1.2數(shù)列極限存在的條件ppt課件

1、 數(shù)列極限存在的條件數(shù)列極限存在的條件教學(xué)目的：使學(xué)生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具。教學(xué)目的：使學(xué)生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具。教學(xué)要求：（掌握并會證明單調(diào)有界定理，并會運用教學(xué)要求：（掌握并會證明單調(diào)有界定理，并會運用 它求某些收斂數(shù)列的極限；它求某些收斂數(shù)列的極限； （初步理解（初步理解Cauchy準(zhǔn)則在極限理論中的準(zhǔn)則在極限理論中的 主要意義，并逐步會應(yīng)用主要意義，并逐步會應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 判斷某些數(shù)列的斂散性。判斷某些數(shù)列的斂散性。數(shù)列極限的兩大問題數(shù)列極限的兩大問題 數(shù)列極限的存在性；數(shù)列極限的存在性； （此問題為最關(guān)鍵的問題）（此問題為最關(guān)鍵的問題） 數(shù)列極限值的大小

2、；數(shù)列極限值的大??； （存在性成立后，（存在性成立后， 才想辦法計算極限）才想辦法計算極限）幾種證明極限存在的方法：幾種證明極限存在的方法： 按照數(shù)列極限的定義證明。按照數(shù)列極限的定義證明。 按照奇、偶子列的收斂性證明。按照奇、偶子列的收斂性證明。 依據(jù)任意子列的收斂性證明。依據(jù)任意子列的收斂性證明。 利用夾逼準(zhǔn)則證明。利用夾逼準(zhǔn)則證明。最簡單的思想是利用數(shù)列本身的性質(zhì)最簡單的思想是利用數(shù)列本身的性質(zhì)證明數(shù)列極限的存在性證明數(shù)列極限的存在性定義若數(shù)列定義若數(shù)列 na的各項滿足不等式則稱 na遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列1n 為遞減數(shù)列； 2n為遞增數(shù)列；( 1)nn不是單調(diào)數(shù)列。，為遞增遞減數(shù)

3、列。例如：)(11nnnnaaaa 單調(diào)有界定理1 單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾個簡單的單調(diào)數(shù)列：幾個簡單的單調(diào)數(shù)列：; 0lim,.2 , 1,1 nnnanna; 0lim,.2 , 1),10( , nnnnanqqa; 0lim,.2 , 1,1 nnnanna滿足條件如果數(shù)列na,121nnaaaa單調(diào)增加單調(diào)增加,121nnaaaa單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列x1x2x3x1 nxnx2 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 幾何解釋幾何解釋:AM定理定理 在實數(shù)系中，有界且單調(diào)數(shù)列必有極限。 證明:對遞減數(shù)列 由確界原理, 有下確界,令 下證 由下確界定義: 故 時 而 所以 時 即 na nai

4、nfnaa aannlimaannlimaatsaaNnN. ., 0Nn aaaNnaaann,Nn aan幾點說明：幾點說明： 通常該準(zhǔn)則變通為：通常該準(zhǔn)則變通為： 1 1） 單調(diào)遞增有上界的數(shù)列存在極限。單調(diào)遞增有上界的數(shù)列存在極限。 2 2） 單調(diào)遞減有下界的數(shù)列存在極限。單調(diào)遞減有下界的數(shù)列存在極限。 本定理只是證明了存在性。本定理只是證明了存在性。 本定理只對一類特殊的數(shù)列可以判別存本定理只對一類特殊的數(shù)列可以判別存在性。在性。 此定理的條件為充分非必要條件。此定理的條件為充分非必要條件。 ,.2 , 1,1) 1(nnann例例1 設(shè)設(shè)其中其中 ，證明，證明 收斂。收斂。 ,.2

5、 , 1,1.31211 nnan 2 na證明：證明： 遞增顯然，下面證明有上界，事實上：遞增顯然，下面證明有上界，事實上：na2221.31211nan nn )1(1.3212111 ,.2 , 1, 212)111()3121()2111(1 nnnn。，an從而收斂單調(diào)有界故數(shù)列例證明數(shù)列例證明數(shù)列2,22,222 ,n 個根號收斂，并求其極限.證明：記222na , 那么nnaa21先證有界:na2221010naa設(shè) 那么 22221nnaa 故2,nan 從而nnnnaaaa221故 na單調(diào)有界，因而收斂。令aannlimnnaa221由于22 aa所以兩邊取極限得不可能或解

6、得12aa2222limn所以,)(. ., 0,1min)(. ., 0,21min. ., 1. ., 0sup:Pr111111222121111nnnnnnnnxxaaaxatsSxxanSx，xxaaaxatsSxxaaxatsSxaxatsSxSaSoof取后按上述步驟得到一般地取現(xiàn)取例3 設(shè)S為有界集，證明：假設(shè) ,supSaS單調(diào)遞增數(shù)列 則存在嚴(yán)格,Sxn使得.limaxnnaxnaxaaxaSxnnnnnnnnlim1,故且它是嚴(yán)格遞增數(shù)列得到數(shù)列上述步驟無限進(jìn)行下去證明：先建立一個不等式，設(shè)對任一正整數(shù) 0 ab n，有nnnnnnnnnbnbbbbaabbabab) 1

7、(1111)() 1(11abbnabnnn于是 整理后得不等式： ) 1 () 1(1nbanbann 例例4 證明證明 存在。存在。nnn)11(lim 有代入令111,111nbna nnnn)11 ()111 (1。nn為遞增數(shù)列即)11( 得代入再以) 1 (211, 1nba21)211 () 1() 1(nnnnban 4)211 (21)211 (112nnnn得故由 聯(lián)系到該數(shù)列的單調(diào)性，可知對一切正整數(shù)n，都有4)11 (nn,即)11(nn有上界。 )11(nn單調(diào)遞增上界，即收斂。于是ennn)11 (lim習(xí)慣上記4)11(nn上式對一切正整數(shù) n都成立，即對一切偶數(shù)

8、 n，有。二二 Cauchy收斂準(zhǔn)則：收斂準(zhǔn)則：定理定理2.10 收斂的充分必要條件是：,存在正整數(shù)，使數(shù)列 na 0, n mN時有|nmaa。 1 auchy收斂準(zhǔn)則 根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其收斂發(fā)散性。 對任給的 得當(dāng)收斂數(shù)列的各項越到后面，項之間幾乎“擠在了一起。判別 的收斂性只要根據(jù)本身滿足的特性就可以判別，不需要引入別的數(shù)列作參照。把數(shù)列項與其極限的關(guān)系變換為數(shù)列各個項之間的關(guān)系。na中的一個數(shù)為其中從而必收斂滿足柯西條件所組成的數(shù)列不足近似位的任一無限十進(jìn)小數(shù)例9 , 2 , 1 , 0),(,101010,1010,10), 2 , 1(. 05221221121knnnbbbbbbbnnbbb證明：時因為對NmntsN. .,1, 0mbbbaammnmmnmnmmnnmmmmmn1101)1011 (1011011)1011 (1091091091091010101212211。，Cauchyan從而收斂收斂條件滿足故數(shù)列 2 auchy收斂準(zhǔn)則逆否命題 若存在正數(shù)