數(shù)學(xué)分析之十一章反常積分學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(sh xu fn x)之十一章反常之十一章反常積分積分第一頁，共61頁。一、一、 引例引例(yn l)二、兩類反常積分二、兩類反常積分(jfn)的定義的定義第1頁/共61頁第二頁，共61頁。一一. 引入引入例：曲邊梯形”的面積。，右邊所圍成的“開口軸及直線求曲線1,12xxxy0 xy1b2x1y 解：由于這個圖形不是封閉的解：由于這個圖形不是封閉的 曲邊梯形曲邊梯形(txng),而在而在x軸的正方軸的正方 向是開口的，即這時的積向是開口的，即這時的積 分區(qū)間為分區(qū)間為1，+），），bxdxxAbbb1111, 1121的面積為則故顯然(xinrn)當(dāng)b改變時，曲邊梯

2、形的面積也隨之改變，1)11 (lim1lim21bdxxbbbb時，即故則所求曲邊梯形(txng)的面積為1第2頁/共61頁第三頁，共61頁。二、兩類反常積分二、兩類反常積分(jfn)的定的定義義.定義定義(dngy)1:設(shè)函數(shù)(hnsh) f (x)在區(qū)間a, +)上連續(xù), 取b a,如果極限babdxxf)(lim存在,則稱此極限為函數(shù) f (x)在無窮區(qū)間a, +)上的無窮限反常積分, 記作 即 ,)(adxxfbabadxxfdxxf)(lim)(1)第3頁/共61頁第四頁，共61頁。這時也稱無窮(wqing)積分 收斂; 若上述極限不存在, 就稱無窮(wqing)積分 發(fā)散, 這時

3、記號 不再表示數(shù)值了。例如(lr)：oyxb211xy1第4頁/共61頁第五頁，共61頁。類似地, 設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間(q jin)(, b上連續(xù), 取a 0.如果極如果極限限 存在(cnzi),則稱此極限為無界函數(shù) f (x)在(a, b上的反常(fnchng)積分. (4)這時也稱反常積分 收斂. 如果上述極限不存在, 就稱反常積分 發(fā)散.第15頁/共61頁第十六頁，共61頁。類似地, 設(shè)函數(shù)(hnsh) f (x)在區(qū)間a, b)上連續(xù), 而在點(diǎn) b 的左鄰域內(nèi)無界, 取 0. 存在(cnzi),則定義如果(rgu)極限 (5)否則, 就稱反常積分 發(fā)散.badxxf)(第16頁/

4、共61頁第十七頁，共61頁。設(shè)函數(shù)(hnsh) f (x)在區(qū)間a, b上除點(diǎn)c (a c b)外連續(xù), 而在點(diǎn) c 的鄰域內(nèi)無界, 如果兩個廣義積分 都收斂(shulin), 則定義(6)否則(fuz), 就稱反常積分 發(fā)散.badxxf)(第17頁/共61頁第十八頁，共61頁。所以, x=a為被積函數(shù)的無窮(wqing)間斷點(diǎn). 于是(ysh):oyxaa a1221xay圖5-7-1)0( :4022axadxa計算反常積分例第18頁/共61頁第十九頁，共61頁。且由于(yuy) . :5112的收斂性討論反常積分例xdx第19頁/共61頁第二十頁，共61頁。當(dāng)q 1時, 收斂(shul

5、in); 當(dāng)q 1時, 發(fā)散. 證: 當(dāng)q = 1時 )( :6baqaxdx證明反常積分例第20頁/共61頁第二十一頁，共61頁。當(dāng)q 1時, 因此, 當(dāng)q 1時,反常積分(jfn) 收斂, 其值為 當(dāng)q 1時, 廣義積分(jfn) 發(fā)散. 第21頁/共61頁第二十二頁，共61頁。例例7 7 計算計算(j sun)(j sun)反常積分反常積分.ln21 xxdx解解 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原反常故原反常(fnchng)積積分發(fā)散分發(fā)散.第22頁/共61頁第

6、二十三頁，共61頁。.)0(110的收斂性討論瑕積分pdxxp例8.解解: ),10(1,ln, 1),1 (111110upupupdxxpp被積函數(shù)(hnsh) f在(0,1 上連續(xù),x = 0 是瑕點(diǎn).由于.且瑕積分收斂時故當(dāng)，p10;111lim11010upuppdxxdxx.1瑕積分發(fā)散于時當(dāng)，P第23頁/共61頁第二十四頁，共61頁。.)1(3032 xdx1 x瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)解解 3032)1( xdx 103132)1()(xdx 1032)1( xdx 10032)1(limxdx3 3132)1( xdx 31032)1(lim xdx,233 3032)1( xdx).21(

7、33 例例9 9 計算反常計算反常(fnchng)(fnchng)積分積分第24頁/共61頁第二十五頁，共61頁。注意注意(zh y)反常積分與定積分不同，尤其是瑕積分，它與定積分采用反常積分與定積分不同，尤其是瑕積分，它與定積分采用同一種表達(dá)方式，但其含義卻不同，遇到有限區(qū)間同一種表達(dá)方式，但其含義卻不同，遇到有限區(qū)間(q jin)上的積分時，要仔細(xì)檢查是否有瑕點(diǎn)。上的積分時，要仔細(xì)檢查是否有瑕點(diǎn)。反常反常(fnchng)積分中，積分中，N-L公式，換元積分公式、公式，換元積分公式、分部積分公式仍然成立，不過代入上、下限時代入分部積分公式仍然成立，不過代入上、下限時代入的是極限值。的是極限值

8、。第25頁/共61頁第二十六頁，共61頁。如如 無窮無窮(wqing)限積分限積分 aaFFdxxf)()()( bFbFdxxf)()()( aavduauvudv)(再如再如 瑕積分瑕積分(jfn)0()()( aFbFdxxfba)()0()(aFbFdxxfba bacabcdxxfdxxfdxxf)()()()() 0() 0()(aFcFcFbF babavduabuvudv0)(第26頁/共61頁第二十七頁，共61頁。 02)1)(1(1無關(guān)并求其值無關(guān)并求其值與與 dxxxI 例例10 證明證明(zhngmng)證證dxxxI 02)1)(1(1 dxxx 1012)1)(1(

9、1 21II dxxxI 1021)1)(1(1 )1(tx 令第27頁/共61頁第二十八頁，共61頁。dtttt 12)1)(1( 21III dxxxdxxxx 1212)1)(1(1)1)(1( 41112 dxx第28頁/共61頁第二十九頁，共61頁。四四. 小結(jié)小結(jié)(xioji)(1) 無窮(wqing)積分和瑕積分的定義;(2) 無窮積分(jfn)和瑕積分(jfn)收斂與發(fā)散的定義;(3) 無窮積分的計算：(i).求出函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x).)(limxFx時，則求出上限為(ii).)(limxFx時，則求出上限為第29頁/共61頁第三十頁，共61頁。一一. . 無窮積分無窮

10、積分(jfn)(jfn)的性質(zhì)的性質(zhì)二二. . 無窮積分無窮積分(jfn)(jfn)收斂的判別法收斂的判別法第30頁/共61頁第三十一頁，共61頁。一一. 無窮積分無窮積分(jfn)的性質(zhì)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)則為任意常數(shù)都收斂與若，k，kdxxfdxxfaa2121,)()(且也收斂，dxxfkxfka)()(2211aaadxxfkdxxfkdxxfkxfk.)()()()(22112211性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)b，auaf上可積在任何有限區(qū)間若,且同斂散與則，dxxfdxxfba)()(.)()()(dxxfdxxfdxxfbbaa第31頁/共61頁第三十二頁，共61頁。性質(zhì)性質(zhì)(

11、xngzh)，dxxf，uafa收斂且上可積在任何有限區(qū)間若)(,且必收斂則，dxxfa)(.)()(dxxfdxxfaa注注.)()(為絕對收斂稱收斂時當(dāng)aadxxf，dxxf性質(zhì)說明絕對收斂(shulin)的級數(shù)自身一定收斂(shulin)但自身收斂(shulin)的級數(shù)不一定絕對(judu)收斂我們稱收斂而不絕對收斂的級數(shù)為條件收斂第32頁/共61頁第三十三頁，共61頁。二二. 無窮無窮(wqing)積分收積分收斂的判別法斂的判別法，比較，比較(bjio)原則原則:)(收斂的充要條件是無窮積分adxxf便有只要, 021GuuaG.)(21uudxxf，柯西準(zhǔn)則，柯西準(zhǔn)則(zhnz)，g

12、fa積都在任何有限區(qū)間上可和上的兩個函數(shù)設(shè)定義在),且滿足),),()(axxgxf第33頁/共61頁第三十四頁，共61頁。，比較，比較(bjio)原則原則，gfa積都在任何有限區(qū)間上可和上的兩個函數(shù)設(shè)定義在),且滿足),),()(axxgxf則;)()(收斂則收斂若dxxf，dxxgaa.)()(發(fā)散則發(fā)散若aadxxg，dxxf推推論論(tuln)aadxxgdxxf，ci;)()(0)(同斂散與時當(dāng)且上可積都在任何有限區(qū)間和設(shè), 0)(,x，guagfcxgxfx)()(lim;)()(0)(收斂則收斂若時當(dāng)dxxf，dxxg，ciiaa.)()()(發(fā)散則發(fā)散若時當(dāng)dxxf，dxxg，

13、ciiiaa第34頁/共61頁第三十五頁，共61頁。，柯西判別，柯西判別(pnbi)法法，ua，aaf上可積且在任何有限區(qū)間定義在設(shè),)0)(,.)(limxfxpx1( ), ,)1( );paf xxapf x dxx則 當(dāng)且0時收斂 發(fā)散時且當(dāng).)(1),1)(dxxfpaxxxfap推推論論(tuln)且上可積且在任何有限區(qū)間定義在設(shè)，ua，af,),( )1,0( );aipf x dx 則當(dāng)0時收斂 ( )1,0( ).aiipf x dx 當(dāng)時發(fā)散第35頁/共61頁第三十六頁，共61頁。，狄利克雷判別，狄利克雷判別(pnbi)法法若uadxxfxF)()(，a上有界在),上在),

14、)(axg則時單調(diào)趨于當(dāng)，x0.)()(收斂adxxgxf，阿貝爾判別，阿貝爾判別(pnbi)法法若adxxf)(則上單調(diào)有界在收斂，ax，g),)(.)()(收斂adxxgxf第36頁/共61頁第三十七頁，共61頁。解：解：例例1.討論收斂性，討論收斂性，021sindxxx), 0,111sin22xxxx由于收斂且21102dxx根據(jù)(gnj)比較原則.絕對收斂021sindxxx第37頁/共61頁第三十八頁，共61頁。例例2.討論下列無窮討論下列無窮(wqing)積分積分的收斂性，的收斂性，0521.1)2(;) 1 (dxxxdxexx解解(1)：都有由于,R, 0limlim22x

15、xxxexexx根據(jù)(gnj)柯西判別法1dxexx.都收斂R解解()：11lim5221xxxx由于根據(jù)(gnj)柯西判別法0521dxxx.發(fā)散第38頁/共61頁第三十九頁，共61頁。例例3解解,111103/43434xxx , 134 p根據(jù)比較根據(jù)比較(bjio)原則，原則，.1134的收斂性的收斂性判別無窮積分判別無窮積分 xdx.1134收斂收斂無窮積分無窮積分 xdx第39頁/共61頁第四十頁，共61頁。例例43/221.1xdxx判別無窮積分的收斂性解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 根據(jù)極限判別法，所給廣義積分根據(jù)極限判別法，所給廣義積分(jfn)發(fā)散發(fā)散

16、例例5解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根據(jù)極限判別法，所給無窮積分根據(jù)極限判別法，所給無窮積分(jfn)發(fā)散發(fā)散.arctan1的收斂性的收斂性判別無窮積分判別無窮積分dxxx 第40頁/共61頁第四十一頁，共61頁。( ) ,)( )( )aaf xaf x dxf x dx 定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果收斂；則也收斂證證).)()(21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且，且,)(收斂收斂dxxfa .)(也收斂也收斂dxxa , )()(2)(xfxxf 但但,)()(2)( bababadxxfdxxdxxf .)()(2)( aaadxxf

17、dxxdxxf 即即收斂收斂(shulin).第41頁/共61頁第四十二頁，共61頁。( ).af x dx定義 滿足定理條件的廣義積分稱為絕對收斂( )af x dx絕對收斂的無窮積分必定收斂例例0sin( ,0).axebxdx a ba判別無窮積分都是常數(shù)的收斂性解解.,sin0收斂收斂而而 dxeebxeaxaxax.sin0收斂收斂 dxbxeax所以所給無窮積分所以所給無窮積分(jfn)收斂收斂.第42頁/共61頁第四十三頁，共61頁。第43頁/共61頁第四十四頁，共61頁。第44頁/共61頁第四十五頁，共61頁。 小結(jié)小結(jié)(xioji)一一. 無窮積分無窮積分(jfn)的性質(zhì)的性

18、質(zhì)二二. 無窮積分收斂無窮積分收斂(shulin)的判別法的判別法.柯西準(zhǔn)則柯西準(zhǔn)則.比較原則比較原則.柯西判別法柯西判別法.狄利克雷判別法狄利克雷判別法.阿貝爾判別法阿貝爾判別法第45頁/共61頁第四十六頁，共61頁。11.3瑕積分的性質(zhì)瑕積分的性質(zhì)(xngzh)與收斂判別與收斂判別瑕積分與無窮積分有平行(pngxng)的理論和結(jié)果 . 第46頁/共61頁第四十七頁，共61頁。一一. 瑕積分瑕積分(jfn)的性的性質(zhì)質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)12( )( )bbaaf x dxf x dx當(dāng)瑕積分與都收斂時1 12 2( )( ),bak f xk f x dx瑕積分也收斂且b1 122112

19、2( )( )( )( ).bbaaak f xk fx dxkf x dxkfx dx性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)( , )fxaa b若 的瑕點(diǎn)為，c為任意常數(shù)c( )( ),baafx dxfx dx則 瑕 積 分與同 斂 態(tài) 且( )( )( ).bcbaacf x dxf x dxf x dx2112,ffxak k若 與 的瑕點(diǎn)同為，為任意常數(shù)則第47頁/共61頁第四十八頁，共61頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh) , ( )au bfx dx上可積.則當(dāng)收斂時，( ),af x dxb必收斂 且( )( ).bbaaf x dxf x dx注注( )( ).bbaaf x dxf x dx當(dāng)收

20、斂時稱為絕對收斂性質(zhì)(xngzh)說明絕對收斂的級數(shù)自身一定收斂但自身收斂的級數(shù)不一定(ydng)絕對收斂我們稱收斂而不絕對收斂的級數(shù)為條件收斂( , fxafa b若函數(shù) 的瑕點(diǎn)為， 在的任一內(nèi)閉區(qū)間第48頁/共61頁第四十九頁，共61頁。二二. 無窮積分無窮積分(jfn)收斂的判收斂的判別法別法( ):baf x dx a瑕積分為瑕點(diǎn) 收斂的充要條件是120,0,uua a只要便有.)(21uudxxf.柯西準(zhǔn)則柯西準(zhǔn)則(zhnz)第49頁/共61頁第五十頁，共61頁。，比較，比較(bjio)原則原則( )( );bbaag x dxf x dx若收斂 則收斂( )( ).bbaaf x

21、dxg x dx若發(fā)散 則發(fā)散推論推論(tuln)( )0( )( );bbaaicf x dxg x dx 當(dāng)時與同斂態(tài)( ) 0,g x 又若且( )lim( )xaf xcg x ，則有( )0( )( );bbaaiicg x dxf x dx當(dāng)時若收斂則收斂()( )( ).bbaaiiicg x dxf x dx 當(dāng)時若發(fā)散則發(fā)散( , ,( , a bfgxaa b 設(shè)定義在上的兩個函數(shù) 和瑕點(diǎn)同為都在任何區(qū)間 u,b上可積且滿足( )( ),( , f xg xxa b第50頁/共61頁第五十一頁，共61頁。.柯西判別柯西判別(pnbi)法法( , () , ( , fa b

22、au ba b設(shè) 定義在為瑕點(diǎn) 且在任何區(qū)間上可積,lim()( ).pxaxaf x1( ),1( );()bpaf xpf x dxxa則 當(dāng)且0時,收斂 1( ),1( ).()bpaf xpf x dxxa當(dāng)且時,發(fā)散推推論論(tuln)( , , ,fa bau ba b設(shè) 定義于為瑕點(diǎn) ，且在任何區(qū)間上可積,若( )1,0,( );baipf x dx 則當(dāng)0時收斂 ( )1,0,( ).baiipf x dx 當(dāng)時發(fā)散第51頁/共61頁第五十二頁，共61頁。例例1例例2第52頁/共61頁第五十三頁，共61頁。第53頁/共61頁第五十四頁，共61頁。第54頁/共61頁第五十五頁，共61頁。例例3.ln31的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分 xdx解解的左鄰域內(nèi)無界的左鄰域內(nèi)無界被積函數(shù)在點(diǎn)被積函數(shù)在點(diǎn)1 x由洛必達(dá)法則由洛必達(dá)法則(fz)知知xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根據(jù)柯西判別法極限形式根據(jù)柯西判別法極限形式(xngsh),所給廣義積分發(fā)散所給廣義積分發(fā)散.第55頁/共61頁第五十六頁，共61頁。例例4.1sin31的收斂