數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用摘 要數(shù)學(xué)模型是研究生命發(fā)展規(guī)律，發(fā)現(xiàn)和分析生命現(xiàn)狀的工具。建立可靠的本文從生物數(shù)學(xué)的發(fā)展、分支了解生物數(shù)學(xué)的歷史，緊接著又在數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)的地位中了解數(shù)學(xué)模型的地位，最后在數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用中知道了微分方程模型、差分方程模型以及穩(wěn)定性模型.這將有助于在生物數(shù)學(xué)的研究中，依據(jù)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，建立符合規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，在生命進(jìn)程中驗(yàn)證新的規(guī)律、新的發(fā)現(xiàn)，使在研究生物學(xué)時(shí)更清晰、更明了.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；生物學(xué)；應(yīng)用Application of mathematical model in BiologyAbstract: Mathematical models in biol

2、ogy such as a microscope can be found in biological mysteries, biological research through with the establishment of the mathematical rules of the law of development of life, which launched a new discovery, new rules and in biology established reliable model of the biological status of classified an

3、alysis and forecasting.The from the history of mathematical biology development, the branch of the understanding of mathematical biology, followed by another in the mathematical model in Mathematical Biology status in understanding the status of mathematical model. Finally, in the application of mat

4、hematical model know differential equation model, the differential equation model and the stability of the model.This will help in mathematical biology research, on the basis of the mathematical model, established in accordance with the law of the mathematical model, in the process of life to verify

5、 new rules, new found in biological research clearer, more clear.Keywords: mathematical mode; biology; application目 錄1 引言12 文獻(xiàn)綜述12.1 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀12.3 提出問(wèn)題23 生物數(shù)學(xué)的發(fā)展23.1 生物數(shù)學(xué)發(fā)展歷史33.2 生物數(shù)學(xué)的分支43.2.1 生物信息學(xué)53.2.2 生物統(tǒng)計(jì)53.2.3 數(shù)量遺傳學(xué)53.2.4 數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)53.2.5 數(shù)理醫(yī)藥學(xué)63.3 數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)中的地位64 數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中應(yīng)用64.1 微分方程模型64.2 差分方程模型 11

6、4.3 穩(wěn)定性模型 135 結(jié)論 175.1 主要發(fā)現(xiàn) 175.2 啟示 185.3 局限性 185.4 努力方向 18參考文獻(xiàn) 191 引言數(shù)學(xué)是所有自然學(xué)科的基礎(chǔ)，生物卻是偏文科性質(zhì)的自然學(xué)科，把兩者有機(jī)的的結(jié)合在一起就構(gòu)成了生物數(shù)學(xué).但在生物學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)最多的還是數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，解決生物中各種種群增長(zhǎng)問(wèn)題，種群擴(kuò)散問(wèn)題，環(huán)境污染問(wèn)題等.雖然有生物數(shù)學(xué)這樣的學(xué)科產(chǎn)生，但真正讓數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的學(xué)生了解數(shù)學(xué)在生物中的應(yīng)用，仍需要很大的努力.同時(shí)，許多人會(huì)覺得數(shù)學(xué)的知識(shí)只能應(yīng)用在生物中，而生物知識(shí)卻不能應(yīng)用在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，但是有些實(shí)際問(wèn)題卻不得不提醒我們，在解決一部分實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我必須得先了解

7、生物上的一些知識(shí)，才能解決.但同時(shí)我們也得先了解生物數(shù)學(xué)這門學(xué)科，以及生物數(shù)學(xué)的的分支，我們才能知道生物與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，方便我們?cè)诮鉀Q一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，全面的考慮問(wèn)題，分析問(wèn)題.生物數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的邊沿學(xué)科，使數(shù)學(xué)模型得以更好的建立的根本，不僅是一個(gè)學(xué)科的分支，更是學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)工具.了解生物數(shù)學(xué)的發(fā)展，知道生物數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，并知道生物數(shù)學(xué)的分支，方便更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型，然后才能把數(shù)學(xué)模型更好應(yīng)用在生物學(xué)中，數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)中最直觀應(yīng)用于數(shù)學(xué)的東西，但數(shù)學(xué)模型中很大一部分模型和生物相關(guān)聯(lián)，所以才會(huì)出現(xiàn)生物數(shù)學(xué).特別地，生物數(shù)學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)建模中起了很重要的作用.2 文獻(xiàn)綜述2.1 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀現(xiàn)查

8、閱到的參考文獻(xiàn)中，分別就數(shù)學(xué)模型做了介紹，并且對(duì)模型的應(yīng)用也做了介紹.在文獻(xiàn)1-4中詳細(xì)的講解了生物數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、分支等方面，還闡述了生物數(shù)學(xué)在其他方面的應(yīng)用，其中穿插的講解了數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)中地位以及生物數(shù)學(xué)的未來(lái)發(fā)展趨勢(shì).在文獻(xiàn)5中主要是利用數(shù)學(xué)模型在生物序列結(jié)構(gòu)比較中的研究及其應(yīng)用進(jìn)行了介紹，且主要研究了數(shù)學(xué)模型在DNA、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用.在文獻(xiàn)6中主要綜述了生物數(shù)學(xué)這一門學(xué)科的大概，介紹了生物數(shù)學(xué)各分支的具體內(nèi)容，還講解了生物數(shù)學(xué)模型的實(shí)例.在文獻(xiàn)7中強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的地位，從不同的角度詮釋數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)模型的方法.在文獻(xiàn)8中從建立數(shù)學(xué)模型的步驟、初等模

9、型、優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型等方面進(jìn)行了介紹，詳細(xì)的講解了數(shù)學(xué)模型在不同方面的應(yīng)用.在文獻(xiàn)9中運(yùn)用馬爾薩斯模型、logistic模型、人口統(tǒng)計(jì)模型三種方法對(duì)江蘇省人口總數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，并且對(duì)三種模型的精確度作了分析.在文獻(xiàn)10中依據(jù)文獻(xiàn)8中的課后習(xí)題進(jìn)行了解答，更好理解了數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用.在文獻(xiàn)11中對(duì)人口增長(zhǎng)的原因進(jìn)行了分析，并且運(yùn)用不同的方法對(duì)人口增長(zhǎng)過(guò)快的控制進(jìn)行了描述，還運(yùn)用偏微分方程、差分方程分別描述了人口狀態(tài)的連續(xù)模型和離散模型.在文獻(xiàn)12中介紹了差分方程在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域、動(dòng)力系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)等多方面的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了運(yùn)用差分方程模型建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的重要性.在文獻(xiàn)13中通過(guò)化

10、學(xué)、物理、生物、交通、經(jīng)濟(jì)管理和工程技術(shù)中眾多數(shù)學(xué)模型的實(shí)例，建立了各種現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的主要方法和基本規(guī)律.在文獻(xiàn)14中找到了種群生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型，依據(jù)差分方程理論，建立了描述種群生長(zhǎng)的非線性差分方程模型，并分析了該模型的可靠性和穩(wěn)定性.在文獻(xiàn)15中主要從兩個(gè)方面闡述了植物昆蟲種群模型的分類、通用表達(dá)式的表達(dá)，并針對(duì)各類型的植物種群動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行了特殊說(shuō)明.2.2 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià) 文獻(xiàn)1-15中分別就生物數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、分支分別進(jìn)行了闡述以及差分方程模型在生物學(xué)中的應(yīng)用等方面作了說(shuō)明.但文獻(xiàn)中沒(méi)有對(duì)生物數(shù)學(xué)深入進(jìn)行研究，以及沒(méi)有對(duì)與差分方程模型相關(guān)的的微分方程模型以及穩(wěn)定性模型在生物學(xué)中應(yīng)

11、用進(jìn)行研究.2.3 提出問(wèn)題現(xiàn)有文獻(xiàn)中只是對(duì)生物數(shù)學(xué)發(fā)展、起源、分支的各方面單獨(dú)的進(jìn)行了研究，以及數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用只是進(jìn)行了一方面的介紹.因此本文就以上問(wèn)題把生物數(shù)學(xué)的發(fā)展、起源、分支的各方面綜合進(jìn)行了分析，并且對(duì)數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用中的差分方程模型進(jìn)行了全方面的研究.3 生物數(shù)學(xué)的發(fā)展 生物數(shù)學(xué)顧名思義便是生物與數(shù)學(xué)的結(jié)合，是生物與數(shù)學(xué)的邊沿學(xué)科，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究和解決生物學(xué)問(wèn)題，并對(duì)與生物有關(guān)的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行理論研究的學(xué)科.粗略地說(shuō)，它包括生物數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)生物學(xué)兩部分內(nèi)容，前者看重?cái)?shù)學(xué)，后者看重生物學(xué)1.如果把生物學(xué)的分支領(lǐng)域看作一個(gè)集合，數(shù)學(xué)的分支范圍看作另一個(gè)集合，生物數(shù)學(xué)便是

12、兩個(gè)集合導(dǎo)出的乘積空間.因而生物數(shù)學(xué)的分支內(nèi)容十分豐富，從研究使用的數(shù)學(xué)方法區(qū)分，生物數(shù)學(xué)可分為生物統(tǒng)計(jì)學(xué)、生物信息論、生物系統(tǒng)論、生物控制論和生物方程等的分支.另外，由于生命現(xiàn)象極為復(fù)雜，從生物學(xué)中提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往也十分復(fù)雜，需要進(jìn)行大量計(jì)算工作，因此計(jì)算機(jī)是解決生物數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具2.3.1生物數(shù)學(xué)發(fā)展歷史生物數(shù)學(xué)的最早起源于中國(guó)北宋科學(xué)家沈括，于1088年推出的“胎育之理”的數(shù)學(xué)模型，并說(shuō)明了出生嬰兒性別大致相等的規(guī)律，建立了種群動(dòng)態(tài)模型.到1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在計(jì)算書第12章的第七節(jié)中，關(guān)于家兔繁殖的問(wèn)題，建立了家兔增長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)模型.，；.后來(lái)，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗于1730

13、年的分析集錦中第一次給出了斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式.1963年，一些美國(guó)數(shù)學(xué)家成立了斐波那契協(xié)會(huì)，并且發(fā)行了一份專門研究他的季刊-斐波那契季刊，這標(biāo)志著對(duì)斐波那契家兔增長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)模型的性質(zhì)及應(yīng)用進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展階段.1604年，中國(guó)明朝的著名科學(xué)家徐光啟在其著作農(nóng)政全書中用數(shù)學(xué)的概率方法估計(jì)過(guò)和平時(shí)期人口的增長(zhǎng)，說(shuō)“頭三十年為一世”這是最早的人口增長(zhǎng)模型.1662年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家、人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家格朗特，在他的專著生命表的自然和政治觀察中，研究了倫敦市人口的出生率、死亡率等指數(shù)與人口增長(zhǎng)的關(guān)系，并且通過(guò)計(jì)算得出倫敦的人口大概每64年將增加一倍.且發(fā)現(xiàn)人口的出生率與死亡率相對(duì)穩(wěn)定，提出“大數(shù)恒靜定律”

14、.1693年，英國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家哈雷按年齡分類，以德國(guó)布雷斯勞市1687-1691年間市民的死亡統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，精確地表示了每年的死亡率.從而改進(jìn)了格朗特的生命表，并定義了死亡率的含義，制訂了世界上第一份最完整、最科學(xué)的生命表.1748年，歐拉在其出版的無(wú)窮分析引論的第六章“指數(shù)與對(duì)數(shù)”中，所舉的例子中：假設(shè)人口數(shù)量關(guān)于年份滿足方程（其中為整數(shù)，增長(zhǎng)率為正實(shí)數(shù)），若初值為，則關(guān)于的表達(dá)式可以改寫為，此模型被稱為人口幾何增長(zhǎng)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型.1760年，瑞士數(shù)學(xué)家、醫(yī)學(xué)家、物理學(xué)家丹尼爾伯努利對(duì)天花病毒進(jìn)行了分析，且建立了天花病毒動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，其中，為人口的年齡，為人口因感染上天花而死亡的概率，表

15、示感染天花病毒后痊愈的年齡為的人口數(shù)量，為每人每年感染上天花的概率.伯努利在天花病毒動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型中所作感染上天花的概率與因感染上天花的概率，關(guān)于相互獨(dú)立的理想假設(shè)存在一定的局限性.1761年，法國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家達(dá)蘭貝爾改進(jìn)了伯努利的模型，得到了更符合實(shí)際情況的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：，其中為因感染天花而死亡的人數(shù).1798年，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯在人口原理中，根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)顯示，針對(duì)人口增長(zhǎng)規(guī)律，提出人口種群模型的基本假設(shè)：在人口自然增長(zhǎng)的過(guò)程中，凈相對(duì)增長(zhǎng)率的常數(shù)，從對(duì)人口增長(zhǎng)和食品過(guò)去增長(zhǎng)的分析中導(dǎo)出了微分方程模型：已知初始時(shí)刻時(shí)種群數(shù)量為,設(shè)時(shí)刻的種群數(shù)量為.經(jīng)過(guò)后，在時(shí)刻，種群的數(shù)量變?yōu)?/p>

16、.由上述基本假設(shè)，在時(shí)間內(nèi)，種群數(shù)量的增加量與當(dāng)時(shí)的種群數(shù)量成比例，比例系數(shù)為，則在內(nèi)，種群的增量可寫為.再將上式兩邊同時(shí)除以，得到，當(dāng)時(shí)，滿足：或.上述微分方程模型為馬爾薩斯模型3.3.2 生物數(shù)學(xué)的分支 伴隨著生物數(shù)學(xué)的快速發(fā)展，生物數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容已經(jīng)形成一個(gè)巨大的體系，總共包含了14個(gè)分支學(xué)科 4.這些學(xué)科是按下列兩種分類方法來(lái)劃分的. 第一種是按所涉及的數(shù)學(xué)方法來(lái)分類，分為生物統(tǒng)計(jì)、生物動(dòng)力系統(tǒng)和生物控制論、統(tǒng)計(jì)醫(yī)藥學(xué)、人口統(tǒng)計(jì)學(xué)等；生物動(dòng)力系統(tǒng)又分為種群動(dòng)力學(xué)，細(xì)胞動(dòng)力學(xué)、人口動(dòng)力學(xué)等. 第二種是按研究生命科學(xué)中的分支學(xué)科的不同分類，有數(shù)學(xué)生態(tài)、數(shù)量生理、數(shù)量分類、數(shù)量遺傳、傳染病動(dòng)

17、力學(xué)、數(shù)量生物經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)理醫(yī)藥學(xué)、神經(jīng)科學(xué)的數(shù)學(xué)模型、分子動(dòng)力學(xué)、細(xì)胞動(dòng)力學(xué)、人口動(dòng)力學(xué)等分支學(xué)科.其中數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)又可分為種群生態(tài)學(xué)、統(tǒng)計(jì)生態(tài)學(xué)、系統(tǒng)生態(tài)學(xué)等分支學(xué)科.3.2.1 生物信息學(xué)從生物信息學(xué)研究的具體內(nèi)容上說(shuō)，主要有3個(gè)部分：新算法與統(tǒng)計(jì)學(xué)方法研究、各類數(shù)據(jù)的分析和解釋以及管理數(shù)據(jù)和研制有效利用的新工具.生物信息學(xué)是由分子生物學(xué)與信息技術(shù)的組成，它的研究材料和結(jié)果是由各種生物學(xué)與信息技術(shù)的組成，它的研究材料和結(jié)果是各種生物學(xué)數(shù)據(jù)，研究的方法主要有對(duì)生物學(xué)數(shù)據(jù)的搜索、收集、篩選、處理（編輯、整理、管理和顯示）以及利用（計(jì)算和模擬）.生物信息學(xué)是現(xiàn)在生命科學(xué)和自然科學(xué)的重大前沿領(lǐng)域之一

18、，并且也將是21世紀(jì)自然科學(xué)的核心領(lǐng)域之一.隨著基因組測(cè)序計(jì)劃的展開和分子結(jié)構(gòu)測(cè)定技術(shù)的突破以及網(wǎng)絡(luò)的普及，生物學(xué)數(shù)據(jù)庫(kù)逐漸成熟起來(lái).伴隨著生物研究中數(shù)學(xué)模型和算法的不斷完善，擁有許多強(qiáng)有力的生物信息分析工具，如進(jìn)化分析、聚類分析等的產(chǎn)生.部分有效的分析工具極大地依賴于生物序列和結(jié)構(gòu)的比較.序列和結(jié)構(gòu)的比較是最重要和最常用的原始操作，是許多其它復(fù)雜操作的基礎(chǔ) 5.3.2.2 生物統(tǒng)計(jì)生物統(tǒng)計(jì)是生物數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，在生物界一直受到普遍重視.它在醫(yī)學(xué)界成為了衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容，目前主要從事統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的應(yīng)用和改進(jìn)有關(guān)logistic回歸模型方面的研究和應(yīng)用生存分析以及研究人的壽命表的人口統(tǒng)計(jì)等方面

19、.其中運(yùn)用多元統(tǒng)計(jì)分析來(lái)研究生物現(xiàn)象，成為生物統(tǒng)計(jì)發(fā)展的一個(gè)方向.3.2.3 數(shù)量遺傳學(xué) 數(shù)量遺傳學(xué)的分析方法，在動(dòng)物遺傳育種方面，提供有價(jià)值的育種參數(shù)；在作物育種方面，對(duì)主要作物的一些基本數(shù)量性狀的遺傳規(guī)律進(jìn)行分析，現(xiàn)在趨向于分析一些地區(qū)性作物的一些特定的性狀；在試驗(yàn)設(shè)計(jì)上更加接近于信息量較大的雙列雜交設(shè)計(jì)，并且也是林木遺傳育種的一個(gè)分析手段.3.2.4 數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué) 數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)不僅是生物數(shù)學(xué)的分支，也是生態(tài)學(xué)的一部分.從使用的數(shù)學(xué)工具來(lái)分有理論生態(tài)學(xué), 統(tǒng)計(jì)生態(tài)學(xué)與系統(tǒng)生態(tài)學(xué). 理論生態(tài)學(xué)主要是使用隨機(jī)微分方程,差分方程, 線性代數(shù)，常微分方程和隨機(jī)過(guò)程等數(shù)學(xué)工具來(lái)設(shè)計(jì)與實(shí)際相近的數(shù)學(xué)模型；

20、系統(tǒng)生態(tài)學(xué)是采用運(yùn)籌學(xué)與系統(tǒng)分析理論等數(shù)學(xué)工具來(lái)研究生態(tài)系統(tǒng)；統(tǒng)計(jì)生態(tài)學(xué)主要是數(shù)理生態(tài)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)的相結(jié)合,其中包括空間分布型,抽樣技術(shù)與多元分析等；如果就研究的對(duì)象來(lái)分,分為動(dòng)物數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué), 昆蟲數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)與植物數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué).3.2.5 數(shù)理醫(yī)藥學(xué) 數(shù)理醫(yī)藥學(xué)是研究生物細(xì)胞的化學(xué)作用建立數(shù)學(xué)模型來(lái)研究，是生命科學(xué)的圍觀研究，例如：在毒理生態(tài)學(xué)中利用宏觀和微觀數(shù)學(xué)模型來(lái)研究環(huán)境污染對(duì)生物種群的影響.數(shù)理醫(yī)藥學(xué)主要利用數(shù)學(xué)模型研究傳染病的方式、發(fā)展和傳染過(guò)程，已成為生物數(shù)學(xué)的分支.例如：對(duì)現(xiàn)有的傳染病模型作改進(jìn)，使其更隨機(jī)化，更符合實(shí)際，并且建立了帶有年齡結(jié)構(gòu)的種群的長(zhǎng)期和非長(zhǎng)期免疫型的傳染病模型.

21、3.3 數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)中的地位 在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，數(shù)學(xué)一直都有著自己的理論體系.第一是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，第二是應(yīng)用數(shù)學(xué)，第三是計(jì)算數(shù)學(xué).生命是數(shù)字的游戲，隨著近代生物學(xué)的高速發(fā)展，數(shù)學(xué)在生命科學(xué)的作用愈發(fā)突出，無(wú)論是微觀方向的發(fā)展，還是宏觀方向的研究，都必須有精密的數(shù)學(xué)計(jì)算作為推動(dòng)其前進(jìn)的不懈動(dòng)力6.數(shù)學(xué)模型：為了研究的目的而建立并能夠表現(xiàn)和描述真實(shí)世界某些現(xiàn)象、特征和狀況的數(shù)學(xué)問(wèn)題.數(shù)學(xué)模型能定量地描述生命物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，一個(gè)復(fù)雜的生物學(xué)問(wèn)題借助數(shù)學(xué)模型能轉(zhuǎn)變成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的邏輯推理、求解和運(yùn)算，就能夠獲得客觀事物的有關(guān)結(jié)論，達(dá)到對(duì)生命現(xiàn)象進(jìn)行研究的目的7.4 數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中

22、的應(yīng)用 數(shù)學(xué)模型中有初等模型、簡(jiǎn)單優(yōu)化模型、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型、微分方程模型、差分方程模型、穩(wěn)定性模型等，在生物學(xué)中應(yīng)用較廣泛的是微分方程模型、差分方程模型、穩(wěn)定性模型，并應(yīng)用于種群增長(zhǎng)、疾病預(yù)測(cè)與控制、種群競(jìng)爭(zhēng)、種群依存等方面.4.1 微分方程模型微分方程是描述未知函數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，形如.在數(shù)學(xué)模型中需要描述實(shí)際對(duì)象的某些特性隨時(shí)間或空間的演變的過(guò)程，分析它的變化規(guī)律、預(yù)測(cè)它的未來(lái)形態(tài)、研究它的控制手段時(shí)，就需要建立的對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型8.微分方程模型應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、戰(zhàn)爭(zhēng)、醫(yī)學(xué)等方面，在生物學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，可以用于傳染病的控制與防范，人口的控制和預(yù)測(cè)，種群增長(zhǎng)的預(yù)測(cè)，細(xì)胞增長(zhǎng)速率等方面.下

23、面介紹人口的預(yù)測(cè)和控制：指數(shù)增長(zhǎng)模型由英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯提出的，記時(shí)刻的人口為，且視為連續(xù)，可微的函數(shù)，并令初始時(shí)刻的人口為，人口增長(zhǎng)率為常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)的增量，得微分方程 =， （1） 則得： （2）阻滯增長(zhǎng)模型-Logistic模型：人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后會(huì)下降，主要是受到環(huán)境條件、自然資源等因素的影響的阻滯作用，并且隨著人口的增長(zhǎng)，阻滯作用越大，阻滯作用主要體現(xiàn)在對(duì)人口增長(zhǎng)率的影響上，使得隨著人口數(shù)量的增加而下降.將表示為的函數(shù)，方程寫作 （3）假設(shè)為的線性函數(shù)，即 （4）其中，為為自然資源和環(huán)境條件所容納的最大人口數(shù)量，將（4）式代入（3）得 （5）其中等式右邊體現(xiàn)人口自身的增長(zhǎng)趨勢(shì)

24、，體現(xiàn)環(huán)境和資源對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用.例1 江蘇省是全國(guó)主要的經(jīng)濟(jì)發(fā)展中心，其發(fā)展變化將帶動(dòng)整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展變化，土地面積僅占全國(guó)的1.06%，人口卻占全國(guó)的5.72%，依據(jù)江蘇省1978-2004年的總?cè)丝诒恚治鼋K省1978-2000年的數(shù)據(jù)及預(yù)測(cè)江蘇省規(guī)劃期內(nèi)的總?cè)丝跀?shù)9.江蘇省1978-2004年歷年總?cè)丝诒恚ㄈf(wàn)人）年份總?cè)丝跀?shù)年份總?cè)丝跀?shù)年份總?cè)丝跀?shù)19785834.3319876348.00 19967110.16 19795892.5519886438.27 19977147.86 19805938.1919896535.85 19987182.46 19816010.241

25、9906766.90 19997213.13 19826088.9419916843.70 20007327.24 19836134.9919926911.20 20017354.92 19846171.4319936967.27 20027382.97 19856213.4819947020.54 20037405.82 19866269.9019957066.02 20047432.50 表1 江蘇省1978-2004年歷年人口表模型分析：江蘇省總?cè)丝趶?978年的5834.33萬(wàn)人到2004年的7432.5萬(wàn)人，增加了1598.17萬(wàn)人，平均年增長(zhǎng)率為9.4%.江蘇省1978年至2004

26、年主要表現(xiàn)為：總?cè)丝跀?shù)逐年增長(zhǎng)；各年之間的人口增長(zhǎng)相對(duì)平穩(wěn).1978年-1989年，年平均增長(zhǎng)率9.4%；1990年，年平均增長(zhǎng)率為35.4%；1991-2003年，年平均增長(zhǎng)率為6.7%；2.1-2.4年人口年增長(zhǎng)率為3.8%、3.5%、3.4%、3.6%，四年平均增長(zhǎng)率為3.6%.馬爾薩斯人口模型建立：模型假設(shè)：1.人口增長(zhǎng)率是常數(shù)； 2.隨著時(shí)間的增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)線增長(zhǎng).模型構(gòu)成：把1978年-2000年作為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，2001-2004年的數(shù)據(jù)作為驗(yàn)證.江蘇省1978-2000年的年平均人口增長(zhǎng)率為7.65%，2004-2010年人口增長(zhǎng)率為5.00%，2010-2020年人口增長(zhǎng)

27、率為2.35%.則代入馬爾薩斯人口模型（2） （2）則 江蘇省2001-2020年人口預(yù)測(cè)值年份人口總數(shù)年份人口總數(shù)20017477.533201110759.2520027751.628201211015.0920038035.771201311277.0120047785.525201411545.1620058184.697201511819.6820068604.335201612100.7320079045.489201712388.4720089509.261201812683.0520099996.811201912984.63201010509.36202013293.38 表

28、2 馬爾薩斯模型對(duì)江蘇省2001-2020年人口預(yù)測(cè)值圖1馬爾薩斯模型對(duì)江蘇省2001-2020年人口預(yù)測(cè)值由馬爾薩斯模型算出的江蘇省2001-2020年各年的人口數(shù)在上表和圖表中顯示出來(lái).Logistic人口阻滯模型：模型構(gòu)成：將微分方程模型（5）化為： （6）將江蘇省人口數(shù)據(jù)代入得出、兩參數(shù)，則得如下方程 （7）代入值： 經(jīng)過(guò)計(jì)算得表3和圖2的結(jié)果江蘇省2001-2020年人口預(yù)測(cè)值年份人口總數(shù)年份人口總數(shù)20017335.30 20117720.33 20027380.92 20127750.91 20037424.85 20137780.23 20047467.13 20147808.

29、20057507.79 20157835.25 20067546.89 20167861.02 20077584.46 20177885.70 20087620.54 20187909.32 20097618.36 20197931.92 20107688.43 20207953.53 表3 logistic模型對(duì)江蘇省2001-2020年人口預(yù)測(cè)圖2 logistic模型對(duì)江蘇省2001-2020年人口預(yù)測(cè)值由此可以看出Logistic阻滯模型精確點(diǎn)，所以江蘇省2020年預(yù)測(cè)人口為7953.53萬(wàn)人（數(shù)學(xué)模型在人口預(yù)測(cè)中的應(yīng)用-以江蘇省為例）.4.2 差分方程模型差分方程又稱遞推關(guān)系式，是含

30、有位置函數(shù)及其差分，但不含有導(dǎo)數(shù)的方程，且滿足該方程的函數(shù)稱為差分方程，差分方程是微分方程的離散化.在實(shí)際問(wèn)題中，遇到變量是離散的，就得考慮差分方程模型，在種群的控制與預(yù)測(cè)中，用到的就是差分方程模型，因?yàn)槠渲械臅r(shí)間和年齡均為離散量10.差分方程模型應(yīng)用于醫(yī)學(xué)CT、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)分析、產(chǎn)品的投入與產(chǎn)出等方面，同微分方程模型一樣在生物學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，可以用于按年齡分組的人口模型、種群的增長(zhǎng)變化等方面11.下面介紹差分方程模型當(dāng)中比較典型的按年齡分組的種群模型-leslie模型：將種群按年齡大小等間隔分成個(gè)年齡組，記時(shí)段第個(gè)年齡組的種群數(shù)量為，.模型假設(shè)：1.假設(shè)種群的繁殖率和死亡率不隨時(shí)段變化，只與

31、年齡組有關(guān)； 2.第年齡組的繁殖率為，即每個(gè)個(gè)體在1個(gè)時(shí)段內(nèi)繁殖的數(shù)量； 3.第年齡組的死亡率為，即1個(gè)時(shí)段內(nèi)死亡數(shù)量的比例； 4.記為存活率.模型構(gòu)成：時(shí)段第年齡組（）的數(shù)量是時(shí)段第年齡組存活下來(lái)的數(shù)量.得：， （1）， （2）記種群數(shù)量在時(shí)段按年齡組的分布向量為： （3）由繁殖率和存活率構(gòu)成的矩陣 （4）則將（1），（2），（4）綜合為 ， （5）當(dāng)和已知是，可以預(yù)測(cè)種群數(shù)量在時(shí)段按年齡組的分布為 （6）Leslie模型的穩(wěn)定狀態(tài)分析：（1）矩陣存在正單特征根，特征向量（2）若矩陣存在則，且，是由， ，決定的常數(shù).因?yàn)椋瑢?duì)角化，則.當(dāng)充分大使，種群的年齡結(jié)構(gòu)和數(shù)量做如下分析：1），種群按年

32、齡組的分布趨向穩(wěn)定，稱穩(wěn)定分布，與初始分布無(wú)關(guān).2），各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，稱固有增長(zhǎng)率.3）時(shí)，,各年齡組種群數(shù)量不變.4），存活率是同一時(shí)段的與之比.例2 設(shè)一群動(dòng)物最高年齡為15歲，每5歲一組，分成3個(gè)年齡組，各組的繁殖率為，存活率為，開始時(shí)3組各有1000只，求15年后各組分別有多少只，以及時(shí)間充分長(zhǎng)以后種群的增長(zhǎng)率和按年齡組的分布.解：先求矩陣 則則固有增長(zhǎng)率按年齡組的分布為:各組15年后分別有14735只、1375只、875只.固有增長(zhǎng)率為1.5，穩(wěn)定的按年齡組的分布為.4.3 穩(wěn)定性模型用微分方程建立的動(dòng)態(tài)模型來(lái)描述動(dòng)態(tài)過(guò)程的變化規(guī)律，但是對(duì)于某些問(wèn)題，并不需要研究動(dòng)態(tài)

33、過(guò)程的每個(gè)瞬時(shí)的動(dòng)態(tài)，而僅僅是要求研究某種狀態(tài)下的特征，特別是足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)動(dòng)態(tài)過(guò)程的變化趨勢(shì).穩(wěn)定性方程模型應(yīng)用于捕魚業(yè)、軍事競(jìng)爭(zhēng)、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)穩(wěn)定等方面，在生物學(xué)中的應(yīng)用于種群的相互競(jìng)爭(zhēng)、種群的相互依存、食餌與捕食者等方面12.在建模的開始先了解二階微分方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定點(diǎn)的求解過(guò)程. 的實(shí)根，為方程的平衡點(diǎn)，記作.如果存在某個(gè)領(lǐng)域，使方程的解為，.從這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的某點(diǎn)出發(fā)，滿足，則稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的.用直接法求平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性系數(shù)矩陣為 在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，假定的行列式 的根決定，則可以寫成 若，則平衡點(diǎn)穩(wěn)定；若或，則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.依據(jù)差分方程模型求穩(wěn)定性的方法建立種群競(jìng)爭(zhēng)模型：兩個(gè)

34、種群見存在著相互競(jìng)爭(zhēng)、依存、捕食關(guān)系，當(dāng)兩個(gè)種群為了爭(zhēng)奪優(yōu)先的資源而進(jìn)行生產(chǎn)斗爭(zhēng)，其結(jié)局是競(jìng)爭(zhēng)力較弱的種群滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力較強(qiáng)的種群達(dá)到環(huán)境容許的最大數(shù)量15.模型假設(shè)：1.兩個(gè)種群獨(dú)自生存在一個(gè)自然環(huán)境中； 2.兩個(gè)種群的數(shù)量演變遵循Logistic規(guī)律.模型構(gòu)成：記，分別為兩個(gè)種群的數(shù)量，是他們的固有增長(zhǎng)率，,是他們的最大容量，則種群一 (1)(1)式表示種群一在原有資源下，無(wú)種群二的種群數(shù)量.當(dāng)種群二出現(xiàn)時(shí)，要考慮種群二消耗同一種有限資源對(duì)甲的增長(zhǎng)產(chǎn)生的影響.于是得種群二的增長(zhǎng)方程 (2)其中的意義是：?jiǎn)挝粩?shù)量的種群二（相對(duì)）消耗的供給種群一的食物量為單位數(shù)量(相對(duì))消耗的供給種群一的食物量

35、的.則種群二的方程為 (3) 和的意義相對(duì)應(yīng).穩(wěn)定性分析：將（2），（3）解代數(shù)方程組 (5)得4個(gè)平衡點(diǎn) 只有當(dāng)平衡點(diǎn)位于第一象限時(shí)才有實(shí)際意義，因此對(duì)于而言，只有，同時(shí)大于1，或者同時(shí)小于1才滿足.按照差分方程判斷平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性的方法，計(jì)算 得下表4 平衡點(diǎn) 穩(wěn)定條件不穩(wěn)定表4 種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性表格解釋：1. 意味著種群在競(jìng)爭(zhēng)資源時(shí)，種群二的競(jìng)爭(zhēng)弱于種群一；意味著種群在競(jìng)爭(zhēng)資源時(shí)，種群一的競(jìng)爭(zhēng)強(qiáng)于種群二，即趨向于平衡點(diǎn).2. 意味著種群在競(jìng)爭(zhēng)資源時(shí)，種群二的競(jìng)爭(zhēng)強(qiáng)于種群一；意味著種群在競(jìng)爭(zhēng)資源時(shí)，種群一的競(jìng)爭(zhēng)弱于種群二，即趨向于平衡點(diǎn).3. ，意味著在競(jìng)爭(zhēng)中種群一和種群二相對(duì)于

36、對(duì)方都比較弱，即趨向于平衡點(diǎn).4.，意味著在競(jìng)爭(zhēng)資源時(shí)，種群一和種群二相對(duì)于對(duì)方都比較強(qiáng)，但這時(shí)的平衡點(diǎn)不穩(wěn)定. 例3 一個(gè)島嶼上棲居著食肉動(dòng)物和哺乳動(dòng)物，又長(zhǎng)著茂盛的植物.爬行動(dòng)物以哺乳動(dòng)物為食物，哺乳動(dòng)物又依賴植物生存.在適當(dāng)假設(shè)下建立三者之間關(guān)系的模型，求平衡點(diǎn). 解：設(shè)分別表示植物、哺乳動(dòng)物、食肉動(dòng)物在時(shí)刻的數(shù)量.假設(shè)不考慮植物、哺乳動(dòng)物對(duì)自身的阻滯作用.設(shè)為植物的固有增長(zhǎng)率，而哺乳動(dòng)物的存在使植物的增長(zhǎng)率減少，建立植物數(shù)量的模型：意味著哺乳動(dòng)物消耗植物的能力.哺乳動(dòng)物依靠植物生存，離開植物無(wú)法生存，設(shè)植物的死亡率，則哺乳獨(dú)自存在時(shí)： 植物存在為哺乳動(dòng)物提供了食物，但是食肉動(dòng)物使哺乳動(dòng)

37、物的數(shù)量減少，建立哺乳動(dòng)物數(shù)量的模型： 其中意味著植物對(duì)哺乳動(dòng)物的供養(yǎng)能力，意味著食肉動(dòng)物捕食哺乳動(dòng)如的能力.食肉動(dòng)物離開哺乳動(dòng)物無(wú)法生存，設(shè)哺乳動(dòng)物的死亡率為，則食肉動(dòng)物獨(dú)自存在時(shí)有： 哺乳動(dòng)物的存在時(shí)為食肉動(dòng)物提供食物，于是建立食肉動(dòng)物的數(shù)量模型： 意味著哺乳動(dòng)物對(duì)食肉動(dòng)物的供養(yǎng)能力.綜上所述，建立如下微分方程 得微分方程的平衡點(diǎn)得： .5 結(jié)論5.1 主要發(fā)現(xiàn) 本文探討了生物數(shù)學(xué)的發(fā)展，生物數(shù)學(xué)的分支以及數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)中的地位，接著通過(guò)數(shù)學(xué)模型中的微分方程模型、差分方程模型以及穩(wěn)定性模型更好的了解數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)中的應(yīng)用.并在微分方程模型中運(yùn)用江蘇省的歷年總?cè)丝谶M(jìn)行人口的預(yù)測(cè)，在差分方程模型中對(duì)按年齡分布的種群進(jìn)行了分析，以及在穩(wěn)定性模型中對(duì)種群競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的分析.5.2 啟示 從以上知道了生物數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，發(fā)展，以及分支，并且還知道了微分方程模型的應(yīng)用、差分方程模型的應(yīng)用以及穩(wěn)定性模型的應(yīng)用.了解數(shù)學(xué)模型在生物當(dāng)中的重要性，方便在以后的學(xué)習(xí)生活中，正確應(yīng)用數(shù)學(xué)模型思想解決現(xiàn)有的實(shí)際問(wèn)題，使數(shù)學(xué)模型在生物數(shù)學(xué)中能應(yīng)用的更廣泛、更寬廣.5.3 局限性本文主要就生物數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、分支以