)算。 例2. 如圖所示，用輕繩通過定滑輪牽引小船靠岸，若收繩的速度為，則在繩與水平方向夾角為的時刻，船的速度v有多大？（阻力不計(jì)） 分析： 假設(shè)小船在時間內(nèi)從A點(diǎn)移過到C點(diǎn)，這時出現(xiàn)了三個距離：小船前進(jìn)的位移，繩收縮的距離以及，這個運(yùn)動可設(shè)想為兩個分運(yùn)動所合成：小船先被繩拉過到B點(diǎn)，再隨繩繞滑輪O點(diǎn)做圓周運(yùn)動到C點(diǎn)，位移為。若很小，即與垂直，此時有，可得：，則。 點(diǎn)撥： 本題在采用極限法時先虛擬合運(yùn)動的一個位移，看看這個位移產(chǎn)生了什么效果再運(yùn)用極限法求解。 例3. 如圖所示電路，滑線變阻器的總電阻為2R，當(dāng)滑動片位于

4、變阻器的中點(diǎn)O時，四個電流表的示數(shù)都相等，且為，當(dāng)滑動片移到時，則（ ） A. 的示數(shù)大于B. 的示數(shù)大于 C. 的示數(shù)大于D. 的示數(shù)大于 分析： 當(dāng)滑動片在O點(diǎn)時，此時電路中的電阻最大，電路具有對稱性，因此各電流表的示數(shù)均為；當(dāng)滑動片由O移到時，電路的對稱性被破壞，右部分電路CBO的電阻變小，右部分電路的BOD的電阻變大，由于總電壓不變，根據(jù)串聯(lián)電路電壓分配與電阻成正比可得： ，而 當(dāng)滑動片在變阻器的兩個端點(diǎn)時，電路中的電阻最小（相當(dāng)于兩個定值電阻中有一個被導(dǎo)線短路）。對于CO和OD兩支路，采取極限的方法進(jìn)行分析：設(shè)O點(diǎn)移至滑線變阻器的左端點(diǎn)，電路的總電阻，總電流，此電流全部從電流表流過，

5、顯然，電流表的電流大于，而電流表中流過的電流為。 因此，本題正確選項(xiàng)為B、C。例5：如圖所示的電路中，閉合開關(guān)S，調(diào)節(jié)有關(guān)電阻使電流計(jì)的讀數(shù)為零，這時：（ ）A、 若R1增大，則G中的電流從a到b。B、 若R2增大，則G中的電流從a到b。C、 若R3減小，則G中的電流從a到b。D、 若R4減小，則G中的電流從a到b。解析：可用極端思維法來解決，既然R1、R2增大，就讓它們斷開，這樣就很容易得出選項(xiàng)B是正確的；既然R3、R4減小，就讓它們短路，同樣也很容易得出選項(xiàng)D是正確的。點(diǎn)評：把對問題的分析推向極端情況，常會收到事半功倍的效果。1（2002年全國理綜卷）在如圖所示的電路中，R1、R2、R3和

6、R4皆為定值電阻，R5為可變電阻，電源的電動勢為E，內(nèi)阻為r。設(shè)電流表A的讀數(shù)為I，電壓表V的讀數(shù)為U。當(dāng)R5的滑動觸點(diǎn)向圖中a端移動時（ ）AI 變大，U變小 BI 變大，U變大CI 變小，U變大 DI 變小，U變小【解析】由圖易知R5的滑動觸點(diǎn)向a端移動時R5有效電阻單調(diào)變小，引起電路中各量的變化也是單調(diào)的。設(shè)滑動觸點(diǎn)到達(dá)a點(diǎn)，則R5被短路，（極值法），并聯(lián)部分等效于一根導(dǎo)線，則外電阻變小，路端電壓U變小，從而可排除選項(xiàng)B、C。電流表所在支路被短路，則電流表讀數(shù)減至零也是變小的，所以應(yīng)選選項(xiàng)D。2（2001年高考全國理綜）在抗洪搶險中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流

7、去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2，戰(zhàn)士救人的地點(diǎn)A離岸邊最近處O的距離為d。如戰(zhàn)士想在最短時間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為 （）Adv2/ B0 Cdv1/v2 Ddv2/v1【解析】當(dāng)水流速度v1=0（極限）時，摩托艇登陸的地點(diǎn)是O點(diǎn)，也就是離O點(diǎn)距離為零，此時用時最短，只有C選項(xiàng)正確。3（04年廣東）如圖，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.60T，磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個點(diǎn)狀的放射源S，它向各個方向發(fā)射粒子，粒子的速度都是v=3.0106m/s，已知粒子的電荷與質(zhì)

8、量之比C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動的粒子，求ab上被粒子打中的區(qū)域的長度。 a b S 解：粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動，用R表示軌道半徑，有 由此得代入數(shù)值得R=10cm可見，2RlR.因朝不同方向發(fā)射的粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P1就是粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn).為定出P1點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點(diǎn)，過Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P1. 再考慮N的右側(cè)。任何粒子在運(yùn)動中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此

9、即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn).由圖中幾何關(guān)系得 所求長度為 代入數(shù)值得 P1P2=20cm 4（03年江蘇）圖1所示為一根豎直懸掛的不可伸長的輕繩，下端拴一小物塊A，上端固定在C點(diǎn)且與一能測量繩的拉力的測力傳感器相連.已知有一質(zhì)量為的子彈B沿水平方向以速度射入A內(nèi)（未穿透），接著兩者一起繞C點(diǎn)在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動，在各種阻力都可忽略的條件下測力傳感器測得繩的拉力F隨時間的變化關(guān)系如圖2所示. 已知子彈射入的時間極短，且圖2中=0為A、B開始以相同速度運(yùn)動的時刻，根據(jù)力學(xué)規(guī)律和題中（包括圖）提供的信息，對反映懸掛系統(tǒng)本身性質(zhì)的物理量（例如A的質(zhì)量）及A、B一起運(yùn)動過程中的守恒量，你能求得哪些定量的結(jié)果？

10、解：由圖2可直接看出，A、B一起做周期性運(yùn)動，運(yùn)動的周期令表示A的質(zhì)量，表示繩長.表示B陷入A內(nèi)時即時A、B的速度（即圓周運(yùn)動最低點(diǎn)的速度），表示運(yùn)動到最高點(diǎn)時的速度，F(xiàn)1表示運(yùn)動到最低點(diǎn)時繩的拉力，F(xiàn)2表示運(yùn)動到最高點(diǎn)時繩的拉力，根據(jù)動量守恒定律，得在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)處運(yùn)用牛頓定律可得 根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得 由圖2可知 由以上各式可解得，反映系統(tǒng)性質(zhì)的物理量是 A、B一起運(yùn)動過程中的守恒量是機(jī)械能E，若以最低點(diǎn)為勢能的零點(diǎn)，則 由式解得 【高考能力詮釋】第三講 常見的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，其思想、方法和知識始終滲透、貫穿于整個物理學(xué)習(xí)和研究的過程中，為物理概念、定律的表述提供簡潔、精確的

11、數(shù)學(xué)語言，為學(xué)生進(jìn)行抽象思維和邏輯推理提供有效的方法，為物理學(xué)中的數(shù)量分析和計(jì)算提供有力工具中學(xué)物理考試大綱中對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力作出了明確要求，要求考生有“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力”高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，借助物理知識考查數(shù)學(xué)能力是高考命題的永恒主題 所謂數(shù)學(xué)方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預(yù)測可以說，任何物理試題的求解過程實(shí)質(zhì)上是一個將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題再經(jīng)過求解還原為物理結(jié)論的過程本講中所指的數(shù)學(xué)方法，都是一些特殊、典型的方法處理中學(xué)物理問題，常用的數(shù)學(xué)方法有極值法、

12、幾何法、圖象法、數(shù)學(xué)歸納推理法、微元法、等差(比)數(shù)列求和法等如下表：名稱內(nèi)容極限法1.三角函數(shù)求極值：y()=cos+sin，ymax=2.二次函數(shù)求極值：y=ax2+bx+c，ym=(a0時，有ymin；a0時，有ymax)3.均值不等式：a+b2( a0 ,b0), a+b+c3( a0 ,b0, c0)幾何法1.對稱點(diǎn)的性質(zhì)、鏡像對稱2.兩點(diǎn)間的直線距離最短3.正弦定理： = = ；余弦定理：a2=b2+c2+2bccos4.全等、相似三角形的特征5.圓軌道及圓的相關(guān)性質(zhì)、圓方程圖象法1.直線型圖象：y=kx+b2.正(余)弦曲線型圖象3.拋物線型圖象4.描述一個物理量隨另一個物理量變

13、化的曲線等，如閉合電路中各物理量間關(guān)系數(shù)列法1.等差數(shù)列：其和Sn= =na1+d(d為公差)2.等比數(shù)列：Sn= ,a1為首項(xiàng)，q為公比，當(dāng)q1時，qn0.微元法無窮小等分，往往對其中的一個微元作處理.數(shù)學(xué)歸納法對于一個復(fù)雜的過程由特殊到一般，歸納成某一通式，求解.三角函數(shù)變換sin2+cos2=1，sin2=2sincos，cos2=2cos2-1=1-2sin2=cos2-sin2方程法直線方程，一元二次方程的判別式，橢圓方程，二次函數(shù)，圓方程等另外還有比值法、不等式法探究思維拓展典題分析圖7-1【例1】 2008年高考上海卷4向量與矢量三角形 如圖7-1所示，在豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系中

14、，一個質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在外力F的作用下，從坐標(biāo)原點(diǎn)O由靜止沿直線ON斜向下運(yùn)動，直線ON與y軸負(fù)方向成角（/4）。則F大小至少為_；若Fmgtan，則質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能大小的變化情 況是_。跳出陷阱 某同學(xué)這樣解第2問，若Fmgtan時，正好F力的方向沿著x軸正方向，因此外力F與運(yùn)動位移方向成銳角，質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能增加。指點(diǎn)迷津 實(shí)際上該同學(xué)忽視了題干只給出外力F的大小，而未給出該力的方向。Fmgtan時，外力F的方向不僅僅為沿著x軸正方向，還可能有其它方向。為了能夠嚴(yán)密的找出Fmgtan時的所有可能性，需要運(yùn)用力的矢量三角形定則。正確析解 mgabcON圖7-2如圖7-2所示，質(zhì)點(diǎn)受到的力有重力mg和外力

15、F，合力的方向沿著ON方向，將重力、外力、合力歸結(jié)到一個三角形中，該質(zhì)點(diǎn)受到重力和外力F從靜止開始做直線運(yùn)動，說明質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動，如圖中顯示當(dāng)F力的方向?yàn)閍方向（垂直于ON）時，F(xiàn)力最小為mgsin；若Fmgtan，即F力可能為b方向或c方向，故F力的方向可能與運(yùn)動方向相同，也可能與運(yùn)動方向相反，除重力外的F力對質(zhì)點(diǎn)做正功，也可能做負(fù)功，故質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能增加、減少都有可能。兩空分別填：mgsin，增大、減小都有可能。方法歸類 力的矢量三角形定則是從平行四邊形定則中演繹出來的新的數(shù)學(xué)方法，解決共點(diǎn)力問題有很好的作用，特別是動態(tài)平衡問題、力的合成與分解中的多解分析，這樣的方法非常嚴(yán)密。矢量三角形

16、的處理原則：1、抓住“定”量，比如重力的大小和方向?qū)?yīng)矢量三角形的邊長和方向，這點(diǎn)很重要，它直接確定了三角形的兩個頂點(diǎn)和一個邊；再比如墻壁上的彈力方向始終不變，這確定了動態(tài)三角形中的某個邊的方向；2、找到“變”量，往往以某個力的角度發(fā)生變化引起三角形另外兩個邊的變化，有時候是邊長變化、有時候是方向發(fā)生變化。NFfmg圖7-3一題多變 物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動摩擦因數(shù)為，物體重為G，欲使物體沿水平地面做勻速直線運(yùn)動，所用的最小拉力F為多大？畫龍點(diǎn)睛 該題的已知量只有和G，說明最小拉力的表達(dá)式中最多只含有和G ，但是，物體沿水平地面做勻速直線運(yùn)動時，拉力F可由夾角的不同值而有不同的

17、取值。因此，可根據(jù)題意先找到F與夾角有關(guān)的關(guān)系式再作分析。析解 方法一：如圖7-3，對物體受力分析，設(shè)拉力F與水平方向的夾角為，根據(jù)題意可列平衡方程式， 即Fcosf=0N+Fsin=Gf=N圖7-4聯(lián)立解得：,FFGFFFF圖7-5其中tan= ，故方法二：向量就是物理學(xué)中的矢量，當(dāng)物體受三力平衡時，將三矢量首尾相連后，必定構(gòu)成三角形。利用點(diǎn)到直線的垂直線段最短可求極值。對本題我們也可用矢量知識求極值。將摩擦力f和地面對木塊的彈力N合成一個力F，如圖7-4，F(xiàn)與豎直方向的夾角為tan= =（為一定值）。這樣木塊可認(rèn)為受到三個力:重力G，桌面對木塊的作用力F和拉力F的作用。盡管F大小方向均未確

18、定，F(xiàn)方向一定，但大小未定，但三力首尾相連后必構(gòu)成三角形，如圖7-5所示。只有當(dāng)F與F垂直時，即拉力與水平方向成角時，拉力F最小為F=Gsin而 ，故圖7-6一題多變 2008年高考四川延考卷21正弦定理與矢量三角形兩個可視為質(zhì)點(diǎn)的小球a和b，用質(zhì)量可忽略的剛性細(xì)桿相連，放置在一個光滑的半球面內(nèi)，如圖7-6所示。己知小球a和b的質(zhì)量之比為，細(xì)桿長度是球面半徑的倍。兩球處于平衡狀態(tài)時，細(xì)桿與水平面的夾角是 ( )A45B30C22.5D15畫龍點(diǎn)睛 通過對a和b兩小球的受力分析，抓住受力的共同特點(diǎn)：輕桿對小球的作用力等大、反向，以及重力均豎直向下，大小關(guān)系在題干已經(jīng)給出，還有重要的幾何關(guān)系即細(xì)桿

19、的長度是球面半徑的倍。分別將兩小球受到的共點(diǎn)力歸結(jié)到矢量三角形中，最后利用數(shù)學(xué)的正弦定理列方程求解。abOc圖7-7正確解析 如圖7-7，對a、b分別受力分析，將三個力歸結(jié)到三角形Oac與Obc中，由牛頓第三定律可設(shè)兩球受到桿的作用力大小Nac=Nbc，依題意可知，ab=Oa=Ob，故三角形Oab為等腰直角三角形?？稍O(shè)aOc=90bOc=，根據(jù)矢量三角形定則及正弦定理可得： = ， = ，解得=30，由幾何關(guān)系可得=15 。本題還有其他解法，比如杠桿平衡條件解題、利用質(zhì)心找到平衡點(diǎn)等方法，不妨試一試。追問 1、試討論一下a球和b球質(zhì)量比為n發(fā)生變化時，細(xì)桿與水平面的夾角如何變化？2、若撤去光滑

20、的半球面，Oa、Ob為細(xì)繩，a、b為同性電荷，其它條件不變，思考一下結(jié)果還是不是一樣？【例2】 2008年高考全國卷21不等式與極值 一束由紅、藍(lán)兩單色光組成的光線從一平板玻璃磚的上表面以入射角射入，穿過玻璃磚自下表面射出。已知該玻璃對紅光的折射率為1.5。設(shè)紅光與藍(lán)光穿過玻璃磚所用的時間分別為t1和t2，則光線從0逐漸增大至90的過程中 ( )At1始終大干t2 Bt1始終小于t2Ct1先大干后小于t2 Dt1先小于后大于t2跳出陷阱高考中某些考生解法如下：設(shè)折射角為，玻璃磚的厚度為h，由折射定律n= ，且n= ，在玻璃磚中的時間為t= ，聯(lián)立解得t2= 。研究這個函數(shù)，若對變化的入射角，和

21、不同光的折射率n，設(shè)紅光的折射率為n1，藍(lán)光的折射率為n2，且n2n11，討論：當(dāng)t紅2= t藍(lán)2時，有 = ，化簡得sin2 = ，由sin21，可得n1時，即當(dāng)紅光的折射率n1=時出現(xiàn)極值，n1時，入射角從0逐漸增大至90的過程中，一定有t1t2 ，故B正確。實(shí)際上，當(dāng)sin2 ，即 45時，t1t2 。指點(diǎn)迷津?qū)嶋H上能夠在列出函數(shù)方程后，利用強(qiáng)大的數(shù)學(xué)功底，應(yīng)用函數(shù)變化和不等式知識得到最后結(jié)果，是非常困難的，也會耗掉很多時間，這在高考臨場中是一大禁忌。我們不禁發(fā)問高考物理試題難道要這么強(qiáng)大的數(shù)學(xué)函數(shù)功底才能解決問題嗎？其實(shí)作為選擇題，有靈活的數(shù)學(xué)處理方法。本題存在一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，就是給出的該

22、玻璃對紅光的折射率為1.5這個條件。要想快速解題，列出簡單的函數(shù)方程對計(jì)算量的簡化和思維時間有很大的幫助。正確析解我們從時間的表達(dá)式開始，t = = = = ，對紅光的折射角1，藍(lán)光的折射角2，則t紅 : t藍(lán)= ，由于1 2 ，故在2190，即145時總有t1t2 ，要入射角從0逐漸增大至90的過程中總成立，要求紅光的折射率n1= ，由于題干給定n1=1.5，故總有t1t2 ，B正確。方法歸類高考中對處理物理情景后列出數(shù)學(xué)函數(shù)方程，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)不等式的知識靈活處理臨界問題，一直是考生的一大瓶頸。處理臨界值問題時可以考慮：1、運(yùn)用二次函數(shù)極值公式求極值；2、利用一元二次方程求極值；3、利用配方

23、法求極值；4、利用不等式求極值；5、利用三角函數(shù)的有界性求極值；6、利用“化一法”（即正弦、余弦、正切等三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為同名三角函數(shù)）求三角函數(shù)極值；7、利用向量求極值；8、圖象法求極值；9、利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)的方法求極值；以上求極值的方法是解高中物理題的常用方法。在使用中，還要注意題目中的條件及“界”的范圍。求最大和最小值問題，這類問題往往是物理學(xué)公式結(jié)合必要的教學(xué)知識才得出結(jié)論，這就要求學(xué)生不僅理解掌握物理概念、規(guī)律，還要具備較好的運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的能力。解決極值問題的關(guān)鍵是扎實(shí)掌握高中物理的基本概念，基本規(guī)律，在分析清楚物理過程后，再靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。無論采用何種方法解物理極值問題，首先都

24、必須根據(jù)題意，找出符合物理規(guī)律的物理方程或物理圖象，這也是解決物理問題的核心，決不能盲目地將物理問題純數(shù)學(xué)化。一題多變 2008年高考全國卷15函數(shù)與極值一束單色光斜射到厚平板玻璃的一個表面上，經(jīng)兩次折射后從玻璃板另一個表面射出，出射光線相對于入射光線側(cè)移了一段距離。在下列情況下，出射光線側(cè)移距離最大的是 ( )A紅光以30的入射角入射B紅光以45的入射角入射C紫光以30的入射角入射D紫光以45的入射角入射跳出陷阱高考中某些考生思路如下：因?yàn)橥N介質(zhì)對紫光的折射率較大，故入射角相同時，紫光側(cè)移距離較大，排除A、B選項(xiàng)；設(shè)入射角為i，折射角為r，玻璃磚厚度為d則側(cè)移距離x = d(tanitan

25、r)cosi，由n= 代入化簡得：。指點(diǎn)迷津 這個函數(shù)已經(jīng)列出來了，思路上沒有出錯，而且折射率n1時，x隨著入射角i的增大而增大，但要怎么該函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)并不容易。通過精確畫圖的確可以很快得到結(jié)果，而且最大側(cè)移距離趨近于玻璃磚的厚度。利用數(shù)學(xué)函數(shù)分析以及高三教材的數(shù)據(jù)可以更加清晰的看到側(cè)移距離的變化。正確析解 Mm圖7-8我們重新列函數(shù)方程：x = ，在高三教材中，折射定律這一節(jié)有入射角與折射角的數(shù)據(jù)表格，從數(shù)據(jù)可知，入射角增大時，折射角也增大，且入射角與折射角的差值也在增大，故隨著入射角i的增大，sin(ir)增大，cosr減小，故x必定增大。從而選擇D選項(xiàng)。從這個結(jié)論中總結(jié)規(guī)律，同一種

26、單色光，入射角增大時，側(cè)移距離逐漸增大到玻璃的厚度；同樣的入射角的前提下，折射率增大，側(cè)移距離增大?！纠?】 2007年高考全國卷24數(shù)學(xué)歸納法與碰撞 如圖7-8所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M19m的金屬球并排懸掛?，F(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成60的位置自由釋放，下擺后在最低點(diǎn)處與金屬球發(fā)生彈性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場。已知由于磁場的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c(diǎn)處。求經(jīng)過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45。跳出陷阱這是一道碰撞中的動量與能量守恒問題，試題沒有給出磁場的阻尼作用如何產(chǎn)生，但給出了磁場，您考生容易產(chǎn)生錯覺，以為要運(yùn)用磁場相關(guān)知識

27、解決問題。對于兩個金屬球的運(yùn)動過程，題目給出的描述并不是一目了然。特別是碰撞多次，每次碰撞過程中絕緣球的動能損失并不是一個常量，這給解決問題帶來了困難。指點(diǎn)迷津?qū)τ诿看闻鲎策^程中絕緣小球的動能損失量不是一個常量，那么有什么規(guī)律呢？為了找到規(guī)律，數(shù)學(xué)中常常以數(shù)學(xué)歸納法來尋找通項(xiàng)公式。正確析解設(shè)在第n次碰撞前絕緣球的速度為vn1，碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為vn、Vn。由于碰撞過程中動量守恒、碰撞前后動能相等，設(shè)速度向左，則解得： ，第n次碰撞后絕緣球的動能為： E0為第1次碰撞前的動能，即初始能量。絕緣球在060與45處的勢能之比為經(jīng)n次碰撞后有： 易算出(0.81)20656，(0.81)

28、30.531，因此，經(jīng)過3次碰撞后小于45 。方法歸類該題除了考查碰撞中的動量守恒定律以及能量守恒定律外，還運(yùn)用了數(shù)學(xué)歸納法尋找通項(xiàng)公式，即絕緣小球每一次碰撞前與碰撞后的動能關(guān)系，從而找到了絕緣小球每次碰后的動能與初動能的關(guān)系。找不到這個通項(xiàng)關(guān)系，而使用遞推法解題的計(jì)算量會非常大。在解決某些物理過程比較復(fù)雜的具體問題時，常從特殊情況出發(fā)，類推出一般情況下的猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，從而確定我們的猜想是正確的。此類題要求注意在書寫上的規(guī)范，以便于找出其中的規(guī)律。圖7-9一題多變 2008年高考四川卷25遞推法與碰撞 如圖7-9，一傾角為45的斜面固定于地面，斜面頂端離地面的高度h01m，斜

29、面底端有一垂直于斜面的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質(zhì)量m0.09kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）。小物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)0.2。當(dāng)小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度g10 m/s2。在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？畫龍點(diǎn)睛在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，每一次擋板給予小物塊的沖量是一個定量、還是變量，需要事先通過物理規(guī)律列方程求解，實(shí)際上試探第一次與第二次擋板給予小物塊的沖量即可知曉。在這里可以運(yùn)用兩種途徑來試探，一種是動能定理，另一種是牛頓運(yùn)動定律。正確析解 方法一：設(shè)小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運(yùn)動，到達(dá)斜面底端時速度為v。由功能關(guān)系得以

30、沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量 設(shè)碰撞后小物塊所能達(dá)到的最大高度為h，則同理，有 式中，v為小物塊再次到達(dá)斜面底端時的速度，I為再次碰撞過程中擋板給小物塊的沖量。由式得式中 由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數(shù)，首項(xiàng)為 總沖量為 由 得 代入數(shù)據(jù)得 Ns方法二：設(shè)小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運(yùn)動，小物塊受到重力，斜面對它的摩擦力和支持力，小物塊向下運(yùn)動的加速度為a，依牛頓第二定律得 設(shè)小物塊與擋板碰撞前的速度為v，則以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量為由式得 設(shè)小物塊碰撞后沿斜面向上運(yùn)動的加速度大小

31、為a， 依牛頓第二定律有 小物塊沿斜面向上運(yùn)動的最大高度為由式得 式中 同理，小物塊再次與擋板碰撞所獲得的沖量 由式得 由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數(shù)，首項(xiàng)為 總沖量為 由 得 代入數(shù)據(jù)得 Ns【例4】 2007年高考上海8函數(shù)與物理圖象 物體做自由落體運(yùn)動，Ek代表動能，Ep代表勢能，h代表下落的距離，以水平地面為零勢能面。下列7-10所示圖象中，能正確反映各物理量之間關(guān)系的是（ ）圖7-10跳出陷阱這是一道典型的函數(shù)與圖象數(shù)學(xué)、物理兩個學(xué)科相聯(lián)系的試題?？疾檫\(yùn)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力。需要通過給定的運(yùn)動列出物理運(yùn)動方程，即拿出函數(shù)關(guān)系式。函數(shù)均為勢能EP與相關(guān)時

32、間、速度、動能、高度的關(guān)系。指點(diǎn)迷津 該題應(yīng)該從數(shù)學(xué)函數(shù)與物理圖象相聯(lián)系。在自由落體運(yùn)動中，勢能與下落的高度成正比，下落的高度與時間的平方成正比；任意高度的勢能值等于該處的動能值，與速度的平方成正比。再根據(jù)函數(shù)方程對應(yīng)的圖象即可獲取答案。正確析解由機(jī)械能守恒定律：EP=EEK，故勢能與動能的圖像為傾斜的直線，C錯；由動能定理：EK =mgh=mv2=mg2t2，則EP=Emgh，故勢能與h的圖像也為傾斜的直線，D錯；且EP=Emv2，故勢能與速度的圖像為開口向下的拋物線，B對；同理EP=Emg2t2，勢能與時間的圖像也為開口向下的拋物線，A錯。本題答案B。方法歸類本題的突破口在于建立數(shù)學(xué)函數(shù)與

33、運(yùn)動學(xué)方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為圖象。考查了對圖象的理解與認(rèn)識。解決此類問題往往需要理解圖象的物理意義，是一次函數(shù)還是二次函數(shù)或其它函數(shù)，一次函數(shù)中的斜率的大小、傾斜的方向、橫軸和縱軸的截距等都是重要信息；二次函數(shù)中要注意圖象的開口、對稱軸以及與橫軸的交點(diǎn)等信息；還有圓方程、橢圓方程以及雙曲線方程等，都是要注意掌握的數(shù)學(xué)知識。一題多變 2008年高考海南卷5分段函數(shù)與圖象 一質(zhì)子和中于是由更基本的粒子即所謂“夸克”組成的兩個強(qiáng)作用電荷相反（類似于正負(fù)電荷）的夸克在距離很近時幾乎沒有相互作用（稱為“漸近自由”）；在距離較遠(yuǎn)時，它們之間就會出現(xiàn)很強(qiáng)的引力（導(dǎo)致所謂“夸克禁閉”）作為一個簡單的模型，設(shè)這樣的

34、兩夸克之間的相互作用力F與它們之間的距離r的關(guān)系為：式中F0為大于零的常量，負(fù)號表示引力用U表示夸克間的勢能，令U0F0(r2r1)，取無窮遠(yuǎn)為勢能零點(diǎn)下列7-11所示Ur圖示中正確的是 （ ）圖7-11DU OU0 rr1r2AU OU0 rr1r2BU OU0 rr1r2CU OU0 rr1r2畫龍點(diǎn)睛該題在基本物理知識的背景下，實(shí)際上純粹考查數(shù)學(xué)知識，即數(shù)學(xué)分段函數(shù)的理解。能夠從物理知識與情景中找到數(shù)學(xué)分段函數(shù)即可獲取正確的圖象。在物理知識中需要運(yùn)用勢能值與兩夸克之間的相互作用力做功的值大小相等，這樣從無窮遠(yuǎn)處開始逐漸縮小距離到r=r2，從r=r2到r=r1，從r=r1縮小到最小距離，三

35、個過程，三段函數(shù)圖象。正確析解 從無窮遠(yuǎn)處電勢為零開始到r = r2位置，勢能恒定為零，在r = r2到r = r1過程中，恒定引力做正功，勢能逐漸均勻減小，即勢能為負(fù)值且越來越小，此部分圖像為A、B選項(xiàng)中所示；r r1之后勢能不變，恒定為U0，由引力做功等于勢能將少量，故U0=F0(r2r1)。本題答案B。訓(xùn)練能力提升【訓(xùn)1】 2008年高考四川卷18函數(shù)與物理圖象一物體沿固定斜面從靜止開始向下運(yùn)動，經(jīng)過時間t0滑至斜面底端。已知在物體運(yùn)動過程中物體所受的摩擦力恒定。若用F、v、s和E分別表示該物體所受的合力、物體的速度、位移和機(jī)械能，則下列圖象中可能正確的是EOtt0DFOtt0AsOtt

36、0CvOtt0B【答案】AD【解析】物體在沿斜面向下滑動過程中，所受的合力為重力沿斜面向下的分力及摩擦力，故大小不變，A正確；而物體在此合力作用下作勻加速運(yùn)動，v=at，s=at2，所以B、C錯；物體受摩擦力作用，總的機(jī)械能將減小，D正確Fv【訓(xùn)2】 改編題函數(shù)與物理圖象 如圖所示，水平地面上放置一個質(zhì)量為m的物體，在與水平方向成角的斜向右上方的拉力F的作用下沿水平地面運(yùn)動，物體與地面間的動摩擦因數(shù)為。求：（1）若物體在拉力F的作用下能始終沿水平面向右運(yùn)動，拉力F的大小范圍；（2）若物體受到拉力F的作用后，從靜止開始向右做勻加速直線運(yùn)動，2 s后撤去拉力，已知F100 N、m10 kg、0.5

37、、37，撤去拉力后物體滑行的時間t；（3）已知m10 kg、0.5，若物體以恒定加速度a5 m/s2向右做勻加速直線運(yùn)動，維持這一加速度的拉力F的最小值?！窘馕觥?（1）要使物體運(yùn)動時不離開水平面，應(yīng)有Fsinmg， 要物體能向右運(yùn)動，應(yīng)有Fcosm（mgFsin），所以F（2）Fcosm（mgFsin）ma1，a16 m/s2，mmgma2，a25 m/s2， va1t1a2t2，所以t22.4s（3）Fcosm（mgFsin）ma，F(xiàn)F，其中asin1，當(dāng)sin（a）1時F有最小值，F(xiàn)min40N89.4N【訓(xùn)3】 模擬題矢量三角形 av水v開sv合一條河寬L=60m，水速v水=4m/s，

38、船在靜水中的開行速度v開=3m/s。（1）求小船渡河的最短時間t，這樣渡河船的位移是多少？（2）小船渡河的最小位移是多少？【解析】（1）小船渡河的運(yùn)動可看作是小船在靜水中的運(yùn)動與水的運(yùn)動兩個運(yùn)動的合成。由分運(yùn)動之間互不影響，且河岸的寬度是一定的，只要小船在垂直于河岸方向的分速度越大，小船渡河的時間就越短，即當(dāng)小船船頭垂直于河岸方向運(yùn)動時（如圖a），時間最短：v水v開sv合b tmin=L/v開=60/3s=20s， s=v合tmin=520m=100m（2）運(yùn)動的合成與分解遵循平行四邊形定則，由v開 v水，即小船不可能垂直到達(dá)對岸。只有當(dāng)v開、v水兩個速度的合速度與河岸的夾角越大，則小船的實(shí)際

39、位移越小。把代表v開的有向線段移到代表v水的有向線段端點(diǎn)，如圖b所示，可見：改變船頭的方向，有向線段v開的箭頭端點(diǎn)始終在一圓弧上。隨著船頭方向的改變，合速度的方向也隨之改變。只有當(dāng)船頭的朝向與合運(yùn)動的方向垂直時， 有最小值。由幾何知識可得：cos=v開/ v水=3/4，又cos=L/smin，即smin =80m。【訓(xùn)4】 模擬題函數(shù)與極值 一輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速度的釋放，如圖所示，小球在運(yùn)動至輕繩達(dá)到豎直位置的過程中，小球所受重力的瞬時功率在何處取得最大值？ vmgABCOLT【解析】當(dāng)小球運(yùn)動到繩與豎直方向成角的C時，重力的功率為：P=mgvcos=mgvs