原子物理學第3章習題

1、34102416.636.63 101010hp千克 米 秒解：解：根據德布羅意關系式，得根據德布羅意關系式，得 4153810/6.63 103 11.9086 110/ 0Ehvhc 焦耳動量為動量為 1. 1. 波長波長 為的為的X X光光子的動量和能量各為多少？光光子的動量和能量各為多少？1A能量為能量為 2.2.經過經過1000010000伏特電勢差加速的電子束的德布羅意波長是多少伏特電勢差加速的電子束的德布羅意波長是多少？用上述電壓加速的質子束的德布羅意波長是多少？用上述電壓加速的質子束的德布羅意波長是多少？ 12.2512.2510.12250000AAAV解：解：由德布羅意波長

2、與加速電壓之間的關系由德布羅意波長與加速電壓之間的關系 /2hmeV對于電子對于電子 對于質子對于質子 34279316.626 102 1.67 101.60 10100002.862 10A慮相對論效應時，其動能與其動量之間有如下關系慮相對論效應時，其動能與其動量之間有如下關系 證明：證明：德布羅意波長德布羅意波長 3.3.電子被加速后的速度很大，必須考慮相對論修正。因而原電子被加速后的速度很大，必須考慮相對論修正。因而原來來 的電子德布羅意波長與加速電壓的關系的電子德布羅意波長與加速電壓的關系式應改為：式應改為：其中其中V V是以伏特為單位的電子加速電壓。試證明之。是以伏特為單位的電子加

3、速電壓。試證明之。12.25AV612.25(1 0.489 10)V AV/hp222202KKEE m cp c而被電壓而被電壓V V加速的電子的動能為加速的電子的動能為 KEeV2202220()22() /eVpm eVcpm eVeVc20060(1)42(10.489 10)2heVm cm eVhVm eV612.25(1 0.489 10)V AV0201/212hhpm eVeVm c4.4.試證明氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數個電子的德布試證明氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數個電子的德布羅意波波長。上述結果不但適用于圓軌道，同樣適用于橢圓羅意波波長。上述結果不但適用于圓軌

4、道，同樣適用于橢圓軌道，試證明之軌道，試證明之 證明證明 對氫原子圓軌道來對氫原子圓軌道來 20,rppmrmvr所以所以, ,氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數個電子的德布羅意波氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數個電子的德布羅意波長。橢圓軌道的量子化條件是：長。橢圓軌道的量子化條件是：其中其中2,(),rrrpmr pmrp drp dnh nnn而而 2()()rp drp dmrdrmrd 22()drdmrdtmrdtdtdtmv dtmvdshdsdshdsrn5.5.帶電粒子在威耳孫云室（一種徑跡探測器）中的軌跡是一帶電粒子在威耳孫云室（一種徑跡探測器）中的軌跡是一串小霧滴，霧滴德線度

5、約為串小霧滴，霧滴德線度約為1 1微米。當觀察能量為微米。當觀察能量為10001000電電子伏特的電子徑跡時其動量與精典力學動量的相對偏差不子伏特的電子徑跡時其動量與精典力學動量的相對偏差不小于多少？小于多少？ 解：解：根據測不準原理根據測不準原理 2hp x 經典力學的動量為經典力學的動量為 53.09 12202KKpmEphpxmE6.6.證明自由運動的粒子的能量可以有連續(xù)的值證明自由運動的粒子的能量可以有連續(xù)的值 證明：證明：自由粒子的波函數為自由粒子的波函數為 ()ip rEthAe 代入薛定諤方程，得代入薛定諤方程，得 2()22ip rEthhAeEm 2222()222222(

6、)222xyzip xp yp z EthhdddAeEmdxdypEdmzpEm自由粒子的動量自由粒子的動量p p可以取任意連續(xù)值，所以它的能量可以取任意連續(xù)值，所以它的能量E E也可以有也可以有任意的連續(xù)值任意的連續(xù)值 7.7.粒子在一維對稱勢場中，勢場形式如下圖。粒子在一維對稱勢場中，勢場形式如下圖。即：即：0 x L 0 x L 時時 V = 0V = 0；x 0 x L x L 時時 V = VV = V0 0。（1 1） 試推導粒子在試推導粒子在 E VE V0 0 情況下情況下 總能量總能量 E E 滿足的關系式。滿足的關系式。（2 2）利用上述關系式，以圖解法證明，粒子的能量）

7、利用上述關系式，以圖解法證明，粒子的能量 E E 只能取只能取 一一些不連續(xù)的值些不連續(xù)的值 解：解：以下將在兩種不同坐標系下解答本問題。其中第一種維以下將在兩種不同坐標系下解答本問題。其中第一種維持原坐標不變；另一種為將橫坐標向右平移持原坐標不變；另一種為將橫坐標向右平移L/2L/2，即取，即取 x = x x = x L/2 L/2，在這個坐標系中，在這個坐標系中，L/2 x L/2 L/2 x L/2 時時 V=0V=0、在其它、在其它區(qū)間區(qū)間 V =VV =V0 0 （1 1）E E 滿足關系的推導：本題中的勢場與時間無關，所以是滿足關系的推導：本題中的勢場與時間無關，所以是定態(tài)問題，

8、而且是一維的。先寫出定態(tài)薛定諤方程的一般形定態(tài)問題，而且是一維的。先寫出定態(tài)薛定諤方程的一般形式式 02468100246810V0Y Axis TitleX Axis TitleV(X)0LxEV02222d uVuEum dx20222 ()m VEd uudx2022 ()m VEkkxkxuAeBe設設 2222d umEudx 利用波函數的有界性知道：利用波函數的有界性知道：x 0 x 0 時，如果時，如果 B 0B 0，那么，那么 x x 時時 波函數波函數 趨于趨于 無窮。所以在無窮。所以在x 0 x L x L 時，時，A = 0 A = 0 。因此因此 x 0 x L x L

9、 時，時，u = B eu = B ekxkx在在 0 x L 0 x L 區(qū)域，區(qū)域，V = 0V = 0。代入。代入 薛定諤方程中薛定諤方程中 222mEsin()uCx設設 2222d umEudx 在在 0 x L 0 x L 區(qū)域，區(qū)域，V = 0V = 0。代入。代入 薛定諤方程中薛定諤方程中 由定態(tài)薛定諤方程解得的波函數為：由定態(tài)薛定諤方程解得的波函數為：x 0 x 0， u u1 1 = Ae = Aekxkx A A 待定待定0 x L0 x Lx L， u u3 3 = Be = Bekxkx B B 待定待定 波函數的連續(xù)性波函數的連續(xù)性 要求：要求：x = 0 x =

10、0 處，處，u u1 1 = u = u2 2 ； d du u1 1/ /d dx = x = d du u2 2/ /d dx xx = L x = L 處，處，u u2 2 = u = u3 3 ； d du u2 2/ /d dx = x = d du u3 3/ /d dx x將上述連續(xù)性條件應用于波函數將上述連續(xù)性條件應用于波函數 得得A = C A = C sinsin A Ak k = C = C coscos B B e ekLkL = C = C sinsin( ( L+L+ ) )B B k k e ek kL L = C = C coscos( ( L+L+ ) )進一

11、步推導進一步推導tantan = = / / k ktantan( ( L+L+ ）= = / / k k由由 tantan = = / / k k 0 0，得，得 0 0 /2/2、和、和 3 3 /2 /2 2 2 由由 tantan ( ( L+L+ ) = ) = tan tan ( ( ) ) 得得 L+L+ = n = n 即即 = n= n /2 /2 L/2 =L/2 =n = 1, 2, 3, n = 1, 2, 3, 222nLmE又由又由tantan = = / / k k 得得 因此能量因此能量 E E 滿足的關系式為滿足的關系式為 000arctanarcsin(0)

12、23arcsin()()2EEVEVEV或020arcsin222EnLmEVn=1,2,3,N1 n=1,2,3,N1 或或 023arcsin()222EnLmEVn= 3,4,5,.N2 n= 3,4,5,.N2 其中其中 122int(1)LmENh222int(3)LmENh(2) (2) 圖解法說明圖解法說明 能量取值的不連續(xù)性能量取值的不連續(xù)性設設 10( )arcsin/ 2f xx022( )22LmVnfxx3( )arcsin()3/ 2fxx其中其中001ExV則能量則能量E E 的解可通過的解可通過 f f2 2 與與f f1 1 的交點、與的交點、與f f3 3 的

13、交點的橫坐標求出的交點的橫坐標求出 0.000.250.500.751.00012345n=10n=3n=2 f(x)xn=1f1f3f2做各函數曲線如上圖所示。從做各函數曲線如上圖所示。從f f2 2 函數函數 與與 f f1 1 及及f f3 3 函數的交點的函數的交點的橫坐標可求出能量橫坐標可求出能量E E的解。解的個數與的解。解的個數與0 x 10 x 1區(qū)間內交點的個區(qū)間內交點的個數相等，而交點的個數決定于數相等，而交點的個數決定于f f2 2 函數的斜率。斜率越大，交點個函數的斜率。斜率越大，交點個數越多。當數越多。當L L 和和 m m 很大時，交點的橫坐標數值趨于連續(xù)，對應很大

14、時，交點的橫坐標數值趨于連續(xù)，對應宏觀現象。當二者不是很大時，交點的橫坐標數值是不連續(xù)的，也宏觀現象。當二者不是很大時，交點的橫坐標數值是不連續(xù)的，也就是說能量就是說能量E E的取值是不連續(xù)的。的取值是不連續(xù)的。解：解：由題意知由題意知 0,0;0,0;0,0;,0,0,0 xyzxyzVxaVybVzcVxxaVyybVzzc 和和和8.8.有一粒子，其質量為有一粒子，其質量為m m, ,在一個三維勢箱中運動。勢箱的長、寬、在一個三維勢箱中運動。勢箱的長、寬、高分別為高分別為a,b,c,a,b,c,在勢箱外，勢能在勢箱外，勢能 ；在勢箱內，；在勢箱內， 。試。試計算出粒子可能具有的能量計算出

15、粒子可能具有的能量 V 0V 勢箱內波函數滿足方程勢箱內波函數滿足方程 22222222()0222xyzmEVVVxyzh分離變量法將偏微分方程分成三個常微分方程分離變量法將偏微分方程分成三個常微分方程 ( , , )( ) ( ) ( )x y zX x Y y Z z并將兩邊同除以并將兩邊同除以 ，得，得 ( ) ( ) ( )X x Y y Z z22222222221212122()()()xyzd Xmd Ymd ZmmVVVEX dxhY dyhZ dzhh 222222222222122122122,xxyyzzxyzxyzd XmmVEX dxhhd YmmVEY dyhhd ZmmVEZ dzhhEEEE EEE 其中皆為常數。2222()0 xxd XmEVXdxh連續(xù)條件連續(xù)條件 (0)( )0XX l22222sin,1,2,32xnxxxnXxaa