理論物理導(dǎo)論-第一章1)

1、第一章第一章 拉格朗日方程拉格朗日方程 與哈密頓方程與哈密頓方程u 分析力學(xué)初步分析力學(xué)初步1 低速宏觀運(yùn)動的基本原理，除了牛頓三定律表述外，還有拉格朗日表述方式和哈密頓表述方式。這些表述方式實(shí)質(zhì)內(nèi)容相同，只是表達(dá)形式有差別。拉氏表述和哈氏對客觀規(guī)律的本質(zhì)反映得更清楚，而且便于推廣到高速和微觀情況。n約束約束n力學(xué)系統(tǒng)力學(xué)系統(tǒng)( (力學(xué)系，力學(xué)體系，體系力學(xué)系，力學(xué)體系，體系) )：n 個(gè)相互個(gè)相互作用的質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)作用的質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)n位形：力學(xué)系的位置狀態(tài)，位形：力學(xué)系的位置狀態(tài)，n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)需要個(gè)質(zhì)點(diǎn)需要 3 3n 個(gè)坐個(gè)坐標(biāo)參量標(biāo)參量( (x1 1, ,y1 1, ,z1

2、1), (), (xn, ,yn, ,zn) )來確定，或?qū)憺閬泶_定，或?qū)憺?xi ( (i=1,3=1,3n) )1-1 自由度 約束與廣義坐標(biāo)n約束：限制質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動的條件約束：限制質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動的條件n例：例：Oxy 平面的曲柄連桿的約束平面的曲柄連桿的約束2n約束方程約束方程設(shè)質(zhì)點(diǎn)組各質(zhì)點(diǎn)的位置是設(shè)質(zhì)點(diǎn)組各質(zhì)點(diǎn)的位置是 ，速度是，速度是有有 k 個(gè)約束個(gè)約束n對于一個(gè)具有對于一個(gè)具有 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系，如果存在個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系，如果存在 k 個(gè)約束個(gè)約束( (方程方程) )，那么在確定體系位形變化的，那么在確定體系位形變化的 3 3n 個(gè)坐標(biāo)參個(gè)坐標(biāo)參量中，只有量中，只有 3 3n - -

3、k = = s 個(gè)參量可以獨(dú)立變化個(gè)參量可以獨(dú)立變化n例：水分子體系的例：水分子體系的位形？位形？無無約束約束水蒸氣，有約束水蒸氣，有約束冰冰3n約束的種類約束的種類n幾何約束，微分約束幾何約束，微分約束n幾何約束幾何約束( (完整約束完整約束) )：限制質(zhì)點(diǎn)的幾何位置：限制質(zhì)點(diǎn)的幾何位置例：例：Oxy 平面的曲柄連桿的約束平面的曲柄連桿的約束約束方程的一般形式約束方程的一般形式 只存在完整約束的力學(xué)系稱為只存在完整約束的力學(xué)系稱為完整系完整系. .4n微分約束微分約束( (不完整約束不完整約束，運(yùn)動約束，運(yùn)動約束) )：約束方程中含：約束方程中含有時(shí)間的有時(shí)間的一次微分變量一次微分變量( (

4、如速度如速度) )，并且不可解為坐，并且不可解為坐標(biāo)之間的關(guān)系標(biāo)之間的關(guān)系例：大環(huán)和小盤例：大環(huán)和小盤例：沿直線軌道作純滾動的車輪例：沿直線軌道作純滾動的車輪約束方程的一般形式約束方程的一般形式 存在不完整約束的力學(xué)系稱為不完整系存在不完整約束的力學(xué)系稱為不完整系. .5n穩(wěn)定約束，不穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束，不穩(wěn)定約束n穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束：約束方程：約束方程中中不會明顯地含有時(shí)間變量不會明顯地含有時(shí)間變量 t 例：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)被約束在一個(gè)固定不動的球面上運(yùn)動例：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)被約束在一個(gè)固定不動的球面上運(yùn)動約束方程的一般形式約束方程的一般形式n不穩(wěn)定約束不穩(wěn)定約束：約束方程：約束方程中中明顯地含有時(shí)間變量明顯地

5、含有時(shí)間變量 t t 例：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)被約束在一個(gè)不斷變化的球面上運(yùn)動例：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)被約束在一個(gè)不斷變化的球面上運(yùn)動約束方程的一般形式約束方程的一般形式6n可解約束，不可解約束可解約束，不可解約束n不可解約束不可解約束：約束：約束始終不能解除始終不能解除 例：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)連結(jié)剛性的桿子例：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)連結(jié)剛性的桿子 質(zhì)點(diǎn)到連結(jié)點(diǎn)的距離只能是桿長，即始終不質(zhì)點(diǎn)到連結(jié)點(diǎn)的距離只能是桿長，即始終不能脫離約束能脫離約束n可解約束可解約束：約束：約束在在某范圍內(nèi)可以被解除某范圍內(nèi)可以被解除 例：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)連結(jié)在不可伸長的軟繩上例：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)連結(jié)在不可伸長的軟繩上質(zhì)點(diǎn)到連結(jié)點(diǎn)的距離不能大于繩長，質(zhì)點(diǎn)到連結(jié)點(diǎn)的距離不能大于繩

6、長，但可接近連結(jié)點(diǎn)，即不大于但可接近連結(jié)點(diǎn)，即不大于 r 的范圍的范圍內(nèi)脫離了約束內(nèi)脫離了約束n以后僅限于討論完整、以后僅限于討論完整、穩(wěn)定穩(wěn)定的約束的約束7n自由度自由度n能完全描述一個(gè)力學(xué)系的運(yùn)動所需要的、獨(dú)立參量變更數(shù)能完全描述一個(gè)力學(xué)系的運(yùn)動所需要的、獨(dú)立參量變更數(shù)目，稱為力學(xué)體系的自由度目，稱為力學(xué)體系的自由度n對于一個(gè)具有對于一個(gè)具有 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系，如果存在個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系，如果存在 k 個(gè)約束方程，個(gè)約束方程，那么體系的自由度是那么體系的自由度是 s = = 3 3n - - kn如果如果 k 個(gè)約束方程都是幾何約束，那么獨(dú)立坐標(biāo)參量個(gè)約束方程都是幾何約束，那么獨(dú)立坐標(biāo)參量的數(shù)目

7、等于的數(shù)目等于體系的自由度體系的自由度n如果約束方程中存在微分約束，那么獨(dú)立坐標(biāo)參量的如果約束方程中存在微分約束，那么獨(dú)立坐標(biāo)參量的數(shù)目大于體系的自由度數(shù)目大于體系的自由度為什么？為什么？k 個(gè)約束方程不能完全確定個(gè)約束方程不能完全確定 k 個(gè)參量個(gè)參量8n廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)n用用 s ( ( s = = 3 3n - - k ，k 個(gè)約束方程個(gè)約束方程) )個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)參量個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)參量 q1,qs 的函數(shù)表示體系的的函數(shù)表示體系的 3 3n 個(gè)坐標(biāo)參量個(gè)坐標(biāo)參量 這這 s 個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)參量個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)參量 ( (能完全確定質(zhì)點(diǎn)組的位能完全確定質(zhì)點(diǎn)組的位置置) )稱為拉格郎日的廣義坐標(biāo)；稱為拉格郎日

8、的廣義坐標(biāo)；廣義坐標(biāo)可以是線坐標(biāo)，角坐標(biāo)或其他參量，但并不一定組成矢量或坐標(biāo)系，只需規(guī)定零點(diǎn)和方向。廣義坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)稱廣義速度。 n例例：擺長為：擺長為 l 的單擺的單擺對擺錘的約束方程對擺錘的約束方程獨(dú)立坐標(biāo)變量獨(dú)立坐標(biāo)變量 x, ,y 或獨(dú)立參量或獨(dú)立參量 都可以作為廣義坐標(biāo)都可以作為廣義坐標(biāo)( (廣義坐標(biāo)表述隱含了廣義坐標(biāo)表述隱含了約束方程約束方程) )9 例如，對約束在空間固定曲線上運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，可用自始點(diǎn)計(jì)量的路程s作廣義坐標(biāo)； 再例如，用細(xì)桿約束在豎直平面內(nèi)擺動的質(zhì)點(diǎn)，可用桿與鉛垂線的夾角作廣義坐標(biāo)。10討論：1）廣義坐標(biāo)不限于長度量綱，也可以是：角度 3）廣義坐標(biāo)已經(jīng)體現(xiàn)出約束

9、方程的要求，就不必再列出約束方程，約束越多，廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)越少，原則上說，問題變得越簡單，廣義坐標(biāo)的這些特點(diǎn)具有很大的優(yōu)越性。電量q，面積A，體積V，電位移矢量，磁化強(qiáng)度 2）自由度對一個(gè)系統(tǒng)是唯一確定的，廣義坐標(biāo)則可多種選取。例：113 3 拉格朗日運(yùn)動方程拉格朗日運(yùn)動方程在以上的基本概念理解的基礎(chǔ)上，我們來從牛頓運(yùn)動定律出發(fā)，導(dǎo)出用廣義坐標(biāo)表示的完整保守系的動力學(xué)方程，也就是完整保守系的拉格朗日運(yùn)動方程（這里只介紹最理想的情況），由于應(yīng)用較多，以后直接稱為拉格朗日運(yùn)動方程。 12首先介紹完整保守系完整保守系的概念：完整系：幾何約束+可積分的微分約束保守系：指的此力學(xué)系統(tǒng)中的力所做 之功，僅

10、與起末位置有關(guān)， 而與具體的途徑無關(guān)。13具有保守性質(zhì)的力場，一定可以引入一個(gè)位置函數(shù)U（x,y,z)，而此力所做之功為：按照功與途徑無關(guān)的性質(zhì)，dU應(yīng)該為一全微分比較兩式，得到dUdzFdyFdxFzyxdzzUdyyUdxxUdUixixUFiyiyUFizizUF14設(shè)有由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，其第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)直角坐標(biāo)為xi,yi,zi，質(zhì)量為 則N個(gè)質(zhì)點(diǎn)的牛頓運(yùn)動方程為： ， ， ，（1-1）（i=1，2，,N）iiiXxm iiiYym iiiZzm ,im式中， 代表第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的加速度在三個(gè)方向上的分量， 則代表作用于該質(zhì)點(diǎn)的力的三個(gè)分量，對于每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都有類似的方程，所以含有N

11、個(gè)質(zhì)點(diǎn)的該力學(xué)系統(tǒng)應(yīng)有3N個(gè)這樣的方程來描述運(yùn)動。iiiZYX,iiixyz15定義用直角坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系的動能T為： （1-2）同時(shí)，如果我們討論的是所謂“保守力系”，則可以引入一個(gè)勢函數(shù)，而有： （1-3）2222221111222111().()221()2NNNNNiiiiiTm xyzmxyzm xyz),.,2 , 1( ,NizUZyUYxUXiiiiii16由（1-2）式可得：由此得到：而 ，由（1-1）式，正等于 ，于是：122iiiiiTmxm xxiiiiiiixmdtxdmdtxmdxTdtd )()()(iixm iXiiXxTdtd)(iiUXx 再結(jié)合（1-3）式

12、 ，17得到： （1-4） 同樣可以寫出其余兩個(gè)分量的式子： （1-4）0)(iixUxTdtd0)(0)(iiiizUzTdtdyUyTdtd引入拉格朗日函數(shù)（以后簡稱拉氏函數(shù)） ，定義為： （1-5）LUTzyxzyxzyxzyxLLNNNNNN),.,.,(11111118由于動能 只是速度 的函數(shù)，而 又限于只是坐標(biāo) 的函數(shù)，因此在引入后，式（1-4）可以寫成： （i=1，2，,N）（1-6）此即用直角坐標(biāo)表示的拉氏方程。000iiiiiizLzLdtdyLyLdtdxLxLdtdNzx ,.1UNzx ,.,1T19拉格朗日運(yùn)動方程 可以證明，用廣義坐標(biāo)表示的一般形式的拉氏方程與（1

13、-6）式形式一樣，只是把 換成 ，如下式所示： （1-7）zyx,.,21qq0(1,2,., )jjdLLjsdtqq（1-7）式即是描述具有s個(gè)自由度的系統(tǒng)的拉氏方程。20（1-7）式適用于完整理想約束，且主動力為保守力的系統(tǒng)。其中L為拉格朗日函數(shù)，等于力學(xué)系的動能與勢能之差，是表征力學(xué)系特征的一個(gè)重要標(biāo)量函數(shù)。 用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)（代替矢量函數(shù)）就可以完全表征出力學(xué)系的全部特征，就是拉格朗日表述比牛頓表述的優(yōu)點(diǎn)之一。*書中p26-29有另外一種推導(dǎo)過程，可以參看。21 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系,采用笛卡爾坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)時(shí),拉氏方程和牛頓運(yùn)動方程完全一樣。（作業(yè)）牛頓方程：力、加速度等矢量拉氏方程：標(biāo)量

14、函數(shù)L。拉氏函數(shù)L是體系的一種特性函數(shù)，由它可完全確定體系的運(yùn)動。L為體系特征量。拉氏方程和牛頓方程的著眼點(diǎn)不同。討論：討論：從力學(xué)規(guī)律的內(nèi)容看，拉氏方程與牛頓運(yùn)動方程是等價(jià)的。22拉氏方程具有普適性由于采用能量及廣義坐標(biāo)，拉氏方程的適用范圍遠(yuǎn)超出力學(xué)本身拉氏方程在處理有約束的體系時(shí)，避免了求約束力的麻煩23拉氏方程解題參考步驟：(1)確定所討論的系統(tǒng)，分析是否保守系(2)確定系統(tǒng)的自由度，選好廣義坐標(biāo)(選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系)(3)寫出動能T(廣義坐標(biāo)，廣義速度的函數(shù))，勢能U(廣義坐標(biāo)的函數(shù))(4)求拉格朗日函數(shù)L=T-U(5)將L代入拉氏方程(s個(gè)自由度有s個(gè)拉氏方程)(6)根據(jù)題意求解微分方

15、程組24例1：試用拉格朗日方程來討論單擺的運(yùn)動。222221(sin)2Tm ll勢能為 零勢能取在懸點(diǎn)O的水平面上拉格朗日函數(shù)為 L=T-UL=T-U由此可以求出拉格朗日函數(shù)，繼而求出拉格朗日運(yùn)動方程。cosUmgl 提示：自由度為2，選球坐標(biāo)（r,),約束方程為：r=l,質(zhì)點(diǎn)動能為25作業(yè)：球面擺擺長為l,試?yán)美窭嗜辗匠?，求擺的運(yùn)動微分方程。sin0gl答案：例2：小環(huán)在一繞垂直軸轉(zhuǎn)動直桿上的滑動。 一小環(huán)m套在一光滑直桿上，直桿本身以勻角速度 繞垂直軸轉(zhuǎn)動，除約束力外小環(huán)不再受其他外力。求小環(huán)在直桿上的運(yùn)動情況.解：選環(huán)距轉(zhuǎn)軸的距離r為廣義坐標(biāo)， 則變換方程 顯含時(shí)間t，動能T為tr

16、ytrxsincos)(21)(2122222rrmyxmT26由于小環(huán)不受主動力，U=0，L=T，帶入拉氏方程得到：或者結(jié)果說明小環(huán)將沿直桿向外做加速運(yùn)動()0dTTdtrr20mrmr2rr 27例3：如圖所示，滑輪組懸掛三個(gè)重物，質(zhì)量分別為m1、m2和m3，試分別求出這三個(gè)重物加速度的大小?；喖袄K子的質(zhì)量可忽略不計(jì)。分析： 理想約束，利用拉格朗日方程組求解關(guān)鍵是找出廣義坐標(biāo)，滑輪及繩質(zhì)量不計(jì)。因三個(gè)重物在同一平面作一維運(yùn)動需3個(gè)參量描述，兩個(gè)繩長固定。1mAB2m3m1q2q只需2個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)q1，q228解：建立如圖所示的一維坐標(biāo)系Ox三重物分別對應(yīng)的坐標(biāo)為x1， x2 ， x3設(shè)滑輪

17、A、B半周長分別為s1和s21111xlsq由圖中幾何關(guān)系有：滑輪A、B上的繩長分別為l1和l221222xqlsq312xqq重物速度11xq 212xqq312xqqAB2m3m1q2qxO29不計(jì)滑輪和繩了的質(zhì)量，那么體系的動能為：2221 12 23 32221 1212312221231232321 2111222111()()22211()()()22Tmxm xm xmqm qqm qqmmm qmm qmm qq 體系的勢能為：11223311112122231212312321111222212312320()()()()()()()()Vmgxm gxm gxmg lsqm

18、 g qlsqm g qqmmm gqmm gqmgsmglm gsm glmmm gqmm gqV30體系的拉格朗日函數(shù)為：221231232321211()()()22LTVmmm qmm qmm q q 代入拉格朗日方程組有：123132212311()()()()0dLLdmmm qmm qmmm gdtqqdt2323212322()()()()0dLLdmm qmm qmm gdtqqdt化簡為：1231322123()()()0mmm qmm qmmm g23232123()()()0mm qmm qmm g12312320()()mmm gqmm gqV31解得：2131211

19、2312(4)(4)mm mm mqgmm mm m1322123122()(4)m mmqgmm mm m所以各重物的加速度為：122131112312(4)(4)m mmm mxqgmm mm m 2131221212312(43)(4)mm mm mxqqgmm mm m2131231212312(4)3(4)mm mm mxqqgmm mm m32n分析力學(xué)分析力學(xué)n靜力學(xué)：根據(jù)虛功原理，列平衡方程靜力學(xué)：根據(jù)虛功原理，列平衡方程n方程數(shù)目方程數(shù)目 = = 系統(tǒng)的自由度系統(tǒng)的自由度n基于主動力之間的關(guān)系，避免約束力基于主動力之間的關(guān)系，避免約束力/ /約束關(guān)約束關(guān)系系n動力學(xué)：達(dá)朗貝爾

20、動力學(xué)：達(dá)朗貝爾- -拉格朗日方程拉格朗日方程n虛功原理虛功原理 + + 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理n是求解復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)問題的普遍方法是求解復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)問題的普遍方法n可獨(dú)立于牛頓力學(xué)，從變分極值的基本原理得可獨(dú)立于牛頓力學(xué)，從變分極值的基本原理得到到33作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在dt時(shí)間內(nèi)，在實(shí)位移上做的功F實(shí)功R()0dWFRdr設(shè)質(zhì)點(diǎn)受到主動力和約束力 ，發(fā)生了位移dr虛功作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在任意時(shí)刻的虛位移上做的功()0WFRr虛功原理34理想約束所作的虛功之和為零力學(xué)體系下，諸約束力在任意虛位移iR10niiiRrir中，的約束iiRr如光滑面,光滑曲線,光滑鉸鏈等iiRr,但10nii

21、iRr如剛性桿、不可伸長的繩等35虛功原理（虛位移原理）n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)體系，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都處于平衡狀態(tài)，()0iiiiWFRr(1,2,., )in對力學(xué)體系有：110nniiiiiiWFrRr理想約束條件下，有：11()0nniiixiiyiiziiiWFrFxFyFz虛功原理則：36虛功原理與平衡態(tài)下牛頓第二定律虛功原理是考慮了理想約束條件下的結(jié)果牛二定律是去約束，用約束力替換約束條件,當(dāng)作自由質(zhì)點(diǎn)11()0nniiiiiiiWFRrFr1()0niiiFR0iiFR()0iiiiWFRr力系平衡時(shí)的虛功力系平衡時(shí)的方程是等價(jià)的(0)a 37達(dá)朗貝爾原理(DAlemberts principl

22、e )n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)體系，每一質(zhì)點(diǎn)都有：i iiimrFR移項(xiàng)得：(1,2,., )in因i imr具有力的量綱，視為力，并稱為慣性力則可化“動”為“靜”，運(yùn)用虛功原理：1()0niii iiiWFRmrr 0iii iFRmr1()0niii iiiFRmrr 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理38若力學(xué)體系受到的是理想約束10niiiRr 可得到理想約束下的達(dá)朗貝爾-拉格朗日方程：311()()0nnii iiiiiiiiWFmrrFm xx 達(dá)朗貝爾-拉格朗日方程是虛功原理的推廣達(dá)朗貝爾-拉格朗日方程是考慮了理想約束條件下的結(jié)果達(dá)朗貝爾-拉格朗日方程和牛二定律是等價(jià)的牛頓第二定律是用約束力代替了約

23、束條件，視為自由質(zhì)點(diǎn)39虛功原理解題步驟1、確定研究的力學(xué)體系2、判斷是否是理想約束3、受力分析a、若求的是主動力或平衡位置，只需找找出主動力b、若求的是約束力，在找出主動力后，需要去掉要求約束力的約束，代之以主動力4、分析約束，確定拉格朗日廣義坐標(biāo)和虛位移建立靜系，變分得虛位移或由約束幾何關(guān)系直接得5、代入虛功原理求解40兩長度分別為l1和l2，質(zhì)量分別為m1和m2的勻質(zhì)桿OA和AB，位于同一鉛直平面內(nèi)，并在A點(diǎn)光滑鉸鏈。 OA的另一端則固定在O點(diǎn)。桿AB的端點(diǎn)B受一水平力F的作用，如圖所示。求平衡時(shí)兩桿的位置分析：由于是光滑鉸鏈理想約束，滿足虛功原理，體系受到，重力和FOxy1m g2m

24、gABCD水平力F，可以認(rèn)為重力作用在C點(diǎn)和D點(diǎn)，F(xiàn)作用于B點(diǎn)。C、D、B三點(diǎn)需9個(gè)坐標(biāo)參量，但因有7個(gè)約束，故只需要2個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)參量描述，用和表示7個(gè)約束是定點(diǎn)O和鉸鏈A，桿OA和AB定長，CDB在同一面內(nèi)典型例題141FOxy1m g2m gABCD解： 體系受力分析和坐標(biāo)系建立如圖因約束是理想約束，滿足虛功原理。120CDBWm g ym g yF x由圖中的幾何關(guān)系可知：11sin2Cyl121sinsin2Dyll12coscosBxll等時(shí)11(cos )2Cyl 121( cos )(cos )2Dyll 12( sin )( sin )Bxll 變分42代入得：112111(c

25、oscossin )2Wm glm glFl 2221(cossin )02m gll F 因?yàn)楹拖嗷オ?dú)立，故有：112111coscossin02Qm glm glFl 2221cossin02Qm gll F 解得：1222mmtggF 22m gtgF 43四根長度都為l的輕桿，光滑鉸鏈而成ABCD菱形，B、D間用一輕繩聯(lián)結(jié)；框架支于同一水平的兩個(gè)光滑釘子上并在C點(diǎn)掛一重為P的重物，如圖所示，已知兩釘子間距2d，利用虛功原理求繩中的張力分析：因?yàn)樘摴υ肀磉_(dá)式只涉及主動力所以不能把繩中的張力看作約束力設(shè)想去掉繩的約束，代之以相同的主動力作用于B、D兩點(diǎn).四根桿都為輕桿，繩為輕繩，重力都可

26、忽略ABCDd d典型例題244TFxyABCDd dTFP解：受力分析和建立如圖所示的直角坐標(biāo)系(靜系要求)sinBxl sinDxlcos( cos)Cylldctg等時(shí)變分有：( cos )Bxl ( cos )Dxl 2( 2 sincsc)Cyld 代入虛功原理表達(dá)式0TBCTDWFxP yFx2( 2 sincsc)2cos0TQPldF l 化簡得：解得：3(csc1)2TdFPtgl45例2（典型例題選講）圖示系統(tǒng)。均質(zhì)滾子A、滑輪B重量和半徑均為Q和r，滾子純滾動，三角塊固定不動，傾角為，重物重量P。試用拉格朗日方程求滾子質(zhì)心加速度。系統(tǒng)為1個(gè)自由度保守系統(tǒng)，故用保守系統(tǒng)拉格朗日方程求解：分析：kqLqLt, 2 , 10dd選廣義坐標(biāo) s ，寫任意位置下系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)（L = T V ），由上式可寫1個(gè)方程，其中所含待求量 即為所求