D10_2二重積分的計(jì)算法

1、精品課程*三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二重積分的計(jì)算法精品課程一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分且在D上連續(xù)時(shí), 0),(yxf當(dāng)被積函數(shù)bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲頂柱體體積的計(jì)算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則)(1xy)(2xyxboyDax若D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd)

2、,(則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程當(dāng)被積函數(shù)),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負(fù)均非負(fù)DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上變號(hào)變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程oxy說(shuō)明說(shuō)明: (1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計(jì)算方便,可選擇積分序選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()

3、(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程xy211xy o221d y例例1. 計(jì)算,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. x解法解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課

4、程例例2. 計(jì)算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計(jì)算簡(jiǎn)便, 先對(duì) x 后對(duì) y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程例例3. 計(jì)算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對(duì) x 積

5、分不行, 說(shuō)明說(shuō)明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程例例4. 交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD將:D視為Y型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程例例5. 計(jì)算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D

6、1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos對(duì)應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrr kkkr221內(nèi)取點(diǎn)kkkrr221)(及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為krkrkkkr機(jī)動(dòng)

7、 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf設(shè),)()(:21rD則Drrrrfdd)sin,cos(d特別特別, 對(duì)20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程若 f 1 則可求得D 的面積d)(21202Dd思考思考: 下列

8、各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點(diǎn),試答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx問(wèn) 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程例例6. 計(jì)算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在極坐標(biāo)系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無(wú)法用直角2reddrr20d由于故坐標(biāo)計(jì)算.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程注注: 利用例6可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式2d02xex事實(shí)上, 當(dāng)D 為 R2 時(shí),Dyxyxedd22y

9、exeyxdd2220d42xex利用例6的結(jié)果, 得)1 (limd42220aaxexe故式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程例例7. 求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解解: 設(shè)由對(duì)稱性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程baxxfd)() )(txtttfd)()(定積分換元法*三、二重積分換元法三、二重積分換元法 ),(),(:vuyyvuxxTDD

10、vu),(滿足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 變換DDT:則Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上連續(xù)在閉域設(shè)Dyxf變換:是一一對(duì)應(yīng)的 ,vuvuJdd),(ovuDoyxDT機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程oyxDovuD證證: 根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換 T 可逆. 用平行于坐標(biāo)軸的 ,坐標(biāo)面上在vou 直線分割區(qū)域 ,D任取其中一個(gè)小矩T形, 其頂點(diǎn)為),(, ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv通過(guò)變換T, 在 xoy 面上得到一個(gè)四邊

11、形, 其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令則12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得14yy )(),(okvuvy當(dāng)h, k 充分小時(shí),曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品

12、課程vuvuJdd),(d因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí), sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程例例8. 計(jì)算其中D 是 x 軸 y 軸和直線2 yx所圍成的閉域. 解解: 令,xyvxyu則2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxeDxyxyddvuevuDdd2120d21vvveed)(211201ee2 yxDxoy212121

13、2121vvvuue dxyxye,ddyx)(DD DD2vvu vuuov機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程ybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例9. 計(jì)算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .解解: 令Duvopqab則bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpq機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程例例10. 試計(jì)算橢球體1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由

14、對(duì)稱性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax則D 的原象為20,1: rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的體積V.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域?yàn)?()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域?yàn)?()(,),(21yxxyxdycyxD則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),

15、(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且則DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J極坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域?yàn)閐drrDo)(1r)(2r在變換下機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程(3) 計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng) 畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限

16、計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè), 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交換積分順序后, x , y互換oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

17、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程2. 交換積分順序ararccoscosar oxa)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 積分域如圖rrar0dararccosararccosId),(rf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程作業(yè)作業(yè)P95 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19( 1); *20 (2) 第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精品課程axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax備用題備用題1. 給定改變積分的次序.