測(cè)量學(xué)-測(cè)量誤差的基本知識(shí)05

1、測(cè)量學(xué)測(cè)量學(xué)第五章第五章 測(cè)量誤差的測(cè)量誤差的 基本知識(shí)基本知識(shí) 主講：楊艷梅主講：楊艷梅 西南石油大學(xué)土建學(xué)院西南石油大學(xué)土建學(xué)院 測(cè)量實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，測(cè)量結(jié)果不可避測(cè)量實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，測(cè)量結(jié)果不可避免的免的存在誤差存在誤差，比如：，比如：1 1、對(duì)同一量多次觀測(cè)，其觀測(cè)值不相同。、對(duì)同一量多次觀測(cè)，其觀測(cè)值不相同。2 2、 觀測(cè)值之和不等于理論值：觀測(cè)值之和不等于理論值： 三角形三角形 + + +180180 閉合水準(zhǔn)閉合水準(zhǔn) h0 一、一、 等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)（儀器、等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)（儀器、方法、次數(shù)相同）。方法、次數(shù)相同）。 不等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件不相

2、同的各次觀測(cè)。不等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)。1. 1. 儀器誤差儀器誤差2. 2. 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差3. 3. 外界條件的影響外界條件的影響觀測(cè)條件觀測(cè)條件粗差：因讀錯(cuò)、記錯(cuò)、測(cè)錯(cuò)造成的錯(cuò)誤。粗差：因讀錯(cuò)、記錯(cuò)、測(cè)錯(cuò)造成的錯(cuò)誤。二、二、 在相同的觀測(cè)條件下，無(wú)論在個(gè)體和群體上，在相同的觀測(cè)條件下，無(wú)論在個(gè)體和群體上，呈現(xiàn)出以下呈現(xiàn)出以下特性特性： 誤差的絕對(duì)值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對(duì)值為一常量，或按一定的規(guī)律變化； 誤差的正負(fù)號(hào)保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負(fù)號(hào)保持不變，或按一定的規(guī)律變化； 誤差的絕對(duì)值隨著單一觀測(cè)值的倍數(shù)而積累。誤差的絕對(duì)值隨著單一觀測(cè)值的

3、倍數(shù)而積累。 1 1、系統(tǒng)誤差、系統(tǒng)誤差 誤差的大小、符號(hào)相同或按誤差的大小、符號(hào)相同或按 一定的規(guī)律變化。一定的規(guī)律變化。 鋼尺鋼尺尺長(zhǎng)、溫度、傾斜改正尺長(zhǎng)、溫度、傾斜改正 水準(zhǔn)儀水準(zhǔn)儀 i角角 經(jīng)緯儀經(jīng)緯儀 c角、角、i角角 注意：系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大。注意：系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大。 1 1）校正儀器；）校正儀器； （2 2）觀測(cè)值加改正數(shù)；）觀測(cè)值加改正數(shù)； （3 3）采用一定的觀測(cè)方法加以抵消或削弱。）采用一定的觀測(cè)方法加以抵消或削弱。 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某個(gè)固定量在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某個(gè)固定量作一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)結(jié)果的差異作一系列的觀測(cè)，如

4、果觀測(cè)結(jié)果的差異在在正負(fù)號(hào)及數(shù)值上，都沒(méi)有表現(xiàn)出一致的傾正負(fù)號(hào)及數(shù)值上，都沒(méi)有表現(xiàn)出一致的傾向，向， 即沒(méi)有任何規(guī)律性即沒(méi)有任何規(guī)律性，這類誤差稱為偶，這類誤差稱為偶然誤差。然誤差。 2 2、偶然誤差、偶然誤差 偶然誤差的特性偶然誤差的特性180lxl真誤差觀測(cè)值與理論值之差觀測(cè)值與理論值之差 絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等， 可相互抵消；可相互抵消； ( (對(duì)稱性對(duì)稱性） 同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平 均值，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加而趨近于零，均值，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加而趨近于零， 即：即： 0limnn在一

5、定的條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超在一定的條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超 過(guò)一定的限度過(guò)一定的限度; ;（有界性有界性）絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī) 會(huì)要多；（會(huì)要多；（集中性集中性）（抵償性抵償性）精度：精度：又稱精密度，指在對(duì)某量進(jìn)行多又稱精密度，指在對(duì)某量進(jìn)行多 次觀測(cè)中，各觀測(cè)值之間的離散次觀測(cè)中，各觀測(cè)值之間的離散 程度。程度。評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 中誤差中誤差 容許誤差容許誤差 相對(duì)誤差相對(duì)誤差一、一、 中誤差中誤差 定義定義 在相同條件下，對(duì)某量（真值為在相同條件下，對(duì)某量（真值為X X）進(jìn)行進(jìn)行n n次獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值次獨(dú)

6、立觀測(cè)，觀測(cè)值l l1 1， l l2 2，l ln n，偶然誤差（真誤差）偶然誤差（真誤差）1 1，2 2，n n，則中誤差，則中誤差mm的定義為：的定義為：nmxliin,.2232221式中式中式中：例：試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，分別計(jì)算各組觀測(cè)值的中例：試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，分別計(jì)算各組觀測(cè)值的中誤差。誤差。解：第一組觀測(cè)值的中誤差：解：第一組觀測(cè)值的中誤差：第二組觀測(cè)值的中誤差：第二組觀測(cè)值的中誤差： ，說(shuō)明第一組的精度高于第二組的精度。，說(shuō)明第一組的精度高于第二組的精度。說(shuō)明：中誤差越小，觀測(cè)精度越說(shuō)明：中誤差越小，觀測(cè)精度越高高5 . 210) 4(2) 1() 2(34) 3(12022222

7、222221 m2 . 310) 1() 3(017) 1(0) 6(2) 1(22222222222 m21mm 定義定義 由偶然誤差的特性可知，在一定的觀由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。這個(gè)限值就是容許（極限）誤定的限值。這個(gè)限值就是容許（極限）誤差。差。二、容許誤差（極限誤差）二、容許誤差（極限誤差） 測(cè)量中通常取測(cè)量中通常取2 2倍或倍或3 3倍中誤差作為偶然倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差；誤差的容許誤差； 即即容容=2=2m m 或或容容=3=3m m 。極限誤差的作用：極限誤差的作用： 區(qū)別誤差和錯(cuò)誤

8、的界限。區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界限。偶然誤差的絕對(duì)值大于中誤差偶然誤差的絕對(duì)值大于中誤差9 9的有的有1414個(gè)，占個(gè)，占總數(shù)的總數(shù)的35%35%，絕對(duì)值大于兩倍中誤差，絕對(duì)值大于兩倍中誤差18 18 的只的只有一個(gè)，占總數(shù)的有一個(gè)，占總數(shù)的2.5%2.5%，而絕對(duì)值大于三倍中，而絕對(duì)值大于三倍中誤差的沒(méi)有出現(xiàn)。誤差的沒(méi)有出現(xiàn)。中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對(duì)誤差。中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對(duì)誤差。 相對(duì)誤差相對(duì)誤差K K 是中誤差的絕對(duì)值是中誤差的絕對(duì)值 mm 與相與相應(yīng)觀測(cè)值應(yīng)觀測(cè)值 D D 之比，通常以分母為之比，通常以分母為1 1的分式的分式 來(lái)表示，稱其為相對(duì)（中）誤差。即來(lái)表示，稱其

9、為相對(duì)（中）誤差。即: :mDDmK1三、三、 相對(duì)誤差相對(duì)誤差 : :角度、高差的誤差用角度、高差的誤差用mm表示，表示， 量距誤差用量距誤差用K K表示。表示。例 已知：D1=100m, m1=0.01m，D2=200m, m2=0.01m，求： K1, K2解：20000120001. 010000110001. 0222111DmKDmK 概念概念 誤差傳播定律：闡述觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值誤差傳播定律：闡述觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值 函數(shù)中誤差的關(guān)系的定律。函數(shù)中誤差的關(guān)系的定律。 函數(shù)形式函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)一般函數(shù)設(shè)非線性函數(shù)的一般式為：設(shè)非

10、線性函數(shù)的一般式為：式中：式中： 為獨(dú)立觀測(cè)值；為獨(dú)立觀測(cè)值； 為獨(dú)立觀測(cè)值的中誤差。為獨(dú)立觀測(cè)值的中誤差。 求函數(shù)的全微分，并用求函數(shù)的全微分，并用“”替代替代“d d”，得，得),(321nxxxxfz ixnmmmm,321 nxnxxZxfxfxf )()()(2121式中：式中： 是函數(shù)是函數(shù)F F對(duì)對(duì) 的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)函數(shù)式與觀測(cè)值確定后，它們均為常數(shù)，當(dāng)函數(shù)式與觀測(cè)值確定后，它們均為常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)，其中誤差為：數(shù)，因此上式是線性函數(shù)，其中誤差為：ixf), 2 , 1(ni 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm ix2222222121)()(

11、)(nnZmxfmxfmxfm 誤差傳播定律的一般形式誤差傳播定律的一般形式 例例 已知：測(cè)量斜邊已知：測(cè)量斜邊D=50.00D=50.000.05m0.05m，測(cè)得傾角測(cè)得傾角=15=15000000003030求：水平求：水平距離距離D D解：解：1. 1.函數(shù)式函數(shù)式 2.2.全微分全微分 3.3.求中誤差求中誤差 dDDddD)sin()(cos cosDD2222203)15sin50(05.0)15(cos)sin()(cos mDmmDD)(048.0mmD二、二、 線性函數(shù)的誤差傳播定律線性函數(shù)的誤差傳播定律設(shè)線性函數(shù)為：設(shè)線性函數(shù)為：nnxkxkxkz2211式中式中 為獨(dú)立

12、的直接觀測(cè)值，為獨(dú)立的直接觀測(cè)值， 為常數(shù)，為常數(shù)， 相應(yīng)的相應(yīng)的 觀測(cè)值的中誤差為觀測(cè)值的中誤差為 。 nxxx,21nkkk,21nxxx,21nmmm,212222222121nnzmkmkmkm 1. 1.列出觀測(cè)值函數(shù)的表達(dá)式：列出觀測(cè)值函數(shù)的表達(dá)式： 2.2.對(duì)函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與對(duì)函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測(cè)值真誤差之間的關(guān)系式：觀測(cè)值真誤差之間的關(guān)系式： 式中，式中， 是用觀測(cè)值代入求得的值。是用觀測(cè)值代入求得的值。 ),(21nxxxfZ nxnxxZdxfdxfdxfd)()()(2121 )(ixf 求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟：求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟：

13、三、三、 運(yùn)用誤差傳播定律的步驟運(yùn)用誤差傳播定律的步驟 3 3、根據(jù)誤差傳播率計(jì)算觀測(cè)值函數(shù)中誤差：、根據(jù)誤差傳播率計(jì)算觀測(cè)值函數(shù)中誤差： 注意：在誤差傳播定律的推導(dǎo)過(guò)程中，要求觀注意：在誤差傳播定律的推導(dǎo)過(guò)程中，要求觀 測(cè)值必須是獨(dú)立觀測(cè)值。測(cè)值必須是獨(dú)立觀測(cè)值。 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm 函數(shù)名稱函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)式函數(shù)的中誤差函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)一般函數(shù)nxxxz21nnxkxkxkz2211),(21nxxxfZ kxz xzkmm22221nzmmmm2222222121nnzmkmkmkm22222

14、22121)()()(nnZmxfmxfmxfm 設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了n n次，觀測(cè)值為次，觀測(cè)值為l l1 1、l l2 2l ln n，中誤差為，中誤差為mm1 1、 mm2 2 mmn n，則其算術(shù)平均值（最或然值、似真，則其算術(shù)平均值（最或然值、似真值）值）L L為：為： nlnlllLn 21一、一、 求最或是值求最或是值 設(shè)未知量的真值為設(shè)未知量的真值為x x，可寫(xiě)出觀測(cè)值的真誤差，可寫(xiě)出觀測(cè)值的真誤差公式為公式為 （i=1i=1，2 2，n n）將上式相加得將上式相加得 或或故故 nxlllnn )(2121nxl xnln推導(dǎo)過(guò)程

15、：推導(dǎo)過(guò)程：xlii 由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，無(wú)限增多時(shí)， 即即 （算術(shù)平均值）（算術(shù)平均值） 說(shuō)明，說(shuō)明，n n趨近無(wú)窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值。趨近無(wú)窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值。 0limnn Lnlxn, 因?yàn)橐驗(yàn)?式中，式中，1n為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度相同，設(shè)其中誤差均為值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m。 設(shè)平均值的中誤差為設(shè)平均值的中誤差為mL，則有，則有 nlnlnlnnlL11121 22222221221111mnmnmnmnmnL 二、二、 算術(shù)平均值中誤差算術(shù)平均值中誤差mLnmmL 由此可

16、知，算術(shù)平均值的中誤差為觀由此可知，算術(shù)平均值的中誤差為觀測(cè)值的中誤差的測(cè)值的中誤差的 倍倍。 n1故故三、精度評(píng)定三、精度評(píng)定 第一公式第一公式 第二公式第二公式 （白塞爾公式）（白塞爾公式）條件：觀測(cè)值真值條件：觀測(cè)值真值 x x已知已知條件：觀測(cè)值真值條件：觀測(cè)值真值 x x 未知，未知， 算術(shù)平均值算術(shù)平均值L L已知已知nm1nVVm其中其中 觀測(cè)值改正數(shù)，觀測(cè)值改正數(shù)，iViilLV證明證明：1nVVnmiilLVxlii（i=1，2，3，n）兩式相加，有兩式相加，有xLViiiiv即解解：（i=1，2，3，n）設(shè)設(shè) 則則 xL將上列等式兩端各自平方，并求其和，則將上列等式兩端各自

17、平方，并求其和，則 22nVVV將將 代入上式，則代入上式，則 2nvv 0lLnv故故 222nnnnQPn 2222)(12433221222212（PQ）又因又因 nnxlxnlxL 由于由于 為偶然誤差，它們的非自乘積為偶然誤差，它們的非自乘積 仍具有偶然誤差的性質(zhì)，根據(jù)偶然誤差的特仍具有偶然誤差的性質(zhì)，根據(jù)偶然誤差的特性，即性，即n ,21QP0limnQPn21)1(mnVVnVVnnnVV例題：設(shè)用經(jīng)緯儀測(cè)量某個(gè)角例題：設(shè)用經(jīng)緯儀測(cè)量某個(gè)角6 6測(cè)回，觀測(cè)之列于測(cè)回，觀測(cè)之列于 表中。試求觀測(cè)值的中誤差及算術(shù)平均值中誤差。表中。試求觀測(cè)值的中誤差及算術(shù)平均值中誤差。算術(shù)平均值算術(shù)

18、平均值L中誤差是：中誤差是：1 . 1) 16( 634) 1( nnVVnmmL課后作業(yè)課后作業(yè)一、簡(jiǎn)答題一、簡(jiǎn)答題1.1.觀測(cè)誤差分為哪幾類？它們各自是怎樣定義的？觀測(cè)誤差分為哪幾類？它們各自是怎樣定義的？對(duì)觀測(cè)結(jié)果有什么影響？試舉例說(shuō)明。對(duì)觀測(cè)結(jié)果有什么影響？試舉例說(shuō)明。2.2.偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是什么？偶然誤差的概率分偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是什么？偶然誤差的概率分布曲線能說(shuō)明哪些問(wèn)題布曲線能說(shuō)明哪些問(wèn)題? ?3.3.已 知 兩 段 距 離 的 長(zhǎng) 度 及已 知 兩 段 距 離 的 長(zhǎng) 度 及 其 中 誤 差 分 別 為 ：其 中 誤 差 分 別 為 ：300.465m300.465m4.5cm4.5cm及及660.894m660.894m4.5cm4.5cm，試說(shuō)明這，試說(shuō)明這兩段距離的真誤差是否相等？它們的相對(duì)中誤差兩段距離的真誤差是否相等？它們的相對(duì)中誤差是否相等？是否相等？ 二、計(jì)算題二、計(jì)算題1.1.在三角形在三角形ABCABC中，已測(cè)出中，已測(cè)出 求求 的值及其中誤差。的值及其中誤差。2 2兩個(gè)等精度觀測(cè)的角度之和的中誤差為兩個(gè)等精度觀測(cè)的角度之和的中誤差為 ，問(wèn)每個(gè)角，問(wèn)每個(gè)角的中誤差是多少？的中誤差是多少？3 .3 . 以