物理競賽--張孟(全)

1、物理競賽輔導(dǎo)物理競賽輔導(dǎo) 力力 學(xué)學(xué)輔導(dǎo)老師：輔導(dǎo)老師： 張孟張孟參考資料：參考資料：1 1 教材教材2 2 大學(xué)物理學(xué)大學(xué)物理學(xué) 5 5冊冊 張三慧主編張三慧主編 清華大學(xué)出版社清華大學(xué)出版社3 3 歷年考題歷年考題參賽組：非物理類參賽組：非物理類A A組組N個粒子系統(tǒng)，定義質(zhì)量中心個粒子系統(tǒng)，定義質(zhì)量中心mrmmrmrNiiiNiiNiiic 111mxmxNiiic 1mymyNiiic 1mzmzNiiic 1一、質(zhì)心一、質(zhì)心xyzmiircrO對連續(xù)分布的物質(zhì)，可以將其分為對連續(xù)分布的物質(zhì)，可以將其分為N個小質(zhì)元個小質(zhì)元mdmrrc 例：任意三角形的每個頂點有一質(zhì)量例：任意三角形的每

2、個頂點有一質(zhì)量 m，求質(zhì)心。，求質(zhì)心。xyo（x1，y1）x2332121xxmmxmxxc 3311ymmyyc mxdmxc mydmyc mzdmzc dVdm dSdm dldm 二、質(zhì)心系二、質(zhì)心系011 NiiiNiciirmrrm )(ciirrr 01 Niiirm0 1 Niiivm以質(zhì)點系的質(zhì)心為原點，質(zhì)心在其中靜止的平動參照系。以質(zhì)點系的質(zhì)心為原點，質(zhì)心在其中靜止的平動參照系。yxxyzmiirir COOcrzyxxyzmiirir COOcrz0 1 Niiivm質(zhì)心系可能不是慣性系，但質(zhì)心系特殊，動量質(zhì)心系可能不是慣性系，但質(zhì)心系特殊，動量守恒定律適用，而且，守恒定

3、律適用，而且，總動量總動量 為零為零。ciivvv 質(zhì)心系中質(zhì)點質(zhì)心系中質(zhì)點 mi 的速度的速度（零動量參照系）（零動量參照系）質(zhì)心系中質(zhì)心系中三、質(zhì)心運動定律三、質(zhì)心運動定律 NiipP1dtPdF camF * 在質(zhì)心系慣性力和外力完全抵消，故動量守恒。在質(zhì)心系慣性力和外力完全抵消，故動量守恒。dtrdmdtrmdcc )(mrmrNiiic 1質(zhì)點系的動量等于它的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。質(zhì)點系的動量等于它的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。dtrmddtrdmNiiiNiii 11cvmp jiijiiifFrM)(內(nèi)力矩內(nèi)力矩 ijiijiinfrM)(jijijifrfr iiiiiiiLdt

4、dFrMM)(合外力矩為零合外力矩為零，質(zhì)點系總角動量守恒，質(zhì)點系總角動量守恒i joipirjriFijfjifijjifrr )(為零為零0 inMdtLdM dtLdi 合外力矩合外力矩)(ijjijifrfr iiiprLoicirrr oprLLcc iiL iiiivrmicivvv iicicivvrrm)()(iiiciiiicccvrmvrmvmrvmr )()(cL零零零零pzyxxyzmiirir COOcr0dd Ptrc OprLLcc d)(dddddOtprtLtLcc ptrtprtLccc ddddddtprtLtLccddddddO yxxyzmiirir

5、COOcrOM 質(zhì)心系中：質(zhì)心系中：tprtLtLccddddddO OOddMtL iiOFrMiciFrr )(dtpdrFrcii cMdtLdMcc dtpdrdtLdcc iciiFrFrdtpdrdtLdcc 作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以兩者所作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以兩者所作功的代數(shù)和必為零。（作功的代數(shù)和必為零。（ ）A 對對 B 不對不對答案：答案： BslvF子彈和木塊的位移不等子彈和木塊的位移不等作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以兩者對作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以兩者對同一點力矩之和必為零。（同一點力矩之和必為零。（ ）A 對對

6、 B 不對不對答案：答案： A一端固定在天花板上的長細線下，懸吊一裝滿水的一端固定在天花板上的長細線下，懸吊一裝滿水的瓶子（瓶子的質(zhì)量不可忽略），瓶底有一小孔，在瓶子（瓶子的質(zhì)量不可忽略），瓶底有一小孔，在擺動過程中，瓶內(nèi)的水不斷向外漏，如忽略空氣阻擺動過程中，瓶內(nèi)的水不斷向外漏，如忽略空氣阻力，則從開始漏水到水漏完為止的整個過程中，此力，則從開始漏水到水漏完為止的整個過程中，此擺的擺動頻率（擺的擺動頻率（ ）。）。A 越來越大越來越大 B 越來越小越來越小 C 先變大后變小先變大后變小 D 先變小后變大先變小后變大 E 保持不變保持不變答案答案 ： Dlgf 21 l是系統(tǒng)質(zhì)心到懸點的距離是

7、系統(tǒng)質(zhì)心到懸點的距離如圖所示，一傾角為如圖所示，一傾角為 的斜面放置在光滑桌面上，斜面的斜面放置在光滑桌面上，斜面上放一木塊，兩者之間的摩擦系數(shù)為上放一木塊，兩者之間的摩擦系數(shù)為 （tan 0的位置，求質(zhì)點運動過程中加速度的位置，求質(zhì)點運動過程中加速度ax與位與位置置x的關(guān)系的關(guān)系 ，質(zhì)點位置，質(zhì)點位置x與時間與時間t之間的函數(shù)關(guān)之間的函數(shù)關(guān)系系 。ox0t=02xaa x0atxx e地面上垂直豎立一高地面上垂直豎立一高20m的旗桿，已知正午時分太陽在的旗桿，已知正午時分太陽在旗桿的正上方。在下午旗桿的正上方。在下午2時整，桿頂在地面上影子速度的時整，桿頂在地面上影子速度的大小為大小為 ms

8、-1 ；在；在 時桿影將伸展至?xí)r桿影將伸展至20m。hs太陽太陽桿高桿高地面地面 t t解：以地球為參考系，地球自轉(zhuǎn)相當(dāng)于太陽繞地球轉(zhuǎn)動解：以地球為參考系，地球自轉(zhuǎn)相當(dāng)于太陽繞地球轉(zhuǎn)動，地球自轉(zhuǎn)一周的，地球自轉(zhuǎn)一周的24小時等于太陽繞地球轉(zhuǎn)動一周的時小時等于太陽繞地球轉(zhuǎn)動一周的時間。間。224 60 60桿的影長：桿的影長：tanSht21cos1620dsvhdtt當(dāng)當(dāng)S=h時，時，t=3 （下午（下午3小時）小時）純滾動純滾動（無滑動的滾動）（無滑動的滾動）cvAB Rvc 接觸點對地的速度為接觸點對地的速度為零零 Rac 質(zhì)心的速度為質(zhì)心的速度為cv質(zhì)心的加速度為質(zhì)心的加速度為ca相對于

9、質(zhì)心系的角速度為相對于質(zhì)心系的角速度為 相對于質(zhì)心系的角加速度為相對于質(zhì)心系的角加速度為 例：例： （18th, 5）半徑為）半徑為R 的圓環(huán)靜止在水平地面上。的圓環(huán)靜止在水平地面上。 t 0 時時刻開始以恒定角加速度刻開始以恒定角加速度 沿直線純滾動。任意時刻沿直線純滾動。任意時刻 t 0，環(huán)，環(huán)上最低點上最低點 A 的加速度的大小為的加速度的大小為 , 最高點最高點 B 的加速的加速度的大小為度的大小為。 cvAB解：解： 質(zhì)心系中質(zhì)心系中最低點最低點A，地面系中，地面系中22 RRvan 22tR Rat cttaaa Rat 向左向左 Ra c向右向右0 ta22ntRa 22tRa

10、合加速度的大小合加速度的大小ta cvAB最高點最高點Bcttaaa Raact Rat2 22tRan 2222)()2(tRRa 424tR 剛體的平面平行運動：所有質(zhì)點的運動平行于某一個剛體的平面平行運動：所有質(zhì)點的運動平行于某一個平面，如前進中的車輪。平面運動是一種較復(fù)雜的運平面，如前進中的車輪。平面運動是一種較復(fù)雜的運動，可把它視為平動和轉(zhuǎn)動疊加而成的復(fù)合運動。動，可把它視為平動和轉(zhuǎn)動疊加而成的復(fù)合運動。質(zhì)心運動定理：質(zhì)心運動定理：ccamdtVdmF 外外繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律：繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律：dtdJcM 外外動能：動能：222121ckmvJcE 勢能：勢能：cpmghE

11、一個人想用長為一個人想用長為l的竿子打在巖石上的辦法把竿子折斷的竿子打在巖石上的辦法把竿子折斷，為此它用手拿住竿子的一端，讓竿子繞該端作無位，為此它用手拿住竿子的一端，讓竿子繞該端作無位移轉(zhuǎn)動，此人希望當(dāng)竿子打在巖石的瞬間，手受到的移轉(zhuǎn)動，此人希望當(dāng)竿子打在巖石的瞬間，手受到的沖擊力最小，問竿子離手多遠的地方打在巖石上最好沖擊力最小，問竿子離手多遠的地方打在巖石上最好？（不計竿子重力）？（不計竿子重力）(A) l (B) 1/2 (C) 2l/3 ( D) l/3l/2l/2xACFC 質(zhì)心，質(zhì)心，A 打擊點打擊點竿的運動可視為作平面平行運動竿的運動可視為作平面平行運動dtVdmFc 外外dt

12、dJclxF )2/(2121mlJc 02 lVc 手握處速度為零手握處速度為零x=2l/3例例: (20th 9) 車廂內(nèi)的滑輪裝置如圖所示，平臺車廂內(nèi)的滑輪裝置如圖所示，平臺 C 與車廂一起運與車廂一起運動，滑輪固定不轉(zhuǎn)動，只是為輕繩提供光滑的接觸。物塊動，滑輪固定不轉(zhuǎn)動，只是為輕繩提供光滑的接觸。物塊A 與與平桌面摩擦系數(shù)平桌面摩擦系數(shù) 0.25，A 的質(zhì)量的質(zhì)量 mA 20kg，物塊，物塊 B 的質(zhì)的質(zhì)量量 m B 30 kg 。今使車廂沿水平方向朝左勻加速運動，加速。今使車廂沿水平方向朝左勻加速運動，加速度度 a02m/s2 ，假定穩(wěn)定后繩將傾斜不晃，假定穩(wěn)定后繩將傾斜不晃,試求繩

13、子張力試求繩子張力T。CAB0a解：解： mA gN f T f * mB g f *Ta以車廂為參照系，引入慣性力以車廂為參照系，引入慣性力amgmamTAAA 0ABamTgmamBBB 22220BABAmmmmaggaT 0220 125.4（N）a例：一長例：一長 L=4.8m 的輕車廂靜止于光滑的水平軌道上，固定于車的輕車廂靜止于光滑的水平軌道上，固定于車廂地板上的擊發(fā)器廂地板上的擊發(fā)器 A 自車廂中部以自車廂中部以 u0 = 2m/s 的速度將質(zhì)量為的速度將質(zhì)量為 m1 = 1kg 的物體沿車廂內(nèi)光滑地板彈出，與另一質(zhì)量為的物體沿車廂內(nèi)光滑地板彈出，與另一質(zhì)量為 m2 =1 kg

14、 的的物體碰撞并粘在一起，此時物體碰撞并粘在一起，此時 m2 恰好與另一端固定于車廂的水平恰好與另一端固定于車廂的水平位置的輕彈簧接觸，彈簧的彈性系數(shù)位置的輕彈簧接觸，彈簧的彈性系數(shù) k = 400N/m ，長度，長度l =0 .30m ，車廂和擊發(fā)器的總質(zhì)量，車廂和擊發(fā)器的總質(zhì)量 （包括（包括m2）M = 2kg 求車廂自靜止至彈求車廂自靜止至彈簧壓縮最甚時的位移（不計空氣阻力，簧壓縮最甚時的位移（不計空氣阻力， m1 和和m2 視作質(zhì)點）視作質(zhì)點） 解：解：車車m1+m2 系統(tǒng)動量守恒系統(tǒng)動量守恒001 MVumAm1m20u+Vm1+m2 系統(tǒng)動量守恒系統(tǒng)動量守恒01uMmV ummum

15、)(2101 )(2101mmumu 由于車廂內(nèi)光滑地板，所以在由于車廂內(nèi)光滑地板，所以在m1還沒有和還沒有和m2發(fā)生碰發(fā)生碰撞前，撞前，m2相對于地面靜止，因為沒有摩擦力使它發(fā)生相對于地面靜止，因為沒有摩擦力使它發(fā)生運動。所以第一次動量守恒沒有運動。所以第一次動量守恒沒有m2。Am1m20u+V令令m1從被彈出到與從被彈出到與m2 碰撞結(jié)束所用的時間為碰撞結(jié)束所用的時間為 D Dt m1相對車廂的位移為相對車廂的位移為)2(lL m1相對車廂的速度為相對車廂的速度為 u0+VtuVlLD D )(200)2(uVlLt D D)2(01lLuVVtVX D D D D)2()2(110010

16、1lLMmmlLuuMmMum 在在D Dt 內(nèi)，車廂向左的位移為：內(nèi)，車廂向左的位移為：車車m1+m2彈簧系統(tǒng)機械能守恒彈簧系統(tǒng)機械能守恒彈簧壓縮最甚時，彈簧壓縮最甚時，m1、m2 速度為零。車廂相對地面也靜止速度為零。車廂相對地面也靜止22122)(2121)(21ummMVlk D D212101)11(1mmMkuml D D在在m1和和m2與彈簧碰撞的過程中，全部系統(tǒng)的動量守恒與彈簧碰撞的過程中，全部系統(tǒng)的動量守恒0)()()()(2121 tMVtummMVummVummMtVtu )()()(21A)(tu)(tV)()()(21tVmmMtu A)(tu)(tV設(shè)設(shè)m1和和m2

17、與彈簧碰撞所用的時間為與彈簧碰撞所用的時間為 D Dt 在在D Dt 內(nèi)，內(nèi)， m1和和m2相對車廂的速度為相對車廂的速度為 u(t)()()(tutVtu )()()(21tVmmMtV )()(2121tVmmMmm ldttutD D D D0)(20)(XdttVtD D D DlMmmmmXDD212122121012121)11(1mmMkumMmmmm 車廂的總位移為車廂的總位移為D DX21XXXD DD DD D )2(11lLMmm 2121012121)11(1mmMkumMmmmm D DX= 0.75(m)A)(tu)(tVP1 v1P2cab行星繞恒星的橢圓運動行星

18、繞恒星的橢圓運動一、能量和角動量一、能量和角動量)()(21camvcamv caMmGmvcaMmGmv 22221211由由由由222241bGMcvv GMabcav2222)( )(21cacavv 222bca aGMmbvcamL 2)(P1 v1P2cabGMabcav2222)( caMmGmvE 2221aGMm2 222bca 二、橢圓在二、橢圓在 P1 點的曲率半徑為點的曲率半徑為ab2 三、橢圓軌道的偏心率為三、橢圓軌道的偏心率為abaace22 例：行星原本繞著恒星例：行星原本繞著恒星S 做圓周運動。設(shè)做圓周運動。設(shè)S 在很短的時間內(nèi)發(fā)在很短的時間內(nèi)發(fā)生爆炸，通過噴射

19、流使其質(zhì)量減少為原來的質(zhì)量的生爆炸，通過噴射流使其質(zhì)量減少為原來的質(zhì)量的 g g 倍，行星倍，行星隨即進入橢圓軌道繞隨即進入橢圓軌道繞S 運行，試求該橢圓軌道的偏心率運行，試求該橢圓軌道的偏心率 e 。提。提示（記橢圓的半長，半短軸分別為示（記橢圓的半長，半短軸分別為A、B ，則，則)22ABAe 解：變軌后解：變軌后 P 或為近地點，或為遠地點或為近地點，或為遠地點對圓軌道對圓軌道 P 點：點：P1 v1P2C202)(0CAmGMCAmv 對橢圓軌道對橢圓軌道 P1 點：點：202)(0CAmMGmv g g AB2 222CBA S v0PAB先考慮先考慮 P 為近地點，后考慮為近地點，

20、后考慮P 為遠地點的情況為遠地點的情況202)(0CAmGMCAmv 202)(0CAmMGmv g g AB2 222CBA g g 1)( CAg g1)(2 CAABACABAe 22P1 v1P2Cg g 1ACAg gg g 1e202)(0CAmGMCAmv 對對P2 點點202)(0CAmMGmv g g g g1 ACAP1 v1P2C因為因為 g g 1 ，因此上式不成立，因此上式不成立 。故故 行星變軌后不可能處于行星變軌后不可能處于P2點，只能處于點，只能處于P1 點。點。解二：解二：)()(21CAmvCAmv CAMmGmvCAMmGmv 22221211橢圓軌道的角

21、動量橢圓軌道的角動量P1 v1P2CAGMmBvCAmL 2)(圓軌道的角動量圓軌道的角動量RGMmmvRL0 CAR 0MMg g CAAB 2g g222CBA ABAACe22 P1 v1P2CABg gg g 1e1)( g gACA角動量守恒角動量守恒AMGmBL0g g )(0CAGMm 例例（21屆，屆，10分）一個質(zhì)量為分）一個質(zhì)量為m 的衛(wèi)星繞著質(zhì)量為的衛(wèi)星繞著質(zhì)量為 M ，半徑為，半徑為 R 的大星體作半徑為的大星體作半徑為 2R 的圓運動。遠處飛來一個質(zhì)量為的圓運動。遠處飛來一個質(zhì)量為 2m，速，速度為度為 的小流星，它恰好沿著衛(wèi)星的運動方向的小流星，它恰好沿著衛(wèi)星的運動

22、方向追上衛(wèi)星并和衛(wèi)星發(fā)生激烈碰撞，結(jié)合成一個新的星體，作用時追上衛(wèi)星并和衛(wèi)星發(fā)生激烈碰撞，結(jié)合成一個新的星體，作用時間非常短。假定碰撞前后位置的變化可以忽略不計，新星的速度間非常短。假定碰撞前后位置的變化可以忽略不計，新星的速度仍沿原來的方向，仍沿原來的方向，（1）用計算表明新的星體的運動軌道類型，算出軌道的偏心率）用計算表明新的星體的運動軌道類型，算出軌道的偏心率e（2）如果用小流星沿著衛(wèi)星的速度的反方向發(fā)生碰撞，算出此）如果用小流星沿著衛(wèi)星的速度的反方向發(fā)生碰撞，算出此時新星體的軌道的偏心率。給出新星體能否與大星體碰撞的判斷時新星體的軌道的偏心率。給出新星體能否與大星體碰撞的判斷。RGMv

23、 解：解： M R 2R m 2m(1) 碰撞前衛(wèi)星的速度碰撞前衛(wèi)星的速度)2()2(202RvmRMmG RGMv20 M R 2R m 2m小流星與衛(wèi)星碰撞，動量守恒小流星與衛(wèi)星碰撞，動量守恒VmmRGMmRGMm)2(22RGMv RGMV624新星體的能量新星體的能量RmMGVmE2)3()3(21204 . 52)3( RmGM橢圓軌道橢圓軌道aGMmE2 對比對比Ra4 . 5 R2 在近地點在近地點 a63. 0 arae近近偏心率偏心率r=2R M R 2R m 2mRGMv (2) 小流星與衛(wèi)星反方向碰撞，動量守恒小流星與衛(wèi)星反方向碰撞，動量守恒vmmRGMmRGMm )2(

24、22RGMv23122 新星體的能量新星體的能量RmMGvmE2)3()3(212 02 . 12)3( RmGM橢圓軌道橢圓軌道aGMmE2 對比對比Ra2 . 1 R2 M R 2R m 2mRGMv Ra2 . 1 R2 a在遠地點在遠地點67. 0 aare新星與新星與 M 在近地點時的距離在近地點時的距離RRrar 4 . 02近近兩者可以發(fā)生碰撞兩者可以發(fā)生碰撞r=2R例：（例：（11th,9）質(zhì)量為）質(zhì)量為 M 的剛性均勻正方形框架，在某邊的中點開的剛性均勻正方形框架，在某邊的中點開一個小缺口，缺口對質(zhì)量分布的影響可以忽略。將框架放在以紙平一個小缺口，缺口對質(zhì)量分布的影響可以忽略

25、。將框架放在以紙平面為代表的光滑水平面后，令質(zhì)量為面為代表的光滑水平面后，令質(zhì)量為m 的剛性小球在此水平面上從的剛性小球在此水平面上從缺口處以速度缺口處以速度 v 進入框內(nèi)，圖中進入框內(nèi)，圖中v 的方向的角的方向的角 =45 ，設(shè)小球與，設(shè)小球與框架發(fā)生的碰撞均為無摩擦力的彈性碰撞，試證：（）小球必將框架發(fā)生的碰撞均為無摩擦力的彈性碰撞，試證：（）小球必將通過缺口離開框架。（）框架每邊長為通過缺口離開框架。（）框架每邊長為a，則小球從進入框架到，則小球從進入框架到離開框架，相對于水平面的位移為：離開框架，相對于水平面的位移為：vmMvam)(22 v解：（解：（ 1 ） vv a22（2）)(

26、mMrmrMrmMc )(.mMrmrMrmMc vMmmrVCc . vv 小小 球在框架內(nèi)運動的時間為球在框架內(nèi)運動的時間為 TavvaT22224 在在T 時間間隔內(nèi)，質(zhì)心的位移為時間間隔內(nèi)，質(zhì)心的位移為avvMmmTvSc22 vvMmma )(22 系統(tǒng)合外力為零，系統(tǒng)動量守恒，質(zhì)心系統(tǒng)合外力為零，系統(tǒng)動量守恒，質(zhì)心c的動量就是小的動量就是小球的初動量。球的初動量。例：例：（11th,15）質(zhì)量為質(zhì)量為2m 的勻質(zhì)圓盤形滑輪可繞過中心的勻質(zhì)圓盤形滑輪可繞過中心O 并并與盤面垂直的水平固定光滑軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸半徑線度可忽略，物與盤面垂直的水平固定光滑軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸半徑線度可忽略，物體體1、2

27、的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為m 和和2m ，它們由輕質(zhì)、不可伸長的細繩，它們由輕質(zhì)、不可伸長的細繩繞過滑輪掛在兩側(cè)。細繩與滑輪間的摩擦系數(shù)處處相同，記為繞過滑輪掛在兩側(cè)。細繩與滑輪間的摩擦系數(shù)處處相同，記為 ，開始時，滑輪和兩物體均處于靜止?fàn)顟B(tài)，而后若，開始時，滑輪和兩物體均處于靜止?fàn)顟B(tài)，而后若 0則滑則滑輪不會轉(zhuǎn)動；若輪不會轉(zhuǎn)動；若 0，但較小時，滑輪將會轉(zhuǎn)動，同時與繩之，但較小時，滑輪將會轉(zhuǎn)動，同時與繩之間有相對滑動；當(dāng)間有相對滑動；當(dāng) 達到某臨界值達到某臨界值 0 0 時，滑輪與繩之間的相對時，滑輪與繩之間的相對滑動剛好消失，試求滑動剛好消失，試求 0 0 值。值。T2T1 m1 g m2

28、g解：解：amgmT111 amTgm222 mm 1mm22 212221mRJRTRT Ra T2T1 m1 g m2 g解：解：amgmT111 amTgm222 mm 1mm22 212mRJRTRT Ra mamgT 1maTmg222 maTT 12ga41 mgT451 mgT232 繩子的質(zhì)量忽略不計繩子的質(zhì)量忽略不計 0iF0 ddTTdTdf )()( 2)(2)( dTddTdN22sin dd2sin)(2sin)( dTddTdN TddN 對臨界對臨界 值值 dNdf0 NdT ( ) dfd 2 dT ( d )2cos)(2cos)( dTdfddT TddT0

29、 dTdT0 0021dTdTTT 012ln TT 012eTT 56ln10 dTTdTdf )()( TddN dNdf0 mgT451 mgT232 例：（例：（4th,）光滑的平面上整齊地排列著一組長為光滑的平面上整齊地排列著一組長為 l,質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均的均勻勻 細桿，細桿， 桿的間距足夠大。桿的間距足夠大。 現(xiàn)有一質(zhì)量現(xiàn)有一質(zhì)量 為為 M 的小球以垂直于桿的小球以垂直于桿的的 速度速度 V0 與桿的一端做彈性碰撞，隨著細桿的旋轉(zhuǎn)，桿的另一與桿的一端做彈性碰撞，隨著細桿的旋轉(zhuǎn)，桿的另一端又與小球做彈性碰撞，而后小球相繼再與第二桿、第三桿端又與小球做彈性碰撞，而后小球相繼再與第二

30、桿、第三桿.相相碰。當(dāng)碰。當(dāng) m/M 為何值時，為何值時， M才能仍以速度才能仍以速度 V0 穿出細桿陣列？穿出細桿陣列？0V m , lM解：解：cmVMVMV 0由動量守恒由動量守恒由角動量守恒由角動量守恒 cJlMVlMV2202121mlJc 由動能守恒由動能守恒2222212121210 JmVMVMVcV = VccmVMVMV 0 cJlMVlMV2202222212121210 JmVMVMVcV = Vc由由 得：得：lVc6 代入代入21 mM例例（19th,4）質(zhì)量分別為）質(zhì)量分別為m1 和和m2 的的 兩物塊與勁度系數(shù)為兩物塊與勁度系數(shù)為 k 的的 輕彈簧構(gòu)成系統(tǒng)如圖，

31、物塊與物體（平面）光滑接觸，右側(cè)水輕彈簧構(gòu)成系統(tǒng)如圖，物塊與物體（平面）光滑接觸，右側(cè)水平外力使彈簧壓縮量為平外力使彈簧壓縮量為 l 。物體靜止。將右側(cè)外力撤去，系統(tǒng)。物體靜止。將右側(cè)外力撤去，系統(tǒng)質(zhì)心質(zhì)心 C 可獲得的最大加速度為可獲得的最大加速度為 ，可獲得的最大，可獲得的最大速度值為速度值為 。 m1 m2 k解：解：F m1N f fF m2cammkxN)(21 lx xmmkac21 21maxmmklac 質(zhì)心質(zhì)心 的最大加速度的最大加速度質(zhì)心質(zhì)心 的最大速度的最大速度 m1 m2 kF m2過平衡位置時的速度過平衡位置時的速度2max222121mvkl lmkv2max2 m

32、ax212211max)(mmvmvmvc lmmkm212 = 0例：例：22屆屆1題題質(zhì)量質(zhì)量m，半徑，半徑 R 的勻質(zhì)圓板靜止在光滑水平面上，極的勻質(zhì)圓板靜止在光滑水平面上，極短時間內(nèi)使其受水平?jīng)_量短時間內(nèi)使其受水平?jīng)_量 。有關(guān)的幾何方位和參量。有關(guān)的幾何方位和參量如圖所示。圓板中心如圖所示。圓板中心O點將因此獲得速度點將因此獲得速度 ，同時，圓板將繞過同時，圓板將繞過O點的豎直軸以角速度點的豎直軸以角速度 旋旋轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)。I 0v 2/RORmI解：解：對質(zhì)心對質(zhì)心12ppI vm mIv 對質(zhì)心對質(zhì)心LtMdd LtFrdd LIrdd 222mRIR mRI 例：（例：（ 18th,

33、9分分 ）均勻細桿）均勻細桿AOB 的的A 端，端，B 端和中央位置端和中央位置O處處各有各有1個光滑的小孔先讓桿在光滑的水平大桌面上繞個光滑的小孔先讓桿在光滑的水平大桌面上繞 O 孔以角孔以角速度速度 。作順時針方向旋轉(zhuǎn)如圖（圖平面為大桌面）。今將一。作順時針方向旋轉(zhuǎn)如圖（圖平面為大桌面）。今將一光滑的細桿迅速插入光滑的細桿迅速插入 A 孔，棍在插入前后無任何水平方向的移孔，棍在插入前后無任何水平方向的移動，穩(wěn)定后，在迅速拔動，穩(wěn)定后，在迅速拔A棍的同時，將另一光滑細棍如前所述棍的同時，將另一光滑細棍如前所述插入插入B 孔，再次穩(wěn)定后，又在迅速拔出孔，再次穩(wěn)定后，又在迅速拔出 B 棍的同時，

34、將另一光棍的同時，將另一光滑細棍如前所述插入滑細棍如前所述插入 O 孔。試求：最終穩(wěn)定后，細桿孔。試求：最終穩(wěn)定后，細桿AOB 繞繞O 孔旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角速度的大小?？仔D(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角速度的大小。 解：解：AOB m , l2231,121mlIImlIBAo AALLPrLLccA 0 ocAILLAAAIL 插入插入A孔前后孔前后AOB m , l0 ocAILLAAAIL 0041 AoAII插入插入 B 孔前后孔前后PrLLccB crcvPrc cLOAAoBmulIL2 AAcOAlru 202241 mlLB BBBIL 081 B B反向轉(zhuǎn)了反向轉(zhuǎn)了再次插入再次插入O孔前后孔前

35、后BOOIL oooIL0081 BAOB m , l逆時針轉(zhuǎn)逆時針轉(zhuǎn)例：例：21屆屆18題題將勁度系數(shù)為將勁度系數(shù)為 k，自由長度為自由長度為L，質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均勻柱形圓柱彈的均勻柱形圓柱彈性體豎直朝下，上端固定，下端用手托住。性體豎直朝下，上端固定，下端用手托住。（1）設(shè)開始時彈性體處于靜止的平衡狀態(tài)，其長度恰好為）設(shè)開始時彈性體處于靜止的平衡狀態(tài)，其長度恰好為L,試求此時手上的向上托力。試求此時手上的向上托力。（2）而后將手緩慢向下移動，最終與彈性體分離，試求其間）而后將手緩慢向下移動，最終與彈性體分離，試求其間手的托力所作的功手的托力所作的功W。解解:(1) 取下面一段研究取下面一

36、段研究0 F0TG它處于靜止的平衡狀態(tài)它處于靜止的平衡狀態(tài)T GF00FmgLyL 取取 一微元一微元dy計算其彈性系數(shù)計算其彈性系數(shù)將圓柱看做由許多的小段將圓柱看做由許多的小段 dy 串聯(lián)而成串聯(lián)而成nkkkk111121 0 y F0 y y dydyLkdy 1kyLkdyd TT+dT對微元對微元dy， 設(shè)伸長為設(shè)伸長為 dx xx xddykT x xddkyL yLkTdd x xyFmgLyLLkd)(10 其總伸長為其總伸長為 LyFmgLyLLk00d)(1dx xx x令令 x x 為零為零0d)(100 LyFmgLyLLkx xmgF210 （2）問）問 中中 x x

37、為為 LLyFmgLyLLk000d)(1dx xx x)21(10LFmgLLk kFkmg02 x xx xkmgF 210令令F 0mgk210 x x 00dx xx xFWx xx xd)21(20 kmgmgkkmg8)(2 例：例：22屆屆18題題如圖所示，光滑水平面上有一半徑為如圖所示，光滑水平面上有一半徑為R的固定圓環(huán)，的固定圓環(huán)，長長2l 的勻質(zhì)細桿開始時繞著中心的勻質(zhì)細桿開始時繞著中心C點旋轉(zhuǎn)，點旋轉(zhuǎn)，C點靠在點靠在圓環(huán)上，且無初速度，假定此后細桿可無相對滑動圓環(huán)上，且無初速度，假定此后細桿可無相對滑動的繞著圓環(huán)外側(cè)運動，直到細桿的一端與環(huán)接觸后的繞著圓環(huán)外側(cè)運動，直到細

38、桿的一端與環(huán)接觸后彼此分離，已知細桿與圓環(huán)之間的摩擦因數(shù)彼此分離，已知細桿與圓環(huán)之間的摩擦因數(shù)處處處處相同，試求相同，試求的取值范圍。的取值范圍。llRABRABCPvR rABRPvRr ABC解：設(shè)細桿初始角速度為解：設(shè)細桿初始角速度為0 0，轉(zhuǎn)過，轉(zhuǎn)過角后角速度為角后角速度為，在光滑水平面中轉(zhuǎn)動，機在光滑水平面中轉(zhuǎn)動，機械能守恒械能守恒2P2C21210 JJ 2CPmrJJ 2C31mlJ 解得解得0223 rll Rrrrllrv ,3220Ct dvdacc ,trrvcdddddd 22212222203)3(6213(rlrlrrll R 22212222203)3(6213r

39、lrlrrll R0223 rll 222420,)3(rlRlac Rrrrllv 220C3ABRPvRr ABCC點沿圓的漸開線運動點沿圓的漸開線運動222202c3rlrlran 細桿受力細桿受力 N 和和f 分別為分別為nmafmaNCC, 摩擦因子取值范圍為摩擦因子取值范圍為 CnCaaNf Rlrrl2223 0 rlRl 4 ABCC PrNf切向切向222420,)3(rlRlac Nf 例例（19th,9）如圖所示。表面呈光滑的）如圖所示。表面呈光滑的 剛體無轉(zhuǎn)動地豎直下落。剛體無轉(zhuǎn)動地豎直下落。圖中虛線對應(yīng)過剛體唯一地圖中虛線對應(yīng)過剛體唯一地 最低點部位最低點部位P1 的

40、水平切平面。圖中的水平切平面。圖中豎直虛線豎直虛線P1 P2 對應(yīng)著過對應(yīng)著過 P1 點的鉛垂線，點的鉛垂線， C 為剛體的為剛體的 質(zhì)心。設(shè)質(zhì)心。設(shè)C與鉛垂線與鉛垂線P1 P2確定的平面即為鉛垂面，將確定的平面即為鉛垂面，將C到到P1 P2 的距離記為的距離記為 d ，剛體質(zhì)量為，剛體質(zhì)量為 m。剛體相對于過。剛體相對于過 C 點且與圖平面垂直的水平點且與圖平面垂直的水平轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為 JC . 設(shè)設(shè) JCm d 2。已知剛體與水平地面將發(fā)。已知剛體與水平地面將發(fā)生的碰撞為彈性碰撞，且無水平摩擦力，試在剛體中找出這樣的生的碰撞為彈性碰撞，且無水平摩擦力，試在剛體中找出這樣

41、的點部位，它們在剛體與地面碰撞前、后的兩個瞬間，速度方向相點部位，它們在剛體與地面碰撞前、后的兩個瞬間，速度方向相反，大小不變。反，大小不變。CdP1P2v0解：解：CdP1P2N yvc)(0vmmvtNc D D解：解：CdP1P2N y cJtdN D D2022212121mvJmvcc 022vmdJmdJvccc 022vmdJmdc P0cv0vdvvc 例例:(15th,11) 兩個質(zhì)量相同的小球兩個質(zhì)量相同的小球A 、B, 用長為用長為 2a 的無彈性且的無彈性且不可伸長的繩子聯(lián)結(jié)。開始時不可伸長的繩子聯(lián)結(jié)。開始時A、B 位于同一豎直線上，位于同一豎直線上， B在在A 的的下方，下方， 相距為相距為a，如圖所示。今給，如圖所示。今給A 一水平初速度一水平初速度v0 ， 同時靜止同時靜止釋放釋放B ，不計空氣阻力。且設(shè)繩子一旦伸直便不再回縮，問：經(jīng)，不計空氣阻力。且設(shè)繩子一旦伸直便不再回縮，問：經(jīng)過多長時間，過多長時間，A、B 恰好在同一水平線上？恰好在同一水平線上？ a v0ABCAB2 a解：解：001330cos2vavat 選擇質(zhì)心系，角動量守恒選擇質(zhì)心系，角動量守恒20v20v繩子拉緊前，繩子拉緊前， A 、B相對于質(zhì)心的速度大相對于質(zhì)心的速度大小為小為20v繩子拉緊后，繩子拉緊后， A 、B相對于質(zhì)心做圓周運動，