新高二數(shù)學(xué)暑假班講義：第2講 空間向量基本定理（解析版）

1、第2講 空間向量基本定理新課標(biāo)要求了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解。知識梳理定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc，其中a，b，c叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量名師導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)1 基底與基向量【例1-1】有以下命題：如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則點(diǎn)一定共面；已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量也是空間的一個(gè)基底其中正確的命題是 A. B. C. D. 【分析】本題考查空間向量的基本定理，以及共線向量與共面向量，考查分析問題解決問

2、題的能力，是基礎(chǔ)題根據(jù)空間向量的基本定理即可判斷的正誤，找出反例判斷命題錯(cuò)誤，即可得到正確選項(xiàng)【解答】解：如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線，不正確反例：如果中有一個(gè)向量為零向量，共線但不能構(gòu)成空間向量的一組基底，所以不正確，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面；這是正確的已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量，也是空間的一個(gè)基底；因?yàn)槿齻€(gè)向量非零不共線，正確故選C【變式訓(xùn)練1-1】已知向量是空間的一個(gè)基底，下列能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是A. B. C. D. 【分析】本題考查空間向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題型，能構(gòu)成空間的另一個(gè)

3、基底的條件是不共面，由此逐項(xiàng)判斷即可；【解答】解：因?yàn)?，所以，共面又因?yàn)?，所以，共面不存在，使得，所以，不共面，故可作為空間的一個(gè)基底故選C.知識點(diǎn)2 空間向量基本定理及其應(yīng)用【例2-1】（龍華區(qū)校級期中）如圖，在平行六面體中，分別在面對角線，上且，記向量，用表示【分析】利用空間向量基本定理，即可得出結(jié)論【解答】解：【例2-2】如圖所示，在平行六面體中，求的長；求與的夾角的余弦值【解析】解 ，設(shè)與的夾角為，設(shè)，依題意得，【變式訓(xùn)練2-1】如圖，四棱錐POABC的底面為一矩形，PO平面OABC，設(shè)a，b，c，E，F(xiàn)分別為PC和PB的中點(diǎn)，試用a，b，c表示，.【解】()()cab.a()a.a(

4、)acb.又E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，a.【變式訓(xùn)練2-2】如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn) 求 求EG的長【答案】解：設(shè)，則，；，即EG的長為名師導(dǎo)練A組-應(yīng)知應(yīng)會1.若向量，是空間的一個(gè)基底，向量，那么可以與，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是 A. B. C. D. 【分析】本題考查空間向量的共面定理的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)空間向量的一組基底是：任意兩個(gè)不共線，且不為零向量，三個(gè)向量不共面，從而判斷出結(jié)論【解答】解：由題意和空間向量的共面定理，結(jié)合，得與、是共面向量，同理與、是共面向量，與不能與、構(gòu)成空間的一個(gè)基底，又與

5、和不共面，可與、構(gòu)成空間的一個(gè)基底故選C2.（東城區(qū)期末）在四面體中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于ABCD【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果【解答】解：在四面體中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，所以故選：3（菏澤期末）如圖，已知正方體中，點(diǎn)為上底面的中心，若則AB1CD2【分析】推導(dǎo)出，由此能求出的值【解答】解：正方體中，點(diǎn)為上底面的中心，故選：4（濟(jì)寧期末）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，則ABCD【分析】利用向量加法的三角形法則以及平行六面體的性質(zhì)即可求解【解答】解：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)；故選：5（陽泉期末）如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則等于ABCD【分析】在四面體

6、中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，可得，即可得出【解答】解：在四面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則，故選：6（煙臺期末）三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，則異面直線與所成角的余弦值為 A. B. C. D. 【分析】本題主要考查了空間向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，考查空間向量基本定理，向量的數(shù)量積公式及應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于較難題先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底表示，然后利用夾角公式求異面直線與所成角的余弦值即可【解答】解：如圖，設(shè)，棱長均為1，則，異面直線與所成角的余弦值為，故選A7（多選）（南通期末）設(shè)，是空間一個(gè)基底A若，則B則，兩

7、兩共面，但，不可能共面C對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使D則，一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底【分析】利用，是空間一個(gè)基底的性質(zhì)直接求解【解答】解：由，是空間一個(gè)基底，知：在中，若，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；在中，兩兩共面，但，不可能共面，故正確；在中，對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使，故正確；在中，一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故正確故選：8（邯鄲期末）如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則 【分析】根據(jù)向量的三角形法則結(jié)合已知條件即可求解；【解答】解：連接（圖略），由題意可得，則因?yàn)?，所以，所以故答案為?9.已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面邊長和側(cè)棱長均為2，則對角線的長為

8、_【分析】本題考查空間向量的運(yùn)算及模的求法，屬于中檔題【解答】解：設(shè)則，則對角線的長為故答案為10.已知為空間的一個(gè)基底，且，能否以作為空間的一個(gè)基底_ 填“能”或“不能”【解析】解：為空間的一個(gè)基底，且，設(shè)向量，共面，則存在實(shí)數(shù)m，n，使，解得，；因此不能作為空間的一個(gè)基底故答案為：不能11（興慶區(qū)校級期中）如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線都等于1，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，設(shè)，為空間向量的一組基底，計(jì)算：（1）；（2）【分析】（1）利用數(shù)量積公式先求的值，再根據(jù)求得結(jié)果；（2）由，先平方，再開平方【解答】解：（1）由題意，則，；（2），即12（三門縣校級期中）如圖，在平行六面體中，設(shè)，（

9、1）用，表示；（2）求的長【分析】（1）由空間向量加法法則得，由此能求出結(jié)果（2），由此能求出的長【解答】解：（1）在平行六面體中，（2），的長13.如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點(diǎn)，G在AE上，且試用向量，表示向量；若，求異面直線OG與AB所成角的余弦值【分析】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算、向量的模及平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題由，得出，即，即可求出結(jié)果；利用，和數(shù)量積的定義，代入求出，再求出，代入夾角公式，即可求出結(jié)果【解答】解：，又，；由知又，即，B組-素養(yǎng)提升1.已知平行六面體的底面ABCD是菱形，且，如圖所示，則當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，平面并給予證明【分析】本題考查線面