大學(xué)物理第5章角動(dòng)量守恒定律

1、5.1 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 角動(dòng)量定理1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 L rp r mv 稱為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)參考點(diǎn)O的角動(dòng)量或動(dòng)量矩mLrpOsinsinrmvrpL第5章 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律例：求從A點(diǎn)自由下落質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的角動(dòng)量vmroRrA任意時(shí)刻 t， 有 221t grt gmvmp（1） 對(duì) A 點(diǎn)的角動(dòng)量0321ggmtprLARrr（2） 對(duì) O 點(diǎn)的角動(dòng)量prRprLO)(t gmRpRgRRmgtLOm2. 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理 角動(dòng)量的時(shí)間變化率dtpdrpdtrdprdtddtLd)(v mvrF 力矩定義：對(duì)O點(diǎn)力矩MrF質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理dLMdtrF 大小Fr質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定點(diǎn)所受的合外力矩等

2、于它對(duì)該點(diǎn)角動(dòng)量的時(shí)間變化率sinFrM FrrMOA3角動(dòng)量守恒定律0外M則0dLdt或L常矢量若對(duì)某一固定點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩為零，, 則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量矢量保持不變。若dLMdt質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理r mv例：質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)中，對(duì)0點(diǎn)角動(dòng)量是否守恒？pmvrLOArsinrmvoLrm v例. 試?yán)媒莿?dòng)量守恒定律:1) 證明關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的開普勒定律: 任一行星和太陽(yáng)之間的聯(lián)線,在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等, 即掠面速度不變.(2) 說(shuō)明天體系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu).(1) 行星對(duì)太陽(yáng)O的角動(dòng)量的大小為sintsmrLlimt0sinmvrprL其中是徑矢 r 與行星的動(dòng)量 p 或速度

3、v 之間的夾角.s表示t時(shí)間內(nèi)行星所走過(guò)的弧長(zhǎng), 則有2sinsrsrr表示從O到速度矢量 v 的垂直距離, 則有OAvBrSr用證明dtdmtmLlim0t22 時(shí)間內(nèi)行星與太陽(yáng)間的聯(lián)線所掃過(guò)的面積, 如圖中所示.其中 是tdtdmtmLt22lim0 d /dt 稱為掠面速度. 由于萬(wàn)有引力是有心力, 它對(duì)力心O的力矩總是等于零,所以角動(dòng)量守恒, L=常量, 行星作平面運(yùn)動(dòng), 而且常量mLdtd2這就證明了掠面速度不變, 也就是開普勒第二定律.OA1vCDB2v1rS2r1r2r(2)角動(dòng)量守恒說(shuō)明天體系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)天體系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)5.2 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理mimjm1iFjFj

4、ifijfOirjr質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量1()niiiiLLrp第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的時(shí)間變化率()iiiijijdLrFfdt()iiiijiiijdLrFrfdtMM外內(nèi)M外iiirFM內(nèi)()iijiijrf0dLMdt外質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理0M外時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒iiLL常矢量例.兩個(gè)同樣重的小孩，各抓著跨過(guò)滑輪繩子的兩端。一個(gè)孩子用力向上爬，另一個(gè)則抓住繩子不動(dòng)。 若滑輪的質(zhì)量和軸上的摩擦都可忽略，哪一個(gè)小孩先到達(dá)滑輪？?jī)蓚€(gè)小孩重量不等時(shí)情況又如何？hhm1m2 解：把每個(gè)小孩看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以滑輪的軸為參考點(diǎn)，把兩個(gè)小孩看成一個(gè)系統(tǒng)。 此系統(tǒng)的總角動(dòng)量為)(21vvmRLv1左邊孩子向上的速度；v

5、2右邊孩子向上的速度；此系統(tǒng)所受外力矩：只有兩個(gè)小孩所受重力矩，彼此抵消。 （內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)角動(dòng)量。）因此整個(gè)系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。R設(shè)兩個(gè)小孩起初都不動(dòng)，即0, 002010tLvv 以后，雖然 v1 ,v2 不再為零，但總角動(dòng)量繼續(xù)為零，即v1 ,v2 隨時(shí)保持相等，所以他們將同時(shí)到達(dá)滑輪。若兩個(gè)小孩重量不等，即21mm 系統(tǒng)所受外力矩,)12gRmmM （外系統(tǒng)總角動(dòng)量RvmvmL)(2211仍設(shè)起初兩個(gè)小孩都不動(dòng)，0, 002010tLvv由角動(dòng)量定理,)(12dtdLgRmmM外若0, 0:21LdtdLmm有212211, 0vvvmvm輕的升得快；)(21vvmRLhhm1m2R例.

6、光滑水平桌面上放著一質(zhì)量為M的木塊, 木塊與一原長(zhǎng)為L(zhǎng)0, 勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連, 彈簧另一端固定于O點(diǎn). 當(dāng)木塊靜止于A處時(shí), 彈簧保持原長(zhǎng), 設(shè)一質(zhì)量為m的子彈以初速 v0水平射向M并嵌在木塊中. 當(dāng)木塊運(yùn)動(dòng)到 B (OBOA)時(shí), 彈簧的長(zhǎng)度為L(zhǎng). Mm0LLAOB0vBv求木塊在B點(diǎn)的速度 vB的大小和方向.解: (1) m和M相撞時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)量守恒AvMmmv)(0(2) AB, 只有彈力作功, 機(jī)械能守恒2021221221)()()(LLkvMmvMmBA(3) AB, 彈力對(duì)O點(diǎn)的力矩為零, 對(duì)O點(diǎn)角動(dòng)量守恒sin)()(0LvMmLvMmBA2/ 1202022)()(M

7、mLLkvMmmvB212020200)()(arcsinmMLLkvmLvmLk5.3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(1)平動(dòng): 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中剛體上的任意一條直線在各個(gè)時(shí)刻的位置都相互平行ABABB A剛體的平動(dòng)任意質(zhì)元運(yùn)動(dòng)都代表整體運(yùn)動(dòng)(2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體所有質(zhì)元都繞一固定直線（定軸）做圓周運(yùn)動(dòng)1.剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)代表剛體的平動(dòng)（質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）2 用角量描述轉(zhuǎn)動(dòng)1) 角位移 : 在 t 時(shí)間內(nèi)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度2)角速度 : 0limtdtdt 3)角加速度 :220limtddtdtdt z剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的方向按右手螺旋法則確定vra切向分量 tdvdarrdtdt法向分量 22nvar

8、rzvOP 線量與角量關(guān)系rdSr dddS勻變速直線運(yùn)動(dòng)ddtddtdSvdtdvadt0vvat2012Sv tat2202vvaS勻變速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)0t2012tt22025.4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒dLMdt外質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理Z軸分量zdLMdtz:im質(zhì)元iF對(duì)O點(diǎn)的力矩ioiiMrFoiioiizrFrF（垂直z軸）?oiiiiizirFrFrFirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizr（垂直z軸）izMMzsiniiirF?zizLLiir FsiniziiiMrF1.剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩和角動(dòng)量ioii iLrmvoiirvii oiiLm r v si

9、niziLLiLizLsini oi imr vizi iiLm rv sinioirrim質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離iivr2()i im r 剛體到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2zi iiJmr2()zi iiLmrzdLMdtz?zzdLdMJdtdtz對(duì)固定軸MJirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizrzJ2.剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量定理1 質(zhì)點(diǎn)由微分式M dtdL積分式221121tLtLM dtdLLL2 質(zhì)點(diǎn)系由dtLdM外微分式M dt dL外積分式221121tLtLMdtdLLL外3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體zd JdLdMJdtdtdtz(軸)積分221121ttMdtJdJJ軸這里

10、iiLL定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角動(dòng)量守恒0M軸合外當(dāng)時(shí)21JJ恒量dLMdt若轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有變化，則有：2211JJ恒量1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律MJ軸外與牛頓第二定律對(duì)比amF外剛體到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2i iiJmr 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義:(1). 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度(2). 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量有關(guān)(3). J 在質(zhì)量一定的情況下與質(zhì)量的分布有關(guān)(4). J與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)對(duì)比剛體的角動(dòng)量和質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量LJmvp 與對(duì)應(yīng)mJ5.5 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算2i iiJm r稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布剛體dmrJ2線分布 dxdm面分布dsdm體分布dvdm是質(zhì)量的線密

11、度是質(zhì)量的面密度是質(zhì)量的體密度例: 一均勻細(xì)棒長(zhǎng) l 質(zhì)量為 m1) 軸 z1 過(guò)棒的中心且垂直于棒2) 軸 z2 過(guò)棒一端且垂直于棒求: 上述兩種情況下的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量OdxxZ 1dxdm解: 設(shè)棒質(zhì)量的線密度2222121)11mldxxJllZ20231)22mldxxJlz12zzJJ所以只有指出剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量才有意義2l2lxdxdmdx OZ 2l 有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算的幾個(gè)定理1） 平行軸定理2mhJJczh式中式中: :關(guān)于通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量cJm 是剛體質(zhì)量, h 是 c 到 z 的距離zJ是對(duì)平行于質(zhì)心軸的一個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zC2） 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量疊加，如圖CBAzJJJJ式中:

12、是A球?qū)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量AJBJ是B棒對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量cJ是C球?qū)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3） 回轉(zhuǎn)半徑任意剛體的回轉(zhuǎn)半徑 mJRG式中: J 是剛體關(guān)于某一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, m 是剛體的質(zhì)量是剛體的質(zhì)量) (2GRmJ ACzBo2zGR2l2312mlJZmJRZG2例:73. 1312lmmlG 不是質(zhì)心CG 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算例: 求半徑為 R,總質(zhì)量為 m的均勻圓盤繞垂直于盤面通過(guò)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 如下圖:解:2RmdmrJz2dsrR02Rrdrr022RrdrRmr0222221mRRrdsZ質(zhì)量面密度剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用Rm1m2am1gm2gT解：11m gTm a22Tm gm a1212

13、()m gm gmm a1212mmagmm對(duì)否？T1T2T12TT否則滑輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，而物體加速運(yùn)動(dòng)T1T2111m gTma222Tm gm a12TR TRJaR轉(zhuǎn)動(dòng)定律線量與角量關(guān)系212JMR121212mmagmmMM例1：質(zhì)量為M，半徑為R的均勻圓盤形定滑輪上繞一輕繩，繩的兩端分別懸掛質(zhì)量為m1和m2的物體，m1 m2，滑輪與軸間無(wú)摩擦，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。求物體的加速度a 。l例2.已知：勻質(zhì)桿m，長(zhǎng) 一端O固定，當(dāng)由水平位置自由下落到時(shí)求：?F?F 解：mgC1cos2Mmgl質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理MJ21cos213mglml3 cos2glddtddddtdd3 cos2gl003

14、 cos2gddl 3 singl轉(zhuǎn)動(dòng)定律1F2F1sinnFmgma2costmgFma212nal3 sin2g2tla3 cos4glmOl15sin2Fmg21s4Fmgco2212FFF2199sin14mg21cos10sinFtgF質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理1sinnFmgma2costmgFma212nal3 sin2g2tla3 cos4gmgC1F2FlmOlF例3:一半徑為R，質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間的摩擦系數(shù)為 。令圓盤以0繞中心軸旋轉(zhuǎn)后，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)？2Rmrrmd2dmgrMzddmgR32解:RzrgrM02d2043gRtRg34

15、0 ? 0 ?摩擦力的和?MJvOlMm0v?例4.已知：勻質(zhì)桿M，長(zhǎng) 一端懸掛于固定點(diǎn)O，子彈m，水平速度 , 射入不復(fù)出l0v求：?解：對(duì)M， m系統(tǒng)0M軸外系統(tǒng)角動(dòng)量守恒2013Mmv lmvlJmvlMlvl033vmmM l射入后瞬間cos |FdrcosFrdOdrFvP|drcosMFr21dJddt21Jd22211122JJ剛體的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能212kEJ定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理dAF drdA Md21kkA EE力矩作功力矩作功212KiiiEmv21()2iiimr221()2i iimr212J21AMd3.轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能例：質(zhì)量為m，長(zhǎng)為 l 的均勻直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，可以在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。初始時(shí)，棒靜止在水平位置。求它由此自由下擺角時(shí)的角速度和角加速度。COxyzgm解: 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律1cos2Ml m gMJd3 cosd2gl動(dòng)能定理2221126kEJml3 cos2gl23 singld3cosd2gtl23 singl01dsin2AMmgl0kkEE22106ml