統(tǒng)計物理基本概念,壓力、溫度和內能

1、第二篇第二篇 熱物理學熱物理學熱現(xiàn)象的研究方法：熱現(xiàn)象的研究方法：1.宏觀法宏觀法. 最基本的實驗規(guī)律最基本的實驗規(guī)律邏輯推理邏輯推理(運用數(shù)學運用數(shù)學) -稱為稱為熱力學熱力學(thermodynamics) 優(yōu)點：可靠、普遍。優(yōu)點：可靠、普遍。 缺點：未揭示微觀本質。缺點：未揭示微觀本質。2.微觀法微觀法. 物質的微觀結構物質的微觀結構 + 統(tǒng)計方法統(tǒng)計方法 -稱為稱為統(tǒng)計物理學統(tǒng)計物理學(statistical physics) 其初級理論稱為其初級理論稱為氣體分子運動論氣體分子運動論 優(yōu)點：揭示了熱現(xiàn)象的微觀本質。優(yōu)點：揭示了熱現(xiàn)象的微觀本質。 缺點：可靠性、普遍性差。缺點：可靠性、普

2、遍性差。第四章第四章 統(tǒng)計物理學基礎統(tǒng)計物理學基礎4-1 統(tǒng)計物理的基本概念統(tǒng)計物理的基本概念一、物質的微觀模型一、物質的微觀模型熱力學系統(tǒng)熱力學系統(tǒng)（熱力學研究的對象）：（熱力學研究的對象）：大量微觀粒子（分子、原子等）組成的宏觀體系。大量微觀粒子（分子、原子等）組成的宏觀體系。 外界外界：熱力學系統(tǒng)以外的物體。：熱力學系統(tǒng)以外的物體。微觀粒子體系的基本特征微觀粒子體系的基本特征(1)分子分子(或原子或原子)非常小。非常小。(2)熱力學系統(tǒng)所包含的微觀粒子數(shù)非常巨大熱力學系統(tǒng)所包含的微觀粒子數(shù)非常巨大.(3)分子之間存在相互作用力分子之間存在相互作用力-分子力分子力. .(4(4) )分子或

3、原子都以不同的速率不停地運動。分子或原子都以不同的速率不停地運動?？傊?，總之，宏觀宏觀體系體系都是由都是由大量不停息地運動著的、彼大量不停息地運動著的、彼此有相互作用的分子或原子此有相互作用的分子或原子組成組成. . 利用掃描隧道顯利用掃描隧道顯微鏡技術把一個個原微鏡技術把一個個原子排列成子排列成 IBM 字母字母的照片的照片. 現(xiàn)代的儀器已可以觀察和測量分子或原子的大現(xiàn)代的儀器已可以觀察和測量分子或原子的大小以及它們在物體中的排列情況小以及它們在物體中的排列情況, , 例如例如 X光分析儀光分析儀, ,電子顯微鏡電子顯微鏡, , 掃描隧道顯微鏡等掃描隧道顯微鏡等. . Si單晶的原子像（透射

4、電子顯微鏡照片）單晶的原子像（透射電子顯微鏡照片）2、分子在作不停息的熱運動、分子在作不停息的熱運動 例例1: 氣味的傳播氣味的傳播 分子的平均分子的平均運動速率運動速率: 常溫下常溫下 400m/s 1800m/s房間的長度房間的長度: 5m15m 氣味在房間內傳播所需時間氣味在房間內傳播所需時間: 具經(jīng)驗估計約具經(jīng)驗估計約 2 3s氣體分子間氣體分子間碰撞碰撞的頻繁程度的頻繁程度: 6. 5 109 s - 1例例2: 布朗運動布朗運動布朗使用曾經(jīng)保存布朗使用曾經(jīng)保存了了300年以上的花粉年以上的花粉及用無機物微粒作及用無機物微粒作為觀察對象為觀察對象, 從而排從而排除了布朗粒子是除了布朗

5、粒子是“活粒子活粒子”的假設的假設. 3、分子間有力的作用、分子間有力的作用rf(r)r0sa) 短程力短程力: 力程為力程為mrr10010b) 斥斥力范圍力范圍: mrs910c) 引引力范圍力范圍: mrr10010-分子力。分子力。0rr 為平衡態(tài)，為平衡態(tài)，f=0=0分子力是電性力，遠大于萬有引力。分子力是電性力，遠大于萬有引力。宏觀量宏觀量狀態(tài)參量狀態(tài)參量 描寫熱力學系統(tǒng)宏觀狀態(tài)的參量。描寫熱力學系統(tǒng)宏觀狀態(tài)的參量。 如如 壓強壓強 p、體積、體積 V、溫度、溫度 T 等。等。微觀量微觀量 描述系統(tǒng)內個別微觀粒子特征和運動狀態(tài)的物理描述系統(tǒng)內個別微觀粒子特征和運動狀態(tài)的物理量。量。

6、 如分子的質量、如分子的質量、 直徑、速度、動量、能量直徑、速度、動量、能量 等。等。微觀量與宏觀量有一定的內在聯(lián)系。微觀量與宏觀量有一定的內在聯(lián)系。二、系統(tǒng)狀態(tài)的描寫二、系統(tǒng)狀態(tài)的描寫在這過程中，各點密度、溫度等均不相同，這就是在這過程中，各點密度、溫度等均不相同，這就是非平衡態(tài)非平衡態(tài)。但隨著時間的推移，各處的密度、壓強。但隨著時間的推移，各處的密度、壓強等都達到了均勻，無外界影響，狀態(tài)保持不變，就等都達到了均勻，無外界影響，狀態(tài)保持不變，就是是平衡態(tài)平衡態(tài)。設一容器，用隔板將其隔開當設一容器，用隔板將其隔開當隔板右移時，分子向右邊擴散隔板右移時，分子向右邊擴散平衡態(tài)平衡態(tài): 在無外界的影

7、響下，系統(tǒng)的宏觀性質不隨在無外界的影響下，系統(tǒng)的宏觀性質不隨時間改變的穩(wěn)定狀態(tài)。時間改變的穩(wěn)定狀態(tài)。假想把箱子分成兩相同體積的部假想把箱子分成兩相同體積的部分，達到平衡時，兩側粒子有的分，達到平衡時，兩側粒子有的穿越界線，但兩側粒子數(shù)相同。穿越界線，但兩側粒子數(shù)相同。例如例如：粒子數(shù)粒子數(shù)討論討論：平衡態(tài)是一種理想狀態(tài)平衡態(tài)是一種理想狀態(tài) 處在平衡態(tài)的大量分子仍在作熱運動，而且因處在平衡態(tài)的大量分子仍在作熱運動，而且因為碰撞，為碰撞， 每個分子的速度經(jīng)常在變，但是系統(tǒng)的宏每個分子的速度經(jīng)常在變，但是系統(tǒng)的宏觀量不隨時間觀量不隨時間 改變。改變。平衡態(tài)是一種熱動平衡平衡態(tài)是一種熱動平衡狀態(tài)方程：

8、狀態(tài)方程：RTMMpVmol 理想氣體理想氣體氣氣體體的的摩摩爾爾質質量量氣氣體體質質量量 molMMmol/J.R318 普普適適氣氣體體常常量量 po),(111TVpI),(222TVpII V0),( TVpf物態(tài)方程物態(tài)方程(狀態(tài)方程狀態(tài)方程)當系統(tǒng)處于平衡態(tài)時，三個狀態(tài)參量存在一定的當系統(tǒng)處于平衡態(tài)時，三個狀態(tài)參量存在一定的函數(shù)關系：函數(shù)關系：例例1：氧氣瓶的壓強降到氧氣瓶的壓強降到106Pa即應重新充氣，以免混即應重新充氣，以免混入其他氣體而需洗瓶。今有一瓶氧氣，容積為入其他氣體而需洗瓶。今有一瓶氧氣，容積為32L，壓強為壓強為1.3 107Pa，若每天用，若每天用105Pa的氧

9、氣的氧氣400L，問此，問此瓶氧氣可供多少天使用？設使用時溫度不變。瓶氧氣可供多少天使用？設使用時溫度不變。解解: 研究對象為原來氣體、用去氣體和剩余氣體，設研究對象為原來氣體、用去氣體和剩余氣體，設使用時的溫度為使用時的溫度為T；并并設可供設可供 x 天使用天使用原有原有每天用量每天用量剩余剩余 x TMVp111TMVp222TMVp333分別對它們列出狀態(tài)方程，有分別對它們列出狀態(tài)方程，有RTMMVpRTMMVpRTMMVpmolmolmol333222111 23131xMMMVV 22131231VpV)pp(MMMx 天天6940013210130.)( 例例2設空氣中含有設空氣中

10、含有23.6%氧和氧和76.4%氮氮, 求在壓強求在壓強 p=105Pa和溫度和溫度T=17oC時空氣的密度時空氣的密度解：設空氣中氧和氮的質量分別為設空氣中氧和氮的質量分別為m1、 m2 ，摩爾質量分，摩爾質量分別為別為 1 、 2由道爾頓分壓定理由道爾頓分壓定理VRTmVRTmp2211空氣壓強空氣壓強21pppVmm2121mmV22121211RTmmmRTmmmp21%4 .76%6 .23RTRTp335102829031. 8%4 .76103229031. 8%6 .23103kg/m20. 121%4 .76%6 .23RTRT特征一特征一: : 混亂性和無序性混亂性和無序性

11、&分子熱運動的基本特征分子熱運動的基本特征永恒的運動永恒的運動; ;頻繁的碰撞頻繁的碰撞特征二特征二: : 在分子熱運動中，個別分子的運動是無規(guī)則的，存在在分子熱運動中，個別分子的運動是無規(guī)則的，存在著極大的偶然性。但是，總體上卻存在著確定的規(guī)律著極大的偶然性。但是，總體上卻存在著確定的規(guī)律性。人們把這種支配大量粒子綜合性質和集體行為的性。人們把這種支配大量粒子綜合性質和集體行為的規(guī)律性稱為規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性。三、分子熱運動的無序性和統(tǒng)計規(guī)律性三、分子熱運動的無序性和統(tǒng)計規(guī)律性什么是統(tǒng)計規(guī)律性什么是統(tǒng)計規(guī)律性(statistical regularity) 大量偶然性大量偶

12、然性從從整體上整體上所體現(xiàn)出來的所體現(xiàn)出來的必然性必然性。例例. 扔硬幣扔硬幣擲骰子擲骰子2.2.伽爾頓板實驗伽爾頓板實驗 統(tǒng)計規(guī)律特點統(tǒng)計規(guī)律特點: （1）只對大量偶然的事件才有意義）只對大量偶然的事件才有意義. （2）不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律）不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質變量變到質變). (3) 大數(shù)量現(xiàn)象在一定宏觀條件下的穩(wěn)定性。大數(shù)量現(xiàn)象在一定宏觀條件下的穩(wěn)定性。 統(tǒng)計規(guī)律永遠伴隨統(tǒng)計規(guī)律永遠伴隨漲落現(xiàn)象漲落現(xiàn)象。特征三特征三: :在一定的宏觀條件下，各種分布在一定的平均值上、在一定的宏觀條件下，各種分布在一定的平均值上、下起伏變化，稱為下起伏變化，稱為漲落現(xiàn)象漲落現(xiàn)象。 一切與

13、熱現(xiàn)象有關的宏觀量的數(shù)值都是統(tǒng)計平一切與熱現(xiàn)象有關的宏觀量的數(shù)值都是統(tǒng)計平均值。在任一給定瞬間或在系統(tǒng)中任一給定局部范均值。在任一給定瞬間或在系統(tǒng)中任一給定局部范圍內，圍內，觀測值都與統(tǒng)計平均值有偏差觀測值都與統(tǒng)計平均值有偏差。四、四、 統(tǒng)計的基本概念統(tǒng)計的基本概念1. 概率概率 如果如果N次試驗中出現(xiàn)次試驗中出現(xiàn)A事件的次數(shù)為事件的次數(shù)為NA,當當N時，比值時，比值NA/N稱為出現(xiàn)稱為出現(xiàn)A事件的事件的概率概率。NNAPANlim)( 概率的性質概率的性質:(1) 概率取值域為概率取值域為1)(0 AP(2) 各種可能發(fā)生的事件的概率總和等于各種可能發(fā)生的事件的概率總和等于1.1)( NNA

14、PiAiiii幾率歸一化條件幾率歸一化條件(3) 二互斥事件的概率和等于分事件概率之和二互斥事件的概率和等于分事件概率之和)()()(BPAPBAP (4) 二相容事件的概率積等于分事件概率之積二相容事件的概率積等于分事件概率之積)()(),(BPAPBAP 2. 概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)隨機變量隨機變量在一定條件下在一定條件下, 變量以確定的概率變量以確定的概率取各種不相同的值。取各種不相同的值。1. 離散型隨機變量離散型隨機變量取值有限、分立取值有限、分立表示方式表示方式 SSPPP2121 1), 2 , 1(01 SiiiPSiP有有2. 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量取值無限、連續(xù)取值

15、無限、連續(xù)隨機變量隨機變量X的的概率密度概率密度dxxdPx)()( 變量取值在變量取值在xx+dx間間隔內的概率隔內的概率概率密度等于隨機變量取值在單位間隔內的概率。概率密度等于隨機變量取值在單位間隔內的概率。1)( dxx 又稱為又稱為概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)（簡稱（簡稱分布函數(shù)分布函數(shù)）。）。)(X 3. 統(tǒng)計平均值統(tǒng)計平均值算術平均值為算術平均值為 NNNNiiiii 統(tǒng)計平均值為統(tǒng)計平均值為 iiiNiiiNPNNNN )(limlim對于離散型對于離散型隨機變量隨機變量 隨機變量的統(tǒng)計平均值等于一切可能狀態(tài)隨機變量的統(tǒng)計平均值等于一切可能狀態(tài)的概率與其相應的取值的概率與其相應的取值

16、 乘積的總和。乘積的總和。i 對于連續(xù)型隨機變量對于連續(xù)型隨機變量統(tǒng)計平均值為統(tǒng)計平均值為 dxxxx)( 4-24-2 理想氣體的壓強理想氣體的壓強 溫度和內能溫度和內能一、一、理想氣體的微觀模型和理想氣體的微觀模型和統(tǒng)計假設統(tǒng)計假設1 . 理想氣體微觀模型理想氣體微觀模型分子本身的大小比起它們之間的平均距離分子本身的大小比起它們之間的平均距離可忽略不計。可忽略不計。 除碰撞外，分子之間的作用可忽略不計。除碰撞外，分子之間的作用可忽略不計。 分子間的碰撞是完全彈性的。分子間的碰撞是完全彈性的。 分子所受重力忽略不計分子所受重力忽略不計理想氣體的分子模型是彈性的自由運動的質點。理想氣體的分子模

17、型是彈性的自由運動的質點。2 . 統(tǒng)計假設統(tǒng)計假設 分子數(shù)密度處處相等；分子數(shù)密度處處相等； cbannn 分子沿各個方向運動的幾率均等。分子沿各個方向運動的幾率均等。亦即：分子速度在各個方向上的分量的各種平均值相等。亦即：分子速度在各個方向上的分量的各種平均值相等。222231vvvvzyx NvNvvvvin/ )(2222212abc二、理想氣體壓強公式二、理想氣體壓強公式1 1、壓強的產生、壓強的產生 單個分子碰撞器壁的作用力是不連續(xù)的、偶然的、不均勻的。單個分子碰撞器壁的作用力是不連續(xù)的、偶然的、不均勻的。從總的效果上來看，一個持續(xù)的平均作用力。從總的效果上來看，一個持續(xù)的平均作用力

18、。單個分子單個分子多個分子多個分子平均效果平均效果密集雨點對雨密集雨點對雨傘的沖擊力傘的沖擊力大量氣體分子對器壁持大量氣體分子對器壁持續(xù)不斷的碰撞產生壓力續(xù)不斷的碰撞產生壓力氣體分子氣體分子器器壁壁計算計算N個分子給器壁的平均沖力個分子給器壁的平均沖力計算一個分子給器壁的作用力計算一個分子給器壁的作用力計算計算一個分子與器壁碰撞一次對器壁的作用（沖量）一個分子與器壁碰撞一次對器壁的作用（沖量）計算每秒一個分子碰撞器壁的次數(shù)計算每秒一個分子碰撞器壁的次數(shù)計算計算容器中任何一壁所受的壓強容器中任何一壁所受的壓強計算思路計算思路乘乘2. 理想氣體壓強公式推導理想氣體壓強公式推導 一定質量的處于平衡態(tài)

19、的某種理想氣體。一定質量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體。(V,N,m )xyz1l2l3lO2A1Aivizviyvixvkvjvivviziyixi 平衡態(tài)下器壁平衡態(tài)下器壁各處壓強相同，各處壓強相同，選選A1面求其所面求其所受壓強。受壓強。xy1lO2A1Aixmvixmv i分子動量增量分子動量增量ixixmvp2 i分子對器壁的沖量分子對器壁的沖量ixmv2i分子相繼與分子相繼與A1面碰撞的時間間隔面碰撞的時間間隔ixv/lt2 單位時間內單位時間內i分子對分子對A1面的碰撞次數(shù)面的碰撞次數(shù)121l/vt/Zix 單位時間內單位時間內i分子對分子對A1面的沖量面的沖量122l/vmvixi

20、x i分子對分子對A1面的平均沖力面的平均沖力122l/vmvFixixix 所有分子對所有分子對A1面的平均作用力面的平均作用力 NiixNiixxvlmFF1211壓強壓強NlllvmNvlllmllFpNiixNiixx321121232132 212ixNiixvNv nlllN 3212ixvnmp 222231vvvvzyx 2231vnmvnmpx 分子的平均平動動能分子的平均平動動能221vmw 平衡態(tài)下平衡態(tài)下wnp32 TNRnRTmNNmVpAA 1三、三、分子的平均平動動能與溫度的關系分子的平均平動動能與溫度的關系RTMMpVmol 玻玻爾爾茲茲曼曼常常量量123103

21、81 KJ.NRkAnkTp wnp32 kTvmw23212 溫度是氣體分子平均平動動溫度是氣體分子平均平動動能大小的量度能大小的量度例例:（1）在一個具有活塞的容器中盛有一定的氣體。）在一個具有活塞的容器中盛有一定的氣體。如果壓縮氣體并對它加熱，使它的溫度從如果壓縮氣體并對它加熱，使它的溫度從270C升到升到1770C，體積減少一半，求氣體壓強變化多少？，體積減少一半，求氣體壓強變化多少？ （2）這時氣體分子的平均平動動能變化多少？）這時氣體分子的平均平動動能變化多少？解：解：222111) 1 (TVpTVp KTKTVV450177273,30027273,2:2121 由由已已知知1

22、2211221233004502pVVpTVTVp kTw)(232 J.)(.)TT(kwww2123121210113300450103812323 氣體分子的方均根速率氣體分子的方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根molMRTmkTv332 kTvmw23212 氣體分子的方均根速率與氣體的熱力學溫度的平氣體分子的方均根速率與氣體的熱力學溫度的平方根成正比，與氣體的摩爾質量的平方根成反比。方根成正比，與氣體的摩爾質量的平方根成反比。Tv 2molM/v12 例例 計算在計算在 時，氫分子和氧分子的方均根速時，氫分子和氧分子的方均根速率率 .C27

23、（A）溫度相同、壓強相同。）溫度相同、壓強相同。（B）溫度、壓強都不同。）溫度、壓強都不同。（C）溫度相同，但氦氣的壓強大于氮氣的壓強）溫度相同，但氦氣的壓強大于氮氣的壓強.（D）溫度相同，但氦氣的壓強小于氮氣的壓強）溫度相同，但氦氣的壓強小于氮氣的壓強. 一瓶氦氣和一瓶氮氣（質量）密度相同，分子平一瓶氦氣和一瓶氮氣（質量）密度相同，分子平均平動動能相同，而且它們都處于平衡狀態(tài)，則它們均平動動能相同，而且它們都處于平衡狀態(tài)，則它們討討 論論解：解：molMRTmkTv33223H m/s1093. 122O m/s10833. 4例例 理想氣體體積為理想氣體體積為 V ，壓強為，壓強為 p ，

24、溫度為，溫度為 T ,一個一個分子分子 的質量為的質量為 m ，k 為玻爾茲曼常量，為玻爾茲曼常量，R 為摩爾氣為摩爾氣體常量，則該理想氣體的分子數(shù)為：體常量，則該理想氣體的分子數(shù)為：（A） （B）（C） （D）mpV)(RTpV)(kTpV)(TmpVkTpVnVNnkTp 解解例例：一容器內貯有氧氣，其壓強為：一容器內貯有氧氣，其壓強為 ，溫度為，溫度為 ，1.0atm試求試求 : (1)單位體積內的分子數(shù)；單位體積內的分子數(shù)； (2)氧氣的密度；氧氣的密度； (3)分子間的平均距離，分子間的平均距離， (4)分子的平均平動動能。分子的平均平動動能。27 CnkTp 解：解： （1）253

25、2.45 10/PnmKT個-3mkg30. 1（2）MPVRT2/3tkTJ102 . 621（4）=（3）9313.44 10 ( )lmn1. 自由度自由度 確定一個物體的空間位置所需要的獨立坐標數(shù)目。確定一個物體的空間位置所需要的獨立坐標數(shù)目。以剛性分子（分子內原子間距離保持不變）為例以剛性分子（分子內原子間距離保持不變）為例四、四、能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 xzy),(zyxC單原子分子單原子分子平動自由度平動自由度t=33 rtixzy),(zyxC 雙原子分子雙原子分子平動自由度平動自由度t=3轉動自由度轉動自由度r=25 rtixzy),(zyxC 三原子或三原

26、子或三三原子以上原子以上的分子的分子平動自由度平動自由度t=3轉動自由度轉動自由度r=36 rti實際氣體不能看成剛性分子，因原子之間還有振動實際氣體不能看成剛性分子，因原子之間還有振動2、能量均分定理、能量均分定理kTvmw23212 222231vvvvzyx kTvmvmvmzyx21212121222 氣體分子沿氣體分子沿 x,y,z 三個方向運動的三個方向運動的平均平動平均平動動能動能完全相等，可以認為分子的平均平動動完全相等，可以認為分子的平均平動動能能 均勻分配在每個平動自由度上。均勻分配在每個平動自由度上。kT23平衡態(tài)下，不論何種運動，相應于每一個可平衡態(tài)下，不論何種運動，相

27、應于每一個可能自由度的平均動能都是能自由度的平均動能都是kT21能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理如果某種氣體的分子有個如果某種氣體的分子有個 t 個平動自由度個平動自由度, r 個轉個轉動自由度動自由度, s 個振動自由度個振動自由度.則分子具有：則分子具有：平均平均平動平動動能動能kTt2平均平均轉動轉動動能動能kTr2平均平均振動振動動能動能kTs2注意注意：對應分子的一個振動自由度，除有一份對應分子的一個振動自由度，除有一份 振動的動能外，還有一份平均勢能。振動的動能外，還有一份平均勢能。結論：分子的平均總能量結論：分子的平均總能量 skTkTsrt21)(21 kTsrt)2(21 對剛性分子：