誤差理論-設計與實踐

1、公郵公郵 密碼：密碼：123456本人郵箱本人郵箱 電話：電話寧星王寧星設計與實踐設計與實踐分布：第分布：第1、3、6學期學期每學期每學期1W或相應的學時或相應的學時物理、科教：加強普物實驗物理、科教：加強普物實驗本次課的目的本次課的目的1、掌握誤差、測量等基本概念、掌握誤差、測量等基本概念2、掌握數(shù)據(jù)處理的方法、掌握數(shù)據(jù)處理的方法等精度測量等精度測量：在相同條件下進行的多次測量在相同條件下進行的多次測量 測量列測量列：在等精度測量中的一組在等精度測量中的一組n 次測量的值次測量的值 測量分：直接測量測量分：直接測量 間接測量間接測量 直接測量分：直接測量分：等精度測

2、量等精度測量 非等精度測量非等精度測量 誤差及偏差誤差及偏差 誤差的定義誤差的定義誤差誤差測量值測量值 x真值真值a真值：真值：客觀客觀 存在的真實值存在的真實值由于由于真值的不可知真值的不可知，誤差實際上很難計算，誤差實際上很難計算最佳估計值最佳估計值算術平均值算術平均值nxxi算術平均值算術平均值理論可證明：理論可證明：當測量次數(shù)當測量次數(shù)n，ax 算術平均值可作為測量結(jié)果：算術平均值可作為測量結(jié)果：最佳估計值最佳估計值(假定無系統(tǒng)誤差假定無系統(tǒng)誤差)近似真實值近似真實值偏差偏差：測量值與近似真實值的差值為：測量值與近似真實值的差值為偏差偏差 xxxii 誤差誤差測量值測量值 x真值真值a

3、 產(chǎn)生產(chǎn)生原因原因：由于測量儀器、測量方法、環(huán)境影響等：由于測量儀器、測量方法、環(huán)境影響等誤差的分類及其規(guī)律（按誤差的分類及其規(guī)律（按性質(zhì)和產(chǎn)生的原因性質(zhì)和產(chǎn)生的原因分）分）在對同一被測量的多次測量過程在對同一被測量的多次測量過程中，絕對值和符號保持恒定或按某一確定的規(guī)律變中，絕對值和符號保持恒定或按某一確定的規(guī)律變化的測量誤差?；臏y量誤差。對同一量的多次重復測對同一量的多次重復測 量中，絕對值和符號變化不定量中，絕對值和符號變化不定的測量誤差的測量誤差。 產(chǎn)生產(chǎn)生原因原因：實驗條件、環(huán)境因素無規(guī)則的起伏變化、：實驗條件、環(huán)境因素無規(guī)則的起伏變化、 觀察者生理分辨能力等的限制觀察者生理分辨能

4、力等的限制例如：讀數(shù)時的視差影響。例如：讀數(shù)時的視差影響。特點特點：絕對值：絕對值小的小的誤差出現(xiàn)誤差出現(xiàn) 的概率比的概率比大大誤差出現(xiàn)的誤差出現(xiàn)的 概率大；絕對值很大的概率大；絕對值很大的 誤差出現(xiàn)的概率為零誤差出現(xiàn)的概率為零 多次測量時分布對稱（多次測量時分布對稱（正態(tài)分布）正態(tài)分布），具有抵償，具有抵償 性。因此性。因此取取多次多次測量的平均值有利于消減隨機誤差。測量的平均值有利于消減隨機誤差。f()- 0 nxxnii/ )(1 假定對一個量進行了假定對一個量進行了n次等精度測量，測得的值次等精度測量，測得的值為為xi (i =1, 2，n)，可以，可以用多次測量用多次測量的的算術平均

5、值算術平均值作為被測量的作為被測量的最佳值最佳值(假定無系統(tǒng)誤差假定無系統(tǒng)誤差)近似真實值近似真實值等精度測量等精度測量：在相同條件下進行的多次測量在相同條件下進行的多次測量 測量列測量列：在等精度測量中的一組在等精度測量中的一組n 次測量的值次測量的值 用用貝塞爾公式貝塞爾公式表示表示意義意義: 表示表示某次某次測量值的隨機誤差在測量值的隨機誤差在 之間的之間的 概率為概率為68.3。 f()- 0 112 nxxSniixx 貝塞爾貝塞爾公式公式 naxniix 12 注意：若分子是誤差，則標準差：注意：若分子是誤差，則標準差：（中學用此公式）（中學用此公式）標準偏差標準偏差 （也稱（也稱

6、均方誤差均方誤差）2. 算術算術平均平均值值的的標準標準偏偏差差 意義意義: 測量測量平均值平均值的隨機誤差在的隨機誤差在 之間的概率之間的概率 為為 68.3%。反映了平均值接近真值的程度。反映了平均值接近真值的程度。xx f()- 0 112 nnxxnniixx 一般教學實驗：測一般教學實驗：測510次次ax 理論上：測量次數(shù)理論上：測量次數(shù)n，x 0 5 10 15 20 n平均值的平均值的標準偏差標準偏差實際測量多少次合適？實際測量多少次合適？由圖可知：由圖可知：n大于大于10后，曲線變得較平坦。后，曲線變得較平坦。3、t 分布分布 實際中，測量次數(shù)實際中，測量次數(shù)n不可能趨于無窮。

7、當測量次數(shù)不可能趨于無窮。當測量次數(shù)較少時，隨機誤差服從的規(guī)律是較少時，隨機誤差服從的規(guī)律是t分布。分布。正態(tài)分布正態(tài)分布f()t分布分布0t分布的曲線比正態(tài)分分布的曲線比正態(tài)分布的要平坦，兩者的分布的要平坦，兩者的分布函數(shù)不同，布函數(shù)不同，n較小時較小時, , t分布偏離正態(tài)分布較分布偏離正態(tài)分布較多，多，n較大時較大時, , 趨于正趨于正態(tài)分布態(tài)分布 112 nnxxttniix A A 112 nxxntniiA AxSntt分布分布標準偏差標準偏差(正態(tài)分布）正態(tài)分布） 112 nnxxnniixx t分布分布 與正與正態(tài)分布的態(tài)分布的誤差計算誤差計算關系關系t值與測量次數(shù)有關值與測量

8、次數(shù)有關nt /下表是當置信度下表是當置信度 p=0.95的的 t 值值 n34567891015100t4.33.182.782.572.452.362.312.262.141.972.481.591.204 1.050.9260.8340.7700.7150.5530.139所以對一般的教學實驗，也可用所以對一般的教學實驗，也可用S Sx x（貝塞爾公式）（貝塞爾公式）作為作為估算誤差的公式。估算誤差的公式。 112 nxxntniiA AxSnt由上表可知，當由上表可知，當55n1010時，時， 接近接近1 1 A AS Sx xnt / 與與 及及t分布分布的誤差估算公式的誤差估算公式

9、對比對比x x 測量列中測量列中某次某次測測量值的標準偏差量值的標準偏差平均值平均值的標準偏差的標準偏差 112 nxxSniixx 112 nnxxnniixx 測量次數(shù)測量次數(shù)n為為有限次：用有限次：用t分布（也分布（也可用可用貝塞爾公貝塞爾公 式）式）計算直接測量量的誤差。計算直接測量量的誤差。xSnt對對t分布分布 112 nnxxttniix A A測量結(jié)果的測量結(jié)果的不確定度不確定度 22B BA Ax: 用統(tǒng)計方法評定用統(tǒng)計方法評定B : 用估算方法評定用估算方法評定 取取 儀器誤差儀器誤差A取取偶然誤差偶然誤差合成合成不確定度不確定度 因真值得不到，測量誤差就不能肯定，所以用因

10、真值得不到，測量誤差就不能肯定，所以用不確定不確定度度的概念對測量數(shù)據(jù)做出評定比用誤差來描述更合理。的概念對測量數(shù)據(jù)做出評定比用誤差來描述更合理。 不確定度不確定度：表示由于測量誤差的存在而對被表示由于測量誤差的存在而對被測量值不能確定的程度。測量值不能確定的程度。儀器不確定度儀器不確定度一般?。鹤钚】潭龋ǚ侄戎担┑囊话闳。鹤钚】潭龋ǚ侄戎担┑?/10、1/5、1/2 或或最小刻度最小刻度例：用米尺測量某物的長度為例：用米尺測量某物的長度為202.5mm,儀器不確定度取儀器不確定度取0.5mm,0.5mm,即：即：L L= = 202.5 0.50.5mm（1）對儀器準確度未知的）對儀器準確度

11、未知的（2）對非連續(xù)讀數(shù)儀器（如數(shù)字儀表）對非連續(xù)讀數(shù)儀器（如數(shù)字儀表）取其最取其最末位末位數(shù)的一個數(shù)的一個最小單位最小單位 （3 3）已知儀器準確度）已知儀器準確度如一個量程如一個量程150m150mA，準確度，準確度0 0.2 2級的電流表級的電流表測某一次電流，讀數(shù)為測某一次電流，讀數(shù)為131131.2m2mA最大絕對最大絕對不確定度不確定度為為I I=150=1500.20.20 0.3m3mA測量的結(jié)果：測量的結(jié)果：I131131.2 20 0.3m3mA最大絕對不確定度：最大絕對不確定度：級級別別量量程程 I 如：電表如：電表電表板面上的符號電表板面上的符號交流交流U磁電系儀表磁電

12、系儀表 或或 1.01.0準確度等級準確度等級為為1.02絕緣強度試驗電壓為絕緣強度試驗電壓為2千伏千伏或或水平放置水平放置或或垂直放置垂直放置二級防外磁場：二級防外磁場：在強度為在強度為400AW/m(5奧斯特奧斯特)的直流的直流均勻外磁場下，儀表指示值的改變不應超過均勻外磁場下，儀表指示值的改變不應超過1.0 BU1.02B工作環(huán)境：工作環(huán)境：溫度：溫度：2050；濕度：；濕度：95以下以下 直流直流（2）A類不確定度類不確定度（偶然誤差）（偶然誤差）較大時：較大時：(1) A類不確定度與儀器不確定度類不確定度與儀器不確定度 相差不大時：相差不大時：可只取儀器可只取儀器不確定度不確定度(3

13、)只測一次或只測一次或A類不確定度很小類不確定度很?。篒 Ix AAx 22B BA A因因 不確定度不確定度 22B BA A x 112 nnxxtniiA A2222I IA AB BA Ax 實際中不確定度的處理原則：實際中不確定度的處理原則：xxx x 只取只取1位，下一位位，下一位0以上的數(shù)以上的數(shù)一律進位一律進位 2910 R例：例：s02.013.10 tx的的末位末位與與x所在位所在位對齊對齊，下，下1位簡單采取位簡單采取4舍舍5入入（1）測量值和）測量值和不確定度不確定度測量測量結(jié)果的表達：結(jié)果的表達：測量值、測量值、絕對不確定度絕對不確定度和和相對不確相對不確定度定度例：

14、算得例：算得x2.12mm取取x3mm注：以上為本教材的規(guī)定。不同的教材，有差異。注：以上為本教材的規(guī)定。不同的教材，有差異。算得算得R910.12,R1.234 算得算得t10.126s,t0.0123s%100 xEx %1000 理理理理xxxE有時候還需要將測量結(jié)果與有時候還需要將測量結(jié)果與公認值公認值或或理論值理論值進行比較進行比較（即：（即：百分誤差百分誤差）：）：相對相對不確定度不確定度mm5 . 00 .20002 Lmm4 . 03 .8021 L與與哪個測量不確定度?。磕膫€測量不確定度小？%050. 03 .8024 . 0%10011 xELL %025. 00 .200

15、05 . 0%10022 xELL 一般取一般取2位位（2）相對不確定度）相對不確定度%100 xExx %100000 xxxExxx 相對相對不確定度不確定度完整的結(jié)果完整的結(jié)果表示表示或或例例：用用50分度的游標卡尺測某一圓棒長度分度的游標卡尺測某一圓棒長度L，測量，測量6次，結(jié)果如下（單位次，結(jié)果如下（單位mm）：）：250.08，250.14，250.06, 250.10, 250.06, 250.10則：則：測得值的最佳估計值為測得值的最佳估計值為mm09.250 L 0 0. .0 04 4m mm m0 0. .0 03 32 2 （ )1)(12nnLLtniiL不確定度不確

16、定度（t =2.57)mmmm05. 009.250 L%020. 009.25005. 0 LE游標卡尺的儀器游標卡尺的儀器不確定度不確定度取取0.02mm,即即I=0.02mm合成不確定度合成不確定度m mm m05. 002. 004. 02222 I IAL 例：例：用螺旋測微計用螺旋測微計(分度值：分度值：0.01mm）測某一鋼絲的直）測某一鋼絲的直徑，徑，6次測量值次測量值yi分別為：分別為：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250; 同時讀得螺旋測微計的零位同時讀得螺旋測微計的零位y0為：為：0.003, 單位單位mm，請給出測量結(jié)果。，請

17、給出測量結(jié)果。解解：最佳值：最佳值不確定度不確定度 0.247(mm)0.0030.2500 yyy0 0. .0 00 03 3m mm m ) 1()(12nnyytniiy%1 . 2247. 0005. 0 yE結(jié)果：結(jié)果：y=0.2470.005mm儀器不確定度：儀器不確定度：I I=0.004mm=0.004mmm mm m005. 0004. 0003. 02222 Iy 或取或取1/21/2分度值分度值0.005mm對于一級千分尺，一般對于一級千分尺，一般取取0.004mm0.004mm。實驗室一般。實驗室一般是一級千分尺。是一級千分尺。 222222)()()(zyxNzFy

18、FxF ，zyxFN不確定度不確定度不確定度不確定度 222)ln()ln()ln(zyxNNzFyFxFNE byaxN （1）22)()(yxNba （2）cbazykxN 222)()()(zcybxaNEzyxNN 完整的結(jié)果表示完整的結(jié)果表示xxx %100 xExx xExx 和相對不確定度哪個簡單，先算哪個！和相對不確定度哪個簡單，先算哪個！x 由準確數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成。由準確數(shù)字和一位可疑數(shù)字組成。0 5 10 15 20mm例：例：13.7mm準確準確可疑（估讀）可疑（估讀）2、有效數(shù)字的、有效數(shù)字的運算規(guī)則運算規(guī)則（1）加減）加減運算的結(jié)果末位以參運算的結(jié)果末位以參與運

19、算的與運算的小數(shù)位小數(shù)位最少者相同。最少者相同。 如如 7.65+8.268=15.92 75-10.356=65（2）乘除）乘除運算結(jié)果的運算結(jié)果的有效位數(shù)有效位數(shù)多少以參與運算的有效位數(shù)最多少以參與運算的有效位數(shù)最少的相同少的相同或多一位或多一位。 如如 3.841 2.42=9.30 40009=3.6104 2.0000.99=2.00 7.65+) 8.268 15.918=15.92可疑可疑取一位可疑取一位可疑 3.8 4 1 2.4 2 7 6 8 2 1 5 3 6 4 7 6 8 2 9.2 9 5 2 2=9.30注意：不同注意：不同 3.8 4 1 8.4 2 7 6 8

20、 2 1 5 3 6 43 0 7 2 83 2.3 4 0 2 2=32.343位位4位位下劃下劃線表線表示可示可疑位疑位(3)三角函數(shù)、對數(shù)、指數(shù)三角函數(shù)、對數(shù)、指數(shù)運算的結(jié)果有效數(shù)字運算的結(jié)果有效數(shù)字三角函數(shù)三角函數(shù)：一般取四位：一般取四位 例：例：sin30o07(4位）位） sin30.12o=0.5018對數(shù)對數(shù)：結(jié)果的有效數(shù)字，其小數(shù)點后的位數(shù)（尾數(shù)）：結(jié)果的有效數(shù)字，其小數(shù)點后的位數(shù)（尾數(shù)） 與真數(shù)的位數(shù)相同與真數(shù)的位數(shù)相同 例：例：ln15.55=2.7441（4）自然數(shù)自然數(shù) 1,2,3,不是測量而得，可以視為無窮不是測量而得，可以視為無窮多位有效數(shù)字的位數(shù)，如多位有效數(shù)字

21、的位數(shù)，如D2R，D的位數(shù)僅由直測的位數(shù)僅由直測量量R的位數(shù)決定。的位數(shù)決定。4位位（5）無理常數(shù)無理常數(shù)的位數(shù)也可以看成很多位有效數(shù)字。的位數(shù)也可以看成很多位有效數(shù)字。例如例如L2R, 應比應比R多取一位多取一位，若，若R2.23cm（3位），則位），則取取3.142（4位）位）, 或用計算器輸入或用計算器輸入 。注：注：1、不用算誤差時，要用上面的規(guī)定確定有效位數(shù)。、不用算誤差時，要用上面的規(guī)定確定有效位數(shù)。 2、若為減少運算中出現(xiàn)過多位時用此規(guī)定，但中、若為減少運算中出現(xiàn)過多位時用此規(guī)定，但中 間過程可間過程可多取多取12位（可疑位）位（可疑位）（但不能任意減（但不能任意減 少）少），最

22、后由不確定度決定，最后由不確定度決定。 例例 已知一圓柱體的質(zhì)量已知一圓柱體的質(zhì)量 , 高度高度 , 用千分尺測量得直徑用千分尺測量得直徑D的數(shù)據(jù)如的數(shù)據(jù)如下表，求圓柱體的密度下表，求圓柱體的密度及不確定及不確定度度。)(01. 006.14g g M)mm(05. 015.67 HHD次數(shù)次數(shù)i 1 2 3 4 5 6平均平均Di(mm)5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645解：解： )mm(645. 51iDnD次數(shù)次數(shù)i 1 2 3 4 5 6平均平均Di(mm)5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645 561034.6357

23、. 2162 nnDDtiD=0.003730.0038(mm)查表，查表，n6時的時的t值值中間過程可多中間過程可多保留保留12位位)(.DDDmm00706455 合成不確定度合成不確定度mm006300050003802222.DD I I 千分尺的分度值是千分尺的分度值是0.01mm，若儀器若儀器不確定度不確定度取取1/2分度值：分度值： I I= 0.005mm= 0.005mm)/(.HDM322cmg3663871565645014163061444 )(01. 006.14g g M)cm(005. 0715. 6)mm(05. 015.67 H)(.)(.Dcm0007056

24、450mm00706455 比參加運算的數(shù)據(jù)中最少的位比參加運算的數(shù)據(jù)中最少的位數(shù)多一位，或就用數(shù)多一位，或就用表示。表示。%19. 0 )(.%.3g/cm0200159036638190 )g/cm(02. 037. 83 222)()2()(HDMEHDM cbazykxN 222)()()(zcybxaNzyxN )cm(005. 0715. 6 H)(.Dcm0007056450 )(01. 006.14g g M22271560050564500007020614010).().().( 用附表用附表中最后中最后一行公一行公式式與不確定度所在位與不確定度所在位對齊對齊（指小數(shù)位）（

25、指小數(shù)位）相對不確定度取相對不確定度取2位（有效位（有效位，不是小數(shù)位）位，不是小數(shù)位）不確定度取不確定度取1位位HDM24 作圖時要作圖時要先整理出先整理出(或算出）數(shù)據(jù)表格或算出）數(shù)據(jù)表格，并，并要要用正用正規(guī)紙張作圖規(guī)紙張作圖。T(C0)R()15.0 20 .0 25 .0 30 .0 35.0 40 .0 45 .0 50 .0 55.0T(0C)15.724.026.531.135.040.345.0R()2.8072.8792.9172.9693.0033.0593.107RT 曲線曲線3.1003.0503.0002.9502.9002.8502.8000.01 為為2小格小格

26、數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)中最后最后一位一位準確位準確位(即數(shù)據(jù)的倒數(shù)第二位）即數(shù)據(jù)的倒數(shù)第二位）對應于對應于整數(shù)格整數(shù)格： 1 C0 為為2小格小格數(shù)字標整數(shù)，數(shù)字標整數(shù)，標到可疑位標到可疑位作者：張三作者：張三 日期：日期：2010.3.15.不當圖例展示不當圖例展示：n(nm)1.65005007001.67001.66001.70001.69001.6800600400玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖圖圖1曲線太粗，不曲線太粗，不均勻，不光滑均勻，不光滑。應該用直尺、曲應該用直尺、曲線板等工具把實線板等工具把實驗點連成光滑、驗點連成光滑、均勻的細實線。均勻的細實線。n(nm)1.650050070

27、01.67001.66001.70001.69001.6800600400玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖改正為改正為：定容氣體壓強溫度曲線定容氣體壓強溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖圖3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不圖紙使用不當當。實際作。實際作圖時，坐標圖時，坐標原點的讀數(shù)原點的讀數(shù)可以可以不從零不從零開始。開始。定容氣體壓強溫度曲線定容氣體壓強溫度曲線1.001.151.201.101.05 P(105Pa)50.090.070.020.080.060.040.030.0t()改正為：改正為： 112A nnxxtnii 誤差估算公式誤差估算公