復(fù)變函數(shù)與積分變換第3章

1、 本章介紹復(fù)變函數(shù)的積分概念，解析本章介紹復(fù)變函數(shù)的積分概念，解析函數(shù)積分的主要性質(zhì)函數(shù)積分的主要性質(zhì). . 重點(diǎn)是重點(diǎn)是CauchyCauchy積分積分定理、定理、CauchyCauchy積分公式、積分公式、Cauchy(Cauchy(高階高階) )導(dǎo)導(dǎo)數(shù)公式數(shù)公式. .3.1 3.1 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分1 1 （復(fù)）積分的概念（復(fù)）積分的概念2 2 積分存在條件及性質(zhì)積分存在條件及性質(zhì)3 3 積分的計(jì)算積分的計(jì)算3.1.1 3.1.1 （復(fù)）積分的概念（復(fù)）積分的概念1,knnzzzZ 定義定義3.1 設(shè)設(shè) C是復(fù)平面上以是復(fù)平面上以z0為起點(diǎn)為起點(diǎn), Z為終為終oxy0zZ1

2、nzkz1 kz2z1zC有向簡(jiǎn)單連續(xù)曲線，有向簡(jiǎn)單連續(xù)曲線， ( )f z是是C上的復(fù)變函數(shù)上的復(fù)變函數(shù). 在在C上依次取分點(diǎn)上依次取分點(diǎn) 把曲線把曲線C分割為分割為n個(gè)小段個(gè)小段. (如圖如圖) 011,kzzz oxy0zZ1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 在每個(gè)小弧段在每個(gè)小弧段 11,2,kkzzkn 上任取上任取一點(diǎn)一點(diǎn) (1,2, ),nkn 做和數(shù)做和數(shù) 1(),nnkkkSfz 其中，其中， 1kkkzzz 1,2,.kn 令令 1max.kk nz 如果分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無限增多，并且極限如果分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無限增多，并且極限 存在存在, 則稱該極限值為函數(shù)則稱該極限值為函數(shù) 在

3、曲線在曲線C上的積分上的積分, ( )f z001limlim()nnkkkSfz 并記作并記作 ( )d ,Cf zz 即即 01( )dlim().nkkCkf zzfz 如果如果C是閉曲線，經(jīng)常記作是閉曲線，經(jīng)常記作 ( )d .Cf zz 當(dāng)當(dāng)C是實(shí)軸上的區(qū)間是實(shí)軸上的區(qū)間 ,a b方向從方向從a到到b, 并且并且( )f z為實(shí)值函數(shù)，那么這個(gè)積分就是定積分為實(shí)值函數(shù)，那么這個(gè)積分就是定積分. 3.1.2 3.1.2 積分存在的條件及積分性質(zhì)積分存在的條件及積分性質(zhì) nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cy

4、vxudddd .Cv xu y i 定理定理3.1 設(shè)設(shè)C是分段光滑是分段光滑(或可求長(zhǎng)或可求長(zhǎng))的有向的有向曲線，曲線， ( )( , )( , )f zu x yiv x y 在在C上連續(xù)，則上連續(xù)，則 ( )dCf zz 存在，并且存在，并且 Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu從從形式上形式上可以看成可以看成 Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 定理定理3.2 設(shè)光滑曲線設(shè)光滑曲線 :( )( )( ) (),Czz tx tiy tt ( )z 是起點(diǎn)是起點(diǎn), ()z 是終點(diǎn)，則是終點(diǎn)，則 ( )

5、d ( ) ( )dCf zzf z t z tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) du x ty t x tv x ty ty tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d .iv x ty t x tu x ty ty tt ( ), ( ) ( ), ( )( )( ) du x ty tiv x ty tx tiy tt 復(fù)變函數(shù)的積分具有如下一些性質(zhì)復(fù)變函數(shù)的積分具有如下一些性質(zhì).(1)( )d( )d ;CCf zzf zz ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf(4) 設(shè)設(shè)C1的終點(diǎn)是的終點(diǎn)是C2的起點(diǎn)的起點(diǎn), C=C1+

6、C2, 則則(k是復(fù)常數(shù)是復(fù)常數(shù));(2) ( )d( )dCCkf zzkf zz 12( )d( )d( )d ;CCCf zzf zzf zz11()()nnkkkkkkfzfz1()nkkkfs 1,nkkMsML 其中其中,ks 是是kz與與1kz 兩點(diǎn)之間弧段的長(zhǎng)度兩點(diǎn)之間弧段的長(zhǎng)度.根據(jù)積分定義，令根據(jù)積分定義，令 0, 即得性質(zhì)即得性質(zhì)(5). 估值不等式估值不等式事實(shí)上事實(shí)上,(5) 設(shè)曲線設(shè)曲線C的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為L(zhǎng), 函數(shù)函數(shù)f (z)在在C上滿足上滿足( )d( ) d.CCf zzf zsML( ),f zM 則則例例3.1 設(shè)設(shè) C是復(fù)平面上以是復(fù)平面上以z0為起點(diǎn)為

7、起點(diǎn), z為終為終點(diǎn)的分段光滑點(diǎn)的分段光滑(或可求長(zhǎng)或可求長(zhǎng))曲線，則曲線，則 01d.Czzz 解解 根據(jù)積分的定義根據(jù)積分的定義100111dlimlim()nnkkkCkkzzzz 000lim().zzzz 3.1.3 3.1.3 積分的計(jì)算積分的計(jì)算解解zxyor0z 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri例例3.2 計(jì)算積分計(jì)算積分 101d()nCzzz (n是整數(shù)是整數(shù)), 其中其中C是圓周是圓周:0 (0)zzr r 的正向的正向. zxyor0z , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n

8、 Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(11020(cossin)d0.nininr rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni重要結(jié)論：積分值與圓周的中心、半徑無關(guān)重要結(jié)論：積分值與圓周的中心、半徑無關(guān). .解解 (1) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為( ) (01),z ttitt Re, d(1)d ,ztzit CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x d)1(d102 ttizzC120(1)d .it ti 例例3.3 計(jì)算積分計(jì)算積分 Re dCz z 與與 d ,Cz

9、z 其中其中C為為 (1) 從原點(diǎn)到從原點(diǎn)到 1+i 的直線段；的直線段； (2) 拋物線拋物線 y=x2 上從原點(diǎn)到上從原點(diǎn)到 1+i 的弧段；的弧段； (3) 從原點(diǎn)沿從原點(diǎn)沿x軸到軸到1, 再?gòu)脑購(gòu)?到到 1+i 的折線的折線. (2) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttzRe,d(12 )d ,ztztit CzzdRe 10d)21(titt1230212;2323titi d Czz 102d)21)(tititt1320(2)3 d.ttitti xyoi 11iy=x2xy (3) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成積分路徑

10、由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為軸上直線段的參數(shù)方程為( ) (01),z ttt1到到1+i直線段的參數(shù)方程為直線段的參數(shù)方程為),10(1)( tittzRe,dd ,ztztRe1,dd ,zzi t CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i dd10 ttzzC d)1(10 tiit. i 都是從相同的起點(diǎn)到相同的終點(diǎn)都是從相同的起點(diǎn)到相同的終點(diǎn), 沿著三條不沿著三條不注意注意1 從例從例3.3看到看到, 積分積分d ,Cz z Re( )dCzz 和和相同的路徑進(jìn)行相同的路徑進(jìn)行, 但是但是 積分值不同積分值不同, Re( )dCzz dCz z 積分值相同積分值相同

11、. 是否可以討論積分與積分是否可以討論積分與積分路徑的關(guān)系路徑的關(guān)系?注意注意2 一般不能將函數(shù)一般不能將函數(shù)f (z)在以在以 為起點(diǎn)為起點(diǎn), 以以 為終點(diǎn)的曲線為終點(diǎn)的曲線C上的積分記成上的積分記成 因因?yàn)闉? )d ,f zz 積分值可能與積分路徑有關(guān)積分值可能與積分路徑有關(guān), 所以記所以記( )d .Cf zz 3.2 3.2 Cauchy積分定理積分定理1 1 Cauchy積分定理積分定理2 2 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理3 3 典型例題典型例題定理定理3.3 (Cauchy積分定理積分定理) 設(shè)設(shè)f (z)是單連是單連DC說明說明: 該定理的主要部分是該定理的主要部分是Cauchy

12、于于1825 年建立的年建立的, 它是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)它是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ).通區(qū)域通區(qū)域 D上的解析函數(shù)，則對(duì)上的解析函數(shù)，則對(duì)D內(nèi)的任何可求內(nèi)的任何可求長(zhǎng)長(zhǎng)Jordan曲線曲線C, 都有都有 ( )d0.Cf zz 3.2.1 Cauchy積分定理積分定理*證明證明 根據(jù)根據(jù)( )ddddd .CCCf zzu xv yiv xu y Cyvxudd()d d Dvux yxy 0, Cyuxvddd d Duvx yxy 0. 0,uvyx0.uvxy由改進(jìn)的由改進(jìn)的Green公式公式因?yàn)橐驗(yàn)閒 (z)解析解析, 所以所以u(píng)(x,y)和和v(x,y)在在D內(nèi)可微內(nèi)可微, 且且注意注意2

13、 2 若曲線若曲線C是是區(qū)域區(qū)域 D 的邊界的邊界, 函函注意注意1 1 定理中的定理中的C 可以不是簡(jiǎn)單曲線可以不是簡(jiǎn)單曲線.DC函數(shù)函數(shù) f (z)在在D內(nèi)解析內(nèi)解析, 在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上連上連DDC ( )d0.Cf zz 續(xù)續(xù), 則則 注意注意3 3 定理中定理中D是單連通區(qū)域的假設(shè)不可缺少是單連通區(qū)域的假設(shè)不可缺少. 例如函數(shù)例如函數(shù)1 ( ) f zz 在區(qū)域在區(qū)域13:22Dz內(nèi)內(nèi)的曲線的曲線:1Cz 上積分上積分, 參看參看解解 因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)11d0.23zzz 例例3.4 計(jì)算積分計(jì)算積分 z 11d .23zz 1( )23f zz 在在 上解析上解析, 所以根據(jù)所以

14、根據(jù)Cauchy積分定理積分定理, 有有1z 解解211111.(1)2z zzzizi根據(jù)根據(jù)Cauchy積分定理得積分定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz例例3.5 3.5 計(jì)算積分計(jì)算積分 2121d .(1)z izz z 因?yàn)橐驗(yàn)?z和和1zi 都在都在12zi上解析上解析, 所以所以 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221. i 這里用到了這里用到了3.2.2 3.2.2 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理DC1C2C3C都在都在C 的內(nèi)部的內(nèi)部, 它們互不包含也互不相交它們互不包含也互不相交, 并

15、且以并且以定理定理3.4 設(shè)設(shè)12,nC C CC是多連通區(qū)域是多連通區(qū)域D內(nèi)內(nèi)是是 D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù), 那么那么1( )d( )d ,knCCkf zzf zz 其中其中C和和Ck(1 k n)取正向取正向.若若 f (z)分段光滑分段光滑(或可求長(zhǎng)或可求長(zhǎng)) Jordan曲線曲線, 都都12,nC CC為邊界的閉區(qū)域含于為邊界的閉區(qū)域含于D內(nèi)內(nèi). 12,nC C CCDCA1A2A3A4C1C2EFGIH證明證明 不妨設(shè)不妨設(shè)n=2. 作兩條輔助線作兩條輔助線 (如圖如圖).1234,A AA A這樣由這樣由12344321EA A FA A GA A HA A IE作為邊界作為

16、邊界G G , ,圍成單連通區(qū)域圍成單連通區(qū)域.( )d0.f zzG G 11 ,CEAA IIE1122334444332211 .EAA AA FFAA AA GGAA AA HHAA AA IIEG G 12332 ,CA FFAA HHA 244 .CA GGA f (z)在在G G 所圍的區(qū)域內(nèi)解析所圍的區(qū)域內(nèi)解析, 由由 21. 0d)(CCCzzf, 0d)(d)(d)(21 CCCzzfzzfzzf.d)(d)(d)(21 CCCzzfzzfzzf當(dāng)當(dāng) n 為其它值時(shí)，可同樣證明為其它值時(shí)，可同樣證明. 在公共邊界在公共邊界(輔助線輔助線)上上, 積分兩次積分兩次, 方向方向

17、相反相反, 積分值之和等于積分值之和等于0. 所以所以 3.2.3 3.2.3 典型例題典型例題解解 顯然函數(shù)顯然函數(shù)xyo 1G G 例例3.6 3.6 計(jì)算積分計(jì)算積分其中其中G G為包含圓周為包含圓周221d ,zzzzG G 在內(nèi)的任意分段光滑正向簡(jiǎn)單閉在內(nèi)的任意分段光滑正向簡(jiǎn)單閉曲線曲線.1z 221( )zf zzz 在復(fù)平面有兩個(gè)奇點(diǎn)在復(fù)平面有兩個(gè)奇點(diǎn)0和和1,并且并且G G 包含了這兩個(gè)奇點(diǎn)包含了這兩個(gè)奇點(diǎn).xyo 1G G1C2C G Gzzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 在在

18、G內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周圓周C1和和C2, 使得使得C1只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn)0, C2 只包含只包含奇點(diǎn)奇點(diǎn)1.根據(jù)根據(jù) , xyo121C2C解解 顯然顯然C1和和C2圍成一圍成一12ddd0.zzzCCeeezzzzzzG G例例3.7 3.7 計(jì)算積分計(jì)算積分 d ,zezzG G 其中其中G G 由正向圓周由正向圓周2z 和負(fù)向圓周和負(fù)向圓周1z 組成組成.個(gè)圓環(huán)域個(gè)圓環(huán)域. 函數(shù)函數(shù)( )zef zz 在此圓環(huán)域及其邊界上解析在此圓環(huán)域及其邊界上解析, 并且圓環(huán)域的邊界并且圓環(huán)域的邊界構(gòu)成復(fù)合閉路構(gòu)成復(fù)合閉路, 所以根據(jù)所以根據(jù) ,例例3

19、.8 3.8 求積分求積分其中其中G G 為含為含z0的的 101d ,nzzz G G 解解 因?yàn)橐驗(yàn)閦0在閉曲線在閉曲線G G 的內(nèi)部的內(nèi)部,G G0z 1G G任意分段光滑的任意分段光滑的Jordan曲線曲線, n為整數(shù)為整數(shù). .故可取充分小的正數(shù)故可取充分小的正數(shù)r , , 使得圓周使得圓周10: zzrGG含在含在G G的內(nèi)部的內(nèi)部.可得可得再利用再利用根據(jù)根據(jù) , 102,01 d()0,0.ninzzzn G G 故故這一結(jié)果很重要這一結(jié)果很重要.1110011 dd()()nnzzzzzzGGGG 2, 0;0, 0.inn 與與 進(jìn)行比較進(jìn)行比較.G G0z 1G G3.3

20、 3.3 解析函數(shù)的原函數(shù)解析函數(shù)的原函數(shù)1 1 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念2 2 Newton-Leibniz公式公式3.3.1 3.3.1 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念原函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)之間的關(guān)系: :定義定義3.2 設(shè)設(shè)f (z)是定義在區(qū)域是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù)上的復(fù)變函數(shù),若存在若存在D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù)F(z)使得使得 在在D ( )( )F zf z 內(nèi)成立，則稱內(nèi)成立，則稱F(z)是是f (z)在區(qū)域在區(qū)域D上的原函數(shù)上的原函數(shù). 如果如果f (z)在區(qū)域在區(qū)域D上存在原函數(shù)上存在原函數(shù)F(z), 則則f (z)是是 解析函數(shù)解析函數(shù)(后續(xù)后續(xù)). 定理定理3.5 設(shè)設(shè)

21、F(z)和和G(z)都是都是f (z)在區(qū)域在區(qū)域D上的原上的原函數(shù)函數(shù), 則則 (常數(shù)常數(shù)). ( )( )F zG zC ( )( )( )( )F zG zF zG z ( )( )0.f zf z 那么它就有無窮多個(gè)原函數(shù)那么它就有無窮多個(gè)原函數(shù), 一般表達(dá)式為一般表達(dá)式為 根據(jù)以上討論可知根據(jù)以上討論可知:證明證明 設(shè)設(shè)F(z)和和G(z)都是都是f (z)在區(qū)域在區(qū)域 D上的上的根據(jù)根據(jù) 可知可知, 為常數(shù)為常數(shù).( )( )F zG z 原函數(shù)原函數(shù), 于是于是 如果如果F(z) 是是f (z)在區(qū)域在區(qū)域 D上的一個(gè)原函數(shù)，上的一個(gè)原函數(shù)， ( )F zC (其中其中C是任意復(fù)

22、常數(shù)是任意復(fù)常數(shù)). 證明證明 可利用可利用定理定理3.6 設(shè)設(shè)f (z)是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù), z0是是D內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn), C是是D內(nèi)以內(nèi)以z0為起點(diǎn)為起點(diǎn), z為終點(diǎn)的為終點(diǎn)的 分段光滑分段光滑(或可求長(zhǎng)或可求長(zhǎng))曲線曲線, 則積分則積分 ( )dCf 只依賴于只依賴于z0與與z, 而與路徑而與路徑 C 無關(guān)無關(guān). Riemann方程以及曲線積分路徑無關(guān)的充分必要方程以及曲線積分路徑無關(guān)的充分必要條件來證明條件來證明. 下面利用下面利用Cauchy積分定理證明積分定理證明. 中的中的Cauchy-和和D 0zz 1C2C設(shè)設(shè)C1與與C2都是以都是以D內(nèi)以

23、內(nèi)以z0為起點(diǎn)為起點(diǎn), z 為終點(diǎn)的為終點(diǎn)的分段光滑曲線分段光滑曲線, 又不妨設(shè)又不妨設(shè)C1與與C2都是簡(jiǎn)單曲線都是簡(jiǎn)單曲線. 如果如果 C1與與C2除起點(diǎn)和除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外終點(diǎn)之外, 再?zèng)]有其他重點(diǎn)再?zèng)]有其他重點(diǎn),則則 是是Jordan曲線曲線, 12CC 根據(jù)根據(jù)Cauchy定理有定理有 12( )d0,CCf 12( )d( )d .CCff D 0zz 1C2C 如果如果C1與與C2除起點(diǎn)和除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外終點(diǎn)之外, 還有其他重點(diǎn)還有其他重點(diǎn), 在在D內(nèi)再做一條以內(nèi)再做一條以z0為起點(diǎn)為起點(diǎn), z 為終點(diǎn)為終點(diǎn), 除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外, 與與C1與與C2沒有其他沒有其他重點(diǎn)

24、的分段光滑曲線重點(diǎn)的分段光滑曲線,C C 則由已證明的情形則由已證明的情形, 12( )d( )d( )d .CCCfff 012( )d( )d( )d .zzCCfffD 0zz 1C2CD 0zz 1C2C如果如果 f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析, 則則f (z)在以在以z0為起點(diǎn)為起點(diǎn), z為終點(diǎn)的為終點(diǎn)的D內(nèi)的分段光滑曲線內(nèi)的分段光滑曲線C上積分上積分,積分值與積分路徑無關(guān)，即可記為積分值與積分路徑無關(guān)，即可記為 0( )( )d .zzF zf 于是確定了于是確定了D內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)*證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閦是是D內(nèi)的點(diǎn)內(nèi)的點(diǎn),定理定理3.7 設(shè)設(shè)f

25、(z)是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù), z0和和z是是D內(nèi)的點(diǎn)內(nèi)的點(diǎn), 則則 0( )( )dzzF zf 是是 f (z)在在D上的原函數(shù)上的原函數(shù). 以以z為中心作一個(gè)含于為中心作一個(gè)含于D內(nèi)的內(nèi)的以圓周以圓周G G為邊界的圓域?yàn)檫吔绲膱A域.D0zG G zD zG Gzz )()(zFzzF00( )d( )d .zzzzzff 0z 取取| z|充分小充分小, 使得使得z+ z在在圓周圓周G G內(nèi)內(nèi). . 注意注意因?yàn)榉e分與積分路徑無關(guān)因?yàn)榉e分與積分路徑無關(guān), 所以積分所以積分0( )dzzzf 可以先從可以先從z0到到z, 然后從然后從z沿著直線再到沿著直線再到z

26、+ z, 即即0( )dzzzf 0( )d( )d .zzzzzffD zG Gzz 0z ()( )1( )( )( ) d .zzzF zzF zf zff zzz ()( )( )d ,zzzF zzF zf 于是于是并且并且因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)f (z)在在D內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), 所以所以 e e 0, 存在存在d d 0 0, 使得當(dāng)使得當(dāng)| z| d d 時(shí)時(shí), 有有( )( ).ff zee從而當(dāng)從而當(dāng)| z|0充分小時(shí)充分小時(shí), 根據(jù)復(fù)合閉路根據(jù)復(fù)合閉路如果如果C是含是含z0在其內(nèi)部區(qū)域的分段光滑的在其內(nèi)部區(qū)域的分段光滑的000( )( )dd .Cz zf zf zzzzzzzr r

27、 Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 所以這個(gè)積分值只與所以這個(gè)積分值只與 f (z) 在在 z0 附近的值有關(guān)附近的值有關(guān). 因?yàn)橐驗(yàn)閒 (z) 在在 z0 連續(xù)連續(xù), , 故故 上函數(shù)上函數(shù) f (z)0zzr r的值將隨著的值將隨著r r 的減小而接近的減小而接近0().f z因此因此, 隨著隨著r r 的減小的減小, 應(yīng)該有應(yīng)該有0( )dCf zzzz 接近于接近于00()d ,Cf zzzz 然而然而3.4.2 3.4.2 Cauchy積分公式積分公式Cauchy積分公式積分公式 Czzzzfizf.d)(21)( 00D 0zC定理定理3.9 設(shè)設(shè)f

28、(z)是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù), z0 是是D內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn), C是任意一條含是任意一條含 z0 在內(nèi)部區(qū)域在內(nèi)部區(qū)域 的分段光滑的分段光滑(或可求長(zhǎng)或可求長(zhǎng)) Jordan曲線曲線, 則則 D 0zC取取R0充分小充分小, 使得使得R0, 使得使得|f (z)| M . 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閦0 是是C內(nèi)部區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)內(nèi)部區(qū)域內(nèi)的點(diǎn), 所以存在所以存在R 0, 使使 0z zzR 在在C的內(nèi)部區(qū)域的內(nèi)部區(qū)域.DC 0zG GR因此當(dāng)因此當(dāng)z在在C上時(shí)上時(shí),0.zzR, 2Rz取取則則3,MLIzR 所以所以其中其中L是曲線是曲線C的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng). zzfzzfzfz )(

29、)(lim)(0000201( )d .2()Cf zzizz 利用類似的方法可求得利用類似的方法可求得因此因此, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0z 0.I 從而從而000300()()2!( )()limd ,2()Czfzzfzf zfzzzizz 證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù). .d)()(2!)(100)( Cnnzzzzfinzf 243d)1(1zzzz131! 32 zzi2. i 高階導(dǎo)數(shù)公式的作用高階導(dǎo)數(shù)公式的作用: 不在于通過積分來求導(dǎo)不在于通過積分來求導(dǎo), , 而在于通過求導(dǎo)來求積分而在于通過求導(dǎo)來求積分. .例例3.10 3.10 求積分

30、求積分3421d .(1)zzzz 解解 因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù) 在復(fù)平面解析在復(fù)平面解析, 3( )1 f zz( )010!( )()d ,2()nnCnf zfzzizz 01z 在在 內(nèi)內(nèi), n=3, 根據(jù)根據(jù)2z 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 21cosd .zzezzz 例例3.11 求積分求積分解解 因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù) 在復(fù)平面解析在復(fù)平面解析, ( )coszf zez 00z 在在 內(nèi)內(nèi), n=1, 根據(jù)根據(jù)1z 3.4.4 3.4.4 典型例題典型例題 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf

31、,0iz 212d)1(1izzzz12( )dz if zzzi izizzi )(12. i 例例3.12 3.12 計(jì)算積分計(jì)算積分 2121d .1z izz z 解解 由由 , 2( )2371zf zi 22371 .izz 例例3.13 3.13 設(shè)設(shè)C表示正向圓周表示正向圓周223,xy2371( )d ,Cf zz 求求(1).fi 于是于是 而而1+i 在在C內(nèi)內(nèi), 所以所以( )2(67),fziz (1)2 ( 613 ).fii 解解 根據(jù)根據(jù) , 當(dāng)當(dāng)z在在C內(nèi)時(shí)內(nèi)時(shí),2112sin4d1zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi2.2i 例例

32、3.14 3.14 計(jì)算積分計(jì)算積分 其中其中2sin4d ,1Czzz 1(1) : 1;2Cz 1(2) :1;2C z (3) : 2.Cz 解解 (1) 根據(jù)根據(jù) ,2112sin4d1zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi2.2i (2) 根據(jù)根據(jù) , 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i (3) 根據(jù)根據(jù) 以及前面的結(jié)果以及前面的結(jié)果,例例3.15 3.15 計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分, , 其中其中C是正向圓周是正向圓周 Czzzd) 1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi5

33、.12i 1:zr 522cos(1) d ; (2) d .11zCCzezzzz 解解 (1) 因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù) 在在C內(nèi)內(nèi)z=1處不解析處不解析, 5cos1zz 但但 在在C內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, 所以根據(jù)所以根據(jù)cos z 1C2Cxyo iCi Czzzed)1(22122222dd .(1)(1)zzCCeezzzz(2) 函數(shù)函數(shù) 在在C內(nèi)的內(nèi)的 處不解析處不解析.22(1)zez zi 在在C內(nèi)分別以內(nèi)分別以i 和和 -i 為中心作正向圓周為中心作正向圓周 C1 和和 C2,則函數(shù)則函數(shù) 在由在由22(1)zez 12,C C C圍成的區(qū)域內(nèi)解析圍成的區(qū)域內(nèi)解析, 所以由所以

34、由 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2(1).2ii e 1C2Cxyo iCi Czzzed)1( 22 2)1(iei 2)1(iei于是于是)(1(2iiieei ).1cos1(sin i(1).2ii e 222d(1)zCezz 同理同理解解1d0.znzezz 1dznzzze0)(2 zzei2. i 例例3.16 3.16 求積分求積分1d ,znzezz 其中其中n為整數(shù)為整數(shù).(1) n 0時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) 在在 上解析上解析.znez1z (2) n=1時(shí)時(shí), 由由 得得由由 得得( )010!( )()d ,2

35、()nnCnf zfzzizz 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni可得可得(3) n1時(shí)時(shí), 根據(jù)根據(jù)復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分積分存在的積分存在的條件及計(jì)算條件及計(jì)算積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)Cauchy積分定理積分定理原函數(shù)原函數(shù)的概念的概念復(fù)合復(fù)合閉路閉路定理定理Cauchy積分公式積分公式高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式公式Newton- -Leibniz公式公式本章內(nèi)容總結(jié)本章內(nèi)容總結(jié)1. Cauchy積分定理積分定理2. 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理 3. Cauchy積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式本章的重點(diǎn)本章的重點(diǎn)4. 復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算復(fù)變函數(shù)積

36、分的計(jì)算第三章第三章 完完作業(yè)作業(yè)P49 1，3P50 5（1）（）（3）（）（5） 6（2）（）（4）P50 7（2） 8（1）（）（3）George Green (1793.7.14-1841.5.31)自學(xué)而成的英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家自學(xué)而成的英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家. 出色地將出色地將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到電磁理論和其他數(shù)學(xué)物理問題數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到電磁理論和其他數(shù)學(xué)物理問題.1928年出版了出版了小冊(cè)子年出版了出版了小冊(cè)子數(shù)學(xué)分析在電磁數(shù)學(xué)分析在電磁學(xué)中的應(yīng)用學(xué)中的應(yīng)用, 其中有著名的其中有著名的Green公式公式.40歲進(jìn)入劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)歲進(jìn)入劍橋大學(xué)學(xué)習(xí), 1839年聘為劍橋大學(xué)年聘為劍橋大學(xué)教授教授. 他的工作培育了數(shù)學(xué)物理學(xué)者的劍橋?qū)W派他的工作培育了數(shù)學(xué)物理學(xué)者的劍橋?qū)W派, 其其中包括中包括G. Stokes和和C. Maxwell.Isaac Newton (1642.12.25-1727.3.20) 偉大的英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家偉大的英國(guó)物理學(xué)