大學(xué)物理,機(jī)械振動(dòng)16-1-3 旋轉(zhuǎn)矢量法

1、12描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方法：描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方法：1）解析法解析法 2）幾何法幾何法（旋轉(zhuǎn)矢量表示法）（旋轉(zhuǎn)矢量表示法） 3）曲線法曲線法主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一）一）什么是旋轉(zhuǎn)矢量表示法什么是旋轉(zhuǎn)矢量表示法；二）二）旋轉(zhuǎn)矢量表示法的旋轉(zhuǎn)矢量表示法的優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)；三）三）旋轉(zhuǎn)矢量表示法的旋轉(zhuǎn)矢量表示法的應(yīng)用應(yīng)用。3ox t = 0 時(shí)刻時(shí)刻，矢量與，矢量與Ox 軸的夾角等于初相軸的夾角等于初相 。矢量矢量 以角速度以角速度 逆時(shí)逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A 在平面上作一坐標(biāo)軸在平面上作一坐標(biāo)軸 O x，由原點(diǎn)，由原點(diǎn) O 作一長(zhǎng)度作一長(zhǎng)度等于振幅的矢量等于振幅的矢量A 任一時(shí)刻，該矢量與任一

2、時(shí)刻，該矢量與O x軸的夾角為軸的夾角為 ，恰等，恰等于諧振動(dòng)在該時(shí)刻的位相。于諧振動(dòng)在該時(shí)刻的位相。 t端點(diǎn)端點(diǎn)M在在 x 軸上投影點(diǎn)的位移：軸上投影點(diǎn)的位移： )cos( tAx結(jié)論：結(jié)論： M點(diǎn)在點(diǎn)在 x 軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。xtMPA一）什么是旋轉(zhuǎn)矢量表示法一）什么是旋轉(zhuǎn)矢量表示法4 以以 為為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量量 的端點(diǎn)的端點(diǎn)在在 軸上的軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。動(dòng)。xAoxoAcos0Ax 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)0t0 x5 以以 為為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量量 的端點(diǎn)的端點(diǎn)在在 軸上的軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)

3、諧運(yùn)動(dòng)。動(dòng)。xAoxoAtt t)cos(tAx時(shí)時(shí)6)cos(tAx 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)矢量矢量 的的端點(diǎn)在端點(diǎn)在 軸上的投軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。xA7 這種以一個(gè)勻速旋轉(zhuǎn)的矢量這種以一個(gè)勻速旋轉(zhuǎn)的矢量 在在 ox 軸上的投影，軸上的投影，來(lái)表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方法，稱為來(lái)表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方法，稱為旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法。A注意：注意：旋轉(zhuǎn)矢量本身并不作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，而是旋轉(zhuǎn)矢旋轉(zhuǎn)矢量本身并不作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，而是旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)在量端點(diǎn)在 x 軸上的投影點(diǎn)在作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。軸上的投影點(diǎn)在作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 矢量的長(zhǎng)度矢量的長(zhǎng)度振幅振幅A 矢量的旋轉(zhuǎn)角速度大小矢量的旋轉(zhuǎn)角速度大小諧振動(dòng)的圓頻率諧振動(dòng)的圓頻

4、率 t=0 時(shí)刻時(shí)刻矢量與坐標(biāo)軸的夾角矢量與坐標(biāo)軸的夾角諧振動(dòng)初相諧振動(dòng)初相 t 時(shí)刻時(shí)刻矢量與坐標(biāo)軸的夾角矢量與坐標(biāo)軸的夾角諧振動(dòng)位相諧振動(dòng)位相81、直觀地表達(dá)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的各個(gè)特征量；直觀地表達(dá)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的各個(gè)特征量；2、便于解題，便于解題， 特別是確定初相位；特別是確定初相位；3、為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成提供了最簡(jiǎn)捷的研究方法。為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成提供了最簡(jiǎn)捷的研究方法。1、求初相位；求初相位；2、作振動(dòng)圖；作振動(dòng)圖；3、可以用來(lái)求速度和加速度；可以用來(lái)求速度和加速度；4、振動(dòng)的合成。振動(dòng)的合成。二）旋轉(zhuǎn)矢量方法的優(yōu)點(diǎn)：二）旋轉(zhuǎn)矢量方法的優(yōu)點(diǎn)：三）旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用：三）旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用：9A3 0 t2/

5、0Ax 00 v31、用旋轉(zhuǎn)矢量法確定初位相、用旋轉(zhuǎn)矢量法確定初位相2）質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在 x = A/2 處，向正處，向正x方向運(yùn)動(dòng)，方向運(yùn)動(dòng)，/3 1）質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在 x = A/2處，處， 向負(fù)向負(fù)x方向運(yùn)動(dòng)，方向運(yùn)動(dòng)，4）質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在 x = - A/2 處，向正處，向正x方向運(yùn)動(dòng)，方向運(yùn)動(dòng)，2 /3 3）質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在 x = - A/2 處，向負(fù)處，向負(fù)x方向運(yùn)動(dòng)，方向運(yùn)動(dòng)，2 /3 初始時(shí)刻：初始時(shí)刻：ox.10由由x、v 的符號(hào)確定的符號(hào)確定 所在的象限：所在的象限：A用旋轉(zhuǎn)矢量法確定初位相用旋轉(zhuǎn)矢量法確定初位相11ox例：求例：求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的初相初相 。(1) t =

6、0 時(shí)，時(shí)，xo= -A, = 。 (2) t = 0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)平衡時(shí)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)平衡位置正向位置正向x軸正方向運(yùn)動(dòng)軸正方向運(yùn)動(dòng)， 則：則： =3 /2（或（或 - /2）。）。 (3) t = 0 時(shí)，時(shí)， xo=A/2，質(zhì)質(zhì)點(diǎn)正向點(diǎn)正向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)， 則：則： = (4) t = 0 時(shí)，時(shí)， 質(zhì)點(diǎn)正向質(zhì)點(diǎn)正向x 軸正方向運(yùn)動(dòng)軸正方向運(yùn)動(dòng), 則：則： =2,2oxA /3。5 /4。xo =Acos A35 /412 （旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間）（旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間）2T用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫(huà)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫(huà)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的 圖圖tx2、13Amv)2 cos(tAv)

7、cos(2tAa2nAa 2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa3、求速度和加速度、求速度和加速度14AAx2AtoabxAA0討論討論 相位差：相位差：表示兩個(gè)相位之差。表示兩個(gè)相位之差。 1）對(duì)對(duì)同一同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間。間變化所需的時(shí)間。)()(12tt11cos()xAt 22cos()xAt 12tttat3 TTt6123v2Abt150 xto同步同步 2）對(duì)于兩個(gè)對(duì)于兩個(gè)同同頻率頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們間間步調(diào)步調(diào)上的上的差異。差異。（解決振動(dòng)合成問(wèn)題）（解決振動(dòng)合成問(wèn)題）

8、)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto為其它為其它超前超前落后落后txo反相反相 1612 0 2 超前超前 1 0 2 落后落后 1由于位相差的周期是由于位相差的周期是2 ，所以：，所以： ,23 如如,2223 此時(shí)，通常不說(shuō)振動(dòng)此時(shí)，通常不說(shuō)振動(dòng)2超前振動(dòng)超前振動(dòng)1 而是說(shuō)振動(dòng)而是說(shuō)振動(dòng)2落后振動(dòng)落后振動(dòng)1,23 。2 17兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn) 1 在在 x1 = A/2 處，向處，向 x 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)另一個(gè)質(zhì)點(diǎn) 2 在在 x2 = 0 處，向處，

9、向x 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求：求：這兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的這兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位差相位差。1 32 2質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 的振動(dòng)超前質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)超前質(zhì)點(diǎn) 的振動(dòng)的振動(dòng) 621 236OxA18比較一下簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的比較一下簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移、速度、加速度位移、速度、加速度的相位關(guān)系。的相位關(guān)系。)cos( tAx)sin( tA)cos(2 tAaxa234o,xav,tAA2v)2cos(tA )cos(2tA 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前/2 ，加速度的相位比位移的相位超前加速度的相位比位移的相位超前/2 。19例：例：一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅 A = 0.

10、12m，周期，周期 T = 2s，當(dāng)，當(dāng) t = 0 時(shí)，時(shí)，x0 = 0.06m，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)向此時(shí)質(zhì)點(diǎn)向 x 軸正向軸正向運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。求：求：（1）此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式；此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式；（2）從初始時(shí)刻開(kāi)始第一次通過(guò)平衡位置所需時(shí)間。從初始時(shí)刻開(kāi)始第一次通過(guò)平衡位置所需時(shí)間。 （3）=T/4時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；（4）從從 x = - 0.06m 向向 x 軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需的時(shí)間衡位置所需的時(shí)間（思考？）（思考？）。20求：（求：（1）此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式；此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式；解：解：),/(2sradT 3 取平衡位

11、置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)矢量法得：由旋轉(zhuǎn)矢量法得：0.12cos()()3xtSI )cos( tAx設(shè)設(shè)3 oxyA21 由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)平衡位置時(shí)，質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)平衡位置時(shí)，振幅矢量轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：振幅矢量轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：5326t )(83. 0st 3 oxyA求：（求：（2）從初始時(shí)刻開(kāi)始第一次通過(guò)平衡從初始時(shí)刻開(kāi)始第一次通過(guò)平衡 位置所需時(shí)間。位置所需時(shí)間。解：解：22求：（求：（3）= T/4 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；)(3cos(12. 0mtx 由振動(dòng)表達(dá)式：由振動(dòng)表達(dá)式：解解：)sin( tA可可得得：(m/s)3-tsin(.120 )cos(2 tAa)/( )3cos(06. 022smt 將將 t= T/4 = 0.5 s 代入可得：代入可得：(m/s)18. 0 )/(03. 12sma 23 （3）如果求：）如果求：在在 x = - 0.06m，且向，且向 x 軸負(fù)方向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)時(shí)刻的速度和加速度速度和加速度：)3cos(1202 t.dtda )3sin(120 t.dtdx 322A將相位代入得：將相位代入得：)3cos(120