第六章：彎曲應(yīng)力

1、第六章：彎曲應(yīng)力第六章：彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力余余 輝輝 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力一、彎曲構(gòu)件橫截面上應(yīng)力一、彎曲構(gòu)件橫截面上應(yīng)力 一般情況下，梁的橫截面上同時(shí)一般情況下，梁的橫截面上同時(shí)存在剪力存在剪力FS和彎矩和彎矩M。剪力剪力切應(yīng)力切應(yīng)力 6-1 引引 言言彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力一、靜矩與形心一、靜矩與形心dzASy A1.截面圖形對(duì)截面圖形對(duì)z軸的靜矩軸的靜矩Sz dyASz A截面圖形對(duì)截面圖形對(duì)y軸的靜矩：軸的靜矩：yzOdACACzCyzy說明：說明： 靜矩可正，可負(fù)，也可能等于零；靜矩可正，可負(fù)，也可能等于零； 靜矩單位靜矩單位m3。 截面圖形的靜矩是對(duì)某軸而言的，截面圖形的靜矩是對(duì)某軸而

2、言的， 軸不同，靜矩就不同軸不同，靜矩就不同 ；6-2 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力yzOdACAzyCzCydAzCy ASyAAdyACz ASzAA2.截面圖形的形心截面圖形的形心 yCSAz,zCSAy說明：說明： 若某坐標(biāo)軸通過截面形心，則截面圖形若某坐標(biāo)軸通過截面形心，則截面圖形 對(duì)該軸的靜矩必為零對(duì)該軸的靜矩必為零 ；若截面圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的靜矩為零，則若截面圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的靜矩為零，則該該 坐標(biāo)軸必通過截面圖形的形心坐標(biāo)軸必通過截面圖形的形心;截面圖形對(duì)形心軸的靜矩等于零。截面圖形對(duì)形心軸的靜矩等于零。彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-1 矩形截面如圖所示，試求陰影部分面積

3、對(duì)矩形截面如圖所示，試求陰影部分面積對(duì)z軸、軸、y軸的靜矩，圖中軸的靜矩，圖中b、h為已知。為已知。4hAb解解:( (1) )計(jì)算靜矩計(jì)算靜矩Sz 13244Chhhy12334416zChhbhSAyb( (2) ) 計(jì)算靜矩計(jì)算靜矩Sy y軸通過陰影部分圖形面積的形心軸通過陰影部分圖形面積的形心C10yS y1C2h2hC4h4hzb彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力3.組合截面圖形的靜矩組合截面圖形的靜矩1nziCiiSA y1nyiCiiSAz 組合截面圖形對(duì)某軸的靜矩就等于其各組成部分組合截面圖形對(duì)某軸的靜矩就等于其各組成部分圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和。圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和。 其中其中Ai為其中第

4、為其中第i個(gè)組成部分圖形的面積；個(gè)組成部分圖形的面積；為其中第為其中第i個(gè)組成部分圖形的形心坐標(biāo)。個(gè)組成部分圖形的形心坐標(biāo)。,CiCizy 由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的截面稱為組合截面。由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的截面稱為組合截面。彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-2某梁的截面圖形如圖所示，試求其對(duì)圖示某梁的截面圖形如圖所示，試求其對(duì)圖示坐標(biāo)軸的靜矩（圖中單位尺寸為坐標(biāo)軸的靜矩（圖中單位尺寸為mm）。）。( (2) ) 計(jì)算靜矩計(jì)算靜矩Sz 此截面可以看作由兩個(gè)矩形此截面可以看作由兩個(gè)矩形1、2組成組成0yS 5050201401220zOy3343100 20 150m140 20 70m4.96 10m解：解：(

5、(1) ) 計(jì)算靜矩計(jì)算靜矩Sy y軸為對(duì)稱軸軸為對(duì)稱軸 1212zCCSA yA y彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力yzO二、慣性矩與慣性半徑二、慣性矩與慣性半徑zdAy1. 慣性矩慣性矩 2dzAIyA截面圖形對(duì)截面圖形對(duì)y軸慣性矩軸慣性矩 2dyAIzA截面圖形對(duì)截面圖形對(duì)z軸慣性矩軸慣性矩 2. 極慣性矩極慣性矩 2PdAIAPzyIII說明：說明： 截面圖形的慣性矩是對(duì)某軸而言的，軸截面圖形的慣性矩是對(duì)某軸而言的，軸 不同，慣性矩就不同不同，慣性矩就不同 ； 慣性矩值恒為正慣性矩值恒為正 ； 慣性矩單位為慣性矩單位為m4 。彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力3. 慣性半徑慣性半徑 zzIiAyyIiA2zzIAi2y

6、yIAi彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力yzhCb例例6-3 試計(jì)算圖示矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸試計(jì)算圖示矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸z軸和軸和y軸軸的慣性矩。的慣性矩。dyy解解:( (1) )計(jì)算計(jì)算Iz 22232112hzAhIy dAby dybhddAb y取平行于取平行于z軸、高度為軸、高度為dy的狹長(zhǎng)矩形的狹長(zhǎng)矩形為微元面積為微元面積dA 3112yIhb( (2) )計(jì)算計(jì)算Iy 同樣的方法同樣的方法 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-4 計(jì)算圖示圓形截面對(duì)其形心軸的慣性矩。計(jì)算圖示圓形截面對(duì)其形心軸的慣性矩。 解解:圓形截面對(duì)圓心的極慣性矩圓形截面對(duì)圓心的極慣性矩 由于圓形是中心對(duì)稱圖形，且由于圓形是中心對(duì)稱圖形，

7、且yzCd4P132Id4P11264zyIIIdPzyIII則則彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力yzCdD例例6-5計(jì)算圖示圓環(huán)形截面對(duì)其形心軸的慣性矩。計(jì)算圖示圓環(huán)形截面對(duì)其形心軸的慣性矩。 44P132IDd44P11264zyIIID解解:圓環(huán)形截面對(duì)圓心的極慣性矩圓環(huán)形截面對(duì)圓心的極慣性矩 由于圓環(huán)形是中心對(duì)稱圖形，且由于圓環(huán)形是中心對(duì)稱圖形，且PzyIII則則其中其中 為圓環(huán)的內(nèi)外徑比。為圓環(huán)的內(nèi)外徑比。d D彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力三、慣性矩平行移軸公式三、慣性矩平行移軸公式 yadAOCzbyzCyCzCyCz 2CzCAIy dA2zAIy dA,Cyya2222zCCCAAAAIyadAydAay

8、 dAadA22CCzzIaSa A彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力22CCzzzIIaSa A0CzS2CzzIIa A2CyyIIb A慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-6計(jì)算圖示計(jì)算圖示T字形截面對(duì)其形心軸字形截面對(duì)其形心軸zC的慣性矩的慣性矩 。 CzI該截面圖形可視為由矩形該截面圖形可視為由矩形1、2組合而成組合而成解解:( (1) )確定形心確定形心C位置位置 截面關(guān)于截面關(guān)于y軸對(duì)稱，所以形心軸對(duì)稱，所以形心C必在對(duì)稱軸必在對(duì)稱軸y軸上，故只需求出軸上，故只需求出形心的形心的y坐標(biāo)即可。坐標(biāo)即可。11221210020 15014020 7010020140201

9、03.33mmCCCA yA yyAA1Cz1C2Cz2CCzC5050201401220zOyCy彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)2010m126.67 10 mCzI1(1)211284124646.67 10 m150 103.33100 20 10m4.423 10 mCCzzIIa A ( (2) )分別計(jì)算矩形分別計(jì)算矩形1、2對(duì)對(duì)zC軸的慣性矩軸的慣性矩2312464120 14010m4.57 10 m12CzI2(2)222264124644.57 10 m70 103.33140 20 10m6.586 10 mCCzzIIa A1Cz1C2Cz2CCzC50502

10、01401220zOyCy彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 ( (3) ) 計(jì)算整個(gè)圖形對(duì)計(jì)算整個(gè)圖形對(duì)zC軸的慣性矩軸的慣性矩 126464644.423 10 m6.586 10 m11.009 10 mCzzCCzIII彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 在某些梁段上，剪力為零，彎矩為在某些梁段上，剪力為零，彎矩為常數(shù)，這種情況稱為常數(shù)，這種情況稱為純彎曲純彎曲 ; ;FFxMxFaaaABFFSFCD 而在一般情況下，剪力與彎矩同時(shí)而在一般情況下，剪力與彎矩同時(shí)存在的情形，則稱為存在的情形，則稱為橫力彎曲橫力彎曲。 圖中圖中CD段剪力為零，彎矩為常數(shù)，這段剪力為零，彎矩為常數(shù)，這種情況即為純彎曲種情況即為純彎曲 ；而；

11、而AC、DB段剪力與彎段剪力與彎矩同時(shí)存在，則為橫力彎曲。矩同時(shí)存在，則為橫力彎曲。6-3 彎曲正應(yīng)力及其強(qiáng)度計(jì)算彎曲正應(yīng)力及其強(qiáng)度計(jì)算彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力一、彎曲正應(yīng)力一、彎曲正應(yīng)力 研究純彎曲梁，從研究純彎曲梁，從變形幾何條件變形幾何條件、物理?xiàng)l件物理?xiàng)l件以及以及靜力靜力平衡條件平衡條件三個(gè)方面進(jìn)行分析。三個(gè)方面進(jìn)行分析。1. 幾何方面幾何方面 現(xiàn)象現(xiàn)象：橫向線在變形后依然為直線，只是旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，橫向線在變形后依然為直線，只是旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度， 并仍然與彎曲后的縱向線正交；并仍然與彎曲后的縱向線正交；縱向線彎成弧線，其中位于梁上部的縱向線縮短，縱向線彎成弧線，其中位于梁上部的縱向線縮短，位位

12、 于梁下部的縱向線伸長(zhǎng)。于梁下部的縱向線伸長(zhǎng)。彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力提出假設(shè)提出假設(shè)：梁的橫截面在變形后仍保持為平面，并和彎曲后的縱梁的橫截面在變形后仍保持為平面，并和彎曲后的縱 向線正交。這稱為彎曲變形的向線正交。這稱為彎曲變形的平面假設(shè)平面假設(shè)。梁內(nèi)各縱向梁內(nèi)各縱向“纖維纖維”受到單向拉伸或壓縮，彼此間互受到單向拉伸或壓縮，彼此間互不不 擠壓、互不牽拉。這稱為擠壓、互不牽拉。這稱為單向受力假設(shè)單向受力假設(shè)。彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力中性軸中性軸 梁中間部位必然有一層既不伸長(zhǎng)也不縮短、長(zhǎng)度保梁中間部位必然有一層既不伸長(zhǎng)也不縮短、長(zhǎng)度保持不變的縱向持不變的縱向“纖維纖維”，這一縱向，這一縱向“纖維纖維”層稱為

13、層稱為中性中性層層。 梁中性層與橫截面的交線則稱為梁中性層與橫截面的交線則稱為中性軸中性軸。 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力dxbyOObMdyOObbMdbbyy ddbbbbbbyd ddbbxOOOO 變形幾何關(guān)系式變形幾何關(guān)系式 橫截面上任意點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變橫截面上任意點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變 與該點(diǎn)到中性層與該點(diǎn)到中性層的距離的距離y成正比。成正比。彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力2. 物理方面物理方面 利用胡克定律利用胡克定律：EyyE橫截面上任意點(diǎn)的正應(yīng)力橫截面上任意點(diǎn)的正應(yīng)力 與該點(diǎn)的縱坐標(biāo)與該點(diǎn)的縱坐標(biāo)y成正比。成正比。yzOx彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力 沿截面高度方向呈線性分布。沿截面高度方向呈線性分布。彎曲應(yīng)力彎曲

14、應(yīng)力3. 靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面 yzxOMzyFN 橫截面上各點(diǎn)的橫截面上各點(diǎn)的法向內(nèi)力元素法向內(nèi)力元素 構(gòu)成一平行于軸線軸構(gòu)成一平行于軸線軸的空間平行力系。的空間平行力系。dA 純彎曲梁的橫截面上沒有軸力純彎曲梁的橫截面上沒有軸力FN，只存在一個(gè)位于，只存在一個(gè)位于縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的彎矩縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的彎矩M，故有，故有Nd0AA FdAyAM彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 將將 代入（代入（1）得）得yE Nd01AA F d2AyAM0zASydAd0AyEA中性軸中性軸z一定通過截面形心。一定通過截面形心。 將將 代入（代入（2）得）得yE2dAyEA MzEIM得中性層的曲率得中性層的曲率1zMEI

15、彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力將將 代入物理關(guān)系式代入物理關(guān)系式1zMEIyEzM yI得到純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式得到純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式: :說明說明：M為彎矩；為彎矩；Iz為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；y為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，亦即點(diǎn)到中性軸的距離；為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，亦即點(diǎn)到中性軸的距離；在中性軸上的各點(diǎn)處，正應(yīng)力為零。在中性軸上的各點(diǎn)處，正應(yīng)力為零。彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力關(guān)于正應(yīng)力關(guān)于正應(yīng)力 正負(fù)號(hào)的確定：正負(fù)號(hào)的確定： 1.以中性軸為界，橫截面被分為兩個(gè)區(qū)域。其中，以中性軸為界，橫截面被分為兩個(gè)區(qū)域。其中，一個(gè)區(qū)域受拉，即靠近凸邊一側(cè)一個(gè)區(qū)域受拉，即靠近凸邊一側(cè)，其上各點(diǎn)產(chǎn)生

16、拉應(yīng)力，其上各點(diǎn)產(chǎn)生拉應(yīng)力，則則 為正值；另一個(gè)區(qū)域受壓，即靠近凹邊一側(cè)為正值；另一個(gè)區(qū)域受壓，即靠近凹邊一側(cè), , 其上其上各點(diǎn)產(chǎn)生壓應(yīng)力，則各點(diǎn)產(chǎn)生壓應(yīng)力，則 為負(fù)值。為負(fù)值。 2.某點(diǎn)的應(yīng)力是拉是壓，也可以通過某點(diǎn)的應(yīng)力是拉是壓，也可以通過 中彎矩中彎矩 與點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)y的正負(fù)號(hào)確定，求得的正負(fù)號(hào)確定，求得 為正時(shí)表示拉應(yīng)力，為正時(shí)表示拉應(yīng)力， 為負(fù)時(shí)表示壓應(yīng)力。為負(fù)時(shí)表示壓應(yīng)力。zM yIM對(duì)于一般的橫力彎曲，只要梁的長(zhǎng)度與梁的截面高度對(duì)于一般的橫力彎曲，只要梁的長(zhǎng)度與梁的截面高度之比之比 ，它同樣適用。，它同樣適用。5l h 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力二、彎曲正應(yīng)力的最大值二、彎曲正

17、應(yīng)力的最大值 zM yI 在橫截面上距離中性軸在橫截面上距離中性軸z最遠(yuǎn)的上、下邊緣各點(diǎn)最遠(yuǎn)的上、下邊緣各點(diǎn)處，即處，即 時(shí)，彎曲正應(yīng)力有最大值時(shí)，彎曲正應(yīng)力有最大值maxyymaxmaxzM yImaxzzIWyWz為抗彎截面系數(shù)為抗彎截面系數(shù)彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力maxzMW則則說明說明：關(guān)于常見截面的關(guān)于常見截面的Iz和和Wz1.矩形截面矩形截面32121226zzIbhWbhhh3112zIbh2.圓形截面圓形截面4164zId436412232zzIdWddddzzhb彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力3.圓環(huán)截面圓環(huán)截面4464zDdI443464112232zzDdIWDDDdD為內(nèi)外徑比為內(nèi)外徑比三、

18、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件三、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 maxmaxzMW適用于抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料；適用于抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料； 對(duì)抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度不等的脆性材料，應(yīng)對(duì)梁的對(duì)抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度不等的脆性材料，應(yīng)對(duì)梁的 最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。 dDz彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-7 試求圖示矩形截面梁端右側(cè)截面上試求圖示矩形截面梁端右側(cè)截面上a、b、c、d四點(diǎn)處的正應(yīng)力。圖中截面尺寸單位為四點(diǎn)處的正應(yīng)力。圖中截面尺寸單位為mm。解解:( (1) )確定梁確定梁A端右側(cè)截面端右側(cè)截面上的彎矩上的彎矩 20kN mM AB20kN m

19、2mkN mMx20作梁的彎矩圖，得作梁的彎矩圖，得A端右側(cè)端右側(cè)截面上的彎矩截面上的彎矩 ( (2) )計(jì)算橫截面的慣性矩計(jì)算橫截面的慣性矩Iz和抗彎截面系數(shù)和抗彎截面系數(shù)Wz3393344150 10 m30010 m112123.375 10 mzIbh彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力3262233150 10 m30010 m12.25 10 m66zWbh( (3) )計(jì)算各點(diǎn)處的正應(yīng)力計(jì)算各點(diǎn)處的正應(yīng)力a點(diǎn)點(diǎn): :3-344620 10 N m 150 10 m3.375 10 m8.89 10 Pa = 8.89MPaaazMyIb點(diǎn)點(diǎn): :3-344620 10 N m 75 10 m3.37

20、5 10 m4.44 10 Pa = 4.44MPabbzMyI彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力d點(diǎn)與點(diǎn)與a點(diǎn)位于中性軸的兩側(cè)，但到點(diǎn)位于中性軸的兩側(cè)，但到中性軸的距離相等中性軸的距離相等8.89MPada 注：正號(hào)表示注：正號(hào)表示a、b兩點(diǎn)為拉應(yīng)力；負(fù)號(hào)則表示兩點(diǎn)為拉應(yīng)力；負(fù)號(hào)則表示d點(diǎn)為壓應(yīng)力。點(diǎn)為壓應(yīng)力。c點(diǎn)在中性軸上點(diǎn)在中性軸上 : :0c彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力ABFC8ma158500202012ymmz解解:( (1) )畫計(jì)算簡(jiǎn)圖，求反力畫計(jì)算簡(jiǎn)圖，求反力 280kN mMx( (2) )確定危險(xiǎn)截面及其上彎矩確定危險(xiǎn)截面及其上彎矩 作梁的彎矩圖作梁的彎矩圖max280kN mM例例6-8 圖示大梁由

21、圖示大梁由NO.50a工字鋼制成，跨中作用一集工字鋼制成，跨中作用一集中力中力 。試求梁危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力。試求梁危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力以及翼緣與腹板交界處以及翼緣與腹板交界處a點(diǎn)的正應(yīng)力。點(diǎn)的正應(yīng)力。 140kNF maxRR70kNABFF彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (3) )計(jì)算彎曲正應(yīng)力計(jì)算彎曲正應(yīng)力 NO.50a工字鋼截面的慣性矩工字鋼截面的慣性矩 ，抗彎，抗彎截面系數(shù)截面系數(shù) 。31860cmzW 446470cmzI 則危險(xiǎn)截面則危險(xiǎn)截面C上的最大正應(yīng)力上的最大正應(yīng)力 36maxmax-63280 10 N m150.5 10 Pa =150.5 MPa1860 10 mzMW危險(xiǎn)截

22、面危險(xiǎn)截面C上點(diǎn)上點(diǎn)a的正應(yīng)力的正應(yīng)力 3max-8460.5m280 10 N m0.02m246470 10 m137.7 10 Pa =137.7MPaaazMyIa158500202012ymmz彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-9試求圖示試求圖示T字形截面梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)字形截面梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。已知力。已知 ， 。 647.64 10 mmzI 152mmy 解解:( (1) )確定梁的最大確定梁的最大 彎矩及其所在截面彎矩及其所在截面 DCBA2m2m2m4.5kN2kNRAFRBF802012020Czy1y2ymmkN mM2.54x作梁的彎矩圖作梁的彎矩圖 梁的最大

23、正彎矩發(fā)生在截面梁的最大正彎矩發(fā)生在截面C上，最大負(fù)彎矩發(fā)生在上，最大負(fù)彎矩發(fā)生在截面截面B上，其大小分別為上，其大小分別為2.5kN mCM4kN mBMR1.25kNAFR5.25kNBF彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (2) )計(jì)算截面計(jì)算截面C 最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力 322t6462.5 10 N m8.8 10 m7.64 10 m28.8 10 Pa = 28.8MPaCCzM yI 321c6462.5 10 N m5.2 10 m7.64 10 m17.0 10 Pa =17.0MPaCCzM yI802012020Czy1y2ymm2.5kN mCM彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)

24、力( (3) )計(jì)算截面計(jì)算截面B 最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力 321t6464 10 N m5.2 10 m7.64 10 m27.2 10 Pa = 27.2MPaBBzM yI 322c6464 10 N m8.8 10 m7.64 10 m46.1 10 Pa = 46.1MPaBBzM yI 梁的最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面梁的最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面C的下邊緣，最大壓應(yīng)力的下邊緣，最大壓應(yīng)力發(fā)生在截面發(fā)生在截面B的下邊緣，的下邊緣，tmaxt28.8MPaCcmaxc46.1MPaB802012020Czy1y2ymm 4kN m-BM彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-10 圖示懸臂梁

25、用工字鋼制作。已知圖示懸臂梁用工字鋼制作。已知 ， ，材料的許用應(yīng)力，材料的許用應(yīng)力 。試根據(jù)正應(yīng)。試根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定工字鋼型號(hào)。力強(qiáng)度條件確定工字鋼型號(hào)。40kNF 6ml 150MPaFABlkN mM240 x解解:( (1) ) 確定最大彎矩確定最大彎矩 作彎矩圖作彎矩圖 max40kN 6m = 240kN mMFl彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (2) )強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度計(jì)算 3max6333240 10 N m150 10 Pa1.60 10 m1600cmzMW 由附錄由附錄B B中工字鋼型鋼表查得，可選用中工字鋼型鋼表查得，可選用NO.45c工工字鋼。因其抗彎截面系數(shù)字鋼。因其抗彎截面

26、系數(shù) ，與計(jì)算結(jié)，與計(jì)算結(jié)果果 相差不到相差不到 ，這在工程設(shè)計(jì)中是允許，這在工程設(shè)計(jì)中是允許的的。 31600cm531570cmzW 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-11圖示槽形截面鑄鐵梁。已知截面的圖示槽形截面鑄鐵梁。已知截面的 、 、 ；鑄鐵材料的許用；鑄鐵材料的許用拉應(yīng)力拉應(yīng)力 、許用壓應(yīng)力、許用壓應(yīng)力 。試。試確定此梁的許可載荷。確定此梁的許可載荷。 445260 10 mmzI 177mmy 2120mmy t30MPac90MPa1yCzy2y解解:( (1) ) 確定最大彎矩確定最大彎矩 作彎矩圖作彎矩圖 2BMF彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (2) )強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度計(jì)算 危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面B處彎

27、矩為負(fù)值，梁上側(cè)受拉、下側(cè)受處彎矩為負(fù)值，梁上側(cè)受拉、下側(cè)受壓，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別發(fā)生在該截面的上壓，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別發(fā)生在該截面的上邊緣和下邊緣各點(diǎn)處。邊緣和下邊緣各點(diǎn)處。 31tmax41246277 10 m5260 1010m30 10 PaBzFMyI1yCzy2y310.25 10 N =10.25kNF 得得2BMF彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力326cmax41242120 10 m90 10 Pa5260 1010mBzFMyI319.72 10 N =19.72kNF 得得1yCzy2y則許可載荷則許可載荷 10.25kNF 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-12鋼制等截面簡(jiǎn)支梁

28、受均布載荷鋼制等截面簡(jiǎn)支梁受均布載荷 作用，橫截面為作用，橫截面為 的矩形，如圖所示。已知的矩形，如圖所示。已知 ， ，材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力 。試求：（。試求：（1）梁按圖）梁按圖a放放置時(shí)的截面尺寸；（置時(shí)的截面尺寸；（2）梁按圖）梁按圖b放置時(shí)的截面尺寸。放置時(shí)的截面尺寸。 q2hb2ml 50kN mq 120MPa解解:( (1) ) 確定最大彎矩確定最大彎矩 作彎矩圖作彎矩圖 2max18MqlRR2ABqlFF彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (2) )強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度計(jì)算 圖圖a放置時(shí)放置時(shí) 22maxmax221 11 1138146zqlMqlWbhbh 232331633 50 10

29、267.9mm1616 120 10qlb故取故取 168mm,b 1136mmh 2max18Mql彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 圖圖b放置時(shí)，抗彎截面系數(shù)放置時(shí)，抗彎截面系數(shù) , , 22216zWh b 232332633 50 10285.5mm88 120 10qlb故取故取 285.5mmb 2171 mmh 由結(jié)果可知，兩梁的橫截面面積之比由結(jié)果可知，兩梁的橫截面面積之比 ，即圖即圖b梁所用材料是圖梁所用材料是圖a梁所用材料的梁所用材料的1.59倍，顯然矩形截面按照倍，顯然矩形截面按照?qǐng)D圖a放置時(shí)的承載能力比圖放置時(shí)的承載能力比圖b高，這是因?yàn)榱簭澢鷷r(shí)中性軸附近的高，這是因?yàn)榱簭澢鷷r(shí)中性軸附

30、近的正應(yīng)力很小，而圖正應(yīng)力很小，而圖b將較多材料放在中性軸附近，使得這部分材將較多材料放在中性軸附近，使得這部分材料未得到充分利用。料未得到充分利用。221211.59AAb b2max18Mql彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-13 T字形截面鑄鐵梁所受載荷和截面尺寸如圖字形截面鑄鐵梁所受載荷和截面尺寸如圖所示。材料的許用拉應(yīng)力所示。材料的許用拉應(yīng)力 、許用壓應(yīng)、許用壓應(yīng)力力 ，試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核梁的，試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核梁的強(qiáng)度。強(qiáng)度。t40MPac100MPa2003017030CzyCy解解:( (1) ) 確定最大彎矩確定最大彎矩 作梁的彎矩圖作梁的彎矩圖 截面截面B上有最大負(fù)彎矩上有最

31、大負(fù)彎矩 20kN mBM截面截面E上有最大正彎矩上有最大正彎矩 10kN mEM彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (2) )確定截面的確定截面的Iz1122123322200 30 185mm30 170 85mm200 30mm30 170mm139mmCCCA yA yyAA2003017030CzyCy彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 2133222332226464200mm30 mm46 mm200 30mm1230mm170 mm54 mm30 170mm1240.3 10 mm40.3 10 mCnzz iiiIIa A2003017030CzyCy彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (3) )強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核 截面截面B

32、： 331t64620 10 N m61 10 m40.3 10 m30.2 10 Pa = 30.2MPaBzM yI 332c64620 10 N m139 10 m40.3 10 m69 10 Pa = 69MPaBzM yI 20kN m-BM彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力截面截面 E： 332t64610 10 N m139 10 m40.3 10 m34.5 10 Pa = 34.5MPaEzM yI 331c64610 10 N m61 10 m40.3 10 m15.1 10 Pa =15.1MPaEzM yI10kN mEM變形為上壓下拉變形為上壓下拉彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 梁的最大拉應(yīng)力發(fā)生在

33、截面梁的最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面E下邊緣各點(diǎn)處；下邊緣各點(diǎn)處；最大壓應(yīng)力發(fā)生在截面最大壓應(yīng)力發(fā)生在截面B下邊緣各點(diǎn)處，作強(qiáng)度校下邊緣各點(diǎn)處，作強(qiáng)度校核：核：tmaxt34.5MPa 40MPacmaxc69MPa 100MPa結(jié)論：該梁強(qiáng)度滿足要求。結(jié)論：該梁強(qiáng)度滿足要求。 注：在對(duì)拉壓強(qiáng)度不同、截面關(guān)于中性軸又不對(duì)稱注：在對(duì)拉壓強(qiáng)度不同、截面關(guān)于中性軸又不對(duì)稱的梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，一般需同時(shí)考慮最大正彎矩和最的梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，一般需同時(shí)考慮最大正彎矩和最大負(fù)彎矩所在的兩個(gè)橫截面，只有當(dāng)這兩個(gè)截面上危險(xiǎn)大負(fù)彎矩所在的兩個(gè)橫截面，只有當(dāng)這兩個(gè)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力都滿足強(qiáng)度條件時(shí)，整根梁才是安全的。點(diǎn)

34、處的應(yīng)力都滿足強(qiáng)度條件時(shí)，整根梁才是安全的。彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力一、矩形截面梁一、矩形截面梁 1、相關(guān)假設(shè)、相關(guān)假設(shè) （1）切應(yīng)力）切應(yīng)力 的方向與剪力的方向與剪力 的方向平行的方向平行; SF（2）切應(yīng)力）切應(yīng)力 沿橫截面寬度方向均勻分布，即沿橫截面寬度方向均勻分布，即距中性軸等遠(yuǎn)處各點(diǎn)的切應(yīng)力值相等。距中性軸等遠(yuǎn)處各點(diǎn)的切應(yīng)力值相等。 彎曲切應(yīng)力及其強(qiáng)度計(jì)算彎曲切應(yīng)力及其強(qiáng)度計(jì)算彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力2、彎曲切應(yīng)力計(jì)算公式、彎曲切應(yīng)力計(jì)算公式 SzzF SI b 剪力；剪力； 橫截面上過縱坐標(biāo)為橫截面上過縱坐標(biāo)為 的點(diǎn)的橫線以外部的點(diǎn)的橫線以外部 分面積（陰影區(qū)域）對(duì)中性軸分面積（陰影區(qū)域）對(duì)中性軸

35、 的靜矩；的靜矩； 橫截面的寬度；橫截面的寬度； 整個(gè)橫截面對(duì)中性軸整個(gè)橫截面對(duì)中性軸 的慣性矩。的慣性矩。bzIzSFzSyz3、彎曲切應(yīng)力分布規(guī)律、彎曲切應(yīng)力分布規(guī)律 122122224zChyhb hSA ybyyy彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 沿橫截面高度方向，彎曲切沿橫截面高度方向，彎曲切 應(yīng)力的大小按照拋物線的規(guī)應(yīng)力的大小按照拋物線的規(guī) 律變化律變化;22SS24zzzF SFhyI bI說明：說明： 在上下邊緣處在上下邊緣處 , 彎曲切應(yīng)力為零；彎曲切應(yīng)力為零；2hy 在中性軸上的各點(diǎn)處在中性軸上的各點(diǎn)處 , 彎曲切應(yīng)力最大。彎曲切應(yīng)力最大。0y Smax32FA式中，式中， 為橫截面的面積

36、。為橫截面的面積。 Abh彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力二、工字形截面梁二、工字形截面梁 SzzF SI d 為腹板厚度為腹板厚度 d 為圖示陰影部分區(qū)域面積對(duì)中性軸為圖示陰影部分區(qū)域面積對(duì)中性軸z的靜矩。的靜矩。 zS222200824zhbdShhy由由得得2222S00824zFhbdhhyI d彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力說明說明: 在與上、下翼緣交界處在與上、下翼緣交界處( )的各點(diǎn)，切的各點(diǎn)，切 應(yīng)力最小，為應(yīng)力最小，為02hy 22Smin08zFbhbhI d在中性軸上（在中性軸上（ ）的各點(diǎn)，切應(yīng)力最大，為）的各點(diǎn)，切應(yīng)力最大，為0y 沿腹板高度方向，彎曲切沿腹板高度方向，彎曲切 應(yīng)力照拋物線規(guī)律變化

37、應(yīng)力照拋物線規(guī)律變化;22Smax08zFbhbd hI d彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力當(dāng)腹板厚度當(dāng)腹板厚度d遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于翼緣寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于翼緣寬度b時(shí)，時(shí)， Smax0Fdh對(duì)于工字鋼截面，其最大彎曲切應(yīng)力也可對(duì)于工字鋼截面，其最大彎曲切應(yīng)力也可Smaxmax:zzFd IS彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力三、圓形截面梁三、圓形截面梁yzmaxSF薄壁圓環(huán)形截面梁彎曲切應(yīng)力的薄壁圓環(huán)形截面梁彎曲切應(yīng)力的 最大值發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處最大值發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處Smax43FA式中式中A為圓形截面的面積。為圓形截面的面積。四、薄壁圓環(huán)形截面梁四、薄壁圓環(huán)形截面梁RCzytmaxmaxSFSmax2FA圓形截面梁彎曲切應(yīng)力的最大圓形

38、截面梁彎曲切應(yīng)力的最大 值發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處值發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處式中式中A為圓環(huán)形截面的面積。為圓環(huán)形截面的面積。彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力五、彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件五、彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件 梁的彎曲切應(yīng)力的最大值一般發(fā)生在截面的中性梁的彎曲切應(yīng)力的最大值一般發(fā)生在截面的中性軸上。由于中性軸上點(diǎn)的正應(yīng)力為零，因此中性軸上軸上。由于中性軸上點(diǎn)的正應(yīng)力為零，因此中性軸上的點(diǎn)受到純剪切，彎曲切應(yīng)力的強(qiáng)度條件即為的點(diǎn)受到純剪切，彎曲切應(yīng)力的強(qiáng)度條件即為 max彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-14 圖示矩形截面簡(jiǎn)支梁受均布載荷作用，試求圖示矩形截面簡(jiǎn)支梁受均布載荷作用，試求梁的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并比較其大小。梁的最大

39、正應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并比較其大小。qABRBFRAFlyzChb解解:( (1) )求支座反力求支座反力 RR12ABFFql( (2) )確定最大彎矩和確定最大彎矩和最大剪力最大剪力 作梁的剪力圖和彎矩圖作梁的剪力圖和彎矩圖 SF2qlx2qlMx28qlSmax12Fql2max18Mql彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (3) )計(jì)算最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力計(jì)算最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力22maxmax22138146zqlMqlWbhbhSmaxmax13332224qlFqlAbhbhyzChb彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (4) )比較最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力的大小比較最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力的大小 22maxma

40、x3434qllbhqlhbh 說明：說明：此梁的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比此梁的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比就等于梁的跨度就等于梁的跨度 與梁的截面高度與梁的截面高度 之比。故在之比。故在對(duì)非薄壁截面的細(xì)長(zhǎng)梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，一般應(yīng)對(duì)非薄壁截面的細(xì)長(zhǎng)梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，一般應(yīng)以正應(yīng)力強(qiáng)度條件為主。以正應(yīng)力強(qiáng)度條件為主。 lh彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-15 圖示矩形截面鋼梁，已知圖示矩形截面鋼梁，已知 、 ； ；材料的許用正應(yīng)力；材料的許用正應(yīng)力 、許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力 。若規(guī)定梁橫截面的高寬比。若規(guī)定梁橫截面的高寬比 ，試按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)梁的橫截面尺寸。，試按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)梁的橫截面尺寸。10kNF 5

41、kN mq 1ml 160MPa 80MPa2hbFqABCDRAFRBFlllyzChb解解:( (1) )求支座反力求支座反力 R3.75kNAFR11.25kNBFSkNF56.253.75xkN mM3.752.5x( (2) )確定最大彎矩和最大剪力確定最大彎矩和最大剪力 max3.75kN mMSmax6.25kNF彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (3) )根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面尺寸根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面尺寸 maxzMW 3max33633 3.75 1022 160 100.03276m = 32.76mmMb取截面尺寸取截面尺寸= 33mmb66mmh 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (4)

42、 )對(duì)彎曲切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核對(duì)彎曲切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核3Smaxmax6633 6.25 1022 33 66 104.3 10 Pa = 4.3MPaFA max= 4.3MPa80MPa所以梁的強(qiáng)度足夠。所以梁的強(qiáng)度足夠。 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-16 某工作平臺(tái)的橫梁是由某工作平臺(tái)的橫梁是由18號(hào)工字鋼制成，受力號(hào)工字鋼制成，受力如圖所示。已知材料的許用正應(yīng)力如圖所示。已知材料的許用正應(yīng)力 ，許，許用切應(yīng)力用切應(yīng)力 。試校核此梁強(qiáng)度。試校核此梁強(qiáng)度。 170MPa 100MPa2m2m2m2m6.5kNF FFABRBFRAFSkNFx9.759.753.253.25kN mM19.519

43、.526x解解:( (1) )求支座反力求支座反力 RR9.75kNABFF( (2) )確定最大彎矩確定最大彎矩 和最大剪力和最大剪力 max26kN mMSmax9.75kNF彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (3) )校核彎曲正應(yīng)力校核彎曲正應(yīng)力 在型鋼表中查得在型鋼表中查得18號(hào)工字鋼截面的幾何參數(shù)：號(hào)工字鋼截面的幾何參數(shù)： 、 、 、 、 、 。180mmh 94mmb 6.5mmd 41660cmzI 3185cmzW cmzzIS 3maxmax6626 10185 10140.6 10 Pa=140.6MPa 170MPazMW梁的正應(yīng)力強(qiáng)度足夠。梁的正應(yīng)力強(qiáng)度足夠。 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (

44、4) )校核彎曲切應(yīng)力校核彎曲切應(yīng)力 Smaxmax3326:9.75 106.5 1015.4 109.75 10 Pa= 9.75MPa100MPazzFd IS梁的切應(yīng)力強(qiáng)度足夠。梁的切應(yīng)力強(qiáng)度足夠。 結(jié)論：該鋼梁的強(qiáng)度符合要求。結(jié)論：該鋼梁的強(qiáng)度符合要求。 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力例例6-17 圖示工字形截面外伸梁，已知材料的許用正圖示工字形截面外伸梁，已知材料的許用正應(yīng)力應(yīng)力 、許用切應(yīng)力、許用切應(yīng)力 ，試選擇工字鋼型號(hào)。試選擇工字鋼型號(hào)。 160MPa 100MPa解解:( (1) )求支座反力求支座反力 R17kNAFR41kNBF40kN9kNqmABCDRAFRBF3m3m2myz(

45、 (2) )確定最大彎矩確定最大彎矩 和最大剪力和最大剪力 max51kN mMSmax23kNFSkNF182317xkN mM5118x彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (3) )按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇工字鋼型號(hào)按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇工字鋼型號(hào) 3max643351 10 N m160 10 Pa3.1875 10 m318.75cmM 查型鋼表，選用查型鋼表，選用NO.22b工字鋼，其工字鋼，其 ，可以滿足要求?？梢詽M足要求。3325cmzW 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (4) )校核切應(yīng)力強(qiáng)度校核切應(yīng)力強(qiáng)度 從型鋼表中查得從型鋼表中查得NO.22b工字鋼的工字鋼的 、 。cmzzIS9.5mmd Smaxmax323:23 10 N8.78 10 m 9.5 10 m27.7MPa 100MPazzFd IS梁的切應(yīng)力強(qiáng)度足夠，因此選用梁的切應(yīng)力強(qiáng)度足夠，因此選用NO.22b工字鋼。工字鋼。彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力總結(jié)：梁的強(qiáng)度計(jì)算總結(jié)：梁的強(qiáng)度計(jì)算1 1、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的截面的上下邊緣上