電路第五版第8章相量法

1、第第8 8章章 相量法相量法 復數(shù)復數(shù)8.1正弦量正弦量8.2相量法的基礎相量法的基礎8.3電路定律的相量形式電路定律的相量形式8.4首首 頁頁本章重點本章重點2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示3. 3. 電路定理的相量形式電路定理的相量形式l 重點：重點：1. 1. 正弦量的表示、相位差正弦量的表示、相位差返 回1. 1. 復數(shù)的表示形式復數(shù)的表示形式) 1(j為為虛虛數(shù)數(shù)單單位位FbReImao|F|bajFeFFj)sin(cos|jbaFj|jFeFFj|eFF 下 頁上 頁代數(shù)式代數(shù)式指數(shù)式指數(shù)式極坐標式極坐標式三角函數(shù)式三角函數(shù)式8.1 8.1 復數(shù)復數(shù)返 回幾種表示法的

2、關系：幾種表示法的關系：ab baFarctan | 22或或sin| cos| F bFa2. 2. 復數(shù)運算復數(shù)運算 加減運算加減運算 采用代數(shù)式采用代數(shù)式下 頁上 頁FbReImao|F|baFj|jFeFF返 回則則 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)若若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2圖解法圖解法下 頁上 頁F1F2ReImoF1+F2-F2F1ReImoF1-F2F1+F2F2返 回 乘除運算乘除運算 采用極坐標式采用極坐標式若若 F1=|F1| 1 ，F(xiàn)2=|F2| 22121)j(212j2j1221121 | | |211|F|FeFFeFeFFFFF則則: :

3、2121)( j21j2j121 2121FFeFFeFeFFF下 頁上 頁模相乘模相乘角相加角相加模相除模相除角相減角相減返 回例例1 ?2510475)226. 4 j063. 9()657. 3 j41. 3(原原式式569. 0 j47.1261. 248.12解解下 頁上 頁例例2?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 解解2 .126j2 .180原式原式04.1462.203 .56211. 79 .2724.1916.70728. 62 .126j2 .180329. 6 j238. 22 .126j2 .180365 .2255 .132j5 .182返 回 旋轉(zhuǎn)

4、因子旋轉(zhuǎn)因子復數(shù)復數(shù) ej =cos +jsin =1F ejFReIm0F ej下 頁上 頁旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)因子返 回j2sinj2cos ,22jej)2sin(j)2cos(,22je1)sin(j)cos(,je +j, j, -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。特殊特殊旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)因子ReIm0FFjFjF下 頁上 頁注意返 回8.2 8.2 正弦量正弦量1. 1. 正弦量正弦量l瞬時值表達式瞬時值表達式i(t)=Imcos(w t+y)ti0Tl周期周期T 和頻率和頻率f頻率頻率f ：每秒重復變化的次數(shù)。：每秒重復變化的次數(shù)。周期周期T ：重復變化一次所需的時間。：重復變化一

5、次所需的時間。單位：赫單位：赫( (茲茲) )Hz單位：秒單位：秒sTf1正弦量為周期函數(shù)正弦量為周期函數(shù) f(t)=f ( t+kT )下 頁上 頁波形波形返 回l正弦電流電路正弦電流電路 激勵和響應均為同頻率的正弦量的線性電路激勵和響應均為同頻率的正弦量的線性電路（正弦穩(wěn)態(tài)電路）稱為正弦電路或交流電路。（正弦穩(wěn)態(tài)電路）稱為正弦電路或交流電路。 正弦穩(wěn)態(tài)電路在電力系統(tǒng)和電子技術領域正弦穩(wěn)態(tài)電路在電力系統(tǒng)和電子技術領域占有十分重要的地位。占有十分重要的地位。l研究正弦電路的意義研究正弦電路的意義 正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其加、減、求導、正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其加、減、求導、積分運算后仍是同頻率的正弦

6、函數(shù)；積分運算后仍是同頻率的正弦函數(shù)； 正弦信號容易產(chǎn)生、傳送和使用。正弦信號容易產(chǎn)生、傳送和使用。下 頁上 頁優(yōu)點返 回 正弦信號是一種基本信號，任何非正弦周期信正弦信號是一種基本信號，任何非正弦周期信號可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。號可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。)cos()(kn1kkwtkAtf 對正弦電路的分析研究具有重要的理對正弦電路的分析研究具有重要的理論價值和實際意義。論價值和實際意義。下 頁上 頁結論返 回 幅值幅值 ( (振幅、最大值振幅、最大值) )Im(2) (2) 角頻率角頻率2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素(3)(3) 初相位初相位yTf22w單位：單位

7、： rad/s ，弧度弧度/ /秒秒反映正弦量變化幅度的大小。反映正弦量變化幅度的大小。相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。 反映正弦量的計時起點，常用角度表示。反映正弦量的計時起點，常用角度表示。 i(t)=Imcos(w t+y) 下 頁上 頁返 回同一個正弦量，計時起點不同，初相同一個正弦量，計時起點不同，初相位不同。位不同。一般規(guī)定一般規(guī)定：|y | 。y =0y =/2y =/2下 頁上 頁iowty注意返 回例例已知正弦電流波形如圖，已知正弦電流波形如圖，w103rad/s，1.1.寫出寫出 i(t) 表達式；表達式；2.2.求最大值發(fā)生的時間求

8、最大值發(fā)生的時間t1 1tio10050t1解解)10cos(100)(3yttiycos100500t3y由于最大值發(fā)生在計時起點右側由于最大值發(fā)生在計時起點右側3y)310cos(100)(3tti有有最最大大值值當當 310 13tms047. 110331t下 頁上 頁返 回3. 3. 同頻率正弦量的相位差同頻率正弦量的相位差設設 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i)相位差相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i規(guī)定規(guī)定： |j | (180)下 頁上 頁等于初相位之差等于初相位之差返 回lj 0， u超前

9、超前i j 角角，或或i 滯后滯后 u j 角角, (u 比比 i 先先到達最大值到達最大值) )；l j 0， i 超前超前 u j 角，或角，或u 滯后滯后 i j 角角, i 比比 u 先先 到達最大值）。到達最大值）。下 頁上 頁返 回w tu, iu iyuyijoj 0， 同相同相j = (180o ) ，反相反相特殊相位關系特殊相位關系w tu iow tu ioj= /2：u 領先領先 i /2 w tu io同樣可比較兩個電壓或兩個電流的相位差。同樣可比較兩個電壓或兩個電流的相位差。下 頁上 頁返 回例例計算下列兩正弦量的相位差。計算下列兩正弦量的相位差。)15 100sin

10、(10)( )30 100cos(10)( )2(0201ttitti)2 100cos(10)( )43 100cos(10)( ) 1 (21ttitti)45 200cos(10)( )30 100cos(10)( )3(0201ttuttu)30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4(0201ttitti下 頁上 頁解解045)2(43j43245j000135)105(30j)105100cos(10)(02tti不能比較相位差不能比較相位差21ww000120)150(30j)150100cos(3)(02tti兩個正弦量兩個正弦量進行相位比進行相位比較時應滿足

11、較時應滿足同頻率、同同頻率、同函數(shù)、同符函數(shù)、同符號，且在主號，且在主值范圍比較。值范圍比較。 結論返 回4. 4. 周期性電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的有效值 周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為了衡量其平均效果工程上采用有效值來表示。了衡量其平均效果工程上采用有效值來表示。l周期電流、電壓有效值定義周期電流、電壓有效值定義R直流直流IR交流交流 ittiRWTd)(20TRIW2物物理理意意義義下 頁上 頁返 回TttiTI02defd)(1下 頁上 頁均方根值均方根值定義電壓有效值：定義電壓有效值：TttuTU02defd)(1l 正弦電流、

12、電壓的有效值正弦電流、電壓的有效值設設 i(t)=Imcos(w t+ )返 回ttITITd ) (cos1022mwTtttttTTT2121 d2) (2cos1d ) (cos 0002wwmm2m707. 0221 IITITI) cos(2) cos()(mtItItiwwII2 m下 頁上 頁返 回同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關系：同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關系：UUUU2 21mm或或若交流電壓有效值為若交流電壓有效值為 U=220V ， U=380V 其最大值為其最大值為 Um311V Um537V下 頁上 頁注意工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如工程上說

13、的正弦電壓、電流一般指有效值，如設備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級等。但絕緣水平、設備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設備的耐耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設備的耐壓水平時應按最大值考慮。壓水平時應按最大值考慮。返 回 測量中，交流測量儀表指示的電壓、電流讀測量中，交流測量儀表指示的電壓、電流讀數(shù)一般為有效值。數(shù)一般為有效值。 區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的符號。符號。UUuIIi, ,mm下 頁上 頁返 回8.3 8.3 相量法的基礎相量法的基礎1. 1. 問題的提出問題的提出電路方程是微分方程

14、：電路方程是微分方程：兩個正弦量的相加：如兩個正弦量的相加：如KCL、KVL方程運算：方程運算：)(dddd2tuutuRCtuLCCCC) cos(2111ywtIi) cos(2222ywtIi下 頁上 頁RLC+-uCiLu+-返 回i1i1+i2 i3i2www角頻率角頻率 同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只需確定初相位和有效值。因此采用所以，只需確定初相位和有效值。因此采用正弦量正弦量復數(shù)復數(shù)下 頁上 頁I1I2I3有效值有效值 1 2 3初相位初相位變換的思想變換的思想w tu, ii1 i2oi3結論返 回造一個復函數(shù)造一個復函數(shù))

15、j(2)(tIetFw對對 F(t) 取實部取實部)() cos(2)(RetitItFw 任意一個正弦時間函數(shù)都任意一個正弦時間函數(shù)都有唯一與其對應的復數(shù)函數(shù)。有唯一與其對應的復數(shù)函數(shù)。) j(2)( ) cos(2tIetFtIiww) sin(2j) cos(2tItIww無物理意義無物理意義是一個正弦量是一個正弦量 有物理意義有物理意義3. 3. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示下 頁上 頁結論返 回F(t) 包含了三要素包含了三要素：I、 、w，復常數(shù)包含了兩個要素：復常數(shù)包含了兩個要素：I , 。F(t) 還可以寫成還可以寫成tteIeIetFwwyjj22)(j復常數(shù)復常數(shù)下 頁

16、上 頁正弦量對正弦量對應的相量應的相量 ) cos(2)(IItItiw相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位注意返 回 ) cos(2)(UUtUtuw同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系：同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系：已知已知例例1 1試用相量表示試用相量表示i, u . .)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4 .141oouti解解V60220 A,30100oo UI下 頁上 頁例例2試寫出電流的瞬時值表達式。試寫出電流的瞬時值表達式。解解A )15314cos(250ti. 50Hz

17、A,1550 fI已知已知返 回在復平面上用向量表示相量的圖在復平面上用向量表示相量的圖IItIti) cos(2)(UUtUtu) cos(2)(wl 相量圖相量圖下 頁上 頁UI+1+j返 回4. 4. 相量法的應用相量法的應用 同頻率正弦量的加減同頻率正弦量的加減)2Re() cos(2)()2Re() cos(2)( j2222 j1111tteUtUtueUtUtuwwwwjj1212jjj1212( ) ( )( )Re( 2)Re( 2) Re( 22)Re( 2()tttttu tu tu tU eU eU eU eUUewwwwwU21UUU相量關系為：相量關系為：下 頁上

18、頁結論 同頻正弦量的加減運算變?yōu)閷嗔客l正弦量的加減運算變?yōu)閷嗔康募訙p運算。的加減運算。返 回i1 i2 = i3321 III下 頁上 頁例例V )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21ttuttuV604 V 306o2o1UUV )9 .41314cos(264. 9)()()( o21ttututu60430621UUU46. 3 j23 j19. 546. 6 j19. 7V 9 .4164. 9o返 回借助相量圖計算借助相量圖計算+1+j301U602U9 .41U首尾相接首尾相接下 頁上 頁V604 V 306o2o1UU+1+j9 .41U60

19、2U301U返 回 正弦量的微分、積分運算正弦量的微分、積分運算 ) cos(2iiIItIiyyw j2Re 2Redddd j jtteIe IttiwwwtteIte Iti j jj2Re d 2Redwww微分運算微分運算 積分運算積分運算2 jddiIItiyww2 jdiIItiyww下 頁上 頁返 回例例 ) cos(2)(itItiyw d1dd)(tiCtiLRitu用相量運算：用相量運算： jjCIILIRUww 把時域問題變?yōu)閺蛿?shù)問題；把時域問題變?yōu)閺蛿?shù)問題； 把微積分方程的運算變?yōu)閺蛿?shù)方程運算；把微積分方程的運算變?yōu)閺蛿?shù)方程運算； 可以把直流電路的分析方法直接用于交流

20、電路?？梢园阎绷麟娐返姆治龇椒ㄖ苯佑糜诮涣麟娐贰Ｏ?頁上 頁Ri(t)u(t)L+-C相量法的優(yōu)點返 回 正弦量正弦量相量相量時域時域 頻域頻域 相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變線性電路。線性電路。相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。正弦波形圖正弦波形圖相量圖相量圖下 頁上 頁注意不不適適用用線線性性線線性性w1w2非非線性線性w返 回8.4 8.4 電路定律的相量形式電路定律的相量形式1. 1. 電阻元件電阻元件VCR的相量形式的相量形式時域形式：時域形式：相量形式：相量形式：iiRIUIIR 相量模型相量模型)cos(2)(

21、itItiw)cos(2)()( RitRItRituwuR(t)i(t)R+-有效值關系有效值關系相位關系相位關系R+-RU IURu相量關系：相量關系：IRURUR=RIu=i下 頁上 頁返 回瞬時功率瞬時功率iupRR 波形圖及相量圖波形圖及相量圖 iw touRpRRUIu=iURI 瞬時功率以瞬時功率以2w交變，始終大于零，表交變，始終大于零，表明電阻始終吸收功率明電阻始終吸收功率) (cos222RitIU) (2cos1 RitIU同同相相位位下 頁上 頁返 回時域形式：時域形式：相量形式：相量形式：) cos(2)( itItiw)2 cos( 2 ) sin(2d)(d)(i

22、iLtILtILttiLtuwwww相量模型相量模型相量關系：相量關系：IXILULLjjw2. 2. 電感元件電感元件VCR的相量形式的相量形式2 iLiLIUIIw下 頁上 頁有效值關系有效值關系： U=w L I相位關系：相位關系： u=i +90 i(t)uL(t)L+-jw L+-LU I返 回感抗的性質(zhì)感抗的性質(zhì) 表示限制電流的能力；表示限制電流的能力； 感抗和頻率成正比。感抗和頻率成正比。wXL相量表達式相量表達式XL=wL=2fL，稱為感抗，單位為稱為感抗，單位為 ( (歐姆歐姆) )BL=-1/w L =-1/2fL， 稱為稱為感納，單位為感納，單位為 S 感抗和感納感抗和感

23、納 ,jjILIXULw開開路路; ;短短路路( (直直流流) ) , ,; , 0 ,0LLXXwwULULUBILwwj11jj下 頁上 頁返 回功率功率) (2sin ) sin()cos( LmLmLLiiitIUttIUiupwwww t iouLpL2 瞬時功率以瞬時功率以2w交變，有正有負，一周期內(nèi)剛交變，有正有負，一周期內(nèi)剛好互相抵消，表明電感只儲能不耗能。好互相抵消，表明電感只儲能不耗能。LUIi波形圖及相量圖波形圖及相量圖電壓超前電壓超前電流電流90900 0下 頁上 頁返 回時域形式：時域形式：相量形式：相量形式：)cos(2)( utUtuw)2 cos(2 ) sin

24、(2d)(d)(CuutCUtCUttuCtiwwww相量模型相量模型iC(t)u(t)C+- UC I+- -Cj1相量關系：相量關系：IXICUCj1jw3. 3. 電容元件電容元件VCR的相量形式的相量形式2 uCuCUIUUw下 頁上 頁有效值關系：有效值關系： IC=w CU相位關系：相位關系： i=u+90 返 回XC=-1/w C， 稱為容抗，單位為稱為容抗，單位為 ( (歐姆歐姆) )B C = w C， 稱為容納，單位為稱為容納，單位為 S 容抗和頻率成反比容抗和頻率成反比 w0， |XC| 直流開路直流開路( (隔直隔直) )w ，|XC|0 高頻短路高頻短路w|XC|容抗

25、與容納容抗與容納相量表達式相量表達式UCUBIICIXUCCwwjj 1jj下 頁上 頁返 回 1jjCICIXUw功率功率)(2sin )sin()cos(2CCCuuuCtUIttUIuipw t iCoupC 瞬時功率以瞬時功率以2w交變，有正有負，一周期交變，有正有負，一周期內(nèi)剛好互相抵消，內(nèi)剛好互相抵消，表明電容只儲能不耗能。表明電容只儲能不耗能。UCIu波形圖及相量圖波形圖及相量圖電流超前電流超前電壓電壓900下 頁上 頁2返 回4. 4. 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式 0)(ti同頻率的正弦量加減可以用對應的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對應的相量形式來進行計算

26、。因此，在正弦電流電路中，來進行計算。因此，在正弦電流電路中，KCL和和KVL可用相應的相量形式表示：可用相應的相量形式表示： 流入某一結點的所有正弦電流用相量表示流入某一結點的所有正弦電流用相量表示時仍滿足時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時仍滿足相量表示時仍滿足KVL。0 2Re)( j21teIItiw 0I 0)(tu 0U下 頁上 頁表明返 回 j . 5CCCIUw例例1 1試判斷下列表達式的正、誤。試判斷下列表達式的正、誤。Liu . 1w005 cos5 . 2tiwmm j . 3CUIwLLL . 4IUXLL j . 6IL

27、UwtiCudd . 7UImUmmIUIUCwj1L下 頁上 頁返 回例例2已知電流表讀數(shù)：已知電流表讀數(shù)：A18A下 頁上 頁6AA2A1A0Z1Z2UA2CXZRZj , . 1 21若若A0?為何參數(shù)為何參數(shù)21 , 2. ZRZ I0max=?A0為為何何參參數(shù)數(shù)2L1 ,j 3. ZXZ A0I0min=?為為何何參參數(shù)數(shù)2L1 ,j . 4 ZXZ ?A2A0A1解解A1068 1. 220IA1468 2. max02IRZ，A268 ,j 3. min0C2IXZA16 ,A8 ,j . 4 210C2IIIXZ1,IU2I0I返 回例例3)(:),5cos(2120)( titt u求求已已知知解解00120U20j54 jjLX10j02. 051jjCX相量模型相量模型下 頁上