2017年高考天津理科數(shù)學(xué)試題及答案解析版

1、2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理科）參考公式： 如果事件，互斥，那么； 如果事件，相互獨(dú)立，那么； 柱體的體積公式，其中表示柱體的底面面積，表示柱體的高； 錐體體積公式，其中表示錐體的底面面積，表示錐體的高第卷（共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（1）【2017年天津，理1，5分】設(shè)集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，故選B（2）【2017年天津，理2，5分】設(shè)變量滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（ ）（A） （B）1 （C） （D）3【答案】D【解析】目標(biāo)函數(shù)為四邊形及其內(nèi)部

2、，其中，所以直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B時(shí)取最大值3，故選D （3）【2017年天津，理3，5分】閱讀右面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為24，則輸出的值為（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C【解析】依次為 ，輸出，故選C（4）【2017年天津，理4，5分】設(shè)，則“”是“”的（ ）（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，不滿(mǎn)足，所以是充分不必要條件，故選A（5）【2017年天津，理5，5分】已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，離心率為若經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的方程為（ ）（A） （B） （C） （D）【答

3、案】B【解析】由題意得，故選B（6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，若，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上是增函數(shù)，所以在時(shí)，從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，所以即，所以，故選C（7）【2017年天津，理7，5分】設(shè)函數(shù)，其中，若，且的最小正周期大于，則（ ）（A）， （B）， （C）， （D），【答案】A【解析】由題意，其中，所以，又，所以，所以，由得，故選A（8）【2017年天津，理8，5分】已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解

4、析】不等式為，當(dāng)時(shí)，式即為，又（時(shí)取等號(hào)），（時(shí)取等號(hào)），所以，當(dāng)，式為，又（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，綜上，故選A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分（9）【2017年天津，理9，5分】已知，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為 【答案】【解析】為實(shí)數(shù)，則（10）【2017年天津，理10，5分】已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為 【答案】【解析】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為 ，則，外接球直徑為（11）【2017年天津，理11，5分】在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 【答案】2【解析】直線(xiàn)為 ，圓為 ，因?yàn)?，所以有兩個(gè)交點(diǎn)（12）【

5、2017年天津，理12，5分】若，則的最小值為 【答案】4【解析】 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)（13）【2017年天津，理13，5分】在中，若，且，則的值為 【答案】【解析】，則（14）【2017年天津，理14，5分】用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有 個(gè)（用數(shù)字作答）【答案】1080【解析】三、解答題：本大題共6題，共80分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟（15）【2017年天津，理15，13分】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為已知，（1）求和的值；（2）求的值解：（1）在中，故由，可得由已知及余弦定理，所以由正弦定理，得所以值

6、為，的值為 （2）由（1）及，得，所以，故（16）【2017年天津，理16，13分】從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為（1）設(shè)表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若有2輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率解：（1）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（2）設(shè)表示第一輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，表示第二輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為所以，這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率為（17）【2017年天津，理17，13分】如圖，在三棱錐中，底面，

7、點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點(diǎn)在棱上，且直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為，求線(xiàn)段的長(zhǎng)解：如圖，以為原點(diǎn)，分別以，方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系依題意可得，（1），設(shè)，為平面的法向量，則，即不妨設(shè)，可得又，可得因?yàn)槠矫妫云矫妫?）易知為平面的一個(gè)法向量設(shè)為平面的法向量，則，因?yàn)?，所以不妨設(shè)，可得因此有，于是二面角的正弦值為（3）依題意，設(shè)（），則，進(jìn)而可得，由已知，得，整理得，解得，或所以，線(xiàn)段的長(zhǎng)為或（18）【2017年天津，理18，13分】已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）

8、求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為由，得，而，所以又因?yàn)?，解得所以，由，可得由，可得，?lián)立，解得，由此可得所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，有，故，上述兩式相減，得得所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為（19）【2017年天津，理19，14分】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為（1）求橢圓的方程和拋物線(xiàn)的方程；（2）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)若的面積為，求直線(xiàn)的方程；解：（1）設(shè)的坐標(biāo)為依題意，解得，所以，橢圓的方程為，拋物線(xiàn)的方程為（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與直線(xiàn)的方

9、程聯(lián)立，可得點(diǎn)，故將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn)由，可得直線(xiàn)的方程為，令，解得，故所以又因?yàn)榈拿娣e為，故，整理得，直線(xiàn)的方程為，或（20）【2017年天津，理20，14分】設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，為的導(dǎo)函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，函數(shù)，求證：；（3）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對(duì)于任意的正整數(shù)，且 滿(mǎn)足解：（1）由，可得，可得令，解得，或當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：x+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）由，得，令函數(shù)，則由（1）知，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增因此，當(dāng)時(shí)，可得，令函數(shù)，則由（1）知，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減因此，當(dāng)時(shí)